Hạng và định thức của ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hoàng Thị Thắm HẠNG VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hoàng Thị Thắm HẠNG VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN Chuyên ngành: Toán hình học Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S PHẠM THANH TÂM Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Ma trận 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt 1.3 Phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma trận 1.3.2 Tích hai ma trận 1.3.3 Phép biến đổi sơ cấp ma trận Hạng ma trận 12 2.1 Định nghĩa 12 2.2 Một số kết quan trọng 13 2.3 Phương pháp tính hạng ma trận 19 2.3.1 Phương pháp tính định nghĩa 19 2.3.2 Phương pháp tính định thức 20 2.3.3 Phương pháp tính nhờ phép biến đổi sơ cấp 22 2.3.4 Phương pháp tính cách đưa ma trận 2.4 đơn giản 24 Ứng dụng hạng 26 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4.1 Hoàng Thị Thắm Định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình tuyến tính 26 2.4.2 Ánh xạ tuyến tính 28 2.4.3 Tính hạng hệ vectơ 29 Định thức ma trận 32 3.1 Định nghĩa 32 3.2 Các tính chất định thức 33 3.2.1 Các tính chất 33 Định lý Laplace 37 3.3.1 Định thức phần bù đại số 37 3.3.2 Định lý Laplace 37 Các phương pháp tính định thức 39 3.4.1 Biến đổi định thức đưa dạng tam giác 39 3.4.2 Khai triển định thức theo dòng cột 40 3.4.3 Sử dụng công thức truy hồi 41 3.4.4 Đặt nhân tử chung 44 3.4.5 Sử dụng tính chất đa tuyến tính 46 Ứng dụng định thức 47 3.5.1 Giải hệ phương trình tuyến tính 47 3.5.2 Tìm hạng ma trận 48 3.5.3 Ứng dụng tìm ma trận nghịch đảo 49 3.5.4 Xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ 51 3.3 3.4 3.5 Tài liệu tham khảo 54 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Lời cảm ơn Sau thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận với giúp đỡ nhiệt tình, tận tâm giảng viên hướng dẫn ThS Phạm Thanh Tâm Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy Sự động viên tin tưởng Thầy nguồn động lực để tác giả hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn Thầy Cô giáo trường ĐHSPHN2 Đặc biệt Thầy Cô giáo khoa Toán trường ĐHSPHN2 tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học Đại học thực khóa luận Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn, kiến thức hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc không tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Hoàng Thị Thắm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Lời cam đoan Khóa luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận trung thực, tên đề tài không trùng lặp với tên đề tài khác Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Thắm i Mục lục ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học quan trọng không ngừng phát triển, có nhiều ứng dụng sống đồng thời người học toán rèn luyện tư Một môn sở toán học đại số tuyến tính giúp nhìn nhận cách đầy đủ tổng quát kiến thức liên quan toán học Đại số tuyến tính môn toán nghiên cứu không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính phép biến đổi trực giao chúng Nó môn sở để nghiên cứu kiến thức khác toán học hình học cao cấp, giải tích, toán kinh tế Ngoài ứng dụng số ngành nghiên cứu khoa học khác vật lý, lý thuyết, hóa học số nghành kĩ thuật khác Hạng định thức ma trận công cụ quan trọng đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng toán học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận kiến thức toán học cách gọn gàng, sáng sủa, đồng thời sử dụng định thức phương pháp giải toán hiệu ví việc giải toán giải hệ phương trình việc ứng dụng định thức hiệu (phương pháp Crame) Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất, kết quan trọng hạng định thức ma trận Từ đưa vài ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Nghiên cứu xung quanh vấn đề hạng định thức ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đưa nội dung tìm hiểu rõ hạng định thức ma trận Nghiên cứu hạng định thức ma trận đồng thời đưa ví dụ minh họa cho phương pháp tính hạng định thức Xây dựng phương pháp tính hạng định thức ma trận Phương pháp nghiên cứu Đọc sách nghiên cứu tài liệu có liên quan đến hạng định thức ma trận Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Hạng ma trận Chương 3: Định thức ma trận Kết luận Chương Kiến thức sở 1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1.1 Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột gọi ma trận cỡ m × n, ký hiệu : A = [aij ] hay A = [aij ]m×n đó: aij phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j Ví dụ 1.1.1  A=   ma trận cấp × Nhận xét 1.1.1 Khi m = n ta gọi ma trận A ma trận vuông cấp n (gọi tắt ma trận cấp n)   a · · · a1n  11    A=    am1 · · · amn Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4.3 Hoàng Thị Thắm Sử dụng công thức truy hồi Để tính định thức Dn người ta thường tính định thức thông qua công thức truy hồi Dn qua Dk , k < n Thông thường định thức tính theo truy hồi ta quan hệ (phương trình sai phân) Dn = pDn−1 + qDn−2 - Nếu q = 0, phương trình phương trình sai phân bậc Dn = pDn−1 Do dễ dàng ta thấy Dn = pn−1 D1 Tính D1 cho ta kết định thức - Nếu q = 0, phương trình phương trình sai phân bậc hai Dn = pDn−1 + qDn−2 Để giải phương trình sai phân xét phương trình bậc hai x2 − px − q = gọi α, β hai nghiệm Khi ta có khả năng: - α = β số thực ta có: Dn = D2 − βD1 n D2 − βD1 n α + β α(α − β) β(β − α) - α = β số thực ta có: Dn = (n − 1)αn−2 D2 − (n − 2)αn−1 D1 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm - α, β số phức α = x + iy β = x − iy hai số phức liên hợp Viết α dạng α = r(cosφ + isinφ), r = |α| ta có Dn = rn (Acosnφ + Bsinnφ), A, B xác định thông qua D1 , D2 Ví dụ 3.4.3 Tính định thức sau: 0 0 0 Dn = 0 0 0 0 Giải Khai triển định thức theo dòng đầu ta có: 0 0 Dn = 5Dn−1 − 0 0 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) ta có công thức truy hồi : Dn = 5Dn−1 − 6Dm−2 (n ≥ 3) (*) Từ (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công thức với n ≥ nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3(Dn−1 −2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 −2Dn−3 ) = = 3n−2 (D2 −2D1 ) Tính toán trực tiếp ta có D2 = 19, D1 = nên D2 − 2D1 = Bởi ta có: Dn − 2Dn−1 = 3n (1) Mặt khác, từ công thức (*) ta có: Dn−3 Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 ) Tương tự ta có: Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n Vậy ta có: Dn − 3Dn−1 = 2n Khử Dn−1 từ (1) (2) ta có: Dn = 3n+1 − 2n+1 43 (2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4.4 Hoàng Thị Thắm Đặt nhân tử chung Nếu phần tử ma trận vuông A cấp n đa thức bậc biến x đó, ta tìm n đa thức bậc f1 , f2 , , fn có nghiệm khác cho fi ước |A| ta kết luận tích f1 f2 fn sai khác nhân tử số Ví dụ 3.4.4 Tính định thức sau: x y z D= x z y y z x z y x Giải Cộng tất cột sau vào cột đầu tiên, ta thấy định thức chia hết cho x + y + z vì: x y z x z y x+y+z x y z = x+y+z z y x y z = (x + y + z) z y y z x x+y+z z x z x z y x x+y+z y x y x Nếu nhân cột thứ cột thứ với (−1) cộng ba cột lại 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm vào cột 1, ta thấy định thức chia hết cho y + z − x Thật vậy: x z y −1 x y z x−y−z x y z x y z = x−y−z z y = (y + z − x) −1 z y y z x y+z−x z x z x z y x y−x+z y x y x Nếu nhân cột thứ cột thứ với (−1) cộng ba cột lại vào cột 1, ta thấy định thức chia hết cho x − y + z Thật vậy: y−x−z x y z x y z x z y = x−y+z z y y z x y−x−z z x z y x z−x−y y x −1 x y z = (x − y + z) z y −1 z x y x Nếu nhân cột thứ cột thứ với (−1) cộng ba cột lại vào cột 1, ta thấy định thức chia hết cho x + y − z vì: y−x+z x y z x y z x z y = x+y−z z y y z x x+y−z z x z y x z−x−y y x −1 x y z = (x + y − z) z y z x −1 y x Vậy định thức chia hết cho (x + y + z)(−x + y + z)(x − y + z)(x + y − z) Chú ý tích chứa z với hệ số (−1) Trong định thức lại chứa 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm z với hệ số (+1) Cho nên D = −(x + y + z)(−x + y + z)(x − y + z)(x + y − z) 3.4.5 Sử dụng tính chất đa tuyến tính Nhiều định thức cấp n tính cách tách định thức theo dòng (hoặc cột) thành tổng định thức cấp Các định thức thường tính dễ dàng Ví dụ 3.4.5 Tính định thức sau: D= 1+a 1 1 1+b 1 1 1+c 1 1 1+d Giải Ta có: 0 D= b 0 a 0 + 0 a + b a 0 + b a 0 + b 0 c 0 c 0 0 c 0 c 0 d d 0 d 0 0 d Khai triển định thức thứ theo dòng 1, định thức lại theo cột ta được: D = bcd + acd + abd + abc + abcd 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.5 3.5.1 Hoàng Thị Thắm Ứng dụng định thức Giải hệ phương trình tuyến tính Cho hệ phương trình:    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1       a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2         a x + a x + + a x = b m1 m2 mn n m Hệ phương trình gọi hệ Cramer ma trận hệ số A ma trận vuông khả nghịch tức m = n định thức: detA = Hệ phương trình Cramer: có nghiệm (x1 , x2 , , xn ) xác định sau: xj = Dj D Dj định thức ma trận hệ số cách thay đổi cột thứ j ma trận D cột hệ số tự (b1 , b2 , , bn ) Ví dụ 3.5.1 Giải hệ phương trình sau:     x + 0y + 2z =    −3x + 4y + 6z = 30      −x − 2y + 3z = Giải 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ta có: Hoàng Thị Thắm       A = −3 6 ;   −1 −2         b = 30       6             A1 = 30 6 ; A2 = −3 30 6 ; A = −3 30       −1 −2 −1 8 −2 Ta tính được: detA = 44 = 0; detA1 = −40; detA2 = 72; detA3 = 152 Ta có nghiêm hệ cho là: x1 = 3.5.2 −40 −10 72 18 152 38 = ; x2 = = ; x3 = = 44 11 44 11 44 11 Tìm hạng ma trận Từ định nghĩa hạng ma trận ta suy thuật toán tính hạng ma trận A cấp m × n (A = 0) Ví dụ 3.5.2 Tìm hạng ma trận sau:    2 A=  1     1 0   1  48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Giải Ta có định thức cấp hai: A2 = = −5 = Xét hai định thức cấp ba bao quanh A2 1 A3 = = 0; A3 = = 1 Suy rankA = 3.5.3 Ứng dụng tìm ma trận nghịch đảo Định lý 3.5.3 Cho ma trận A = aij ∈ M at(n × n, K) Nếu detA = A khả nghịch và:  A−1 A A21  11  A A22   12 = detA    A1n A2n Aij phần bù đại số aij , An1    An2      Ann detA = (detA)−1 ∈ K Nhận xét 3.5.1 Nếu detA = ma trận không khả nghịch, tức A ma trận nghịch đảo Ví dụ 3.5.4 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau:      A = 2 4    Giải Ta tính định thức ma trận A detA = = = 0 nên A khả nghịch Ta có: A11 = −7; A12 = −10; A13 = 6; A21 = 6; A22 = 5; A23 = −3; A31 = −2; A32 = 0; A33 = Vậy ta có:  B −1   −7  −7 −2   1   = −10  = −2 5   −3 6 −3 5 50  −2     Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.5.4 Hoàng Thị Thắm Xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ Cho hệ n vectơ {a1 , a2 , , an } thuộc không gian vectơ Kn Xét định thức D(a1 , a2 , , an ) với cột dòng tạo thành tọa độ vectơ {a1 , a2 , , an } Khi đó: • Hệ vectơ {a1 , a2 , , an } phụ thuộc tuyến tính nếu: D(a1 , a2 , , an ) = • Hệ vectơ {a1 , a2 , , an } độc lập tuyến tính nếu: D(a1 , a2 , , an ) = Ví dụ 3.5.5 Trong không gian vectơ R3 xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ sau: a) a1 = (4, 1, 3); a2 = (1, 0, 1); a3 = (2, 5, 0) b) a1 = (2, 5, 10); a2 = (1, 3, 6); a3 = (4, 6, 0) Giải a) Xét định thức: D = = (−1)1+2 + (−1)3+2 3 Suy {a1 , a2 , a3 } độc lập tuyến tính 51 = −3 = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm b) Xét định thức: 4 D = = = 10 12 Suy {a1 , a2 , a3 } phụ thuộc tuyến tính Bài tập vận dụng 3.1 Sử dụng định lý Laplace tính định thức: a 0 b D= b d a 0 b a d b c a 3.2 Định thức thay đổi ta đưa cột thứ cuối thứ tự cột khác giữ nguyên? Tương tự hàng 3.3 Tính định thức sau phương pháp khai triển theo dòng (cột) D= 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm 3.4 Tính định thức sau phương pháp đặt nhân tử chung n n x + n x+1 D= n x + 3.5 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau:     3x + 5y + 2z − 2t =    x − 3y + z + 4t =      9x + 2y + 7z − 2t = 3.6 Tính α β γ β γ α γ α β α, β, γ nghiệm phương trình: x3 + px + q = 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm KẾT LUẬN Trong trình làm khóa luận tốt nghiệp hoàn thành đề tài “Hạng định thức ma trận” Kết đạt trình làm khóa luận tốt nghiệp là: - Nêu tính chất hạng định thức - Nêu ứng dụng hạng định thức Trong trình chuẩn bị không thiếu khỏi sai sót kính mong thầy cô bạn đọc góp ý Qua xin gửi lời cảm ơn đến thầy Phạm Thanh Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình thầy hoàn thành đề tài 54 Tài liệu tham khảo [1] Phan Hồng Trường(2000), Đại số tuyến tính, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa(2000), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại Học Quốc Gia [3] Nguồn Tài Liệu Internet 55 ... tìm hiểu rõ hạng định thức ma trận Nghiên cứu hạng định thức ma trận đồng thời đưa ví dụ minh họa cho phương pháp tính hạng định thức Xây dựng phương pháp tính hạng định thức ma trận Phương pháp... - Coi hạng ma trận không - Ma trận đơn vị En có hạng n Nhận xét 2.1.2 - Dựa vào hạng ma trận ta tính hạng hệ vectơ, tìm sở, số chiều hệ vectơ tìm hạng ma trận - Một ma trận có nhiều định thức. .. định thức khác cấp định thức hạng ma trận cần tìm Nhận xét 2.3.1 Ta nên tính giá trị định thức có cấp cao trước, cần định thức cấp cao khác hạng ma trận cấp định thức Ví dụ 2.3.1 Tính hạng ma trận