Hạng và định thức của ma trận

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị ThắmLời cảm ơn Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận cùng với sự giúp đỡ nhi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S PHẠM THANH TÂM

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

1.1 Ma trận 3

1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt 4

1.3 Phép toán trên ma trận 6

1.3.1 Phép cộng hai ma trận 6

1.3.2 Tích của hai ma trận 7

1.3.3 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 9

2 Hạng của ma trận 12 2.1 Định nghĩa 12

2.2 Một số kết quả quan trọng 13

2.3 Phương pháp tính hạng của ma trận 19

2.3.1 Phương pháp tính bằng định nghĩa 19

2.3.2 Phương pháp tính bằng định thức 20

2.3.3 Phương pháp tính nhờ các phép biến đổi sơ cấp 22 2.3.4 Phương pháp tính bằng cách đưa về ma trận đơn giản 24

2.4 Ứng dụng của hạng 26

2.4.1 Định lý Kronecker-Capelli về hệ phương trình

tuyến tính 26

2.4.2 Ánh xạ tuyến tính 28

2.4.3 Tính hạng của hệ vectơ 29

3 Định thức của ma trận 32 3.1 Định nghĩa 32

3.2 Các tính chất của định thức 33

3.2.1 Các tính chất cơ bản 33

3.3 Định lý Laplace 37

3.3.1 Định thức con và phần bù đại số 37

3.3.2 Định lý Laplace 37

3.4 Các phương pháp tính định thức 39

3.4.1 Biến đổi định thức đưa về dạng tam giác 39

3.4.2 Khai triển định thức theo dòng hoặc cột 40

3.4.3 Sử dụng công thức truy hồi 41

3.4.4 Đặt nhân tử chung 44

3.4.5 Sử dụng tính chất đa tuyến tính 46

3.5 Ứng dụng của định thức 47

3.5.1 Giải hệ phương trình tuyến tính 47

3.5.2 Tìm hạng của ma trận 48

3.5.3 Ứng dụng tìm ma trận nghịch đảo 49

3.5.4 Xét tính độc lập, phụ thuộc của một hệ vectơ 51

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

Lời cảm ơn

Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứu

các tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận cùng với sự giúp đỡ nhiệt

tình, tận tâm của giảng viên hướng dẫn ThS Phạm Thanh Tâm Nhân

dịp này, em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy Sự động

viên tin tưởng của Thầy là nguồn động lực chính để tác giả hoàn thành

khóa luận này

Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn các Thầy Cô giáo trong trường

ĐHSPHN2 Đặc biệt là các Thầy Cô giáo trong khoa Toán của trường

ĐHSPHN2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học Đại

học và thực hiện bản khóa luận này

Tuy đã có nhiều những cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có

hạn, kiến thức còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa

được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi những sai sót Em mong

nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm

ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Hoàng Thị Thắm

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập

và nghiên cứu

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, tên đề tài

không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Thị Thắm

Mục lục

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học rất quan trọng và không ngừng phát

triển, nó có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống đồng thời người học

toán được rèn luyện tư duy Một trong nhưng bộ môn là cơ sở của

toán học là đại số tuyến tính giúp chúng ta nhìn nhận một cách đầy

đủ và tổng quát các kiến thức liên quan trong toán học Đại số tuyến

tính là bộ môn toán nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình

tuyến tính và các phép biến đổi trực giao giữa chúng Nó là môn cơ sở

để nghiên cứu các kiến thức cơ bản khác của toán học như hình học

cao cấp, giải tích, toán kinh tế Ngoài ra còn ứng dụng trong một

số ngành nghiên cứu khoa học khác như vật lý, cơ lý thuyết, hóa học

và một số nghành kĩ thuật khác

Hạng và định thức của ma trận là một trong những công cụ rất

quan trọng trong đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng trong toán

học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức toán

học một cách gọn gàng, sáng sủa, đồng thời sử dụng định thức còn là

phương pháp giải toán hiệu quả ví như trong việc giải quyết các bài

toán về giải hệ phương trình thì việc ứng dụng định thức hiệu quả

(phương pháp Crame)

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất, kết quả quan trọng về hạng và định

thức của ma trận Từ đó đưa ra một vài ứng dụng

3 Đối tượng nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

Nghiên cứu xung quanh vấn đề về hạng và định thức của ma trận

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đưa ra nội dung và tìm hiểu rõ hơn về hạng và

định thức của ma trận

Nghiên cứu về hạng và định thức của ma trận đồng thời đưa ra các

ví dụ minh họa cho các phương pháp tính hạng và định thức đó

Xây dựng các phương pháp tính hạng và định thức của ma trận

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách và nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hạng và định

thức của ma trận

Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phần:

Mở đầu

Nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Hạng của ma trận

Chương 3: Định thức của ma trận

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

a11, a22, ,amn được gọi là các phần tử chéo

Đường thẳng đi qua các phần tử chéo được gọi là đường chéo chính

Nhận xét 1.1.2 Ma trận không: là ma trận mà tất cả các phần tử

của nó đều bằng không Ma trận không ký hiệu là O

Hai ma trận bằng nhau: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau,

ký hiệu A = B, nếu chúng cùng cỡ và các phần tử có cùng vị trí bằng

nhau

1 Ma trận chéo:

Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0

được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo)

2 Ma trận đơn vị:

Một ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo

chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, kí hiệu En

3 Ma trận tam giác:

Ma trận vuông có các các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo

chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác

4 Ma trận chuyển vị:

Cho ma trận A ∈ M at(m × n, K) Ma trận chuyển vị của ma trận

A, kí hiệu AT là ma trận mà trong đó vai trò của dòng và cộthoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng

5 Ma trận khả nghịch - Ma trận nghịch đảo:

Ma trận vuông A ∈ M at(n × n, K) là ma trận khả nghịch (hay

là một ma trận không suy biến) nếu có một ma trận vuông B ∈

M at(n × n, K) thỏa mãn: A.B = B.A = En Khi đó B được gọi

là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là: B = A−1 Nếu

A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

1.3.1 Phép cộng hai ma trận

Định nghĩa 1.3.1 Cho hai ma trận A, B ∈ M at(m × n, K) Ta gọitổng của ma trận A và B là một ma trận C = (cij) ∈ M at(m × n, K)được xác định bởi:

1 Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A

2 Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

3 Tồn tại ma trận 0m×n sao cho: A + 0 = 0 + A = A

4 Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (−A) = (−A) + A = 0

5 Phép nhân vô hướng có tính phân phối:

α(A + B) = αA + αB; (α + β)A = αA + βB

6 Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT+ BT

7 (k1)A = k(1A).

8 1.A = A, (1 là đơn vị của trường K), ∀ A, B, C ∈ M at(m ×

n, K),∀ k, 1 ∈ K

Nói tóm lại, với phép cộng hai ma trận và phép nhân một ma trận với

một số, M at(m × n, K) là một K-không gian vectơ

Mệnh đề 1.3.2 Với A, B là hai ma trận vuông cấp n và số k ∈ K,mối liên hệ giữa định thức và các phép toán trong M at(m × n, K):

1 |A + B| 6= |A| + |B|

2 |kA| 6= k |A|

1.3.2 Tích của hai ma trận

Định nghĩa 1.3.2 Cho hai ma trận A = (aij) ∈ M at(m × n, K) và

B = (bjk) ∈ M at(n × p, K) Ta gọi tích của ma trận A với ma trận B

là một ma trận C = (cik) ∈ M at(m × p, K) mà phần tử của nó đượcxác định bởi:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

Nhận xét 1.3.1 1 Điều kiện để có tích A.B là số cột của A bằng

số dòng của B Như vậy phép nhân hai ma trận không có tính

chất giao hoán

2 Trường hợp đặc biệt khi A và B đều là các ma trận vuông cấp n

thì có cả A.B và B.A Nhưng nói chung A.B 6= B.A

1.3.3 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

1 Nhân một hàng của ma trận cho số a 6= 0

Ta nhân dòng thứ i với một số a khác không tức là ta nhân tất cả hệ

số của dòng i với con số a

Hoán vị dòng thứ i với dòng thứ j tức là ta thay đổi vị trí của tất cả

phần tử ở hàng i với tất cả phần tử ở hàng j với nhau

Ví dụ 1.3.4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

Ví dụ 1.3.6

Nhận xét 2.1.2 - Dựa vào hạng của ma trận ta có thể tính được

hạng của một hệ vectơ, tìm cơ sở, số chiều của một hệ vectơ và tìm

hạng của một ma trận

- Một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở khác nhau nhưng

cấp của chúng đều bằng hạng của ma trận đó

Mệnh đề 2.1.1 - Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các

định thức con khác 0 của ma trận đó

- Hạng của một ma trận không thay đổi qua một phép chuyển vị

- Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

- Hạng của một ma trận đơn giản có k dòng đầu khác không, các dòng

còn lại bằng không là cấp của ma trận đơn vị Ek thuộc ma trận A(1 ≤ k ≤ n)

Định lý 2.1.1 Với ma trận A bất kì, hạng của A được xác định thông

qua các tính chất sau:

1 rankA = rankAT

2 Cấp cực đại của định thức con khác không

3 Số vectơ cột độc lập tuyến tính tối đại

4 Số vectơ dòng độc lập tuyến tính tối đại

5 Cho f : Vn → Wm; dimV = n; dimW = m là ánh xạ tuyến tínhxác định bởi ma trận A trong cặp cơ sở nào đó Khi đó:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

Chứng minh Gọi ϕ : Km → Km là ánh xạ tuyến tính nhận B làm matrận biểu diễn (theo cơ sở tự nhiên), và ψ : Km → Km là ánh xạ tuyếntính nhận A làm ma trận biểu diễn (theo các cơ cở tự nhiên) Khi đó

ma trận biểu diễn của ϕψ là BA, và vì B khả nghịch, nên ϕ là đẳng

cấu Ta có:

rank(AB) = dim(ϕψ(Kn)) = dimϕ(ψ(Kn)) = dim(ψ(Kn)) = rankA

Chú ý rằng đẳng thức dimϕ(ψ(Kn)) = dim(ψ(Kn)) được suy ra từtính đẳng cấu của ϕ

Với AC ta có thể chứng minh tương tự

Mệnh đề 2.2.2 Hạng của ma trận tích không vượt quá hạng của mỗi

ma trận Tức là với mọi A ∈ M at(m × n, K), B ∈ M at(n × p, K) tacó:

rank(AB) ≤ min {rank(A); rank(B)}

Chứng minh Ta có mỗi dòng của ma trận A.B là tổ hợp tuyến tính

của các dòng của ma trận B nên

rankAB ≤ rankB (1)

Ta cũng có các cột của ma trận của ma trận AB là tổ hợp tuyến tính

của các cột ma trận A nên

rankAB ≤ rankA (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.2.3 Hạng của ma trận tổng không vượt quá tổng các hạng

của các ma trận Tức là ∀A ∈ M at(m × m, K), B ∈ M at(m × m, K),

= dimf (Rn) + dimg(Rn) − dim(f (Rn) ∩ g(Rn))

≤ dimf (Rn) + dimg(Rn) = rankA + rankB

Mệnh đề 2.2.4 (Định lý Sylvester): Cho A; B là hai ma trận vuông

cấp n Khi đó ta có bất đẳng thức:

rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)}

Chứng minh Bất đẳng thức thứ hai đã được chứng minh trong mệnh

đề 2.2.2 Ta đi chứng minh bất đẳng thức thứ nhất

Gọi ϕ, ψ là các toán tử tuyến tính của V = Kn nhận A, B làm ma

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

trận biểu diễn (theo cơ sở tự nhiên) Khi đó theo công thức số chiều

Áp dụng bất đẳng thức Sylvester ta có:

rank(A + I) + rank(A − I) − n ≤ rank(A + I)(A − I) = rank0 = 0

⇒ rank(A + I) + rank(A − I) ≤ n (1)Lại có:

rank(A + I) + rank(I − A) ≥ rank(A + I + I − A)

⇒ rank(A + I) + rank(A − I) ≥ rank(2I) = rankI = n

Do đó

⇒ rank(A + I) + rank(A − I) ≥ n (2)

Từ (1) và (2) ta có:

rank(A + I) + rank(A − I) = n

Mệnh đề 2.2.5 Cho A ∈ M at(m × n, K) bất kì có hạng bằng 1 Khi

đó tồn tại hai vectơ U ∈ M at(m × 1, K), V ∈ M at(n × 1, K) sao cho

A = U.VT Đặc biệt, nếu A ∈ M at(m × n, K) có hạng bằng 1 thì :

An = tr(A)n−1.AChứng minh Vì rankA = 1 nên tồn tại dòng nào đó của A khác

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

không, không mất tổng quát ta giả sử đó là dòng 1 Khi đó A có dạng:

2.3 Phương pháp tính hạng của ma trận

2.3.1 Phương pháp tính bằng định nghĩa

Phương pháp này tổng quát nhất nhưng có yếu điểm là ta phải tính

quá nhiều định thức

- Ta phải tính tất cả các định thức có thể có của ma trận đã cho

- So sánh định thức nào có cấp cao nhất mà giá trị định thức khác 0

thì cấp của định thức đó là hạng của ma trận cần tìm

Nhận xét 2.3.1 Ta nên tính giá trị định thức có cấp cao nhất trước,

chỉ cần một định thức cấp cao nhất nào đó khác 0 thì hạng của ma

1 −3 4

−1 −2 1

= 0; det(A003) = |A003| =

−1 −2 −2

... class="text_page_counter">Trang 27

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Thắm

det(A0003 ) = |A0003