Tiết 3 định thức của ma trận vuông

Tiết 3. Định thức của ma trận vuông 1 2 Chương I: Ma trận và định thức Tiết 3: Định thức của ma trận vuông Mục tiêu Hiểu định nghĩa ma trận con của ma trận vuông, định nghĩa định thức của ma trận vuông và một số tính chất của định thức . Biết tìm ma trận con của ma trận vuông, biết tính định thức của ma trận vuông. 1 2 Chương I: Ma trận và định thức Tiết 3: Định thức của ma trận vuông TÀI LIỆU THAM KHẢO 4 Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 1 (Đại số tuyến tính), NXB GD Việt Nam, 2009 1 2 3 5 Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp ,tập 1 (Đại số và hình học giải tích ), NXB GD , 2005 Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 NXB GD, 2004 Nguyễn Huy Hoàng Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 1 – NXB Thống Kê 2007 Đoàn Quỳnh ,Giáo trình ĐSTT &HHGT , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ,2005 Đoàn Quỳnh ,Giáo trình toán đại cương , Phần 1(đstt &hhgt), NXB ĐHQG Hà Nội 1998. 6 7 Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính , NXB GD Việt Nam, 2000 Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   Kí hiệu ij M là ma trận con của A ứng với phần tử ij a là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j. ij M Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   3 1 2 5 3 4 1 0 5 1 A −    ÷ = −  ÷  ÷   Ví dụ. 11 2 4 1 5 1 M −   ⇒ =  ÷   23 ?M⇒ = Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   Định nghĩa A Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, định thức cấp n của ma trận A kí hiệu là: det(A) hay là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau: A A Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   a) Định thức cấp 1 ( ) 11 A a= 11 det( )A a⇒ = b) Định thức cấp 2 11 12 21 22 a a a a A   =  ÷   11 12 21 22 a a det (A) a a ⇒ = 1 2 1 1 2 2 = (-1) a det(M )+(-1) a det(M ) i i i i i i + + hoặc 11 12 21 22 a a det (A) a a ⇒ = 1 2 1 1 2 2 = (-1) a det(M )+(-1) a det(M ) j j j j j j + + Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   b) Định thức cấp 3 hoặc 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a    ÷ =  ÷  ÷   11 12 13 21 22 23 31 32 33 det( ) a a a A a a a a a a = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 a det + 1 a det 1 a det i i i i i i i i i M M M + + + = − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 det( ) 1 a det + 1 a det 1 a det j j j j j j j j j A M M M + + + = − − + − Chương I: Ma trận và định thức 1.2 Định thức của ma trận vuông ( ) nm ij aA × = Tiết 3: Định thức của ma trận vuông 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 1.2.2. Tính chất của định thức 1.2.1. Định nghĩa & ví dụ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in n n nj nn n a a a a a a a a A a a a a a a a a    ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷   11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a Quy tắc Sarus [...]... chất của định thức 1.2.2 Tính chất của định thức Ví dụ a11 a12 a 13 a11 ' ' ' a21 + a21 a22 + a22 a 23 + a 23 = a21 a31 a32 a 33 a31 a12 a22 a32 a 13 a11 ' a 23 + a21 a 33 a31 a12 ' a22 a32 a 13 ' a 23 a 33 A = (  ij 11 ×na12 a1 j a1n  a a) m 1.2 Định thức của ma trận vuông  Chương I: Ma a ÷ và định thức trận a a a  21  A =  a1i   a  n1 22 2j 2n a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n 1.2.1 Định. .. nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức Củng cố và dặn dò 1 Cần hiểu về ma trận con của một ma trận vuông ,định thức cấp n của ma trận vuông và các tính chất của định thức 2 Biết cách tìm ma trận con của ma trân vuông Biết tính định thức của một ma trận vuông 3 Làm bài tập từ 3. 2 – 3. 8 ( trang 80, 81 ,82- học liệu [6] tập 1) Chuẩn bị kiến thức về các phương pháp tính định thức ... a 2 + 2b 2 = 0 a 3 + 2b 3 A = (  ij 11 ×na12 a1 j a1n  a a) m  Chương I: Ma a ÷ và định thức trận a a a  21  A =  a1i   a  n1 22 2j 2n a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n Tiết 3: Định thức của ma trận vuông a a a n2 nj nn 1.2 Định thức của ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.2 Tính chất của định thức - Định thức của ma trận sẽ không thay...  a a) m  Chương I: Ma a ÷ và định thức trận a a a  21  A =  a1i   a  n1 22 2j 2n a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n 1.2 Định thức của ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ Tiết 3: Định thức của 1.2.2 Tính chất của định thức ma trận vuông a a a n2 nj nn 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ Ví dụ: 1 3 0 2 −1 3 4 1 5 1 3 2 −1 4 1 a a a (Aa=)( a) a I: Ma trận và định thức  ÷ Chương ij ij...  a1i   a  n1 1j 1.2 Định thức của ma trận vuông 1n a22 a2 j a2 n ÷ ÷ ÷ a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ an 2 anj ann ÷n  Tiết 3: Định thức của 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ ma trận vuông 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ d) Định thức cấp n Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1) Khi đó định thức cấp n của ma trận A = ( aij ) n x nđược xác định như sau: det A = ( −1)... ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n Tiết 3: Định thức của ma trận vuông a a a n2 nj nn 1.2 Định thức của ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.2 Tính chất của định thức - Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT) - Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu - Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân lên... 0 0 3 ÷ −1 2 − 2÷ 3 5 1÷ ÷ 4 −2 4  det(A)= ? A = (  ij 11 ×na12 a1 j a1n  a a) m  Chương I: Ma a ÷ và định thức trận a a a  21  A =  a1i   a  n1 22 2j 2n a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n Tiết 3: Định thức của ma trận vuông a a a n2 nj nn 1.2 Định thức của ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.2 Tính chất của định thức - Giả sử A vuông. .. khác(cột khác) - Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo - Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = det(A) det(B) A = (  ij 11 ×na12 a1 j a1n  a a) m  Chương I: Ma a ÷ và định thức trận a a a  21  A =  a1i   a  n1 22 2j 2n a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n Tiết 3: Định thức của ma trận vuông a a a n2 nj nn 1.2 Định thức của ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa... ( M nj ) a a 3  a (Aa=)(a−)2 a 0 I: 0Ma trận và định thức  ÷ Chương ij ij 11 ×n 12 m nxn 1j 1n  a1 − 1 2 a− 2 a ÷ a 2j   21 22 ÷ 2n ÷ A=   3 5 1 ÷ ÷ 2  ÷ A = ÷ a  31 i a2 i − 2 aij 4  ain ÷ 4  Tiết 3: Định thức của   ÷ ma trận vuông  a a a a ÷   n1 n2 nj nn 1.2 Định thức của ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức n 1.2.1 Định nghĩa & ví... cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức A = (  ij 11 ×na12 a1 j a1n  a a) m  Chương I: Ma a ÷ và định thức trận a a a  21  A =  a1i   a  n1 22 2j 2n a2 i aij ain ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n 1.2 Định thức của ma trận vuông Tiết 3: Định thức của ma trận vuông a a a n2 nj nn 1.2.1 Định nghĩa & ví