Khoá luận tốt nghiệp hạng và định thức của ma trận

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN H oàng T hị Thắm H Ạ N G VÀ Đ ỊN H THỨC C Ủ A M A T R Ậ N KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN H oàng T hị Thắm H Ạ N G VÀ Đ ỊN H THỨC C Ủ A M A T R Ậ N C huyên ngành: Toán hình học M ã số: K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T h s P H Ạ M T H A N H TÂ M H N ội —N ăm 2016 M ục lục Lời mở đầu 1 K iến thứ c sở 1.1 Ma t r ậ n 1.2 Một số dạng ma trận đặc b i ệ t 1.3 Phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma t r ậ n 1.3.2 Tích hai ma t r ậ n 1.3.3 Phép biến đổi sơ cấp ma trậ n H ạng m a trận 12 2.1 Định nghĩa 12 2.2 Một số kết quan tr ọ n g 13 2.3 Phương pháp tính hạng ma t r ậ n 19 2.4 2.3.1 Phương pháp tính định n g h ĩa 19 2.3.2 Phương pháp tính định th ứ c 20 2.3.3 Phương pháp tính nhờ phép biếnđổi sơ cấp 2.3.4 Phương pháp tính cách đưa matrận 22 đơn g iả n 24 ứng dụng h n g 26 Hoàng Thị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4.1 Định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình tuyến t í n h 26 2.4.2 Ánh xạ tuyến tính 28 2.4.3 Tính hạng hệ vectơ 29 Đ ịnh thức m a trận 32 3.1 Định nghĩa 32 3.2 Các tính chất định t h ứ c 33 3.2.1 3.3 3.5 33 Định lý L ap lace 37 3.3.1 37 37 3.3.2 3.4 Các tính chất b ả n Định thức phần bù đại số Định lý Laplace Các phương pháp tính định thức 39 3.4.1 Biến đổi định thức đưa dạng tam giác 39 3.4.2 Khai triển định thức theo dòng cột 40 3.4.3 Sử dụng công thức truy h i 41 3.4.4 Đặt nhân tử c h u n g 44 3.4.5 Sử dụng tính chất đa tuyến t ín h 46 ứng dụng định t h ứ c 47 3.5.1 Giải hệ phương trình tuyến t ín h 47 3.5.2 Tìm hạng ma t r ậ n 48 3.5.3 ứng dụng tìm ma trận nghịch đ ả o 49 3.5.4 Xét tính độc lập, phụ thuộc mộthệ vectơ Tài liệu tham khảo 51 54 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị T hắm Lời cảm ơn Sau thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận với giúp đỡ nhiệt tình, tận tâm giảng viên hướng dẫn ThS Phạm Thanh Tâm Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy Sự động viên tin tưởng Thầy nguồn động lực để tác giả hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn Thầy Cô giáo trường ĐHSPHN2 Đặc biệt Thầy Cô giáo khoa Toán trường ĐHSPHN2 tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học Đại học thực khóa luận Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn, kiến thức hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc không tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên H oàng T hị Thắm Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời cam đoan Khóa luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận trung thực, tên đề tài không trùng lặp với tên đề tài khác Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên H oàng T hị Thắm M ụ c lục Hoàng Thị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học quan trọng không ngừng phát triển, có nhiều ứng dụng sống đồng thời người học toán rèn luyện tư Một môn sở toán học đại số tuyến tính giúp nhìn nhận cách đầy đủ tổng quát kiến thức liên quan toán học Đại số tuyến tính môn toán nghiên cứu không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính phép biến đổi trực giao chúng Nó môn sở để nghiên cứu kiến thức khác toán học hình học cao cấp, giải tích, toán kinh tế Ngoài ứng dụng số ngành nghiên cứu khoa học khác vật lý, lý thuyết, hóa học số nghành kĩ thuật khác Hạng định thức ma trận công cụ quan trọng đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng toán học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận kiến thức toán học cách gọn gàng, sáng sủa, đồng thời sử dụng định thức phương pháp giải toán hiệu ví việc giải toán giải hệ phương trình việc ứng dụng định thức hiệu (phương pháp Crame) M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất, kết quan trọng hạng định thức ma trận Từ đưa vài ứng dụng Đ ối tượng nghiên cứu Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nghiên cứu xung quanh vấn đề hạng định thức ma trận N hiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đưa nội dung tìm hiểu rõ hạng định thức ma trận Nghiên cứu hạng định thức ma trận đồng thời đưa ví dụ minh họa cho phương pháp tính hạng định thức Xây dựng phương pháp tính hạng định thức ma trận Phương pháp nghiên cứu Đọc sách nghiên cứu tài liệu có liên quan đến hạng định thức ma trận Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Hạng ma trận Chương 3: Định thức ma trận Kết luận Chương K iến thứ c sở 1.1 M a trận Đ ịnh nghĩa 1.1.1 Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột gọi ma trận cỡ m X n, ký hiệu : A = [ữjj] hay A — [aij]mxn đó: ũịj phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng ỉ cột j V í dụ 1.1.1 ma trận cấp x N hận x ét 1.1.1 Khi m = n ta gọi ma trận A ma trận vuông cấp n (gọi tắt ma trận cấp n) al7 \ ( an A = Ị Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học ta được: D = 3.4.2 -1 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 - -1 n n n n n K hai triển định thứ c th eo dòng cột Cơ sở của phương pháp định lý khai triển Laplace V í dụ 3.4.2 Tính định thức sau: D = Khai triển định thức theo dòng ta được: D = ( - ) 1+1 + ( - ) 1+3 + ( - ) 1+2 = (9.5 - 8.6) - 2(9.4 - 7.6) + 3.(8.4 - 7.5) = N hận x ét 3.4.1 Nên sử dụng công thức khai triển theo dòng (cột) i dòng (cột) chứa nhiều phần tử hay số đơn giản để tính định thức cho 40 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.4.3 Sử dụng công thức tru y hồi Để tính định thức Dn người ta thường tính định thức thông qua công thức truy hồi D n qua D k,k < n Thông thường định thức tính theo truy hồi ta quan hệ (phương trình sai phân) Dn - Nếu Dn q — pDn—\ T qDu—2 0, phương trình phương trình sai phân bậc pDn_ i Do dễ dàng ta thấy Dn = pn~1Di Tính Di cho ta kết định thức - Nếu q Ỷ 0j phương trình phương trình sai phân bậc hai Dn pDn- i T (¿Dn—2 Để giải phương trình sai phân xét phương trình bậc hai X — px — q = gọi a, (3 hai nghiệm Khi ta có khả năng: - a ^ / số thực ta có: r> _ D - Ị3Dị n p - Ị3Di Dn — r,\a + OL\OL — p) w - «) - a = ¡3 số thực ta có: Dn = ( n - l ) a n~2D - (ra - 2)an- 1D 41 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học - a, /3 số phức a = X + iy /3 = X —iy hai số phức liên hợp Viết a dạng a = r(cosộ + isinộ), r = |a| ta có Dn — rn(Acosnộ + Bsinnộ), A, B xác định thông qua D i , D V í dụ 3.4.3 Tính định thức sau: D 0 0 0 0 0 0 0 0 Giải Khai triển định thức theo dòng đầu ta có: 0 0 Dn 5Dn_\ 0 0 0 42 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) ta có công thức truy hồi : Dn = 5Dn- i - 6-Dm_2 (n > 3) (*) Từ (*) ta có : Dn —2Dn_i — (Dn_i —2Dn_2) Do công thức với n > nên ta có: n „ -2 D „ _ = 3(n„_1-2 ữ „ _ 2) = 32( ữ „_2-2£>„_3) = = 3”- 2(D2- n 1) Tính toán trực tiếp ta có D = 19, £>1 = nên D —2Dị — Bởi ta có: Dn - 2Dn- i = 3n (1) Mặt khác, từ công thức (*) ta có: Dn- z D n- i = 2(£)n_1 —3Dn_2) Tương tự ta có: D - Ỉ D ^ = 2(D„_1-3£)„_2) = 22(£>„_2-3£>„_3) = = 2”- 2(ử 2- £»,) = 2" Vậy ta có: Dn - 3Dn_i = 2n Khử -Dn_i từ (1) (2) ta có: Dn — 3n+1 43 2n + (2) Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.4.4 Đ ặt nhân tử chung Nếu phần tử ma trận vuông A cấp n đa thức bậc biến đó, ta tìm n đa thức bậc X /i, / , • • ■, ỉn có nghiệm khác cho fi ước \A\ ta kết luận tích / / fn sai khác nhân tử số V í dụ 3.4.4 Tính định thức sau: X y z X z y X y z y X Giải Cộng tất cột sau vào cột đầu tiên, ta thấy định thức chia hết cho X + y+ z vì: y z X X z y x+ y+ z X + y+ z — y X x+ y+ z z y X X + y+ z X z y y y z = {x + y + z) X y z z y X 2: X X y X Nếu nhân cột thứ cột thứ với (—1) cộng ba cột lại 44 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học vào cột 1, ta thấy định thức chia hết cho X y Z X Z y + Z —X Thật vậy: X —y —Z X y Z -1 X y Z X —y —Z Z y -1 Z y Z X Z X X+ Z y X y X II — N + y y z X y + Z- X z y X y - Nếu nhân cột thứ cột thứ với (—1) cộng ba cột lại vào cột 1, ta thấy định thức chia hết cho X y Z X —X — z X y Z X - y+ z Z y y Z y X y —X — z Z X Z y X z —X — y y X + z Thật vậy: —1 X y Z = y Z X — y {x - y + z) Z y —1 Z X y X Nếu nhân cột thứ cột thứ với (—1) cộng ba cột lại vào cột 1, ta thấy định thức chia hết cho X + y —z vì: X y Z X Z y y X+ Z X y Z X + y —Z Z y - — X X+ y - Z Z y X Z —X —y y X y Z -1 X y Z Z y X Z X -1 = {x + y - z) y X Vậy định thức chia hết cho (x + y + z) ( —x + y + z)(x — y + z)(x + y — z) Chú ý tích chứa z với hệ số (—1) Trong định thức lại chứa 45 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học Z4 với hệ Số (+1) Cho nên D = —{x + y + z)(—x + y + z)(x - y + z)(x + y - z) 3.4.5 Sử dụng tín h chất đa tu yến tín h Nhiều định thức cấp n tính cách tách định thức theo dòng (hoặc cột) thành tổng định thức cấp Các định thức thường tính dễ dàng V í dụ 3.4.5 Tính định thức sau: 1+ a 1 1 1+ 1 1 1+ c 1 1 1+ d Giải Ta có: 0 D = 0 a 0 + 0 a + a 0 + a 0 + 0 c 0 c 0 0 c 0 c 0 d d 0 d 0 0 d Khai triển định thức thứ theo dòng 1, định thức lại theo cột ta được: D = bcd + acd + abd + abc + abcd 46 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.5 3.5.1 ứ n g dụng định thức G iải hệ phương trình tu yến tín h Cho hệ phương trình: ũ\lx l + ữ\2x + • • + ữ\nx n = b\ a 21x l + ữ22x + ■ • ■ + ữ2nx n = &2 < 0“m l x l ”1“ 0“m x ~I- • • “I- 0‘m n x n bm Hệ phương trình gọi hệ Cramer ma trận hệ số A ma trận vuông khả nghịch tức m — n định thức: detA 7^ Hệ phương trình Cramer: có nghiệm (xi, x2, ■■., x n) xác định sau: Xj = J —r~ D Dj định thức ma trận hệ số cách thay đổi cột thứ j ma trận D cột hệ số tự (&1 , &2j • • ■ bn) J V í dụ 3.5.1 Giải hệ phương trình sau: X + Oy + 2z = < —3x + 4y + Qz = 30 —X —2y + 3z = K Giải 47 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học Ta có: A = f l 2^ -3 f6N ; 6= 2N 30 3J 00 to l - - 3J (1 ; A2 — 30 w (1 2N -3 30 l- 3J ; 71 = -3 6N 30 l - -2 8) Ta tính được: detA = 44 Ỷ 0; detAi = —40; detA2 = 72; detAs = 152 Ta có nghiêm hệ cho là: -4 -1 72 18 Xl “ "4 " - "TT; X2 ~ 44 “ ĩ ĩ ; 3.5.2 152 38 _ 44" “ ĩ ĩ ' Tìm hạng m a trận Từ định nghĩa hạng ma trận ta suy thuật toán tính hạng ma trận A cấp m X n ( Ẩ / 0) V í dụ 3.5.2 Tìm hạng ma trận sau: ^13 l \ A = 1 v2 48 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học Giải Ta có định thức cấp hai: Aọ — - + Xét hai định thức cấp ba bao quanh A2 1 A, = = 0; Ai = = 1 Suy rankA = 3.5.3 ứ n g dụng tìm m a trận nghịch đảo Đ ịnh lý 3.5.3 Cho ma trận A = ữjj G Mat(n x n, K) Nếu detA Ỷ A khả nghịch và: A -1= \ Au A 21 Ani Ai2 A22 An2 Aịn A2n AnnỊ detA Aịj phần bù đại số aịj, = (detA)~1 G K N hận x ét 3.5.1 Nếu detA = ma trận không khả nghịch, tức A ma trận nghịch đảo V í dụ 3.5.4 49 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: ( \ 2^ A= v0 5y Giải Ta tính định thức ma trận A detA = = ^ nên A khả nghịch Ta có: Au = —7; A \ = —10; Ai3 = 6; A = ; A 2 = 5; A 23 = —3; A31 = —2; A32 = ( — { aD 2\ — A -10 0; A33 = ( ~7 — 2\ -2 V -3 Vậy ta có: -3 50 J \) Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.5.4 X ét tín h độc lập, phụ thu ộc m ột hệ vectơ Cho hệ n vectơ {õi, a2, ■■■, an} thuộc không gian vectơ Kn Xét định thức D(ã[, a2, ■■■, ã*n) với cột dòng tạo thành tọa độ vectơ {ã[,a2, , ã*n} Khi đó: • Hệ vectơ {õi, «2, , an} phụ thuộc tuyến tính nếu: D(a , a2, , an) = • Hệ vectơ { a i,a 2, ,ã*n} độc lập tuyến tính nếu: D(a1:a2, , a n) Ỷ V í dụ 3.5.5 Trong không gian vectơ R3 xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ sau: a) ã[ = (4,1,3); a2 = (1,0,1); cf3 = (2,5,0) b) õi = (2,5,10); a2 = (1,3,6); «3 = (4,6, 0) Giải a) Xét định thức: D = = ( - ) 1+2 + (-l) Suy {ãl,õ^,õ^} độc lập tuyến tính 51 = - Ỷ Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học b) Xét định thức: D = 4 = 10 12 Suy { 01 , 02, 03} phụ thuộc tuyến tính B ài tập vận dụng 3.1 Sử dụng định lý Laplace tính định thức: a 0 b D = b d a 0 b a d b c a 3.2 Định thức thay đổi ta đưa cột thứ cuối thứ tự cột khác giữ nguyên? Tương tự hàng 3.3 Tính định thức sau phương pháp khai triển theo dòng (cột) D = 52 Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.4 Tính định thức sau phương pháp đặt nhân tử chung D = X + n n X + n n x + 3.5 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau: 3x + 5y + 2z —2t = < X —3y + z + At = 9x + 2y + 7z —2t = 3.6 Tính a ¡3 ¡3 a a ¡3 a, ¡3,7 nghiệm phương trình: 53 X3 + px + q = Hoàng T hị T hắm Khóa luận tốt nghiệp Dại học KẾT LUẬN Trong trình làm khóa luận tốt nghiệp hoàn thành đề tài “Hạng định thức ma trận” Kết đạt trình làm khóa luận tốt nghiệp là: - Nêu tính chất hạng định thức - Nêu ứng dụng hạng định thức Trong trình chuẩn bị không thiếu khỏi sai sót kính mong thầy cô bạn đọc góp ý Qua xin gửi lời cảm ơn đến thầy Phạm Thanh Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình thầy hoàn thành đề tài 54 ... tìm hiểu rõ hạng định thức ma trận Nghiên cứu hạng định thức ma trận đồng thời đưa ví dụ minh họa cho phương pháp tính hạng định thức Xây dựng phương pháp tính hạng định thức ma trận Phương pháp... Coi hạng ma trận không - Ma trận đơn vị En có hạng n N hận x ét 2.1.2 - Dựa vào hạng ma trận ta tính hạng hệ vectơ, tìm sở, số chiều hệ vectơ tìm hạng ma trận - Một ma trận có nhiều định thức. .. chúng hạng ma trận M ệnh đề 2.1.1 - Hạng ma trận A cấp cao định thức khác ma trận - Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị - Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận 12