Giải pháp và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC PHÚ THỌ - 2014 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Ma trận khái niệm đại số tuyến tính, ứng dụng nhiều tốn học nhiều mơn khoa học khác Ma trận công cụ để nghiên cứu lí thuyết hệ phương trình tuyến tính Nhờ có ma trận mà ánh xạ tuyến tính nghiên cứu sâu sắc Ngồi ra, ma trận cịn giúp cho việc xác định giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ tuyến tính, xác định dạng ánh xạ tuyến tính đặc biệt Ma trận dùng để giải tốn hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính hệ số số Định thức có vai trị to lớn, phương tiện để nghiên cứu khơng gian vectơ Đặc biệt, định thức có ứng dụng quan trọng việc giải biện luận hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng ma trận Định thức cịn ứng dụng nhiều mơn khoa học khác: Hình học, Giải tích, Vật lý Các dạng tập ma trận định thức đề cập tất giáo trình Đại số tuyến tính [1], [2], [5], [6] nội dung quan trọng bậc Đại học Nhưng tài liệu đa số dừng lại việc giải toán mà hạn chế việc khai thác lời giải toán Việc khai thác toán thể sáng tạo hiểu sâu lời giải toán Hiện nay, số tài liệu viết giải khai thác khơng nhiều thường tập trung tốn sơ cấp chẳng hạn tài liệu [4] đề cập đến việc giải khai thác toán sơ cấp dành cho bồi dưỡng giáo viên trung học sở Nhằm mục đích hiểu sâu sắc ma trận định thức chọn vấn đề “Giải khai thác số dạng toán ma trận định thức” làm nội dung nghiên cứu khóa luận Mục tiêu khóa luận Phân loại, trình bày hệ thống lời giải đưa hướng khai thác số dạng tập ma trận, định thức Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu kiến thức ma trận định thức phép tốn, hạng, cách tính định thức  Phân loại dạng tập ma trận định thức trình bày lời giải cho dạng tập  Đưa hướng khai thác, đề xuất toán từ toán cho trước dạng Phương pháp nghiên cứu Dựa vào khái niệm, kiến thức không gian vectơ, hệ sinh, sở, đồng cấu khóa luận nêu phương pháp để giải toán ma trận định thức:  Dựa vào phép biến đổi sơ cấp  Tìm ma trận nghịch đảo định thức  Tìm ma trận nghịch đảo dựa vào tính chất nghiệm hệ phương trình tuyến tính  Khai triển định thức theo định lý Laplace  Đưa định thức dạng tam giác, phương pháp quy nạp  Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng tích định thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu: ma trận định thức  Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng khai thác lời giải toán ma trận, định thức mà phần tử thuộc trường số , Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận hệ thống lại cách kiến thức ma trận định thức đồng thời phân dạng tập liên quan đến ma trận, định thức giải tập Thơng qua đó, khai thác lời giải từ tốn cụ thể Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên có hứng thú nghiên cứu dạng tập ma trận định thức Bố cục khóa luận Ngồi phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận chia thành chương Chương 1: Lý thuyết ma trận Chương 2: Lý thuyết định thức Chương 3: Giải khai thác số dạng toán ma trận định thức CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN Trong chương trình bày số kiến thức sở ma trận mối liên hệ ma trận với không gian vectơ, mối liên hệ ma trận ánh xạ tuyến tính, tính chất, dạng ma trận 1.1 Phép tính ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận Cho n, p * , K trường Định nghĩa 1.1 [9] Ánh xạ A : 1,, n  1,, p  K  i, j   aij (hoặc aij ) gọi ma trận n dòng p cột với phần tử (hạng tử) thuộc K Ký hiệu: A   a ij 1 i  n   a ij  1 j  p  i  n ,1  j  p  a11      a     a1 p     a n p  Ở đây, số dấu ngoặc theo thứ tự dòng cột Cặp  n, p  gọi cấp ma trận A , n số dòng, p số cột A Với  i, j    1, ,n   1, ,p , số hạng aij nằm dòng thứ i cột thứ j gọi hạng tử (hoặc hệ số) vị trí  i, j  A Ta nói rằng:  A ma trận vuông n  p , ta nói A ma trận vuông cấp n  A ma trận cột (hay ma trận cột) p   A ma trận dòng (hay ma trận dòng) n  Nếu A   aij  ma trận vuông cấp n , cấp aii 1  i  n  gọi 1i , j n phần tử chéo A  a11, , ann  gọi đường chéo A M n , p  K  tập ma trận n dòng, p cột với phần tử thuộc K M n  K   M n ,n  K  tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc K Giả sử A   aij   M n , p  K  Khi đó: 1i  n ;1 j  p     ai1 , , aip  thuộc M 1, p  K     a1 j        thuộc M n ,1  K   a nj     Với i  1,, n , ma trận dòng aij 1 j  p gọi dòng thứ i A  Với j {1,, p} , ma trận cột aij 1 i  n gọi cột thứ j A 1.1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.2 [9] Giả sử E K - không gian vectơ n  dim  E  ,    e1 , , en  sở E , x E ,  x1 , , xn  thành phần x  : x  n xe i 1 i i  x1    Ma trận cột    gọi ma trận cột thành phần x  x   n ký hiệu Mat  x  Như vậy: Mat  x   M n ,1  K  Rõ ràng ánh xạ Mat : E  M n ,1  K  song ánh x  Mat  x  Khi X  Mat  x  , ta nói x biểu diễn X sở  , X biểu diễn x  Định nghĩa 1.3 [9] Giả sử E K - không gian vectơ n  dim  E  ,    e1 , , en  sở E , p  * , V  V1 , ,Vn  họ hữu hạn gồm p phần tử E , với j  1, , p ,  a1 j , , anj  thành phần V j  : n j  1, , p , V j   aij ei i 1 Ma trận  aij  1i  n ,1 j  p  a11  a1 p           M n , p  K  gọi ma trận họ a  a  np   n1 V sở  ký hiệu Mat V  Định nghĩa 1.4 [9] 1) Giả sử E , F hai K - không gian vectơ, p  dim  E  , n  dim  F  ,    e1 , , en  sở E ,    f , f n  sở F , f  L  E, F  Với j  1, , p , ta ký hiệu  a1 j , , anj  thành phần f  e j   : f  e j    aij f i n i 1 Ma trận thuộc M n , p  K  xác định bởi: M  ,  f    aij  1i  n ,1 j  p gọi ma trận f sở   ký hiệu Mat ,  f  2) Giả sử E K - không gian vectơ n  dim  E  ,    e1 , , en  sở E , f  L  E  Ma trận M n  K  xác định bởi: Mat   f   Mat ,  f  gọi ma trận f sở  ký hiệu : Mat   f  Rõ ràng : Mat , : L  E , F   M n , p  K  song ánh f  Mat ,  f  Khi A  Mat ,  f  ta nói f biểu diễn A sở   A biểu diễn f sở   1.1.3 Không gian vectơ M n , p  K  Chúng ta chuyển cấu trúc vectơ L  E , F  lên M n , p  K  song ánh  Mat ,    e1 , e2 , , en  ,   f , f n  sở cố định tương ứng E , F Giả thiết :   K , f , g  L  E , F  , A   aij ij  Mat  ,  f  , B   bij ij  Mat  ,  g  n   f  ei    aij f i  i 1 Như ta có: j  1, , p ,  n g e   b f  i ij i  i 1 Do j  1, , p ,   f  g   ei      aij  bij  f i Điều dẫn đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.5 [9] 1) Luật hợp thành M n , p  K  ký hiệu  xác định bởi:   aij   M n , p  K  ,   bij   M n , p  K  ,  aij    bij    aij  bij  ij ij ij ij ij gọi phép cộng M n , p  K  2) Luật K  M n , p  K   M n , p  K  , thể cách không viết dấu (hoặc điểm), xác định bởi:   K ,   aij   M n , p  K  ,  aij    aij  ij ij ij gọi phép nhân với vô hướng Nhận xét 1.1 [9] Chỉ cộng ma trận cấp Mệnh đề 1.1 [9] 1)  M n p  K  , ,   không gian vectơ 2) Với K - không gian vectơ ( p chiều) E ( n chiều) F với sở  E sở  F , ánh xạ: Mat , : L  E , F   M n , p  K  f  Mat , đẳng cấu K - không gian vectơ Ta ký hiệu: 1) 0n , p đơn giản ma trận thuộc M n , p  K  có tất hạng tử 2) Với  n, p   *  i, j   1, , n  1, , p , ta ký hiệu ma trận thuộc M n , p  K  có phần tử vị trí thứ  i, j  phần tử khác không Eij , ma trận Eij gọi ma trận sơ cấp Mệnh đề 1.2 [9] 1)  Eij   i , j 1, ,n1, , p sở M n , p  K  gọi sở tắc M n , p  K  2) dim  M n , p  K    np 1.1.4 Phép nhân ma trận Định nghĩa 1.6 [9] Giả sử A   aij   M n , p  K  , B   b jk   M p ,q  K  ma trận thuộc M n ,q  K  ij jk xác định bởi: AB   cik ik p   i, k   1, , n  1, , q , cik   aij b jk gọi tích A với B j 1 ký hiệu AB Ánh xạ M n , p  K   M p ,q  K   M n ,q  K  gọi phép nhân ma trận  A, B   AB Nhận xét 1.2 [9] Tích AB tồn số cột A số dòng B Mệnh đề 1.3 [9] Giả sử E , F , G ba K - không gian vectơ  ,  ,  sở E , F , G Với f  L  E , F  , g  L  F , G  ta có: Mat ,  g  f    Mat ,  g    Mat ,  f   Mệnh đề 1.4 [9] Giả sử E , F hai K - không gian vectơ  ,  tương ứng sở E , F , f  L  E , F  , x  E ta có: Mat  f  x     Mat  ,  f    Mat   x   Xuất phát từ tính chất quen thuộc phép toán đại số với ánh xạ tuyến tính ta suy tính chất phép toán đại số ma trận Mệnh đề 1.5 [9] 1) Giả phân phối trái: A  M n , p  K  , B, C  M p ,q  K  , A  B  C   AB  AC 2) Giả phân phối phải: A, B  M n , p  K  , C  M p ,q  K  ,  A  B  C  AC  BC 3)   K , A  M n , p  K  , B  M p ,q  K  :   A  B    AB   A   B  4) Giả kết hợp: A  M n , p  K  , B  M p ,q  K  , C  M q ,r  K  ,  AB  C  A  BC  Mệnh đề 1.6 [9] 1)  M n  K  , , ,   K - đại số kết hợp có đơn vị 10 a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   an1 x1  an x2   ann xn  bn (I) Trong xi ẩn, aij , bi thuộc trường K, aij gọi hệ số ẩn x, bi hạng tử tự Bài toán Giải hệ phương trình Cramer  x1  x2   xn  a x  a x   a x  b n n  1 2  2 n a1 x1  a2 x2   an xn  b   a1n1 x1  a2n1 x2   ann1 xn  b n1 a) Phân tích Đây hệ phương trình Cramer phương trình có nghiệm xj  Dj D , D định thức hệ số phương trình, D j định thức D thay cột j cột hạng tử tự b) Bài giải Ta có định thức hệ số : 1 a1 a2 D1  a1 a22   a1n1 a2n1  1  an1 an  an21 an2     ann11 ann1 Nhận thấy D định thức Vandermonde cấp n : D j     b  i j Ta tính định thức D j cách thay cột thứ j cột hạng tử tự 89 1  b1 a2  an1 D1  b  2 n 1 1  a   a  an an2 Ta thấy D1 định thức Vandermonde  b1n1 a2n1  ann11 ann1 với cột thứ thay hạng tử tự Do : D1     b  i 1 Tương tự ta : D j     b  i j Vậy nghiệm hệ phương trình tuyến tính : x j a  b  , a  b i j i j i j  1, , n i * Thuật toán cho trường hợp tổng quát Cho hệ phương trình Cramer a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   an1 x1  an x2   ann xn  bn Lập định thức ma trận hệ số: a11  a1n D    an1  ann Tính định thức D j cách thay cột thứ j định thức D cột hệ số tự Nghiệm phương trình: x j  Dj D Bài tốn Giải hệ phương trình tuyến tính Trước hết ta nhắc lại điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng (A) = hạng (B), B ma trận bổ sung ma trận A 90 * Ta có thuật tốn sau: Giả sử hạng (A) = hạng (B) = r, không tính tổng quát ta giả sử định thức cấp cao A : a11  a1r D     ar1  arn Nếu r  n hệ phương trình cho hệ Cramer, có nghiệm Nếu r  n ta xét hệ phương trình gồm r phương trình đầu a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1   a x  a x   a x  b rn n r  r1 r 2 Khi hệ (I) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n  r tham số Bài toán Giải hệ phương trình 3 x1  x2  x3   x  x  x  12  2 x1  x2  6 2 x  x  3x  3  5 x1  x3  Hướng dẫn Tìm hạng ma trận :  1  1  A  2  2 5  1  1    1 12  1    , B   6     3 3   5     Ta có hạng (A) = hạng (B) = Vậy hệ có nghiệm Giải hệ phương trình (tương ứng dịng định thức làm cho ma trận có hạng 3) 91 3 x1  x2  x3    x1  x2  x3  12 Đây hệ Cramer, có nghiệm 1, 2,1  x  x  6  Khai thác tốn Nhờ cách tính định thức tính chất hệ phương trình tuyến tính ta giải số tốn hình học quy cách tính định thức Bài tốn 2.1 Với điều kiện đường thẳng phân biệt đồng quy a1 x  b1 y  c1 z  0, a2 x  b2 y  c2 z  0, a3 x  b3 y  c3 z  Tổng quát toán 2.1 ta tốn 2.2 Bài tốn 2.2 Tìm điều kiện cần đủ để n đường thẳng mặt phẳng qua điểm a1 x  b1 y  c1 z  0, a2 x  b2 y  c2 z  0, , an x  bn y  cn z  Bài toán 2.3 Tìm điều kiện cần đủ để bốn điểm mặt phẳng không thẳng hàng nằm đường trịn Ngồi ra, hệ phương trình hệ phương trình tuyến tính cách giải tương tự hệ phương trình (I) Bài tốn Giải hệ phương trình tuyến tính 2 x1  x2  x3  x4   4 x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x   Hướng dẫn Ma trận hệ số có định thức cấp : 1  5 2 Hệ phương trình cho tương đương hệ  x2  x3  2 x1  x4  2 x2  x3  x1  x4 92 Các ẩn tự x1 , x4 Giải hệ ta : x2  x1  x4 , x3  3 x4 Vậy hệ phương trình có nghiệm tổng qt :  x1 ,2 x1  x4 , 3 x4 , x4  Nghiệm : 1,2,0,0   0, 8, 3,0  Khai thác toán Tương tự ta sử dụng định thức để giải số tốn hình học phẳng Bài tốn 3.1 Tìm điều kiện cần đủ để điểm nằm mặt phẳng Bài tốn 3.2 Tìm điều kiện cần đủ để mặt phẳng sau qua điểm a1 x  b1 y  c1 z  d1  a x  b y  c z  d   2 2  a x  b y  c z  d  3 3  a4 x  b4 y  c4 z  d  3.2.4 Các toán tổng hợp định thức x  x x y x  x Bài tốn Tính định thức Dn       y y   y y y x a) Phân tích Với tốn để tính định thức ta tách phần tử cột thứ dạng x  x , định thức cho có dạng Dn  Bn  xDn1 Ta có lời giải sau b) Bài giải x x  x xx x x  x y x  x y x  x Dn         y y  x y y y  y y      Bn  xDn1 y  x y  93 y Định thức Bn tính cách lấy cột thứ trừ cột thứ 1, cột thứ trừ cột thứ 2,…, cột thứ n trừ cột thứ n  x x  x x x  y x  x y y x  Bn            y y   y y Khi Dn   1 Dn   1 n 1 Dn   1 n 1 x n 1 y n 1 n 1 y y xy  n 1   x  1 y n1  y  y y xy n1  xDn1 Tương tự ta có: y  yDn1  Dn1 xy n1   Dn   1 x 0  x  1 n 1  1  x n1 y  Dn n 1 x n1 y  Dn y  y x n1  y n1 x y c) Khai thác toán Từ toán ta khái quát thành toán sau với cách giải tương tự Bài tốn 1.1 Tính định thức a x x  x y a x  x xa  y  y a  x Dn       Ta được: Dn  x y y y  a x y y  y a n n a1 x x  x y a2 x  x Bài tốn 1.2 Tính định thức Dn       Ta được: y y  an1 x y y  y an 94 Dn  x  a1  y   an  y   y  a1  x   an  x  xf  y   f  x   x y x y Trong f  t    a1  t   an  t  Bài tốn Tìm tổng phần phụ đại số định thức  a2  a1 0 0 a)      0  an1 0  an a) Phân tích Ta dựa vào định nghĩa để tìm phần phụ đại số ma trận b) Bài giải Trong định thức có phần tử đường chéo khác cịn lại - Phần phụ đại số a1 a2 a3 an - Phần phụ đại số a2 a1.a3 an - Tương tự ta có phần phụ đại số an a1.a3 an1 1 1 Do tổng phần phụ đại số là: a1.a3 an      an   a1 a2 c) Khai thác toán Cùng với phương pháp giải ta đưa số tốn tương tự Bài tốn 2.1 Tìm tổng phần phụ đại số định thức 0 0   a2 a1      Ta được: an1  0 an  0  1 n n 1 95 1 1 a1.a3 an      an   a1 a2 Bài toán 2.2 Chứng minh tổng phần phụ đại số ma trận A   aij  1 a21  a11 a22  a12   định thức: a n11  a11 a n22  a12 a23  a13  a n33  a13 an1  a11 an  a13 an  a12   a2 n  a1n    a n1n  a1n  ann  a1n Bài toán 2.3 Chứng minh tổng phần phụ đại số phần tử định thức không đổi, ta thêm vào tất phần tử số Bài toán Tìm tất ma trận vng A cấp n  n   cho ma trận vng B cấp n ta có det  A  B   det A  det B Bài giải Chọn ma trận B  A Ta có : 2n det A  det  A   2det A   2n   det A   det A   n   Giả sử A   aij  B   bij  nn nn ta chọn ma trận tam giác b11   bij  0,  i  j   bij   aij ,  i  j  b   a ,  i  1 ii  ii Khi ta thu a11  Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử aij a vị trí góc trái lặp lại phép chứng minh ta aij  Vậy ma trận cần tìm ma trận Bài toán Với  p, x    đặt : 96 1  p  x   1       C pp 1 x x2  x p 1 C1p 1 C1p 1  C pp11 x p 1  C1p a) Với  p, x    0  C p2  p 1 , tính  p  x  1   p  x  b) Chứng minh : n  n * , p  n  1   p  1! k p p 1 Bài giải Ta có:  p  x  1   p  x   0         C1p C p2  C pp 1 C1p 1 C p21  C pp11 1  x   x 1  x   x 1  x   x3  1  x   x p p 1 1  x   x p1 p Áp dụng khai triển nhị thức Niu- Tơn ta có :   1  x   x         1      x            1  x   x   1       1  3x  3x   3        xp 3   x x      1  x   x                            p k k        p        1  x  p 1  x p 1    C p 1 x     C p 1   C p 1   C p 1     k 1  Do tính chất tuyến tính thay phiên nên ta có: 97  p  x  1   p  x   b) Với n    1 0 0   C 1p  C p2 C 1p 1 C p21  C pp11 C pp1 x p     C pp 1 0    p  1! x p n * , p  n  1   p  1! k p Thật vậy, ta có: p 1 n  p  n  1   p  n    p  1! n p p 1 n  p  n    p  n  1   p  1!  n  1 p p 1 n  p  3   p     p  1! p p 1 n  p     p 1   p  1!1p p 1 Cộng vế ta được:  p  n  1   p  1!1  p  p   n p   Vì  p1  nên ta :  p  n  1   p  1!1  p  p   n p    p  1! k p n p 1 98 KẾT LUẬN Trong khóa luận “Giải khai thác số dạng toán ma trận định thức” nghiên cứu, tổng hợp, trình bày cách hệ thống đồng thời đưa hướng khai thác dạng toán ma trận, định thức sau:  Tìm ma trận thỏa mãn hệ thức cho trước  Tính lũy thừa ma trận vng  Tìm ma trận nghịch đảo  Dạng toán hạng ma trận  Dạng toán ma trận đa thức  Dạng toán chéo hóa ma trận  Ứng dụng ma trận tìm số hạng tổng quát dãy số  Một số dạng toán ma trận khác  Dạng toán tính định thức  Dạng tốn số tính chất định thức  Ứng dụng định thức giải hệ phương trình tuyến tính  Các tốn tổng hợp định thức Đại số tuyến tính chuyên ngành lớn, nghiên cứu lớp toán ma trận định thức Qua lời giải hướng khai thác thấy rõ chất đối tượng nghiên cứu mối quan hệ mật thiết số toán với 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh – Nguyễn Anh Kiệt (2001), Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Trọng Huệ (2007), Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất Giáo Dục [4] Hoàng Kỳ (chủ biên), Hoàng Thanh Hà (2005), Đại số sơ cấp thực hàng giải toán, Nhà xuất Đại học Sư phạm [5] Hồng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh (1997), Đại số tuyến tính (phần tập), Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [6] Đoàn Quỳnh (1997), Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [7] Nguyễn Duy Thuận (chủ biên) (2004), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm [8] Ngô Việt Trung (2002), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Jean – Maire Monier (2006),Giáo trình tốn – tập : Đại số 1: Giáo trình 600 tập có lời giải, Nhà xuất Giáo Dục [10] Jean – Maire Monier (2006), Giáo trình tốn - tập 6: Đại số 2: Giáo trình 500 tập có lời giải, Nhà xuất Giáo Dục 100 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài khóa luận 2 Mục tiêu khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục khóa luận CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN 1.1 Phép tính ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận 1.1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.1.3 Không gian vectơ M n , p  K  1.1.4 Phép nhân ma trận 1.1.5 Nhóm GLn  K  11 1.1.6 Hạng ma trận 12 1.1.7 Các phép biến đổi sơ cấp 13 1.1.8 Chuyển vị 13 1.1.9 Vết ma trận vuông 14 1.2 Đổi sở 14 1.2.1 Ma trận chuyển sở 14 1.2.2 Đổi sở vectơ 15 1.2.3 Đổi sở ánh xạ tuyến tính 15 1.2.4 Đổi sở tự đồng cấu 16 1.3 Vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận 17 1.4 Các ma trận đặc biệt 18 101 1.4.1 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng 18 1.4.2 Ma trận tam giác 19 1.4.3 Ma trận đường chéo 20 1.4.4 Ma trận đa thức 21 1.4.5 Dạng chuẩn tắc ma trận lũy linh 21 1.4.6 Dạng chuẩn tắc Jordan ma trận vuông 22 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ ĐỊNH THỨC 23 2.1 Định thức họ n vectơ sở không gian vectơ n chiều 23 2.1.1 Không gian  n  E  23 2.1.2 Tính chất 23 2.2 Định thức tự đồng cấu 24 2.3 Định thức ma trận vuông 24 2.4 Khai triển định thức theo dòng 26 2.4.1 Phần phụ đại số định thức 26 2.4.2 Ma trận phụ hợp 27 2.5 Tính định thức 27 2.5.1 Định thức ma trận tam giác 27 2.5.2 Thao tác dòng cột 27 2.5.3 Định thức Vandermonde 29 CHƯƠNG 3: GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 30 3.1 Một số dạng toán ma trận 30 3.1.1 Dạng tốn tìm ma trận thỏa mãn hệ thức cho trước 30 3.1.2 Tính lũy thừa ma trận vuông 34 3.1.3 Dạng toán ma trận nghịch đảo 41 3.1.4 Dạng toán hạng ma trận 49 102 3.1.5 Dạng toán ma trận đa thức 54 3.1.6 Dạng tốn ma trận chéo hóa 57 3.1.7 Ứng dụng ma trận tìm số hạng tổng quát dãy số 61 3.1.8 Một số dạng toán ma trận khác 66 3.2 Một số dạng toán định thức 70 3.2.1 Dạng tốn tính định thức 70 3.2.2 Dạng tốn số tính chất định thức 83 3.2.3 Ứng dụng định thức giải phương trình tuyến tính 88 3.2.4 Các toán tổng hợp định thức 93 KẾT LUẬN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 103