Định thức của ma trận

10/13/2010 Định thức ma trận I Định nghĩa định thức - ( ) Cho A = aij n×n ma trận vuông cấp n Định thức A số ký hiệu det(A) = aij n ×n =A Ký hiệu M ij định thức thu từ A cách bỏ hàng thứ i cột thứ j ma trận A; Định nghĩa bù đại số phần tử aij Bù đại số phần tử aij đại lượng Aij = (−1)i + j M ij 10/13/2010 Định nghĩa định thức qui nạp - A = [a11 ] → A = a11 a) k =1: a  a A =  11 12  → A = a11a22 − a12 a21 = a11 A11 + a12 A12  a21 a22  b) k =2:  a11 a12 c) k =3: A =  a21 a22   a31 a32 a13  a23  → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13  a33  d) k =n: a ⋯ a1n  a A =  11 12  → A = a11 A11 + a12 A12 + ⋯ + a1n A1n *   Ví dụ - 1 − 3  A=      Tính det (A), với Giải A = ⋅ A11 + ⋅ A12 + (−3) ⋅ A13 1+1 A11 = (−1) A = ⋅ (−1)1+1 −3 3 = (−1)1+1 = 12 4 + ⋅ (−1)1+ A = 12 − 16 + 15 = 11 + (−3) ⋅ (−1)1+3 3 10/13/2010 II Tính chất định thức Có thể tính định thức cách khai triển theo hàng cột tùy ý a1 j A= * a2 j * = a1 j A1 j + a2 j A2 j +⋯+ anj Anj ⋯ anj Ví dụ - 3  A=   Tính định thức det (A), với − 3 2  0  Giải Khai triển theo hàng thứ 3 −1 A=5 2 = ⋅ ( −1) −1 3+1 −1 = ⋅ (−1)3+1 = −32 2 10/13/2010 Ví dụ - Tính định thức det (A), với  −3  A=  −2  −1  2 4  2  Ví dụ - Giải Khai triển theo cột thứ hai A= −3 3 −2 −1 = (−3) ⋅ A12 + ⋅ A22 + ⋅ A32 + ⋅ A42 = −3 A12 A = −2 = ⋯ = 171 −1 10/13/2010 Định thức ma trận tam giaùc - Định thức ma trận tam giác tích phần tử nằm đường chéo Ví dụ −1 −3 A=0 = ⋅ (−3) ⋅ ⋅ ⋅1 = −120 0 0 0 II Tính chất định thức - Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng để tính định thức 1.Nếu h →α h i i A  →B hi →hi + β h j 2.Nếu A  → B Nếu h ↔h i j A → B | B |= α | A | | B |=| A | | B |= − | A | 10 10/13/2010 Ví dụ - Sử dụng phép biến đổi sơ cấp, tính định thức   A =   − −1   − 2   11 Ví dụ Giải - − h2 → h2 − 2h1 h3 → h3 − 3h1 | A |= −2 h4 → h4 + 2h1 −2 1 1 −1 1 −1 −1 Khai triển theo cột | A| 1 2 1+1 ⋅ (−1) −1 −1 −1 = −19 | A |= − 1 = ⋅ (−1)1+ − − 15 − − 15 12 10/13/2010 II Tính chất định thức - Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước Chọn hàng (hoặc cột) tùy ý; Bước Chọn phần tử khác không tùy ý hàng (hay cột) bước Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất phần tử khác Bước Khai triển theo hàng (hay cột) chọn 13 Ví dụ - Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức   A =  −3   −1   −2  − 2   14 10/13/2010 Ví dụ Giải - | A |= −1 2 −2 −3 1 h → h + h 3 −1 −2 − h4 → h4 − h1 1 −1 4 | A| Khai triển theo cột số ⋅ (−1) −2 | A |= 5 0 1+ = (−2) ⋅ (−1)1+3 0 3 −1 −2 = 30 5 15 II Tính chất định thức - det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có hàng (cột) không, det (A) = Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, det (A) = Chú ý: det(A+B) ≠ det(A) + det(B) 16 10/13/2010 Hạng ma trận 17 IV Hạng ma trận - Định nghĩa hạng ma trận Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E Khi ta gọi hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang r(A) = số hàng khác không ma trận bậc thang E 18 10/13/2010 IV Hạng ma trận - Ví dụ Tìm hạng ma trận sau 1 1 A =  2    4   Giải 1 1 1 1 h2 →h2 − h1    → 0 0 A = 2    h3 →h3 −3h1    4 0 0 1     1 1 h2 ↔ h3 0 0 1 →   ⇒ r (A ) = 0 0 0   19 IV Hạng ma trận - Tính chất hạng ma trận r (A) = A=0 A = (aij)m n r(A) x Nếu A 2 2 A = 2 2   2 2   BĐSC ≤ min{m, n} B, r (B) = r (A) 2 2 →  0 0    0 0   → r (A ) = 20 10 10/13/2010 IV Hạng ma trận - Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận sau  3 A = 2 9    6   Ví dụ Tìm hạng ma trận sau  4 A=     − −1 −3    21 IV Hạng ma trận - Ví dụ Tìm tất giá trị thực m cho r(A) =3  1 1  A=     m m + 1    1 1  1 1    A= → −3       m m +   −1 m − m −       1  → −3     0 m −1 m −    r(A) = với giá trị m 22 11 10/13/2010 IV Hạng ma trận - Ví dụ Tìm tất giá trị thực m cho r(A) =2  m m A = m m   m m    Ví dụ Tìm tất giá trị thực m r(A) =  1 1  A=     3 m m + 1   23 Bài tập 24 12 10/13/2010 Bài tập Tính det(A), 2 3 A= 4   −3 −1 1 3 −2   1  2 25 Bài tập Tính det(A), với   −2 A=  −2   1 0 1  1  3 26 13 10/13/2010 Bài tập f ( x) = x 3 −2 x2 + 3 x3 + x 2x + Khẳng định sau đúng? a) Bậc f(x) b) Bậc f(x) c) Bậc f(x) d) Các câu khác sai 27 Bài tập Tính định thức ma trận sau 1+ i   1 A= i     − i −i    28 14 10/13/2010 Bài tập Giải phương trình, với a, b, c số thực x2 x3 a a2 a3 b b2 b3 c2 c3 x c =0 29 Bài tập Giải phương trình R x x −2 0 0 =0 30 15 10/13/2010 Bài tập Đưa ma trận bậc thang, tìm hạng ma trận  1 −1  A=     −2 −1 −3    31 Bài tập Tìm tất giá trị m cho r(A) = m 1  A=1 m 1    1 m   32 16 10/13/2010 Bài tập Biện luận theo m hạng ma trận A  m −1  A =  −1 m     10 −6 m    33 17 ... A 12  a21 a 22  b) k =2:  a11 a 12 c) k =3: A =  a21 a 22   a31 a 32 a13  a23  → A = a11 A11 + a 12 A 12 + a13 A13  a33  d) k =n: a ⋯ a1n  a A =  11 12  → A = a11 A11 + a 12 A 12 + ⋯... m + 1   23 Bài tập 24 12 10/13 /20 10 Bài tập Tính det(A), 2 3 A= 4   −3 −1 1 3 2   1  2 25 Bài tập Tính det(A), với   2 A=  2   1 0 1  1  3 26 13 10/13 /20 10 Bài tập... - − h2 → h2 − 2h1 h3 → h3 − 3h1 | A |= 2 h4 → h4 + 2h1 2 1 1 −1 1 −1 −1 Khai triển theo cột | A| 1 2 1+1 ⋅ (−1) −1 −1 −1 = −19 | A |= − 1 = ⋅ (−1)1+ − − 15 − − 15 12 10/13 /20 10 II Tính