module chia được trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Hồ Xuân Quân MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Hồ Xuân Quân MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CÁM ƠN Trong suốt trình học tập hoàn thành luận văn này, nhận nhiều giúp đỡ, động viên, quý báu Ban giám hiệu, quý Thầy cô bạn học viên khóa 22, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Trước hết, Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy TS Trần Huyên dành thời gian chỉnh sửa có dẫn quý báu giúp em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cám ơn chân thành đến toàn thể quý Thầy tận tình giảng dạy giúp chúng em trang bị kiến thức bổ ích suốt trình học tập Kế đến, xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán Phòng sau đại học, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn thời gian cho phép Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn đến gia đình, người động viên giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, chia sẻ động viên tất bạn “Cao học đại số lý thuyết số, khóa 22” giúp hoàn thành tốt khóa học TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng năm 2013 Hồ Xuân Quân MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ module 1.2 Dãy khớp .5 1.3 Module nội xạ module xạ ảnh 1.4 Nhóm aben Ext ( X , Y ) n 1.5 Hàm tử Ext 1.6 Dãy khớp khiết 11 CHƯƠNG 2: MODULE CHIA ĐƯỢC 15 2.1 Module chia miền nguyên 15 2.1.1 Module chia 15 2.1.2 Module tối giản 22 2.2 Module chia vành giao hoán 24 2.2.1 Module chia 24 2.2.2 Liện hệ với dãy khớp khiết 32 2.2.3 Một số tính chất module module thương 35 2.2.4 Module tối giản 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 LỜI MỞ ĐẦU Module chia miền nguyên đưa dựa sở miền nguyên ước thực Tức là, tích hai phần tử khác khác Tuy nhiên xét vành giao hoán tính chất không Do hướng tiếp cận đơn giản đưa định nghĩa module chia vành giao hoán ta loại bỏ hết phần từ ước vành hệ tử R Cụ thể sau: “Cho R vành giao hoán có đơn vị khác không Khi đó, M module chia với λ ∈ R , λ không ước M = λ M ” Hướng tiếp cận có hạn chế định Do ta đưa định nghĩa tốt cho “module chia vành giao hoán” Đồng thời kết hợp với số khái niệm như: Dãy khớp khiết, vành PP , vành quy,… để đưa số kết liên quan tới module chia vành giao hoán Toàn luận văn chia làm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức biết đến đại số đại cương, đại số đồng điều để thuận tiện cho việc triển khai Chương Chương 2: Nội dung chương chia làm phần 2.1 Trình bày số kết module chia miền nguyên 2.2 Đưa hai định nghĩa kết module chia vành giao hoán CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần kiến thức chuẩn bị này, nhắc lại số kiến thức cần thiết lý thuyết module cần dùng cho việc triển khai nội dung chương 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ module 1.1.1 Định nghĩa: Cho A, B R − module trái Khi tập tích Descartes A × B với hai phép toán cộng nhân định bởi, ( a1, b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) , r ( a, b ) = ( ra, rb ) , ( )( ) Với a1, b1 , a2 , b2 , ( a, b ) ∈ A × B với r ∈ R module, gọi module tổng trực tiếp hai module A B , kí hiệu là: A⊕ B 1.1.2 Định nghĩa: Cho họ R − module trái {M i }i∈I Khi tích Descartes= ∏ M i {( xi )i∈I | xi ∈ M i} với hai phép toán sau: i∈I ( xi ) i∈I + ( x 'i )i∈I =+ ( xi x 'i )i∈I , r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I , Với ( xi )i∈I , ( x 'i ) ∈ ∏ M i với r ∈ R i∈I i∈I R − module trái gọi module tích trực tiếp họ { X i }i∈I 1.1.3 Định lý: ( tính phổ dụng tích trực tiếp )([1], Định lý 5, trang 28) Cho họ khác rỗng R − module {M i }i∈I Khi với R − module M , họ đồng cấu { f i : M → M i } phân tích cách qua họ phép chiếu { pi : ∏ M t → M i } Nói cách khác, tồn đồng cấu t∈I f : M → ∏ M i cho f i = pi f với i ∈ I i∈I 1.1.4 Định nghĩa: Cho họ khác rỗng R − module {M i }i∈I Module Mi ∏ i∈I gồm số x = ( xi ) mà hầu hết thành phần xi = trừ số hữu hạn gọi module tổng trực tiếp họ {Mi }i∈I kí hiệu M i hay ⊕M i ⊕ i∈I 1.1.5 Định lý: ( tính phổ dụng tổng trực tiếp )([1], Định lý 6, trang 32) Cho họ khác rỗng R − module {M i }i∈I Khi với R − module M , họ đồng cấu { f t : M t → M } phân tích cách qua họ phép nhúng { jt : M t → ⊕M i } Nói cách khác, tồn đồng cấu f : ⊕M i → M cho f t = fjt với t ∈ I 1.2 Dãy khớp 1.2.1 Một số định nghĩa: Dãy đồng cấu ( hữu hạn hay vô hạn ) f g → B  → C  → → A  gọi khớp module B imf = ker g Một module dãy đồng cấu gọi module trung gian vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu Dãy đồng cấu R − module gọi dãy khớp khớp module trung gian f g Dãy khớp có dạng → A  → B  → C  → gọi dãy khớp ngắn Dãy khớp đồng cấu f g → B  → C  → → A  gọi chẻ module B imf hạng tử trực tiếp B , tức tồn B imf ⊕ B1 module B1 cho= Một dãy khớp gọi chẻ chẻ module trung gian 1.2.2 Định lý: ([1], Định lý 1, trang 40 ) χ σ Đối với dãy khớp ngắn → A  → B  → C  → , ba phát biểu sau tương đương: i Dãy chẻ ii Đồng cấu χ có nghịch đảo trái iii Đồng cấu σ có nghịch đảo phải 1.2.3 Mệnh đề: ([1], Hệ 2, trang 41) f g Nếu dãy khớp → A  → B  → C  → chẻ B B ≅ Im f ⊕ Im g α β → B  → C với β đơn cấu 1.2.4 Mệnh đề: Cho dãy khớp → A  A = Chứng minh: Theo tính khớp dãy trên, ta có A ≅ Im α ≅ Ker β = Tương tự ta có mệnh đề sau β α → B  → A → với β toàn cấu A = 1.2.5 Mệnh đề: Cho C  1.3 Module nội xạ module xạ ảnh 1.3.1 Định nghĩa: Một R − module J module nội xạ với đơn cấu χ : A → B , đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ 1.3.2 Định lý: ([1], trang 76) Hai mệnh đề sau tương đương nhau: i R − module J nội xạ ii χ σ Bất kì dãy với ngắn → A  → B  → C  → dãy nhóm aben sau khớp χ σ → Hom ( B, J )  → Hom ( A, J )  →0 → Hom ( C , J )  * * 1.3.3 Mệnh đề: ( tiểu chuẩn Baer )([1], Định lý 5, trang 77) R − module J nội xạ với ideal trái I R đồng cấu f : I → J , luôn tồn phần tử q ∈ J cho với λ ∈ J , ta có f ( λ ) = λ q Nói cách khác đồng cấu f : I → J mở rộng tới đồng cấu f : R → J 1.3.4 Mệnh đề: ([1], Định lý 9, trang 82) Mỗi module M nhúng vào module nội xạ N ( M ) 1.3.5 Định lý: ([1], Định lý 10, trang 82) Đối với R − module J , phát biểu sau tương đương: i J module nội xạ ii Mọi dãy khớp → J → B → C → chẻ iii J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môt module nội xạ 1.3.6 Mệnh đề: Tích trực tiếp họ module J = ∏ J i nội xạ i∈I module thành phần J i nội xạ 1.3.7 Định nghĩa: Module P gọi module xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C , đồng cấu f : P → C , tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ 1.3.8 Định nghĩa: Module X gọi module tự X có sở 1.3.9 Định lý: ( [1], Định lý 1, trang 73 ) Mỗi module tự X module xạ ảnh 1.3.10 Định lý: ( [1], Định lý 2, trang 73 ) Tổng trực tiếp họ module P = ⊕Pi xạ ảnh module thành phần Pi xạ ảnh i∈I 1.3.11 Định lý: ([1], Định lý 3, trang 75) Đối với module P , ba phát biểu sau tương đương: i ii iii P module xạ ảnh χ σ Mỗi dãy khớp → A → B → P → chẻ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp module tự 1.4 Nhóm aben Ext ( X , Y ) 1.4.1 Định nghĩa: Cho X , Y hai R − module Ta gọi mở rộng Y X dãy khớp ngắn E R − module χ σ E :0 → Y  →W  → X → 1.4.2 Định nghĩa: Giả sử χ σ E :0 → Y  →W  → X → 0, χ' σ' E ':0 → Y → W ' → X →0 Là hai mở rộng Y X Kí hiệu E  E ' tồn R − đồng cấu β :W → W ' cho biểu đồ sau giao hoán χ σ E :  → Y  →W  → X  →0 || β↓ || χ' σ' E ' :  → Y  → W '  → X  →0 Dễ thấy β đẳng cấu quan hệ  quan hệ tương đương ( ) Do A module chia nên theo mệnh đề 2.2.1b.4 ta có Ext R λ , A = Suy R ( đồng cấu σ * : Hom R ) ( ) R λ R , B → Hom λ R , C toàn cấu nên dãy khớp (1) khiết Ngược lại, xét A module chia tùy ý, module nhúng i p vào module nội xạ nên ta có dãy khớp → A  → J  →J A → với J module nội xạ Do đó, với λ ∈ R ta có dãy khớp ( → Hom R ( → Ext R ) ( ) ( J R R λ R , A → Hom λ R , J → Hom λ R , A ) ( R λ R , A → Ext λ R , J ) ) Theo giả thiết, dãy khớp ngắn khiết ( nên p* : Hom R ( module nội xạ nên Ext R ( Ext R ) ( ) J R λ R , J → Hom λ R , A toàn cấu Đồng thời, J ) λ R , J = Do đó, theo mệnh đề 1.2.5 ta có ) λ R , A = suy A module chia 2.2.2.2 Bổ đề: Mọi R − module module chia module R λ R xạ ảnh với λ ∈ R Chứng minh: χ σ → B  → C → với λ ∈ R , ta có dãy khớp dài Với dãy khớp → A  sau ( ) ( ) ( ) ( → Hom R λ R , A → Hom R λ R , B → Hom R λ R , C → Ext R λ R , A 33 ) ( ( ) ) Ta có Ext R λ R , A = (do A module chia được) nên Hom R λ R , − hàm tử bảo toàn tình khớp dãy khớp ngắn Do R λ R module xạ ảnh với λ∈R Chiều ngược lại hoàn toàn hiển nhiên R λ R module xạ ảnh nên ( ) Ext R λ R , A = với module A với λ ∈ R 2.2.2.3 Bổ đề: R vành quy R λ R module xạ ảnh với λ∈R Chứng minh: Giả sử R vành quy Khi đó, với λ ∈ R ta khẳng định R λ R module xạ ảnh Thật vậy: Theo định lý 1.6.8 ta có R λ R R − module quy module hữu hạn sinh nên theo định lý 1.6.9, ta có R λ R module xạ ảnh Ngược lại, Cho A module B module A Khi đó, ta có dãy khớp i p → A  → A → nên theo định lý 1.5.3 ta có dãy khớp sau → B  B ( ) ( ( ) ) ( → Hom R λ R , B → Hom R λ R , A → Hom R λ R , A B → Ext R λ R , A ( ) ) Vì R λ R module xạ ảnh nên Ext R , A = λR ( ) ) ( Suy p* : Hom R , A → Hom R , A λR λ R B toàn cấu Như dãy khớp ngắn khiết nên B module khiết Vậy theo định lý 1.6.8 ta có R vành quy Từ mệnh đề 2.2.2.1 hai bổ đề 2.2.2.2; 2.2.2.3, ta có mệnh đề sau 34 2.2.2.4 Mệnh đề: Các khẳng định sau tương đương: i Mọi dãy khớp R − module khiết ii Mọi R − module module chia iii Vành R vành quy Tiếp theo, ta xem xét module con, module thương module chia 2.2.3 Một số tính chất module module thương Như biết ta có toàn cấu σ : B → C ta có dãy khớp i σ → B  → C → tương tự χ : A → B đơn cấu ta có ngắn → Kerσ  p χ → B  → Co ker χ → (với Co ker χ = B dãy khớp ngắn → A  Im χ ) Trong trương hợp, toàn cấu σ (tương ứng: đơn cấu χ ) phép chiếu tự nhiên ( tương ứng: phép nhúng tự nhiên) ta có định nghĩa sau χ σ → B  → C → (*) Khi đó, 2.2.3.1 Định nghĩa: Cho dãy khớp → A  Module C gọi module thương module B σ toàn cấu chiếu tự nhiên A = Kerσ Module A gọi module module B χ đơn cấu nhúng tự nhiên C = Co ker χ Đồng thời, dãy khớp tương ứng module ( hay module thương) gọi dãy khớp liên kết với đơn cấu χ : A → B ( hay toàn cấu σ : B → C ) χ σ → B  → C → Khi đó, A C 2.2.3.2 Mệnh đề: Cho dãy khớp → A  hai module chia B module chia Chứng minh: Giả sử A C hai module chia Khi đó, với λ ∈ R ta có ( ) ( ) R , A Ext R , C Ngoài ra, từ dãy khớp ngắn ta có dãy khớp dài sau Ext = = λR λR 35 ( → Hom R ( → Ext R ) ( ) ( R R λ R , A → Hom λ R , B → Hom λ R , C ) ( ) ( ) ) R R λ R , A → Ext λ R , B → Ext λ R , C → ( Do đó, ta có Ext R ) λ R , B = với λ ∈ R nên B module chia 2.2.3.3 Mệnh đề: Module A module chia B module chia dãy khớp liên kết khiết Chứng minh: Giả sử A module chia module chia B Ta khẳng định dãy i p khớp liên kết → A  → B  →B A → khiết Thật vậy, từ dãy khớp ngắn ta có, với λ ∈ R , dãy khớp dài sau ( → Hom R ( ) ) ( ) ( ) R R B R λ R , A → Hom λ R , B → Hom λ R , A → Ext λ R , A → ( Do A module chia nên Ext R ( Suy ra, p* : Hom R ) ) λR, A = ) ( R B λ R , B → Hom λ R , A toàn cấu Như dãy khớp ngắn khiết Ngược lại, dãy khớp liên kết với đơn cấu i : A → B khiết với λ ∈ R ta có dãy khớp dài sau ( → Hom R ( → Ext R ) ( ) ( R R B λ R , A → Hom λ R , B → Hom λ R , A ) ( R λ R , A → Ext λ R , B ) 36 ) ( λ R , B ) = dãy khớp liên kết khiết nên p : Hom ( R , B ) → Hom ( R , B ) toàn cấu Do đó, theo mệnh λR λR A đề 1.2.5 ta có Ext ( R λ R , A ) = với λ ∈ R nên A module chia Do B module chia nên Ext R * Bây ta đưa số kết liên quan đến “di truyền” tính chia module 2.2.3.4 Định nghĩa: Vành R gọi vành PP ideal R module xạ ảnh 2.2.3.5 Mệnh đề: Mọi module thương module chia chia R vành PP Chứng minh: Giả sử C module thương module chia B với λ ∈ R ,ideal λ R module xạ ảnh i p → B  → C → với A = Kerp Với λ , Khi ta có dãy khớp liên kết → A  ta có dãy khớp dài sau ( → Hom R ( → Ext R ) ( ) ( R R λ R , A → Hom λ R , B → Hom λ R , C ) ( ) ( ) ) ( R R R λ R , A → Ext λ R , B → Ext λ R , C → Ext λR, A i p Mặt khác, ta có dãy khớp ngắn → λ R  → R  →R λR → ) nên ta có dãy khớp dài ( → Hom R ) ( R λ R , A → Hom ( R, A ) → Hom ( λ R, A ) → Ext λ R , A ( → Ext ( R, A ) → Ext ( λ R, A ) → Ext R 37 ) λ R , A → Ext ( R, A ) ) = = Vì λ R R hai module xạ ảnh nên Ext ( λ R, A) Ext ( R, A) Suy ra, ( Ext R ( Ext R ) ( ) R λ R , A = mà Ext λ R , B = ( B module chia được) Do đó, ta có ) λ R , C = với λ ∈ R nên C module chia Ngược lại, với module A ta khẳng định Ext ( λ R, A ) = với λ ∈ R Thật vậy, Vì module nhúng vào module nội xạ nên ta có dãy khớp i p ngắn → A  → J  →J A → với J module nội xạ Do đó, ta có dãy khớp dài sau ( → Hom R ( → Ext R ) ( ) ( ) ( ( Ext R A ( ) ( ( ) ( R R J R λ R , J → Ext λ R , A → Ext λ R , A → Ext λR, J Do J module nội xạ nên Ext R module J ) J R R λ R , A → Hom λ R , J → Hom λ R, A → Ext λ R , A ) ) ) λ R , J = J module chia Suy ra, ( module chia nên Ext R ) J λ R , A = Do đó, ta có ) λR, A = i p Mặt khác, từ dãy khớp ngắn → λ R  → R  →R ( → Hom R ) λR → ta có dãy khớp dài sau ( R λ R , A → Hom ( R, A ) → Hom ( λ R, A ) → Ext λ R , A ( → Ext ( R, A ) → Ext ( λ R, A ) → Ext R λR, A ) ) Vì R module xạ ảnh nên Ext ( R, A ) = Như vậy, ta có Ext ( λ R, A ) = Vậy λ R module xạ ảnh với λ ∈ R 2.2.3.7 Mệnh đề: Cho R vành PP Khi đó, R − module có module chia lớn 38 Chứng minh : Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau: “ Nếu A1 A2 hai module chia A1 + A2 module chia ” Thật vậy: Ta có đẳng cấu A1 + A2 A2 ≅ A1 A1 ∩ A2 nên theo mệnh đề 2.2.3.5 ta có A1 A1 module chia R vành PP A1 ∩ A2 module chia hay A1 + A2 A2 module chia Do đó, áp dụng mệnh đề 2.2.3.2, ta có A1 + A2 module chia Như vậy, theo quy nạp toán học ta có, tổng hữu hạn module chia module chia Quay trở lại toán, Xét A module tùy ý Giả sử { Ai }i∈I họ tất module chia module A (hiển nhiên họ khác rỗng có chưa module không) Đặt= Ad Ai | i ∈ I Ta khẳng định Ad module chia lớn module A Thật vậy, với x ∈ Ad λ ∈ R thỏa Ann ( λ ) x = Ta có x ∈ ∑ Ai mà hh theo chứng minh ∑A i hh module chia nên x ∈ λ ∑ Ai suy x ∈ λ Ad hh Như vậy, Ad module chia Hiển nhiên Ad module chia lớn module A 2.2.3.8 Bổ đề: Ideal λ R vành R module xạ ảnh tồn phẩn tử lũy đẳng eλ thỏa λ = eλ λ Ann = = ( eλ ) e 'λ R với eλ + e 'λ = ( λ ) Ann Chứng minh: Giả sử λ R xạ ảnh với λ ∈ R Ta có toàn cấu λ : R → λ R định λ ( r ) = λ r với r ∈ R Do ker λ = 0} Ann ( λ ) nên ta có dãy khớp ngắn sau {r ∈ R | λ r == 39 λ i → R  →λR → 0 → Ann ( λ )  Vì λ R module xạ ảnh nên dãy khớp chẻ Suy ra, tồn đồng cấu ϕ : λ R → R cho λϕ = 1λ R nên ta có λ = λϕ ( λ ) Đặt eλ = ϕ ( λ ) đó, ϕ= ( λ ).ϕ ( λ ) ϕ= ( λ.ϕ ( λ ) ) ϕ ( λ ) nên eλ phần tử lũy đẳng • Chứng minh Ann = = ( eλ ) e 'λ R với e 'λ = − ϕ ( λ ) : ( λ ) Ann Ta có: Ann ( λ ) = Ann ( eλ ) hiển nhiên (do ϕ đơn cấu) Với e 'λ r ∈ e 'λ R λ (1 − ϕ ( λ ) ) r = nên e 'λ R ⊂ Ann ( λ ) Đồng thời, với r ∈ Ann ( λ ) thì λ e ' r = = r r (1 − ϕ ( λ ) ) (do rϕ= ( λ ) ϕ= ( ) ) nên Ann ( λ ) ⊂ e 'λ R Do ta có Ann = = ( eλ ) e 'λ R ( λ ) Ann Ngược lại, ta cần chứng minh λ R module xạ ảnh Từ toàn cấu λ : R → λ R ta có đẳng cấu R Ann ( λ ) ≅ λ R tương tự ta có đẳng cấu R Ann ( eλ ) ≅ eλ R mà Ann ( λ ) = Ann ( eλ ) nên ta có λ R ≅ eλ R Bây giờ, ta chứng minh = R eλ R ⊕ e 'λ R Thật vậy, với r ∈ R ta có r = r (1 − eλ ) + reλ nên ta có= R eλ R + e 'λ R Đồng thời, với x ∈ eλ R ∩ e 'λ R tồn r , r ' ∈ R cho x= eλ r= (1 − eλ ) r ' suy x = eλ eλ r =− Do ( eλ eλ eλ ) r ' = đó,= R eλ R ⊕ e 'λ R mà R module xạ ảnh nên eλ R module xạ ảnh hay λ R module xạ ảnh Dựa vào bổ đề 2.2.3.8, ta đưa mệnh đề sau 2.2.3.9 Mệnh đề: Cho R vành PP Khi đó, A module chia λ : A → eλ A định λ ( a ) = λ a với a ∈ A toàn cấu Chứng minh : 40 Giả sử A module chia Khi đó, với eλ a ∈ eλ A ta có Ann = = ( eλ ) eλ a mà A module chia nên tồn a ' ∈ A cho ( λ ) eλ a Ann eλ a = λ a ' Do đó, λ toàn cấu Ngược lại, Với a ∈ A mà Ann ( λ ) a = ta có eλ a ∈ eλ A λ toàn cấu nên tồn a ' ∈ A cho eλ a = λ a ' Đồng thời, λ (1 − eλ ) = suy − eλ ∈ Ann ( λ ) nên (1 − eλ ) a = Như vậy,= a e= λ a ' nên A module chia λa 2.2.3.10 Mệnh đề: Cho R vành PP Khi đó, A module chia A ⊗ C module chia (với R − module C ) Chứng minh: Ta có A module chia nên λ : A → eλ A toàn cấu nên ta có dãy khớp λ → eλ A → Suy ra, với module C dãy sau khớp A  λ ⊗1 A ⊗ C   →(eλ A) ⊗ C → Mà ( eλ A ) ⊗ C= eλ ( A ⊗ C ) nên theo mệnh đề 2.2.3.9 ta có A ⊗ C module chia 2.2.4 Module tối giản 2.2.4.1 Mệnh đề: i Tích trực tiếp ∏ Cα module tối giản Cα module tối giản ii iii Nếu C module tối giản module C module tối giản χ σ → B  → C → Nếu A C hai module tối Cho dãy khớp → A  giản B module tối giản Chứng minh i: 41 Giả sử ∏ Cα module tối giản Khi đó, tồn Cα không module tối giản ( ) tồn module chia A cho Hom A, Cα ≠ nên có f : A → Cα0 đồng cấu khác không Do đó, theo tính phổ dụng tích trực tiếp, tồn đồng cấu f : A → ∏ Cα khác không Vậy module thành phần Cα module tối giản ∏ Cα không module tối giản tổn module chia A thỏa Hom ( A, ∏ C ) ≠ hay tồn Ngược lại, giả sử module Cα module tối giản Khi đó, α ( đồng cấu f : A → ∏ Cα khác không Suy ra, tồn Cα cho Hom A, Cα khác không Như vậy, ∏ Cα ) module tối giản Chứng minh ii: Giả sử C module tối giản X module C Nếu X không module tối giản tồn module chia A cho Hom ( A, X ) ≠ nên ta có Hom ( A, C ) ≠ Vậy X module tối giản Chứng minh iii: Với module chia X , ta có Hom = = ( X , A) Hom ( X , C ) từ dãy khớp χ σ → B  → C → ta suy dãy sau khớp ngắn → A  χ* σ* → Hom ( X , A )  → Hom ( X , B )  → Hom ( X , C ) → Do đó, Hom ( X , B ) = nên B module tối giản 2.2.4.2 Hệ quả: Cho A module Khi đó, tồn module nhỏ nhất, kí hiệu D ( A ) cho A D ( A) module tối giản Chứng minh: 42 Xét {Bi }i∈I họ tất module A thỏa A theo mệnh đề 2.2.4.1 i, ta có ∏ AB Bi module tối giản Khi đó, module tối giản Ngoài ra, đồng cấu i f : A→∏ A ∏ AB Bi có Kerf =  Bi nên theo định lý Noether A suy A i B B module i module tối giản ( mệnh đề 2.2.4.1 ii ) i 2.2.4.3 Mệnh đề: Cho R vành PP Khi đó, C module tối giản C có module chia tầm thường module không Chứng minh : Cho C module tối giản Giả sử A module chia được, khác không, module C Khi đó, đồng cấu nhúng i : A → C khác không nên Hom ( A, C ) ≠ với A module chia (vô lý) Như vậy, C có module chia module không Ngược lại, Giả sử C không module tối giản Khi đó, tồn module chia A cho Hom ( A, C ) ≠ hay có đồng cấu f : A → C khác không Do đó, A module chia R vành PP nên f ( A ) ≅ A ker f module khác không, chia được, module C (vô lý) Vậy C module tối giản 2.2.4.4 Định nghĩa: Module A gọi chia yếu D ( A ) = A 2.2.4.5 Mệnh đề: Module chia chia yếu Chứng minh: Cho A module chia Giả sử D ( A ) ≠ A A   không Do đó, Hom  A, A ≠ Vô lý! D ( A )   43 D ( A) module tối giản, khác Vậy D ( A ) = A hay A module chia yếu 2.2.4.6 Mệnh đề: Các khẳng định sau tương đương: i R vành PP ii D ( B ) module chia với module B iii Mọi module chia yếu module chia iv Nếu Hom ( A, C ) = với module tối giản C A module chia Chứng minh i ⇒ ii : Giả sử R vành PP B R − module tùy ý Khi đó, theo mệnh đề 2.2.3.7, module B có module chia lớn nhất, đặt M Ta có, B D( B) module   tối giản nên Hom  M ; B = suy M ⊂ D ( B ) D ( B )   Ta khẳng định B M module tối giản Thật vậy, giả sử K không chia B M M module khác Theo mệnh đề 2.2.3.2, ta có K module chia nên K ⊂ M (mâu thuẫn) Do đó, B module không nên theo mệnh đề 2.2.4.3, B M M có module chia module tối giản Như vậy, theo định nghĩa D ( B ) , ta có D ( B ) ⊂ M nên theo chứng minh ta có M = D ( B ) hay D ( B ) module chia Chứng minh ii ⇒ iii : Giả sử A module chia yếu Khi đó, theo định nghĩa ta có A = D ( A ) nên theo ii ) A module chia Chứng minh iii ⇒ iv : 44 Giả sử A ≠ D ( A ) Khi đó, A D ( A) module tối giản, khác không Do đó,   Hom  A, A ≠ Trái với giả thiết iv Suy ra, D ( A ) = A hay A module D ( A )   chia (do điều kiện iii ) Chứng minh iv ⇒ i : Giả sử A module chia B module A (tùy ý) Ta khẳng định A B module chia Thật vậy, với ( ) module tối giản C , ta giả sử Hom A , C ≠ Khi đó, tồn đồng cấu B f :A B → C khác không nên đồng cấu g= fp ∈ Hom ( A, C ) khác không (với p: A→ A A B B ( ) đông cấu chiếu tự nhiên) (mâu thuẫn) Do đó, Hom A , C = nên B module chia Như vậy, ta chứng minh, module thương module chia module chia Nên theo mệnh đề 2.2.3.5 ta có R vành PP Mệnh đề chứng minh 45 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp số kết “module chia miền nguyên”, đưa hai định nghĩa “module chia vành giao hoán có đơn vị” Từ đó, tổng quát hóa kết hợp với số khái niệm như: dãy khớp khiết, vành PP … để đưa số kết module chia vành giao hoán Tất nhiên, ta xét R vành không giao hoán cách xét linh hóa tử trái (tương ứng: linh hóa tử phải) R − module trái (tương ứng: R − module phải) ta có kết hoàn toàn tương tự R − module chia trái (hoặc R − module chia phải ) Do hạn chế lực thời gian nên luận văn chủ yếu trình bày số kết module chia vành giao hoán Dựa luận văn này, tác giả tiếp tục tìm hiểu module chia số vành đặc biệt như: vành quy, vành Artin, vành Noether,… Ngoài ra, ta kết hợp với số module khác ( chẳng hạn, module không xoắn module xoắn ) thêm số kết quan trọng module chia 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên, Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh (2006) Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên, Nguyễn Văn Thìn, Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh (2003) Tiếng Anh J J Rotman (2008), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York J Zelmanowitz (1972), Regular modules, Transactions of the American Mathematical Society T Y Lam (1998) Lectures on modules and rings, Springer-Verlag, New YorkHeidelberg-Berlin 47 [...]... là module chia được) nên x + N = λ ( y + N ) do đó M N là một module chia được Ta đã biết module con của một module chia được nói chung không phải là module chia được Chẳng hạn,  là một  − module chia được và  là một module con của module  nhưng không chia được Bây giờ ta sẽ đưa ra một điều kiện để module con của một module chia được là module chia được như sau 2.1.1.4 Mệnh đề: Cho M là một module. .. Module chia được trên vành giao hoán Trong phần này, nếu không chú thích thêm thì R là một vành giao hoán có đơn vị Ngoài ra, khi R là một vành giao hoán có đơn vị thì một R − module trái có thể được xem như một R − module phải nên ta chỉ cần xét các R − module 2.2.1 Module chia được Như chúng ta đã biết thì miền nguyên là một vành không có ước của 0 nên trong định nghĩa về module chia được trên miền... các kết quả trên miền nguyên vẫn còn đúng khi ta xét với định nghĩa 2.2.1a.1 Cụ thể như sau: 2.2.1a.2 Mệnh đề: Module thương của module chia được là module chia được 2.2.1a.3 Mệnh đề: Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ module chia được là module chia được 24 2.2.1a.4 Mệnh đề: Module con thuần khiết của module chia được là module chia được 2.2.1a.5 Mệnh đề: S −1R là một R − module chia được (trong... có thể xem như là định nghĩa 2 cho module chia được Tiếp theo ta sẽ xem xét một số kết quả liên quan tới các module con, module thương,… của module chia được 2.1.1.3 Mệnh đề: Module thương của một module chia được là module chia được Chứng minh: 15 Cho M là một module chia được và giả sử N là module con của M Khi đó, ta sẽ chứng minh M x + N ∈M N N là module chia được Thật vậy, với mọi λ ∈ R \ {0}... “mật thiết” với các module chia được đó là module tối giản 2.1.2 Module tối giản 2.1.2.1 Định nghĩa: Module C gọi là module tối giản nếu Hom ( A, C ) = 0 với mọi module chia được A Hiển nhiên ta có bổ đề sau 2.1.2.2 Bổ đề: Cho f : A → B là một đồng cấu module và A là module chia được thì f ( A) là một module chia được Theo mệnh đề 2.1.1.8 thì mọi module đều có module con chia được lớn nhất Từ đó,... hết, chúng ta sẽ đi đến những kết quả về module chia được trên miền nguyên Từ đó, phân tích và đánh giá chúng để có được một số kết quả trên vành giao hoán 2.1 Module chia được trên miền nguyên Trong phần này, nếu không chú thích thêm thì R là một miền nguyên 2.1.1 Module chia được 2.1.1.1 Định nghĩa: Cho M là một R − module Khi đó M được gọi là module chia được nếu với mọi x ∈ M và mọi λ ∈ R \ {0}... thuần khiết và B là module chia được Khi đó, A là module chia được 2.1.1.5 Mệnh đề: Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các module chia được là module chia được Chứng minh: Cho {M i }i∈I là một họ các module chia được Đặt A = ∏ M i và B = ⊕M i , ta sẽ i∈I chứng minh A và B là hai module chia được Thật vây, với mọi= x 16 i∈I ( mi ) ∈ A và mọi λ ∈ R \ {0} Do mi ∈ M i là module chia được nên mi ∈ λ M... ( x,0 ) ψ= ( χ ( x ) ) ψ= module chia được Như vậy, với định nghĩa 2.2.1b.1, ta cũng có kết quả sau 2.2.1b.5 Hệ quả: Mọi module nội xạ đều là module chia được Định lý 2.2.1b.4 có thể xem như là định nghĩa thứ 2 về module chia được trên vành giao hoán Như vậy ta sẽ xem xét các kết quả liên quan tới module chia được cùng với các dãy khớp Cụ thể, ta sẽ liên hệ các module chia được với dãy khớp thuần khiết... ra, x ∈ λ A như vậy A là module chia được Chứng minh tương tự, ta có B là module chia được 2.1.1.6 Mệnh đề: Mọi module M đều có module con chia được lớn nhất (kí hiệu là M d ) Chứng minh: Xét { Ni }i∈I là họ tất cả các module con chia được của module M ( hiển nhiên là họ Md khác rỗng thì có chứa module 0 ) Đặt = Ni | i ∈ I Ta khẳng định M d là module con chia được lớn nhất của module M Thật vậy: Với... là một module tối giản nếu và chỉ nếu C chỉ có một module con chia được tầm thường là module 0 Chứng minh: Cho C là một module tối giản Khi đó, giả sử A là một module con chia được, khác module 0 , của C Suy ra, đồng cấu nhúng i : A → C khác không Vô lý! Do đó, C chỉ có duy nhất một module con chia được là module 0 Ngược lại, Giả sử C không là module tối giản Khi đó, tồn tại module chia được A sao ... module chia được) nên x + N = λ ( y + N ) M N module chia Ta biết module module chia nói chung module chia Chẳng hạn,   − module chia  module module  không chia Bây ta đưa điều kiện để module module... 2: MODULE CHIA ĐƯỢC 15 2.1 Module chia miền nguyên 15 2.1.1 Module chia 15 2.1.2 Module tối giản 22 2.2 Module chia vành giao hoán 24 2.2.1 Module. .. tốt cho module chia vành giao hoán Đồng thời kết hợp với số khái niệm như: Dãy khớp khiết, vành PP , vành quy,… để đưa số kết liên quan tới module chia vành giao hoán Toàn luận văn chia làm