module chia được trên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM VÕ THỊ VÂN ANH MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thị Vân Anh MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH LÂN LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn – Tin, q thầy mơn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trang bị cho tơi đầy đủ kiến thức làm tảng q trình viết luận văn Đặc biệt, tơi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Đình Lân, người trực tiếp hướng dẫn tơi q trình nghiên cứu Tơi xin cảm ơn PGS TS Mỵ Vinh Quang giúp đỡ tơi nhiều để hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè tin tưởng, động viên tơi suốt thời gian qua Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 Võ Thị Vân Anh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI MỞ ĐẦU iii Chương Miền Dedekind 1.1 Phần tử ngun .1 1.2 Bao đóng ngun 1.3 Vành Noether 1.4 Miền Dedekind 1.5 Một số kết vành giao hốn 20 Chương Module chia miền Dedekind 22 2.1 Cấp phần tử miền Dedekind 22 2.2 Module cyclic miền Dedekind .29 2.3 Module nội xạ module chia 36 2.4 Một số tính chất module chia miền Dedekind 40 2.5 Module tựa cyclic miền Dedekind .48 2.6 Cấu trúc module chia miền Dedekind 57 KẾT LUẬN .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 LỜI MỞ ĐẦU Các miền Dedekind xem mở rộng gần gũi miền ideal chính, bảo lưu nhiều tính chất “giống” miền ideal chính; chẳng hạn, miền Dedekind ideal khác sinh phần tử phân tích thành tích ideal tối đại, ideal miền Dedekind ideal hữu hạn sinh Tuy nhiên, có nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal chính; chẳng hạn, ideal miền Dedekind nói chung khơng ideal chính, module module cyclic miền Dedekind khơng module cyclic, module module tự miền Dedekind khơng module tự do… Trong luận văn này, chúng tơi cố gắng xây dựng mở rộng số kết module miền ideal sang module miền Dedekind Cụ thể, chúng tơi đưa khái niệm cấp phần tử module miền Dedekind Sau đó, dựa vào khái niệm cấp phần tử chúng tơi xây dựng, nghiên cứu module cyclic, module tựa cyclic Từ đó, chúng tơi đưa chứng minh định lý cho phép mơ tả cấu trúc module tựa cyclic, module chia miền Dedekind Luận văn chia thành chương Chương 1: Miền Dedekind Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức miền Dedekind cần cho chương sau Chương 2: Module chia miền Dedekind Trong chương này, chúng tơi • Xây dựng nghiên cứu tính chất cấp phần tử module miền Dedekind • Xây dựng nghiên cứu tính chất module cyclic, module tựa cyclic miền Dedekind; đặc biệt nghiên cứu tính chất module chia được, mối liên hệ module chia module nội xạ miền Dedekind • Nghiên cứu xây dựng định lý cấu trúc module chia miền Dedekind Chương MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử ngun 1.1.1 Định nghĩa Cho A B miền ngun A  B Phần tử b  B gọi phần tử ngun A tồn đa thức đơn khởi f x   A x  , deg f  nhận b làm nghiệm Nói cách khác, b ngun A tồn a 0, a1, , an 1  A cho bn  an 1bn 1    a1b  a  1.1.2 Định nghĩa Cho A B miền ngun, A  B Nếu phần tử b  B ngun A ta nói B ngun A 1.1.3 Mệnh đề Cho tháp miền ngun A  B Nếu B A -module hữu hạn sinh B ngun A Chứng minh Giả sử b1, b2, , bm hệ sinh A -module B   Với b  B , tồn aij  A i, j  1, 2, , m cho   b1b  a11b1    a1mbm    b2b  a21b1    a2mbm         b b  am1b1    ammbm   m Do hệ phương trình   a11  b  x1  a12x    a1mxm     a x  a22  b  x    a2m x m     21      a x  am 2x    amm  b  x m     m1     có nghiệm khơng tầm thường x1, x 2, , x m  b1, b2, , bm Vì vậy, định thức ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính 0,  a11  b a12 a1m a21 a22  b  a2m     am am  amm  b Khai triển định thức, ta phương trình bm  am 1bm 1    a1b  a  với a 0, a1, , am 1  A Vì b ngun A ■ 1.1.4 Hệ Cho A B miền ngun, A  B Giả sử b  B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b ngun A, ii) A b  A -module hữu hạn sinh,   iii) A b  ngun A   Chứng minh Dễ thấy ii )  iii ) iii )  i ) Ta chứng minh i )  ii ) Giả sử b ngun A Khi đó, tồn a 0, a1, , an 1  A cho bn  an 1bn 1    a1b  a    Ta chứng minh 1, b, , bn 1 hệ sinh A b  A   Đầu tiên, ta chứng minh quy nạp (theo k ) bk biểu thị tuyến tính qua 1, b, , bn 1 với hệ số thuộc A n 1 Giả sử bi biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b , với i  k k  n  Nhân hai vế bn  an 1bn 1    a1b  a  với bk 1n , ta bk 1  an 1bk    a1bk 2n  a 0bk 1n  Suy bk 1  an 1bk    a1bk 2n  a 0bk 1n k k 2n k 1n n 1 ,b Vì b , , b biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b (giả thiết quy n 1 với hệ số thuộc A nạp), nên b k 1 biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b Vậy b k k   biểu thị tuyến tính qua 1, b, , bn 1 với hệ số thuộc A   k k Với x  A b  , x  a  a1b    akb ,  A Vì 1, b, , b biểu thị   n 1 với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính tuyến tính qua 1, b, , b n 1 qua 1, b, , b với hệ số thuộc A Vậy A b  A -module hữu hạn sinh   ■ 1.1.5 Hệ Cho A B miền ngun, A  B Giả sử b1, , bn  B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b1, , bn ngun A , ii) A b1, , bn  A -module hữu hạn sinh,   iii) A b1, , bn  ngun A   Chứng minh Dễ thấy ii )  iii ) iii )  i ) Ta chứng minh i )  ii ) Giả sử b1, , bn ngun A , ta chứng minh A b1, , bn  A-module hữu   hạn sinh quy nạp theo n Mệnh đề n  (hệ 1.1.4) Giả sử mệnh đề với n  Khi đó, A b1, , bn 1  A -module hữu hạn   sinh Vì bn ngun A nên bn ngun A b1, , bn 1  Vì thế, theo hệ   1.1.4, ta có A b1, , bn 1  bn   A b1, , bn  A b1, , bn 1  -module hữu hạn       sinh Do vậy, A b1, , bn  A -module hữu hạn sinh   ■ 1.1.6 Hệ Cho tháp miền ngun A  B Nếu b1, b2  B ngun A b1  b2, b1  b2, b1.b2 ngun A Nói cách khác, tập hợp phần tử B ngun A ,   AB  b  B b ngun A , vành B chứa A Chứng minh Vì b1  b2, b1  b2, b1.b2 phần tử A b1, b2  A b1, b2      ngun A (hệ 1.1.5) nên b1  b2, b1  b2, b1.b2 ngun A ■ 1.1.7 Hệ Cho tháp miền ngun A  B  C Nếu B ngun A C ngun B C ngun A Chứng minh Lấy c  C Vì c ngun B nên có b0, , bn 1  B cho cn  bn 1cn 1    b1c  b0  Suy c ngun A b0, , bn 1    Vì thế, theo hệ 1.1.4, A b0, , bn 1, c  A b0, , bn 1  -module hữu     hạn sinh Mặt khác, b0, , bn 1 ngun A nên A b0, , bn 1  A   module hữu hạn sinh (hệ 1.1.5) Do đó, A b0, , bn 1, c  A -module hữu hạn      a1  a2    an    D P  Module an có cấp P n ■   2.5.4 Mệnh đề D P  D -module chia Chứng minh Lấy cố định p  P \ P    Xét x  x  D  D P  có cấp O x  P n Khi đó, ordP x   n Đặt y  y  D  Ta có y  Q D  D  x p x  py Vì x  py  D nên ordP x  py   Nếu ordP x   ordP py     n,  ordP y   0, ordP x  py   ordP x  , ordP py  mâu thuẫn Vì ordP x   ordP py  Suy ordP y   n  1, tức y  P n 1,     Vậy D P   P D P  Theo mệnh đề 2.4.5, ta có D P  D -module hay y  P n 1 D   D P  Do x  py  P D P    chia ■ 2.5.5 Mệnh đề Cho P ideal ngun tố miền Dedekind D phần tử   p  P \ P Khi đó, module tựa cyclic D P  sinh đếm phần tử b1, b2, , bn ,  khác 0, thỏa Pb1  bi  pbi 1, với i  1, 2, , n,      Chứng minh D P  chứa phần tử b1 có cấp P Thật vậy, lấy x  D P  \ 0 , giả sử x có cấp P k , k  Chọn b1  P k 1x , b1  Dễ thấy b1 có cấp P     Do tính chất chia D P  nên tồn b2  D P  , b2  cho b1  pb2 … Thực tiếp tục vậy, ta phần tử b1, b2, , bn ,  khác   0, thuộc D P  thỏa b1 có cấp P bi  pbi 1, với i  1, 2, , n,  Cấp bi P i Thật vậy, ta chứng minh quy nạp Trường hợp i  hiển nhiên   Giả sử O bn  P n Khi đó,     P n  O bn  O pbn 1   O bn 1   p  O bn 1   Suy     ordPO bn 1   ordP p   n  ordPO bn 1  ordP p  , ordPO bn 1    Do ordPO bn 1  n      Điều chứng tỏ O bn 1  P n 1 (vì D P  module P -ngun sơ)   Ta chứng minh D P  sinh tập đếm phần tử b1, b2, , bn ,      Vì O bn  P n n  1, 2,  nên bn  an   (mệnh đề 2.5.3) Vì D P   a1, a2, , an ,   b1, b2, , bn ,  ■ Chiều ngược lại mệnh đề 2.5.5 Ta có mệnh đề sau 2.5.6 Mệnh đề Cho M D -module P -ngun sơ sinh tập đếm   phần tử c1, c2, , cn ,  khác 0, thỏa Pc1  ci  pci 1 i  1, 2,  , với   p  P \ P cho trước Khi đó, M  D P    Chứng minh Ta chứng minh O ci   P i i  1, 2,  quy nạp theo i Theo giả thiết, ta có O c1   P Giả sử O cn   P n Khi đó, P n  O cn   O pcn 1   O cn 1  p  O cn 1  Suy   n  ordPO cn 1   ordP p  , ordPO cn 1   ordPO cn 1   ordP p  Do ordPO cn 1   n  Suy O cn 1   P n 1 (vì M module P -ngun sơ)   Vậy O ci   P i i  1, 2,  chứng minh ( ) ∞ Giả sử b1, b2, , bn ,  hệ sinh đếm D P p  P \ P   Ta xét tương ứng j : M  D P  xác định     j  mici     hữu hạn m 0   i Khi đó, j ánh xạ  hữu hạn mi 0 mi bi ứng với phần tử  Thật vậy, giả sử hữu hạn mi 0 mici   hữu hạn mi 0 mi ci Gọi k số nhỏ để ml  ml   với l  k Khi đó,  k   k i  mi p ck    i 1    k   k i    mici  mi ci   mi p ck    hữu hạn m 0 hữu hạn m 0 i 1   i  i Cho nên  k   k   k i  k i      m p m p    P k    i i  i 1   i 1    Suy  k   k    k i  k i    mi p bk   mi p bk     i 1   i 1           mici   j  mi ci  Như vậy, ta có j      hữu hạn m 0  hữu hạn m 0    i i Do j ánh xạ Ta chứng minh j đẳng cấu Dễ thấy j tồn cấu Mặt khác, ci  pci 1, i  nên phần tử M viết dạng  mci Nếu j mci   mbi  Tức m  O bi  P i Điều cho ta mci  Do ker j  0, hay j đẳng cấu   Vậy M  D P  ■ 2.5.7 Mệnh đề Cho D miền Dedekind khơng phải trường M D -module kiểu vơ hạn có tính chất module thực M module   kiểu hữu hạn Khi đó, M  D P  Chứng minh Ta chứng minh M module xoắn Thật vậy, giả sử tồn x  M khơng xoắn Xét a  D \ 0 khơng khả nghịch Ta có x  a 0x (nếu x  a 0x tồn b  D cho x  ba 0x , suy ba  1, mâu thuẫn với cách chọn a ) Vì vậy, a 0x module thực   M Nếu b a 0x  ba  , điều cho ta b  Do a 0x module khơng xoắn, tức a 0x module kiểu vơ hạn Vậy a 0x module thực M module kiểu vơ hạn, trái giả thiết Vì thế, M module xoắn Hơn nữa, ta có M module vơ hạn sinh Vì M module xoắn nên M  M P Ta chứng minh M  M P , với P ideal ngun tố Giả sử có vơ hạn M P  Lấy cố định P0 cho M P  Khi đó, N   M P module thực M module kiểu vơ hạn, trái giả P P0 thiết Vậy có hữu hạn M P  Ta có module M P kiểu vơ hạn Giả sử module M P kiểu hữu hạn Khi đó, M   hữu hạn M P module hữu hạn sinh, vơ lý Vậy tồn module M P kiểu vơ hạn Nếu MQ MQ  hai module kiểu vơ hạn N   M P module thực P Q M module kiểu vơ hạn, trái giả thiết Vậy tồn module M P kiểu vơ hạn Do M  M P , tức M module P -ngun sơ Ta chứng minh M module chia được, điều tương đương với M  PM Giả sử M  PM , tức PM module kiểu hữu hạn Khi đó, M sinh D P Thật vậy, M PM hữu hạn sinh D P PM vơ hạn hữu hạn sinh D Ta lại có, dãy  PM  M  M  khớp Do đó, M hữu PM hạn sinh, trái giả thiết Vì thế, M sở M PM PM khơng gian vectơ vơ hạn chiều D D P lại, x  x  PM   iI Gọi ( I tập vơ hạn) Ta kiểm tra M  , PM Hiển nhiên , PM Đảo P i I  di tồn d1, , dk  D Từ đây, suy x  i 1 y  PM cho x  y   M x M k i I P cho k  di  PM Vì thế, tồn i 1 k  di  i 1 , PM i I Vậy M  , PM Lấy cố định i0  I Xét module N  , PM i I \i0  i I Ta chứng minh N module thực M , điều tương đương với  N Giả sử  N Khi  y    di ,  di , i i0 với di  D, y  PM Suy điều mâu thuẫn với tính độc lập i i0 ai iI Vì vậy,  N , tức N module thực M Như ta chứng minh N module thực sự, vơ hạn sinh M , điều trái với giả thiết Vậy M  PM , hay M module chia Trong M ln tồn phần tử x1 có cấp P Thật vậy, lấy y  M \ 0 có cấp k k 1 P , k  Chọn x1  P y, x1  Dễ thấy x1 có cấp P Cho trước p  P \ P 2, tồn x  M cho x1  px ( M chia được) Do đó, P  O x1   O x  p  O x  Suy    ordPO x   ordP p , ordPO x   ordPO x   ordP p    Vì vậy, ordPO x   Điều cho ta O x  P (do M module P -ngun sơ) Tương tự, ta tìm phần tử x 3, x , , x n ,  M cho   i x i  px i 1 O x i  P , i  Xét module H  x1, x 2, , x n ,  M Theo mệnh đề 2.5.6, ta có   H  D P Hơn nữa, H vơ hạn sinh Thật vậy, giả sử H  y1, y2, , yn Gọi k số   ngun dương nhỏ cho P k yi  i  1, n Khi đó, x k 1   n  aiyi i 1  k 1 nên P k x k 1  0, mâu thuẫn với O x k 1  P   Vậy M  H  D P  2.6 ■ Cấu trúc module chia miền Dedekind Trong lý thuyết nhóm, nhóm Abel chia tổng trực tiếp trường số hữu tỉ  nhóm tựa cyclic Mục đích ta phần mở rộng tính chất cho module miền Dedekind Cụ thể ta có định lý sau 2.6.1 Định lý (Cấu trúc module chia được) Cho M D -module chia Khi M tổng trực tiếp module tựa cyclic D module đẳng cấu với trường thương Q D  D Ta cần hai bổ đề sau để chứng minh định lý 2.6.1 2.6.2 Bổ đề Cho D miền Dedekind P ideal ngun tố D Khi đó, tồn     đẳng cấu D -module D P   DP PDP   Trong DP PDP     Q DP     x  x có cấp lũy thừa PDP  DP     Chứng minh Vì D xem vành DP (do có đơn cấu tự nhiên D  DP ) nên trường thương Q D  D trường thương DP , tức Q D   Q DP  Từ đó, theo mệnh đề 2.1.5 bổ đề 1.5.1, ta có   D P Q D    D  Mặt khác,    P  D module  DP module  Q D  DP Q D  P Q D    D    ,  P DP module  DP Q D  DP  DP -module xoắn nên theo mệnh đề 2.1.10, ta có Q D  DP   Q nguyên tố   DP Q  Tuy nhiên, DP có ideal ngun tố PDP nên Q D  DP module DP    DP PDP  Từ đó, ta có đẳng cấu D -module tương ứng    Q D  DP    DP PDP   Vậy D P   DP PDP  ■ 2.6.3 Bổ đề Cho R miền ideal chính, P ideal ngun tố R Nếu M R -module P -ngun sơ chia M đẳng cấu với tổng trực tiếp R module tựa cyclic kiểu P  Chứng minh Vì R miền ideal nên P  p ideal tối đại (với p phần tử ngun tố R ) Do R  P trường  Đặt M  p   x  M px  Khi đó, M  p  có cấu trúc R -khơng gian   P vectơ với phép nhân vơ hướng định nghĩa a  P  x  ax a  a  P  D P , x  M  p   Phép nhân khơng phụ thuộc vào đại diện lớp ghép Thật vậy, lấy a1, x   a2, x   R P  M p  Suy a1  a2  pr r  R Ta có a1x  a2x  a1x  a2x  a1  a2  x  prx  Suy a1x  a2x   Như vậy, ta giả sử M  p  có số chiều V Đặt M    R P    V    M *  p   x  M * px  Khi đó, M  p  khơng gian vectơ V -chiều R Ta có đẳng cấu hai R -khơng gian vectơ M  p   M   p  Vì vậy, tồn     P P   đẳng cấu R -module tương ứng M  p   M  p  Mặt khác, M , M     module chia (do giả thiết M    R P  , với R P  R -module chia V được) M P   M  p  , M  P   M   p  nên theo mệnh đề 2.4.2, ta có         ■ M  M   R P V Bây giờ, ta chứng minh định lý phần Chứng minh định lý 2.6.1 Giả sử T phần xoắn module M Khi đó, T   P nguyên tố MP Hơn nữa, T module chia Thật vậy, với x  T a  D \ 0 , M module chia nên tồn y  M cho x  ay Suy a y  T   ay  T  x  T  0M Điều cho ta y  T  0M T (vì M T T module khơng xoắn), tức y  T Do đó, T chia Theo bổ đề 2.4.1, ta có M  T  E Vì thế,   M   P  nguyên tố  M P   E  Vì M module chia nên E M P module chia Do T phần xoắn M  T  E nên E module khơng xoắn Như vậy, ta cần chứng minh mệnh đề cho hai trường hợp sau Trường hợp M module khơng xoắn chia Do M module chia nên với x  M , b  D \ 0 , tồn x1  M cho x  bx1 x1 phân tích Thật vậy, bx1  bx x1  x x1  x  (do M module khơng xoắn), hay x1  x Vì thế, ta đặt x1   x b Khi đó, M có cấu trúc Q D  -module với phép nhân ngồi định nghĩa 1  a rx  a  x , r   Q D  , x  M b  b Do Q D  trường nên Q D  -module M trở thành khơng gian vectơ Giả sử X sở M   Với y  X , đặt Q D   ry r  Q D  Rõ ràng Q D   Q D  y Với x  M , ta có x  y  ry Do đó, M   Q D y Hơn nữa, X y X y X độc lập tuyến tính nên M   Q D    Q D  y X y y X Trường hợp M module P -ngun sơ chia Do M module chia nên với x  M , b  D \ P, tồn x1  M cho x  bx1 x1 phân tích Thật vậy, giả sử bx1  bx x1  x   n Khi đó, b  O x1  x  P ( n số ngun dương đó), điều mâu thuẫn với cách chọn b Vì vậy, ta đặt x1   x b Khi đó, M DP -module với phép nhân ngồi định nghĩa 1  a rx  a  x , r   DP , x  M b  b Lấy x  M Vì M module P -ngun sơ nên tồn số tự nhiên n cho P n x  Mặt khác, theo chứng minh mệnh đề 1.4.25, ta có PDP  a , với a  P \P  a n n an Vì thế,    x   x  an x  Do PDP x      Vậy M DP -module PDP -ngun sơ Ta chứng minh M DP -module chia Với x  M với a  DP \ 0 , M D -module chia b nên tồn x1  M cho bx  ax1, tồn x  M cho x1  bx Suy bx  ax1  abx Cho nên b x  ax   Do đó, x  ax (vì b  P M 1  a module P -ngun sơ) Điều cho ta x  ax  a  x1   x1 Vậy M DP b  b module chia Do M DP -module PDP -ngun sơ chia DP miền ideal nên theo bổ đề 2.6.3, ta có M DP module     DP PDP  Từ đó, ta có đẳng cấu D -module M D module       DP PDP  Mặt   khác, theo bổ đề 2.6.2, ta có đẳng cấu D -module D P   DP PDP  Vậy   M  D P  ■ Từ chứng minh định lý, ta có hệ sau 2.6.4 Hệ i) Nếu M module chia được, xoắn M tổng trực tiếp module tựa cyclic ii) Nếu M module chia được, khơng xoắn M tổng trực tiếp module đẳng cấu với trường thương Q D  D KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi chủ yếu mở rộng kết lý thuyết nhóm Abel cổ điển cho lý thuyết module miền Dedekind Cụ thể sau 1) Chúng tơi đưa định nghĩa cấp phần tử module miền Dedekind nghiên cứu tính chất cấp phần tử Từ đó, chúng tơi nghiên cứu tính chất module cyclic miền Dedekind 2) Tương tự khái niệm nhóm tựa cyclic, chúng tơi xây dựng khái niệm module tựa cyclic miền Dedekind Sau chúng tơi nghiên cứu tính chất mơ tả cấu trúc lớp module 3) Chúng tơi nghiên cứu tính chất module chia miền Dedekind Từ đó, chúng tơi mơ tả cấu trúc module chia miền Dedekind TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngơ Thúc Lanh (1985), Đại số (giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh [2] Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh [3] Derek J S Robinson (1996), A course in the theory of groups, Springer-Verlag, New York [4] Joseph J Rotman (1995), An introduction to the theory of groups, SpringerVerlag, New York [5] L Fuchs (1960), Abelian Groups, Pergamon Press [6] M.R Adhikari, A Adhikari (2003), Groups, Rings And Modules With Applications, Universities Press [7] M F Atiyah, I G Macdonald (1994), Introduction to commutative algebra, Westview Press [8] Saban Alaca and Kenneth S Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press [...]... module cyclic, module tựa cyclic trên miền Dedekind; đặc biệt là nghiên cứu tính chất của module chia được, mối liên hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind Từ đó, chúng tơi xây dựng và chứng minh định lý cho phép mơ tả cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind Trong chương này, ta giả sử D là miền Dedekind 2.1 Cấp của phần tử trên miền Dedekind 2.1.1 Định nghĩa Cho D -module. .. MP ■ Module cyclic trên miền Dedekind 2.2.1 Định nghĩa Cho R là vành bất kỳ R -module M được gọi là module cyclic   nếu M được sinh bởi một phần tử, tức là M  Rx  rx r  R , với x là phần tử nào đó thuộc M Trong lý thuyết nhóm Abel, một nhóm cyclic có cấp hữu hạn khi và chỉ khi nhóm đó có hữu hạn phần tử Tuy nhiên, kết quả khơng còn đúng đối với module cyclic trên miền Dedekind Trên miền Dedekind, ... Cho R là vành giao hốn, có đơn vị và M là R -module Khi đó M là module nội xạ nếu với mọi ideal I của R và với mọi đồng cấu f : I  M thì tồn tại đồng cấu g : R  M sao cho f  g  j, trong đó j : I  R là đơn cấu tự nhiên Chương 2 MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND Trong chương 2, chúng tơi đưa ra khái niệm cấp của một phần tử trong module trên miền Dedekind Sau đó, dựa vào khái niệm cấp của phần... 1R là vành Noether 1.4 ■ Miền Dedekind 1.4.1 Định nghĩa Cho D là miền ngun D được gọi là miền Dedekind nếu các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn i) D là vành Noether, ii) Mọi ideal ngun tố khác 0 đều tối đại, iii) D là vành đóng ngun 1.4.2 Ví dụ OK    m , nếu m  2, 3 mod 4    là miền Dedekind    m  1 , nếu m  1 mod 4    2 1.4.3 Định nghĩa Cho D là miền ngun và Q D  là trường... Định nghĩa M được gọi là module xoắn nếu M  MT Nói cách khác, M là module xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp hữu hạn M được gọi là module khơng xoắn nếu MT  0 Nói cách khác, M là module khơng xoắn nếu mọi phần tử khác 0 của M đều có cấp vơ hạn 2.1.9 Mệnh đề Cho D -module M và MT là phần xoắn của M Khi đó, M là D -module khơng xoắn MT Chứng minh Giả sử M x  x  MT  M MT MT khơng là module khơng...Vậy sinh c ngun trên A ■ Bao đóng ngun 1.2 1.2.1 Định nghĩa Cho A và B là những miền ngun và A  B   AB  b  B b ngun trên A được gọi là bao đóng ngun của A trong B B được gọi là ngun trên A nếu AB  B A được gọi là đóng ngun trong B nếu AB  A 1.2.2 Nhận xét A  AB  B 1.2.3 Định nghĩa Cho A là một miền ngun, Q A là trường các thương của A Bao đóng ngun của A trong Q A được gọi là bao đóng... x  a  D a.x  0 Khi đó O x  là ideal của D Ta gọi O x  là cấp của x Phần tử x được gọi là có cấp vơ hạn nếu O x   0 Khi đó, module cyclic sinh bởi x , x  Dx , được gọi là module cyclic cấp vơ hạn Phần tử x được gọi là có cấp hữu hạn nếu O x   0 Khi đó, module cyclic sinh bởi x , x  Dx , được gọi là module cyclic cấp hữu hạn 2.1.2 Mệnh đề Cho x  M Khi đó, cấp x là A khi và chỉ khi ax... Dedekind, tồn tại module cyclic cấp vơ hạn nhưng có hữu hạn phần tử và tồn tại module cyclic cấp hữu hạn nhưng có vơ hạn phần tử Sau đây là ví dụ minh họa cho vấn đề này 2.2.2 Ví dụ (module cyclic cấp vơ hạn nhưng có hữu hạn phần tử) Xét vành D   p , với p là số ngun tố thuộc  Khi đó,  p là D -module cấp vơ hạn nhưng có hữu hạn phần tử Chứng minh Vì D là miền ideal chính nên nó cũng là miền Dedekind ... 1, , p  1 Nếu a 1  0 thì a  0 Do đó, O  1   0 Vây  p là D -module cấp vơ hạn nhưng có p phần tử ■ 2.2.3 Ví dụ (module cyclic cấp hữu hạn nhưng có vơ hạn phần tử) Xét D   x  và D -module M   x  2 x 1 Khi đó, M là module cấp hữu hạn nhưng có vơ hạn phần tử Chứng minh Vì D là miền ideal chính nên D là miền Dedekind Ta có M    x  2 x 1      ax  b a, b    1... Lấy a   B \ P Khi đó, a.a .x ordP a  : a   A \ P Suy ra a.a   x ordP a  a  ■ 1.4.25 Mệnh đề Nếu D là miền Dedekind thì DP là miền ideal chính Chứng minh Miền Dedekind DP chỉ có một ideal ngun tố khác 0 duy nhất PDP Hơn nữa, mọi ideal khác 0, khác DP của DP đều được phân tích một cách duy nhất thành tích các ideal ngun tố Do đó, ta chứng minh mệnh đề bằng cách chứng minh ideal PDP ... Module chia miền Dedekind 22 2.1 Cấp phần tử miền Dedekind 22 2.2 Module cyclic miền Dedekind .29 2.3 Module nội xạ module chia 36 2.4 Một số tính chất module chia miền Dedekind. .. lạ so với miền ideal chính; chẳng hạn, ideal miền Dedekind nói chung khơng ideal chính, module module cyclic miền Dedekind khơng module cyclic, module module tự miền Dedekind khơng module tự... chất module cyclic, module tựa cyclic miền Dedekind; đặc biệt nghiên cứu tính chất module chia được, mối liên hệ module chia module nội xạ miền Dedekind • Nghiên cứu xây dựng định lý cấu trúc module