module chia được tên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG MODULE CHIA ĐƯỢC TÊN MIỀN DEDEKIND S K C 0 9 MÃ SỐ: T2011 - 108 S KC 0 Tp Hồ Chí Minh, 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND Mã số: T2011 – 108 Chủ nhiệm đề tài: VÕ THỊ VÂN ANH TP HCM, 11/2011 MỤC LỤC MỤC LỤC THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU MỞ ĐẦU Chương 1: MIỀN DEDEKIND Chương 2: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .49 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự - Hạnh phúc KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Tp HCM, ngày 25 tháng 11 năm 2011 THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND - Mã số: T2011 – 108 - Chủ nhiệm: Võ Thị Vân Anh - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: từ tháng 11/2010 đến tháng 11/2011 Mục tiêu:  Nghiên cứu tính chất đặc trưng module chia miền Dedekind  Nghiên cứu cấu trúc module chia miền Dedekind Tính sáng tạo: Đề tài nghiên cứu cấu trúc module chia miền Dedekind dựa vào tính chất vành địa phương hóa miền Dedekind Ngồi ra, đề tài so sánh mối quan hệ module chia module nội xạ miền Dedekind với mối quan hệ module chia nội xạ miền ngun, miền ideal Kết nghiên cứu:  Đưa tính chất module chia miền Dedekind  Mơ tả cấu trúc module chia miền Dedekind  So sánh mối quan hệ module chia module nội xạ miền Dedekind với mối quan hệ module chia nội xạ miền ngun, miền ideal Sản phẩm: Tài liệu tham khảo chun ngành Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Kết nghiên cứu tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên đại học ngành Tốn học viên sau đại học chun ngành Đại số Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ngồi nước 1.1 Trong nước Luận văn thạc sĩ “Cấu trúc số lớp module vành chính” Dương Thị Phong Lan (xem [1]) nghiên cứu tính chất module chia miền ideal mơ tả cấu trúc lớp module miền ideal 1.2 Ngồi nước Irving Kaplansky phát biểu định lý cho phép mơ tả cấu trúc module chia miền Dedekind báo “Modules Over Dedekind Rings and Valuation Rings” (xem [6]) Tuy nhiên, I Kaplansky khơng chứng minh định lý Trong sách “An introduction to rings and modules with K-theory in view” (xem [4]), A Jon Berrick, M E Keating nghiên cứu module hữu hạn sinh miền Dedekind mơ tả cấu trúc module P-ngun sơ hữu hạn sinh miền Dedekind Tuy nhiên, hai tác giả chưa đưa kết cho trường hợp tổng qt module P-ngun sơ Tính cấp thiết đề tài Các miền Dedekind xem mở rộng gần gũi miền ideal chính, bảo lưu nhiều tính chất “giống” miền ideal Chẳng hạn, miền Dedekind phần tử phân tích thành tích ideal tối đại, ideal miền Dedekind ideal hữu hạn sinh Tuy nhiên, có nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal chính; chẳng hạn: ideal miền Dedekind nói chung khơng ideal chính, module module cyclic miền Dedekind khơng module cyclic, module module tự miền Dedekind khơng module tự do… Các kết nghiên cứu module miền Dedekind khơng nhiều, đồng thời chứng minh với kỹ thuật tương đối khác lạ so với miền ideal Chính vậy, chúng tơi chọn nghiên cứu đề tài “Module chia miền Dedekind” Mục tiêu  Nghiên cứu tính chất đặc trưng module chia miền Dedekind  Nghiên cứu cấu trúc module chia miền Dedekind Cách tiếp cận Địa phương hóa miền Dedekind Phương pháp nghiên cứu, đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.1 Phương pháp nghiên cứu: thu thập tài liệu, nghiên cứu tài liệu 5.2 Đối tượng nghiên cứu: Module chia 5.3 Phạm vi nghiên cứu: Miền Dedekind Nội dung nghiên cứu  Nghiên cứu tính chất module chia được, mối liên hệ module chia module nội xạ miền Dedekind  Mơ tả cấu trúc module chia miền Dedekind Chương 1: MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử ngun 1.1.1 Định nghĩa Cho A B miền ngun A  B Phần tử b  B gọi phần tử ngun A tồn đa thức đơn khởi f x   A x  , deg f  nhận b làm nghiệm Nói cách khác, b ngun A tồn a 0, a1, , an 1  A cho bn  an 1bn 1    a1b  a0  1.1.2 Định nghĩa Cho A B miền ngun, A  B Nếu phần tử b  B ngun A ta nói B ngun A 1.1.3 Mệnh đề Cho tháp miền ngun A  B Nếu B A -module hữu hạn sinh B ngun A 1.1.4 Hệ Cho A B miền ngun, A  B Giả sử b  B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b ngun A, ii) A b  A -module hữu hạn sinh, iii) A b  ngun A 1.1.5 Hệ Cho A B miền ngun, A  B Giả sử b1, , bn  B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b1, , bn ngun A , ii) A b1, , bn  A -module hữu hạn sinh,   iii) A b1, , bn  ngun A   1.1.6 Hệ Cho tháp miền ngun A  B Nếu b1, b2  B ngun A b1  b2, b1  b2, b1.b2 ngun A Nói cách khác, tập hợp phần tử B ngun A ,   AB  b  B b ngun A , vành B chứa A 1.1.7 Hệ Cho tháp miền ngun A  B  C Nếu B ngun A C ngun B C ngun A 1.2 Bao đóng ngun 1.2.1 Định nghĩa Cho A B miền ngun A  B   AB  b  B b ngun A gọi bao đóng ngun A B B gọi ngun A AB  B A gọi đóng ngun B AB  A 1.2.2 Nhận xét A  AB  B 1.2.3 Định nghĩa Cho A miền ngun, Q A trường thương A Bao đóng ngun A Q A gọi bao đóng ngun A QA Miền ngun A gọi đóng ngun A 1.3  A Vành Noether Trong phần này, ta giả sử R vành giao hốn   1.3.1 Định nghĩa Cho I n n  1, 2,  dãy vơ hạn ideal vành R Dãy I n  gọi dây chuyền tăng n I1  I    In   Dãy I n  gọi dây chuyền tăng nghiêm ngặt n I1  / I2  /  / In  /  1.3.2 Định nghĩa Cho dãy I n  dây chuyền tăng ideal vành R n Dãy I n  gọi dãy dừng tồn số ngun dương n0 cho n I n  I n , n  n 1.3.3 Định nghĩa Một vành R gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dây chuyền tăng ideal R dãy dừng Nói cách khác, R gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng R khơng chứa dây chuyền tăng nghiêm ngặt ideal 1.3.4 Định nghĩa Một vành R gọi vành Noether R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng 1.3.5 Định nghĩa Một vành R gọi thỏa mãn điều kiện tối đại tập hợp khơng rỗng gồm ideal R chứa phần tử tối đại 1.3.6 Mệnh đề Cho R vành Khi mệnh đề sau tương đương i) R vành Noether, ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại, iii) Mọi ideal R hữu hạn sinh 1.3.7 Bổ đề i) P ideal ngun tố vành R với ideal B, C R, BC  P B  P C  P ii) P ideal ngun tố vành R P  B1 Bk Bi  R   P  Bi , với i  1, 2, , k 1.3.8 Mệnh đề Mọi ideal khác vành Noether R chứa tích hay nhiều ideal ngun tố khác 0, chia được, mâu thuẫn với mệnh đề 2.3.3 Vậy M khơng có module tối đại Đảo lại, giả sử M khơng có module tối đại Ta chứng minh M module chia cách kiểm tra PM  M , với P ideal ngun tố D Giả sử tồn ideal ngun tố P D cho PM  M Khi đó, M D P PM -module với phép nhân ngồi định nghĩa m  PM a  P   ma  PM Phép nhân khơng phụ thuộc vào đại diện lớp ghép Thật vậy, m1  PM , a1  P   m2  PM , a2  P   M PM  D P a1  a2  P m1  m2  PM Suy a1 m1  m2   PM a1  a2  m2  PM Do đó, a1m1  a2m2  a1 m1  m2   a1  a2  m2  PM , hay a1m1  PM  a2m2  PM Hơn nữa, D  iI Gọi i P trường nên M sở M Hiển nhiên i , PM i I PM D P khơng gian vectơ D k k i 1 i 1  di i   di i , k  di i  PM i 1 Do đó, tồn y  PM cho x  x y k  dii  y, tức i 1 k  di i  i 1 36 P Ta kiểm tra M  i , PM  M Nếu x  M tồn d1, , dk  D x  x  PM  suy x  PM i , PM i I P i I cho Vậy M  i , PM i I Ta M có module tối đại Lấy cố định i0  I Xét module N  i , PM Thật vậy, i  N i  y  i  0 i I \i0  Khi i N  di i , với di  D, y  PM Suy i i0  di i , điều mâu thuẫn với tính độc lập i iI Vậy M  N i i0 Lấy   M \ N Ta chứng minh N ,   M , điều tương đương với i  N ,  Vì   M nên   y   di i , với di  D, y  PM i I Ta có di i  Thật vậy, giả sử di i  Do tính chất khơng gian 0 0 vectơ nên di  i  Vì di i  PM Khi đó, 0    di i  N ,   di i  y  mâu thuẫn với cách đặt N Như vậy, di  P Do 0 d i0 i i0  , P  Vì vậy, tồn a  D, b  P cho adi  b  Khi đó,    i  1.i  adi  b i  a x  y  di i   bi  N ,    i i  0    0 Vậy N ,   M , tức N module tối đại M , mâu thuẫn với giả thiết Do PM  M , hay M module chia 37 ■ 2.3.7 Mệnh đề Cho M D -module P -ngun sơ M M P  D -module chia Khi đó, M  N  E , với N module chia PE  Chứng minh Lấy cố định p  P \ P Xét ánh xạ f : M  pM cho f m   pm, m  M Dễ thấy f tồn cấu Hơn nữa, ker f  M P  Thật vậy, hiển nhiên M P   ker f Đảo lại, lấy x  ker f , x  giả sử O x   P k Khi đó, p  O x   P k Nếu k  p  P k  P 2, vơ lý Vậy  k  1, tức O x  P, hay x  M P    Theo định lý Noether, tồn đẳng cấu pM  M Vì M M P  M P  module chia nên pM module chia Theo mệnh đề 2.3.1, ta có pM hạng tử trực tiếp M M  pM  E Ta chứng minh PE  Nếu x  E px  E  pM  0 Suy x  ker f  M P  , tức Px  0, x  E Vậy PE  2.4 ■ Module tựa cyclic miền Dedekind 2.4.1 Định nghĩa Cho D miền Dedekind, Q D  trường thương D P ideal ngun tố D    Q D   Đặt D P   x  x có cấp lũy thừa P   D        38 ( ∞) thành phần P -ngun sơ D -module Ta gọi ( ∞) module tựa cyclic kiểu ∞ Q D  D D Tiếp theo, ta mơ tả cấu trúc module tực cyclic ( ∞)   2.4.2 Mệnh đề D P  sinh tập đếm phần tử a1, a2, , an ,  khác 0, thỏa Pa1   Pai 1, với i  1, 2, , n,    P Chứng minh Ta có D P   n n 1 D   Thật vậy, lấy x  D  D P  Khi đó, tồn số ngun dương n cho P n x  D, tức x  P n , hay x  D  P n D Ngược lại, x  D  P     P ( x  P n ) P n x  D, hay x  D  D P  Do D P   n Xét module P D  n 1 n n D D Theo bổ đề 1.4.17, tồn   P n cho P n    P n P n    D Suy P n n Do đó, P an  P n ) D D   D D module  D  n module cyclic Giả sử P D  D  an (với an  an  D,   Vậy D P  sinh tập đếm phần tử a1, a2, , an ,  khác Dễ thấy, Pa1   P 1 , với i  1, 2, , n,  39 ■   2.4.3 Mệnh đề Module tựa cyclic D P  có module cấp P n n  1, 2,  module module cyclic Mọi module thật   D P  module cyclic cấp hữu hạn   Chứng minh Giả sử D P  sinh tập đếm phần tử a1, a2, , an ,      Giả sử N module thật D P  Vì D P   N nên tồn số ngun dương i cho  N Khi đó, ak  N , k  i Gọi n số ngun dương lớn để an  N Ta chứng minh N  an Vì an  N nên an  N Lấy x  N \ 0 Vì  Pai 1, i  nên tồn số ngun dương t cho x  at Hơn nữa, a1  / a2  /  / Khi đó, x  mak an  /  Gọi k số nhỏ để x  ak  m , P   Suy tồn a  D, b  P k am  b  Vì ak  1.ak  am  b  ak  amak  ax  N Điều cho ta k  n (do tính lớn n ) Từ đó, suy ak  an , hay N  an Vậy N  an   Như vậy, module D P     a1  a2    an    D P  40 cho Module an có cấp P n ■   2.4.4 Mệnh đề D P  D -module chia Chứng minh Lấy cố định p  P \ P    Xét x  x  D  D P  có cấp O x  P n Khi đó, ordP x   n Đặt y  y  D  Ta có y  Q D  D  x p x  py Vì x  py  D nên ordP x  py   Nếu ordP x   ordP py     n,  ordP y   0, ordP x  py   ordP x  , ordP py  mâu thuẫn Vì ordP x   ordP py  Suy ordP y   n  1, tức y  P n 1,     Vậy D P   P.D P  Theo mệnh đề 2.3.5, ta có D P  D -module hay y  P n 1 D   D P  Do x  py  P D P    chia ■ 2.4.5 Mệnh đề Cho P ideal ngun tố miền Dedekind D , phần tử   p  P \ P Khi đó, module tựa cyclic D P  sinh đếm phần tử b1, b2, , bn ,  khác 0, thỏa Pb1  bi  pbi 1, với i  1, 2, , n,  41     Chứng minh D P  chứa phần tử b1 có cấp P Thật vậy, lấy x  D P  \ 0 , giả sử x có cấp P k , k  Chọn b1  P k 1x , b1  Dễ thấy b1 có cấp P     Do tính chất chia D P  nên tồn b2  D P  , b2  cho b1  pb2 … Thực tiếp tục vậy, ta phần tử b1, b2, , bn ,  khác   0, thuộc D P  thỏa b1 có cấp P bi  pbi 1, với i  1, 2, , n,  Cấp bi P i Thật vậy, ta chứng minh quy nạp Trường hợp i  hiển nhiên   Giả sử O bn  P n Khi đó,     P n  O bn  O pbn 1  Suy O bn 1  p  O bn 1      ordPO bn 1   ordP p   n  ordPO bn 1  ordP p  , ordPO bn 1   Do ordPO bn 1  n       Điều chứng tỏ O bn 1  P n 1 (vì D P  module P -ngun sơ)   Ta chứng minh D P  sinh tập đếm phần tử b1, b2, , bn ,      Vì O bn  P n n  1, 2,  nên bn  an   (mệnh đề 2.5.3) Vì D P   a1, a2, , an ,   b1, b2, , bn ,  2.5 Cấu trúc module chia miền Dedekind 42 ■ Trong lý thuyết nhóm, nhóm Abel chia tổng trực tiếp trường số hữu tỉ  nhóm tựa cyclic Mục đích ta phần mở rộng tính chất cho module miền Dedekind Cụ thể ta có định lý sau 2.5.1 Định lý (Cấu trúc module chia được) Cho M D -module chia Khi M tổng trực tiếp module tựa cyclic D module đẳng cấu với trường thương Q D D Ta cần hai bổ đề sau để chứng minh định lý 2.5.1 2.5.2 Bổ đề Cho D miền Dedekind P ideal ngun tố D Khi đó, tồn     đẳng cấu D -module D P   DP PDP   Trong DP PDP     Q DP     x  x có cấp lũy thừa PDP    DP      Chứng minh Vì D xem vành DP (do có đơn cấu tự nhiên D  DP ) nên trường thương Q D D trường thương DP , tức Q D   Q DP  Từ đó, theo mệnh đề 2.1.5 bổ đề 1.5.1, ta có   D P  Q D   D  Mặt khác,    D module  DP module  Q DP  P Q D  DP Q D    D    ,  P DP module DP  Q D  D DP -module xoắn nên theo mệnh đề 2.1.10, ta có Q D  DP   Q nguyên tố   DP Q  Tuy nhiên, DP có ideal ngun tố PDP nên 43 Q D  DP module  DP  Từ đó, ta có đẳng cấu D -module tương ứng     DP PDP   Q D  DP    DP PDP  Vậy D P   DP PDP  ■ 2.5.3 Bổ đề Cho R miền ideal chính, P ideal ngun tố R Nếu M R -module P -ngun sơ chia M đẳng cấu với tổng trực tiếp R module tựa cyclic kiểu P  Chứng minh Vì R miền ideal nên P  p ideal tối đại (với p phần tử ngun tố R ) Do R  P trường  Đặt M  p   x  M px  Khi đó, M  p  có cấu trúc R -khơng gian   P vectơ với phép nhân vơ hướng định nghĩa a  P  x  ax a  a  P  D P , x  M  p  Phép nhân khơng phụ thuộc vào đại diện lớp ghép Thật vậy, lấy a1, x   a2, x   R P  M p Suy a1  a2  pr r  R Ta có a1x  a2x  a1x  a2x  a1  a2  x  prx  Suy a1x  a2x   Như vậy, ta giả sử M  p  có số chiều  Đặt M    R P     M *  p   x  M px  Khi đó, M   p  khơng gian vectơ  -chiều R P Ta có đẳng cấu hai R -khơng gian vectơ M  p   M   p  Vì vậy, tồn P đẳng cấu R -module tương ứng M  p   M   p  Mặt khác, M , M  44     module chia (do giả thiết M    R P  , với R P  R -module chia  được) M P   M    p  , M  P   M   p  nên theo mệnh đề 2.4.2, ta có       M  M   R P  ■ Bây giờ, ta chứng minh định lý phần Chứng minh định lý 2.5.1 Giả sử T phần xoắn module M Khi đó, T   P nguyên tố MP Hơn nữa, T module chia Thật vậy, với x  T a  D \ 0 , M module chia nên tồn y  M cho x  ay Suy a y  T   ay  T  x  T  0M Điều cho ta y  T  0M T T (vì M T module khơng xoắn), tức y  T Do đó, T chia Theo bổ đề 2.3.1, ta có M  T  E Vì thế,   M   P  nguyên tố  M P   E  Vì M module chia nên E M P module chia Do T phần xoắn M  T  E nên E module khơng xoắn Như vậy, ta cần chứng minh mệnh đề cho hai trường hợp sau Trường hợp M module khơng xoắn chia Do M module chia nên với x  M , b  D \ 0 , tồn x1  M cho x  bx1 45 x1 phân tích Thật vậy, bx1  bx2 x1  x x1  x  (do M module khơng xoắn), hay x1  x Vì thế, ta đặt x1   x b Khi đó, M có cấu trúc Q D -module với phép nhân ngồi định nghĩa 1  a rx  a  x , r   Q D  , x  M b  b Do Q D trường nên Q D -module M trở thành khơng gian vectơ Giả sử X sở M   Với y  X , đặt Q D   ry r  Q D  Rõ ràng Q D   Q D  y Với x  M , ta có x  y  ry Do đó, M   Q D y Hơn nữa, X y X y X độc lập tuyến tính nên M   Q D    Q D  y X y y X Trường hợp M module P -ngun sơ chia Do M module chia nên với x  M , b  D \ P, tồn x1  M cho x  bx1 x1 phân tích Thật vậy, giả sử bx1  bx2 x1  x Khi đó, b  O x1  x   P n ( n số ngun dương đó), điều mâu thuẫn với cách chọn b Vì vậy, ta đặt x1   x b Khi đó, M DP -module với phép nhân ngồi định nghĩa 1  a rx  a  x  , r   Q D  , x  M b  b 46 Lấy x  M Vì M module P -ngun sơ nên tồn số tự nhiên n cho P n x  Mặt khác, theo chứng minh mệnh đề 1.4.25, ta có PDP    P \P  , với   n n n Vì thế,    x   x  n x  Do PDP  x    Vậy M DP -module PDP -ngun sơ Ta chứng minh M DP -module chia Với x  M với a  DP \ 0 , M D -module chia nên b tồn x1  M cho bx  ax1, tồn x  M cho x1  bx Suy bx  ax1  abx2 Cho nên b x  ax2   Do đó, x  ax2 (vì b  P M 1  a module P -ngun sơ) Điều cho ta x  ax  a  x1   x1 Vậy M DP b  b module chia Do M DP -module PDP -ngun sơ chia DP miền ideal nên theo bổ đề 2.5.1, ta có M DP module     DP PDP  Từ đó, ta có đẳng cấu D -module M D module       DP PDP  Mặt   khác, theo bổ đề 2.6.2, ta có đẳng cấu D -module D P   DP PDP    Vậy M  D P  ■ 47 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Chúng tơi đạt kết sau 1) Tương tự khái niệm nhóm tựa cyclic, chúng tơi xây dựng khái niệm module tựa cyclic miền Dedekind Sau đó, chúng tơi nghiên cứu tính chất mơ tả cấu trúc lớp module 2) Chúng tơi nghiên cứu tính chất module chia miền Dedekind Từ đó, chúng tơi mơ tả cấu trúc module chia miền Dedekind 3) So sánh mối quan hệ module chia module nội xạ miền Dedekind với mối quan hệ module chia nội xạ miền ngun, miền ideal Kết nghiên cứu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành Tốn học viên sau đại học chun ngành Đại số 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dương Thị Phong Lan (2005), Cấu trúc số lớp module vành chính, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Tp, Hồ Chí Minh [2] Ngơ Thúc Lanh (1985), Đại số (giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh [3] Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh Tiếng Anh [4] A Jon Berrick, M E Keating (2000), An introduction to rings and modules with K-theory in view, Cambridge University Press [5] Derek J S Robinson (1996), A course in the theory of groups, Springer-Verlag, New York [6] Irving Kaplansky (1952), “Modules Over Dedekind Rings and Valuation Rings”, Transactions of the American Mathematical Society, Vol 72, No (Mar., 1952), pp 327-340 [7] Joseph J Rotman (1995), An introduction to the theory of groups, SpringerVerlag, New York [8] L Fuchs (1960), Abelian Groups, Pergamon Press [9] M F Atiyah, I G Macdonald (1994), Introduction to commutative algebra, Westview Press [10] M.R Adhikari, A Adhikari (2003), Groups, Rings And Modules With Applications, Universities Press [11] Saban Alaca and Kenneth S Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press 49