Nhóm abel thương chia được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Văn Hiếu NHĨM ABEL THƯƠNG CHIA ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Văn Hiếu NHÓM ABEL THƯƠNG CHIA ĐƯỢC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài: “ Nhóm Abel thương chia được” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 Tác giả Trần Văn Hiếu LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới q thầy khoa Tốn - Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ nhiều việc hồn thành luận văn Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập làm việc suốt trình học Cao học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè, người bên cạnh động viên, giúp đỡ, ủng hộ vật chất tinh thần suốt trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy cô giáo bạn học viên TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 Tác giả Trần Văn Hiếu MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập thứ tự Bổ đề Zorn 1.2 Một số khái niệm nhóm Abel 1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng 11 Hệ p-độc lập tuyến tính 15 2.1 Hệ p-độc lập tuyến tính 15 2.2 Nhóm p-cơ sở nhóm Abel 18 Nhóm Abel thương chia 23 3.1 Khái niệm ví dụ nhóm thương chia 23 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 27 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 39 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm Abel nhánh quan trọng đại số đại Khái niệm nhóm thương chia không xoắn R Beaumont R Pierce đưa vào năm 1961 [5] Cho A nhóm khơng xoắn A gọi nhóm thương chia A chứa nhóm B cho B tự A/B nhóm xoắn tổng trực tiếp nhóm chia nhóm bị chặn Khái niệm mở rộng cho trường hợp nhóm hỗn hợp W Wickless A.Fomin vào năm 1998 [3].Trong báo mình, W Wickless A Fomin đối ngẫu hai phạm trù: phạm trù nhóm Abel thương chia phạm trù nhóm Abel không xoắn hạng hữu hạn với xạ giả đồng cấu Từ đó, việc nghiên cứu tính chất nhóm Abel thương chia cho phép đạt kết tương ứng nhóm Abel khơng xoắn hạng hữu hạn Nhóm thương chia nhận quan tâm nhiều nhà toán học U Albrecht, S Breaz, C Vinsonhaler, S Files, P Schultz, O Davydova, P Krylov, E Pakhomova, A Tsarev [6-12] Nội dung luận văn nghiên cứu trình bày có hệ thống kết nhóm Abel thương chia Các nội dung lấy từ báo A A Fomin, “To quotient divisible group theory I“, Fundam Prikl Mat., 17:8 (2012), 153–167; J Math Sci., 197:5 (2014), 688–697 Luận văn gồm ba chương: Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày kiến thức cần thiết tập hợp nhóm Abel để tìm hiểu chương Chương 2: “Hệ p-độc lập tuyến tính” trình bày khái niệm quan trọng nghiên cứu nhóm Abel thương chia khái niệm p-độc lập tuyến MỤC LỤC tính p-cơ sở Định nghĩa tính chất hệ p-độc lập tuyến tính p-hạng nhóm Abel nêu 2.1 Bài 2.2 trình bày kết nhóm p-cơ sở tính bị chặn phần xoắn nhóm A có p-hạng hữu hạn Chương 3: “Nhóm Abel thương chia được” chương trọng tâm luận văn Chương gồm Bài 3.1 trình bày khái niệm ví dụ nhóm thương chia Bài 3.2 trình bày tính chất quan trọng nhóm thương chia nhóm Ulm thứ nhóm thương chia MỤC LỤC Ký hiệu N: Tập hợp số tự nhiên Z: Tập hợp số nguyên Q: Tập hợp số hữu tỷ P: Tập hợp sô nguyên tố ∅: Tập hợp rỗng |S|: Lực lượng tập S S : Nhóm sinh tập hợp S ∩, ∪ : giao, hợp tập hợp A ≤ B: A nhóm B A/B: nhóm thương nhóm A theo nhóm B A ⊕ B: Tổng trực tiếp nhóm A nhóm B A∼ = B: Nhóm A đẳng cấu với nhóm B Zp : trường số nguyên mod p o(a): cấp phần tử a Z(p∞ ) : nhóm tựa cyclic kiểu p (m, n): Ước chung lớn hai số nguyên m n dimZp (A): số chiều nhóm A trường Zp Ai : tích trực tiếp ngồi nhóm Ai , i ∈ I i∈I Ai : tổng trực tiếp nhóm Ai , i ∈ I i∈I t(A): phần xoắn nhóm A (A): p-thành phần nhóm A CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập thứ tự Bổ đề Zorn Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai ≤ tập L gọi quan hệ thứ tự phần thỏa điều kiện : Với a ∈ L ta có a ≤ a Với a, b ∈ L a ≤ b b ≤ a a = b Với a, b, c ∈ L a ≤ b b ≤ c a ≤ b Tập hợp L tập thứ tự L có quan hệ thứ tự phần Định nghĩa 1.1.2 Hai phần tử a, b tập thứ tự gọi so sánh a ≤ b b ≤ a Một quan hệ thứ tự cặp phần tử so sánh được gọi quan hệ thứ tự toàn phần Tập hợp L quan hệ thứ tự ≤ gọi tập thứ tự toàn phần ≤ quan hệ thứ tự toàn phần 1.2 Một số khái niệm nhóm Abel Định nghĩa 1.1.3 Cho L tập thứ tự Khi Phần tử a ∈ L gọi phần tử tối đại L với phần tử x ∈ L, a ≤ x x = a Cho X tập L Một phần tử a ∈ L gọi chặn X x ≤ a với x ∈ X Bổ đề 1.1.4 (Bổ đề Zorn) Nếu tập hợp thứ tự L khác rỗng có tính chất: “mọi tập thứ tự toàn phần L có chặn thuộc L” tập L có phần tử tối đại 1.2 1.2.1 Một số khái niệm nhóm Abel Độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 Nhóm tập hợp A = ∅, xác định phép tốn hai ngơi thỏa điều kiện: i) Với x, y, z ∈ A ta có (x + y) + z = x + (y + z) ii) Tồn ∈ A cho với x ∈ A, ta có x + = + x = x iii) Với x ∈ A, tồn −x ∈ A cho (−x) + x = x + (−x) = Nếu nhóm A thỏa mãn x + y = y + x với x, y ∈ A A gọi nhóm Abel Trong luận văn nhóm xét nhóm Abel, nên để đơn giản ghi “nhóm” ta hiểu “nhóm Abel” Định nghĩa 1.2.2 Tập G nhóm A gọi nhóm A thỏa mãn điều kiện: i) G = ∅ ii) Với a, b ∈ G ta có a + (−b) ∈ G 3.1 Khái niệm ví dụ nhóm thương chia 26   r(t(G)) = r  p Zp  = ℵ0 (3.5) Từ (3.4), (3.5) suy r0 (G) = r(G) Suy G có hạng khơng xoắn vơ hạn nên theo Mệnh đề 3.1.4 G khơng phải nhóm thương chia Ví dụ 3.1.7 Trong p Zp ta xét tập hợp A gồm tất nghiệm phương trình có dạng n · x = m · với m, n ∈ Z, n = 0, = (1, 1, ) ∈ p Zp A nhóm thương chia hạng phần tử ∈ A sở Chứng minh: Ta có A nhóm p Zp Thật lấy x1 , x2 ∈ A suy tồn n1 , n2 , m1 , m2 ∈ Z, n1 , n2 = thỏa n1 · x1 = m1 · 1, n2 · x2 = m2 · Khi n1 n2 (x1 − x2 ) = n1 n2 x1 − n1 n2 x2 = n2 m1 · − n1 m2 · = (n2 m1 − n1 m2 ) · nên (x1 − x2 ) ∈ A Xét F = ⊂ A Dễ thấy F tự có hạng Lấy a ∈ A nên tồn n, m ∈ Z, n = thỏa n · a = m · Khi n(a + F ) = na + F = m · + F = F Vậy A/F xoắn Lấy a = (a1 , a2 , , ak , ) ∈ A p = pk số nguyên tố p|a Thật xét a − ak · = (a1 − ak , a2 − ak , , ak−1 − ak , 0, ak+1 − ak , ) Vì với i = k (pi , pk ) = nên áp dụng Bổ đề 1.3.15 ta có pk |ai − ak ∈ Zpi Do − ak = pk · bi Zpi Suy pk |(a − ak · 1) A, áp dụng Bổ đề 1.3.11 pk |a + F A/F Suy pA/F = A/F với số nguyên tố p nên theo Mệnh đề 1.3.13 A/F chia Hơn phần tử xoắn nghiệm phương trình có dạng n · x = · với n ∈ Z nên nhóm A chứa tất phần tử xoắn p Zp ⊂ A ⊂ Vì A chứa tất phần tử xoắn p p p Zp Do Zp Zp Bổ đề 3.1.5 nên lấy phần tử xoắn = a = (ai ) ∈ A, ∈ Zpi với hầu hết ngoại trừ số hữu hạn , i ∈ I Với i ∈ I = nên pi Zpi , suy pi a A Do A khơng chứa nhóm xoắn chia khác Vậy A nhóm thương chia hạng phần tử ∈ A sở 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 3.2 27 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia Bổ đề 3.2.1 Lấy a1 , a2 , , an phần tử nhóm A F = a1 , a2 , , an Khi đó, điều sau tương đương: i) Nhóm thương A/F chia ii) Với số nguyên dương m, nhóm A/mA sinh phần tử a1 = a1 + mA, , an = an + mA ∈ mA hay A/mA = a1 , , an iii) Với số nguyên tố p nhóm A/pA sinh phần tử a1 = a1 + pA, , an = an + pA ∈ pA hay A/pA = a1 , , an Chứng minh: Giả sử A/F chia được, cho m ∈ Z Lấy a ∈ A, A/F chia nên tồn b ∈ A thỏa a + F = m(b + F ) Do a − mb ∈ F F = a1 , a2 , , an nên a − mb = k1 a1 + + kn an Vì a − (k1 a1 + + kn an ) = mb ∈ mA Suy a + mA = k1 a1 + + kn an Vậy phần tử a + mA nhóm A/mA biểu diến dạng a = k1 a1 + + kn an nghĩa A/mA = a1 , , an Hiển nhiên với số nguyên dương m, nhóm A/mA sinh phần tử a1 = a1 +mA, , an = an +mA ∈ mA hay A/mA = a1 , , an với số ngun tố p nhóm A/pA sinh phần tử a1 = a1 +pA, , an = an + pA ∈ pA hay A/pA = a1 , , an Bây giả sử A/pA = a1 , , an với p nguyên tố Lấy a ∈ A, tồn hệ số nguyên k1 , , kn thỏa a = k1 a1 + + kn an Suy a − (k1 a1 + + kn an ) = pc ∈ pA( với c ∈ A) Do a − pc = k1 a1 + + kn an ∈ F hay A/F = p(A/F ) với p nguyên tố Vì A/F chia 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 28 Bổ đề 3.2.2 Nếu B nhóm xoắn T ≤ B (B/T ) = (t(B) + T )/T hay với phần tử b + T ∈ (B/T ) tồn bp ∈ (B) cho b + T = bp + T Chứng minh: Cho b + T ∈ (B/T ) Vì B xoắn nên B = bp ∈ (B), b ∈ tq (B) nên đặt b = bp + b với tq (b) Ta chứng minh b ∈ T q=p Vì b + T ∈ (B/T ) nên ps b = t ∈ T Đặt t = tq + t với ∈ (T ), t ∈ t)q(A) Suy ps b+ps b = +t Suy ps b = t ∈ tq (T ) ⊆ q=p q=p tq (T ) ⊆ T q=p Vì (o(b ), p) = nên b ∈ b = ps b ∈ T Do b + T = bp + b + T = bp + T Suy pm b + T = pm bp + T = T Vậy (B/T ) bị chặn Suy (B/T ) không chia theo Mệnh đề 1.3.22 Do khơng chứa p-nhóm tựa cyclic Định lý 3.2.3 Nếu A nhóm thương chia hạng n rp (A) ≤ n với số nguyên tố p Chứng minh: Lấy a1 , , an sở nhóm thương chia A F = a1 , , an Khi A/F chia Hơn A/pA không gian vec-tơ trường Zp Theo Bổ đề 3.2.1, không gian vec-tơ A/pA trường Zp sinh n vec-tơ với số nguyên tố p Suy rp (A) = dimZp (A/pA) ≤ n Định lý 3.2.4 Cho T nhóm xoắn nhóm thương chia A Khi nhóm thương A/T nhóm thương chia nhóm A/t(A) nhóm thương chia khơng xoắn Chứng minh: Vì A nhóm thương chia nên tồn nhóm F tự A cho A/F xoắn chia Ta ký hiệu A = A/T Khi thu hẹp tồn cấu tắc f : A −→ A a −→ a = a + T 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 29 nhóm F đơn cấu Thật vậy, lấy a ∈ Ker f f (a) = a + T = hay a ∈ T Do a ∈ F ∩ T = T nhóm xoắn F nhóm tự khơng xoắn Vậy thu hẹp f nhóm F đơn cấu, mà F tự nên theo Bổ đề 1.3.9 nhóm F = f (F ) tự Xét toàn cấu g : A −→ A/F a −→ a + F Khi ánh xạ hợp gf : A −→ A/F a −→ a + F toàn cấu Thật vậy, lấy a + F ∈ A/F Ta có gf (a) = g(f (a)) = g(a) = a + F nên gf tồn cấu Lấy a ∈ Ker gf (gf )(a) = Suy a ∈ F hay a + T ∈ F + T Suy a − F ∈ T Do a ∈ F + T Lấy a ∈ F + T a + T ∈ F + T Suy a ∈ F nên (gf )(a) = Do a ∈ Ker gf Vậy Ker gf = F + T Áp dụng định lý 1.2.14 cho toàn cấu gf ta A/F ∼ = A/(F + T ) Hơn áp dụng định lý 1.2.15 cho F + T, F, A ta có A/(F + T ) ∼ = (A/F )/ (F + T )/F Vì A/F xoắn chia nên theo Bổ đề 1.3.14 ta có (A/F )/ (F + T )/F xoắn chia Giả sử A/T chứa nhóm B/T xoắn chia khác Lấy b+T ∈ B/T Do B/T xoắn nên tồn n ∈ N∗ thỏa nb ∈ T Suy tồn m ∈ N∗ thỏa mnb = Suy b ∈ t(A) Do B nhóm xoắn Mặt khác A nhóm thương chia nên A khơng chứa tựa nhóm cyclic kiểu p từ Định lý 3.2.3 ta có rp (A) hữu hạn Áp dụng Hệ 2.2.5 ta có (A) bị chặn Vì B ⊂ A nên (B) ⊂ (A) Suy (B) bị chặn Do B/T khơng chia được, mâu thuẫn với giả thuyết Vậy A/T khơng chứa nhóm xoắn chia khác Vậy A nhóm thương chia Áp dụng Mệnh đề 1.3.3 ta có t(A) nhóm xoắn A nên A/t(A) nhóm thương chia khơng xoắn 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 30 Định lý 3.2.5 Cho A nhóm thương chia hạng n Khi với số nguyên tố p ta có A = (A) ⊕ Ap (A) = C1 ⊕ · · · ⊕ Cmp tổng trực tiếp hữu hạn p-nhóm cyclic với ≤ mp ≤ n Ap nhóm thương chia (Ap ) = mp + rp (Ap ) = rp (A) ≤ n Chứng minh: A nhóm thương chia hạng n nên theo Bổ đề 3.2.3 rp (A) ≤ n với số nguyên tố p Do tất p-thành phần nhóm t(A) bị chặn nghĩa tồn ≤ s ∈ Z thỏa ps (A) = Nên (A) khơng thể chứa tựa nhóm cyclic kiểu p Vì với số nguyên tố p, áp dụng Định lý 2.2.4 cho nhóm A ta có A = (A) ⊕ Ap (A) = C1 ⊕ · · · ⊕ Cmp tổng trực tiếp hữu hạn m p-nhóm cyclic (Ap ) = m + rp (Ap ) = rp (A) Mặt khác (A) nhóm xoắn nhóm thương chia A nên theo Định lý 3.2.4 A/tp (A) nhóm thương chia Mà A = (A) ⊕ Ap suy Ap = A/tp (A) nên Ap nhóm thương chia Định nghĩa 3.2.6 Một nhóm A gọi tách tổng trực tiếp nhóm xoắn nhóm khơng xoắn A = t(A) ⊕ B Định lý 3.2.7 Nhóm thương chia A tách phần xoắn t(A) A hữu hạn 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 31 Chứng minh: Theo Định lý 2.2.4 ta có p thành phần nhóm thương chia A hữu hạn Do phần xoắn t(A) nhóm thương chia A hữu hạn số p thành phần khác A hữu hạn Cho nhóm t(A) = tp1 (A)⊕ · · ·⊕tps (A) hữu hạn Áp dụng Định lý 2.2.4 quy nạp theo s p thành phần khác ta có A = tp1 (A) ⊕ · · · ⊕ tps (A) ⊕ B, với B nhóm khơng xoắn Vì A = t(A) ⊕ B tách Giả sử t(A) vơ hạn nhóm A tách được, A = t(A) ⊕ B với B không xoắn Lấy a1 , · · · , an sở nhóm thương chia A A/ a1 , · · · , an xoắn chia Khi a1 = t1 + b1 , a2 = t2 + b2 , · · · , an = tn + bn (3.6) với t1 , , tn ∈ t(A) có cấp tương ứng m1 , , mn b1 , , bn ∈ B Vì t(A) vơ hạn có vơ số p thỏa (A) = nên ta chọn số nguyên tố p cho (A) = p nguyên tố với m1 , , mn Khi   A = (A) ⊕      tq (A)  ⊕ B   q=p Từ (3.6) suy a1 , , an ∈ tq (A) ⊕ B Suy F = tq (A) ⊕ B Đặt A = q=p q=p a1 , , an ⊂ A Khi A/F = (A) ⊕ A /F = (tp (A) ⊕ F )/F ⊕ (A /F ) Theo Định lý 3.2.5 (A) tổng trực tiếp hữu hạn m p-nhóm cyclic Do A/F chứa hạng tử trực tiếp nhóm cyclic nên theo Mệnh đề 1.3.16 A/F khơng phải nhóm chia Điều mâu thuẫn nên A khơng tách Bổ đề 3.2.8 Cho G = A ⊕ B Khi G/pG ∼ = A/pA ⊕ B/pB Chứng minh: f : G/pG −→ A/pA ⊕ B/pB g + pG −→ (a + pA; b + pB) với g = a + b, a ∈ A, b ∈ B (1) Biểu diến (1) g G = A ⊕ B 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 32 Lấy g1 = a1 + b1 , g2 = a2 + b2 Khi f (g1 + pG) + (g2 + pG) = f (g1 + g2 + pG) = (a1 + a2 + pA; b1 + b2 + pB) = (a1 + pA; b1 + pB) + (a2 + pA; b2 + pB) = f (g1 + pG) + f (g2 + pG) Vậy f đồng cấu Lấy g + pG ∈ G/pG thỏa f (g + pG) = với g = a + b Ta có a + pA = pA b + pB = pB Suy a ∈ pA ⊂ G b ∈ pB ⊂ pG Do g = a + b ∈ pG Suy g + pG = pG Suy f đơn cấu Lấy (a + pA; b + pB) ∈ A/pA ⊕ B/pB Khi f (a + b) = (a + pA; b + pB) nên f toàn cấu Vậy f đẳng cấu nên G/pG ∼ = A/pA ⊕ B/pB Định lý 3.2.9 Cho A nhóm thương chia được, p số nguyên tố Nếu p hạng nhóm thương chia A bé hạng A nhóm B = C ⊕ A nhóm thương chia với p-nhóm cyclic C Chứng minh: Lấy a1 , , an sở nhóm thương chia A r = rp (A), r < n Theo Bổ đề 3.2.1 không gian véc-tơ A/pA trường Zp sinh phần tử a1 = a1 + pA, , an = an + pA Tập sinh chứa sở không gian véc-tơ, giả sử a1 , , ar Khi tồn số nguyên k1 , , kr cho ar+1 − (k1 a1 + + kr ar ) ∈ pA (3.7) o(c) = pm (3.8) Lấy c ∈ A phần tử sinh p-nhóm cyclic C = c Đặt bi = i = r + 1, br+1 = c + ar+1 (3.9) Đặt G = b1 , , bn ⊂ B Giả sử tồn hệ số nguyên k1 , , kn thỏa k1 b1 + .+kn bn = Khi từ (3.9) k1 a1 + .+kn an +kr+1 c = Suy −kr+1 c = k1 a1 + .+kn an ∈ C ∪A = Suy −k + 1c = k1 a1 + + kn an = Do a1 , , an độc lập tuyến tính nên k1 a1 = = kn an = Suy k1 b1 = = kr br = kr+2 br+2 = = kn bn = 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 33 Hơn kr+1 br+1 = kr+1 (ar+1 + c) = kr+1 ar+1 + kr+1 c = Ngoài o(b1 ) = = o(bn ) = ∞ Vậy G nhóm tự hạng n Lấy b = x + a ∈ B với x ∈ C, a ∈ A Do x ∈ C = c nên từ (3.8) ta có pm x = Mặt khác A nhóm thương chia có a1 , , an sở nên A/ a1 , , an nhóm xoắn Suy với a ∈ A tồn s ∈ N thỏa n sa ∈ a1 , , an Khi sa = m n ki với ki ∈ Z Suy p sa = i=1 pm ki Hơn i=1 từ (3.8), (3.9) ta có pm br+1 = pm (c + ar+1 ) = pm c + pm ar+1 = pm ar+1 Suy pm sa = n pm ki bi Khi pm sb = pm s(x + a) = pm sa ∈ b1 , , bn = G nên i=1 B/G nhóm xoắn Ta chứng minh nhóm B/G chia Vì G = b1 , , bn nên từ 3.2.1 ta chứng minh B/qB = b1 + B, , bn + B với số nguyên tố q Cho b ∈ B = C ⊕ A Khi b = kc + a với k ∈ Z, a ∈ A (3.10) TH1: Xét số ngun tố p Vì A nhóm thương chia nên từ (3.7) ta có tồn s1 , , sr ∈ Z cho a + pA = s1 a1 + + sr ar + pA Suy a = s1 a1 + + sr ar + px với x ∈ A (3.11) Từ (3.10), (3.11) suy b = sc + s1 a1 + + sr ar + px Mà x ∈ A ⊆ B nên b = s(br+1 − ar+1 ) + s1 a1 + + sr ar + px Từ (3.8) ta có ar+1 = k1 a1 + + kr ar + py với y ∈ A Suy b = sbr+1 + (s1 − sk1 )a1 + + (sr − skr )ar + p(x + y) Suy b + pB ∈ b1 + pB, , bn + pB Vì vậy, khơng gian véc-tơ B/pB sinh phần tử b1 = b1 + pB, , bn = bn + pB ∈ B/pB TH2: q = p Ta có b = kc + a (3.12) Vì C = c , o(c) = pm (p.q) = nên theo Bổ đề 1.3.15 ta có C = qC Suy kc ∈ qC ⊆ qB Suy kc = qx (3.13) 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 34 Mặt khác từ Bổ đề 3.2.1 ta có A/qA = a1 + qA, , ar + qA Suy tồn s1 , , sn ∈ Z cho a − s1 a1 − − sn an = qy ∈ qA ⊆ qB Suy a = s1 a1 + + sn an + qy (3.14) Từ (3.12),(3.13),(3.14) suy b = qx + s1 a1 + + sn an + qy Suy b + qB = (s1 a1 + qB) + + (sn an + qB).Vì khơng gian véc-tơ B/qB sinh phần tử b1 = b1 + qB, , bn = bn + qB ∈ B/qB Áp dụng Bổ đề 3.2.1 nhóm B/G chia Ta chứng minh t(B) = C ⊕ t(A) Thật lấy b = x + a ∈ t(B) với x ∈ C, a ∈ A Suy tồn n ∈ N thỏa nb = Suy na + nx = Mà na ∈ A, nx ∈ C, A ∪ C = nên na = Suy a ∈ t(A) Do b ∈ C ⊕ t(A) nên t(B) ⊂ C ⊕ t(A) Mặt khác lấy x + a ∈ C ⊕ t(A) Do a ∈ t(A) nên tồn n ∈ N thỏa na = Khi npm (x + a) = npm x + npm a = Suy x + a ∈ t(B) nên C ⊕ t(A) ⊂ t(B) Hiển nhiên C ∪ t(A) ⊂ C ∪ A = Vậy t(B) = C ⊕ t(A) Mà C bị chặn t(A) bị chặn nên t(B) bị chặn Suy B khơng chứa nhóm xoắn chia khác Vậy B = C ⊕ A nhóm thương chia Mệnh đề 3.2.10 Cho n ∈ N có dạng phân tích ngun tố n = pk11 · · pks s Khi với nhóm A ta có s pki i A nA = i=1 Chứng minh: Hiển nhiên ta có nA ⊂ pki i A với i = 1, , s Khi s pki i A nA ⊂ i=1 Lấy s a∈ pki i A i=1 Khi tồn phần tử b1 , , bs ∈ A cho a = pki i bi với i = 1, , s Đặt −k2 −ks n1 = p−k n, n2 = p2 n, , ns = ps n 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 35 Khi n1 , , ns có ước chung lớn nên Áp dụng Bổ đề ?? tồn hệ số nguyên u1 , , us thỏa u1 n1 + u2 n2 + + us ns = (3.15) −ki ki i Với i = 1, , s ta có ni a = p−k i n · a = pi n · pi bi = nbi Nhân vế (3.15) với a ta a = u1 (n1 a) + u2 (n2 a) + + us (ns a) = u1 (nb1 ) + u2 (nb2 ) + + us (nbs ) = n(u1 b1 + u2 b2 + + us bs ) ∈ nA s Do a ∈ nA Suy pki i A ⊂ nA i=1 s pki i A Vậy nA = i=1 Định nghĩa 3.2.11 Nhóm A1 = nA 0=n∈Z gọi nhóm Ulm thứ nhóm A Hệ 3.2.12 Cho A1 nhóm Ulm thứ nhóm A Khi pk A A1 = p∈P,k∈N với p số nguyên tố, k nguyên dương Chứng minh: Hiển nhiên ta có A1 = nA ⊂ pk A 0=n∈Z Với = n ∈ Z, giả sử n = pk11 · · · · · pks s với pi số nguyên tố, s ∈ N theo s Mệnh đề 3.2.10 ta có nA = pki i A ⊃ pk A Do A1 ⊃ pk A i=1 Vậy A1 = pk A Bổ đề 3.2.13 Cho A = B ⊕ C Khi a = b + c với a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C chia hết cho n ∈ N b c chia hết cho n Định lý 3.2.14 Cho A1 = nhóm Ulm thứ nhóm thương chia A Khi A1 nhóm chia khơng xoắn hạng hữu hạn 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 36 Chứng minh: Lấy A nhóm thương chia Theo Định lý 2.1.8 với số nguyên tố p tồn số nguyên mp ≥ cho (pmp A) = (3.16) Mà A1 ⊂ pmp A với p nên (A1 ) = với số ngun tố p Do A1 nhóm khơng xoắn Lấy = a ∈ A1 lấy p số nguyên tố Theo Định lý 3.2.5 ta có A = (A) ⊕ Ap (3.17) Giả sử a = t + b với t ∈ (A) b ∈ Ap Áp dụng Hệ 3.2.12 ta có pk A nên A1 ⊆ k∈N pn |a với n ∈ N (3.18) Từ (3.17) Bổ đề 3.2.13 suy t chia hết cho lũy thừa p (A) Mà theo Hệ 2.2.5 ta có (A) bị chặn A nhóm thương chia nên t = Do a ∈ Ap (3.19) Ta chứng minh tồn b ∈ Ap thỏa pb = a (3.20) • Do a ∈ A1 nên tồn a ∈ A thỏa pa = a Từ (3.17) suy tồn c ∈ (A), b ∈ Ap thỏa a = c + b Khi a = p(c + b) = pc + pb Từ (3.19) ta có a ∈ Ap nên a − pb = pc ∈ Ap ∪ (A) = Suy a = pb • Giả sử tồn b ∈ Ap thỏa pb = a Khi p(b − b ) = Do (Ap ) = suy b = b Vậy tồn b ∈ Ap cho pb = a Ta chứng minh b ∈ A1 Thật cho s ∈ N Từ (3.18) tồn c ∈ A cho a = ps+mp +1 c = ps+mp +1 (t + b ) với t ∈ (A), b ∈ Ap Suy pb = ps+mp +1 t + ps+mp +1 b Suy pb = ps+mp +1 b Do p(b − ps+mp b ) = Suy b − ps+mp b ∈ (A) ∪ Ap = Suy b = ps+mp b Vì phần tử b thuộc q s A với số nguyên tố q số nguyên dương s Áp dụng Hệ 3.2.12 suy 3.2 Các tính chất quan trọng nhóm thương chia 37 b ∈ A1 Vì A1 nhóm p chia hay A1 = pA1 với số nguyên tố p Áp dụng Mệnh đề 1.3.13 suy A1 nhóm chia Giả sử hạng nhóm thương chia A n a1 , , an sở nhóm thương chia A Ta chứng minh a1 , , an độc lập tuyến tính tối đại thỏa o(a1 ) = = o(an ) = ∞ Đặt F = a1 , , an A/F nhóm xoắn chia Lấy a ∈ A, o(a) = ∞ Do A/F xoắn nên tồn k ∈ N thỏa ka ∈ F Suy ka = k1 a1 + + kn an với k1 , , kn ∈ Z Mà ka = nên {a, a1 , , an } phụ thuộc tuyến tính Suy hệ {a1 , , an } độc lập tuyến tính tối đại Vậy hạng khơng xoắn A không vượt n Mà A1 ⊂ A nên hạng không xoắn A1 bé hạng không xoắn A nên hữu hạn KẾT LUẬN Trong luận văn thực công việc sau: Trình bày số kết hệ p-độc lập tuyến tính : mối liên hệ tập p-độc lập tuyến tính tối đại nhóm sở không gian véc-tơ trường Zp (Định lý 2.2.4); nhóm có p-hạng hữu hạn khơng chứa tựa nhóm cyclic kiểu p bị chặn (Hệ 2.2.5) Trình bày chi tiết có hệ thống việc mơ tả Nhóm Abel thương chia : cấu trúc nhóm thương chia hạng n (Định lý 3.2.5); tính chất nhóm thương chia có p-hạng bé hạng (Định lý 3.2.9); nhóm Ulm thứ nhóm thương chia nhóm chia không xoắn hạng hữu hạn (Định lý 3.2.14) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Fuchs, Abelian groups Springer Monographs in Mathematics, 2015 [2] Nguyễn Viết Đông Trần Huyên, Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [3] A A Fomin, “To quotient divisible group theory I“, Fundam Prikl Mat., 17:8 (2012), 153–167; J Math Sci., 197:5 (2014), 688–697 [4] L Fuchs, Infinite Abelian Groups, Vols 1, 2, Academic Press, New York (1970, 1973) [5] R Beaumont and R Pierce, Torsion-free rings, Illinois J Math., 5, 61–98 (1961) [6] U Albrecht, S Breaz, C Vinsonhaler, and W Wickless, Cancellation properties for quotient divisible groups, J Algebra, 317, No 1, 424–434 (2007) [7] U Albrecht, S Breaz, and W Wickless, Purity and self-small groups, Commun Algebra, 35, No 11, 3789–3807 (2007) [8] U Albrecht and W Wickless, Finitely generated and cogenerated QD groups, in: Rings, Modules, Algebras, and Abelian Groups, Lect Notes Pure Appl Math., Vol 236, Marcel Dekker, New York (2004), pp 13–26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 [9] S Breaz, Warfield dualities induced by self-small mixed groups, J Group Theory, 13, No 3, 391–409 (2010) [10] O I Davydova, Rank-1 quotient divisible groups, J Math Sci., 154 No 3, 295–300 (2008) [11] P A Krylov and E G Pakhomova, Abelian groups and regular modules, Math Notes, 69, No 3–4, 364–372 (2001) [12] W Wickless, Direct sums of quotient divisible groups, Commun Algebra, 31, No 1, 79–96 (2003) ... CHƯƠNG NHÓM ABEL THƯƠNG CHIA ĐƯỢC 3.1 Khái niệm ví dụ nhóm thương chia Định nghĩa 3.1.1 Một nhóm A gọi nhóm thương chia Nhóm A chứa nhóm tự F hạng hữu hạn thỏa nhóm thương A/F xoắn chia Nhóm A... nên nhóm khơng xoắn Nhóm chia khơng xoắn có hạng hữu hạn nhóm thương chia 3.1 Khái niệm ví dụ nhóm thương chia 24 Nhóm thương chia có hạng nhóm Từ Ví dụ Z Q nhóm thương chia Ví dụ 3.1.3 Nhóm. .. T nhóm xoắn nhóm thương chia A Khi nhóm thương A/T nhóm thương chia nhóm A/t(A) nhóm thương chia khơng xoắn Chứng minh: Vì A nhóm thương chia nên tồn nhóm F tự A cho A/F xoắn chia Ta ký hiệu A