Module tựa tự do trên miền Dedekind

Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Viết Huy MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Footer Page of 16 Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Viết Huy MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán-Tin, quý thầy cô môn Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng trình viết luận văn Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn trình nghiên cứu Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Tp.Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Phạm Viết Huy Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 MỘT SỐ KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .6 A MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử nguyên 1.2 Bao đóng nguyên 1.3 Vành Noether 10 1.4 Miền Dedekind 11 1.5 Một số kết vành giao hoán 24 B MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND 24 1.6 Module tự miền Dedekind 24 1.7 Cấp phần tử module miền Dedekind 26 1.8 Module cyclic miền Dedekind 32 CHƯƠNG II MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND .41 2.1 Định nghĩa module tựa tự miền Dedekind 41 2.2 Cơ sở module tựa tự miền Dedekind 43 2.3 Sự đẳng cấu hai module tựa tự miền Dedekind 50 2.4 Điều kiện cần đủ để P-module miền Dedekind module tựa tự 52 KẾT LUẬN .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO .60 Footer Page of 16 Header Page of 16 MỘT SỐ KÝ HIỆU A[ x], A[ x1 ,x2 , ,xn ] Vành đa thức miền nguyên A Q( A) Trường thương miền nguyên A AB Bao đóng nguyên A B PR P ideal vành R S −1R Vành thương vành R theo tập nhân S p Ideal sinh p OK Vành số K nguyên Z ord P ( A) Cấp ideal A ứng với ideal nguyên tố P A B Ideal A chia hết cho ideal B BA Ideal B ước ideal A ( A, B ),[A, B ] Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ hai ideal A, B DP Vành địa phương hóa vành D theo ideal nguyên tố P X Module sinh tập hợp X X Lực lượng tập hợp X O( x) Cấp phần tử x MP Thành phần P-nguyên sơ module M MT Phần xoắn module M M ⊗N Tích tenxơ hai module M, N Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết module tự do, đặc biệt module tự miền ideal có vai trò đặc biệt quan trọng Trong lý thuyết module nói riêng đại số nói chung có nhiều kết đẹp thú vị module tự miền ideal Như ta biết, miền Dedekind xem mở rộng gần gũi miền ideal chính, bảo lưu nhiều tính chất “giống” miền ideal chính, bên cạnh có nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal Module tự định nghĩa tổng trực tiếp họ module cyclic không xoắn Từ đây, cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi sau: “Tại định nghĩa module tự lại có yêu cầu module cyclic không xoắn? Nếu ta bỏ điều kiện không xoắn kết thay đổi nào? Và ta thay miền ideal thành miền Dedekind kết thay đổi nào?” Chúng gọi module mà phân tích thành tổng trực tiếp module cyclic module tựa tự Như module tựa tự xem khái niệm mở rộng module tự kết nghiên cứu chưa nhiều Chính mà định chọn đề tài “Module tựa tự miền Dedekind” để nghiên cứu tìm hiểu Trong luận văn này, xây dựng mở rộng số kết module miền ideal sang module miền Dedekind, giới thiệu tính chất module tựa tự miền Dedekind, đặc biệt khảo sát, giống khác module tựa tự miền ideal module tựa tự miền Dedekind Footer Page of 16 Header Page of 16 Luận văn chia thành chương: Chương 1: Các khái niệm Trong chương này, trình bày kiến thức miền Dedekind, xây dựng nghiên cứu tính chất cấp phần tử module miền Dedekind, tính chất module cyclic miền Dedekind Chương 2: Module tựa tự miền Dedekind Là chương luận văn, trình bày số kết module tựa tự miền Dedekind Vì thời gian khả hạn chế, luận văn có thiếu sót định Kính mong quý thầy cô bạn vui lòng bảo lượng thứ Footer Page of 16 Header Page of 16 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN A MIỀN DEDEKIND 1.1 Phần tử nguyên 1.1.1 Định nghĩa Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi phần tử nguyên A tồn đa thức đơn khởi f ( x) ∈ A [ x ] ,deg f ≥ nhận b làm nghiệm Nói cách khác, b nguyên A tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ A cho b n + an−1b n−1 + + a1b + a0 = 1.1.2 Định nghĩa Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Nếu phần tử b ∈ B nguyên A ta nói B nguyên A 1.1.3 Mệnh đề Cho tháp miền nguyên A ⊂ B Nếu B A-module hữu hạn sinh B nguyên A Chứng minh Giả sử b1 , b2 , , bm hệ sinh A-module B 1, 2, , m) cho Với b ∈ B* , tồn aij ∈ A(i, j = b1b= a11b1 + + a1mbm b b= a b + + a b  21 2m m   bm= b am1b1 + + ammbm Do hệ phương trình (a11 − b) x1 + a12 x2 + + a1m xm = a x + (a − b) x + + a x =  21 22 2m m   am1 x1 + am x2 + + (amm − b) xm = Footer Page of 16 Header Page of 16 có nghiệm không tầm thường ( x1 , x2 , , xm ) = ( b1 , b2 , , bm ) Vì vậy, định thức ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính 0, a11 − b a12 a1m a21 a22 − b a2 m =0     am1 am amm − b Khai triển định thức, ta phương trình b m + am−1b m−1 + + a1b + a0 = với a0 , a1 , , am−1 ∈ A Vì b nguyên A 1.1.4 Hệ Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Giả sử b ∈ B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b nguyên A ii) A [b ] A-module hữu hạn sinh iii) A [b ] nguyên A Chứng minh Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) Giả sử b nguyên A Khi đó, tồn a0 , a1 , , an −1 ∈ A cho b n + an−1b n−1 + + a1b + a0 = { } Ta chứng minh 1, b, , b n−1 hệ sinh A [b ] A Đầu tiên, ta chứng minh quy nạp (theo k) b k biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n−1 với hệ số thuộc A Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Giả sử bi biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 ,với i ≤ k (k ≥ n) Nhân với b k +1− n , ta hai vế b n + an −1b n −1 + + a1b + a0 = b k +1 + an−1b k + + a1b k + 2−n + a0b k +1−n = Suy b k +1 =−an−1b k − − a1b k + 2−n − a0b k +1−n Vì b k , , b k + 2− n , b k +1− n biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 (giả thiết quy nạp), nên b k +1 biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A Vậy b k (k ∈ N ) biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A Với x ∈ A [b ] , x = a0 + a1b + + ak b k ,(ai ∈ A) Vì 1, b, , b k biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n −1 với hệ số thuộc A nên x biểu thị tuyến tính qua 1, b, , b n−1 với hệ số thuộc A Vậy A[b ] A-module hữu hạn sinh 1.1.5 Hệ Cho A B miền nguyên, A ⊂ B Giả sử b1 , , bn ∈ B Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) b1 , , bn nguyên A ii) A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh iii) A [b1 , , bn ] nguyên A Chứng minh Dễ thấy ii ) ⇒ iii ) iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh i ) ⇒ ii ) Giả sử b1 , , bn nguyên A, ta chứng minh A [b1 , , bn ] A-module hữu hạn sinh quy nạp theo n Mệnh đề n = (hệ 1.1.4) Giả sử mệnh đề với n-1 Khi đó, A [b1 , , bn−1 ] A-module hữu hạn sinh Vì bn nguyên A nên bn nguyên A [b1 , , bn−1 ] Vì thế, theo hệ 1.1.4, ta Footer Page 10 of 16 Header Page 49 of 16 47 Thật giả sử ∑a x i si si ∈S ∑a p si ∈S ksi −1 i = Thay xsi = p si = Do S độc lập nên ta có p ksi −1 ksi −1 si vào đẳng thức ta có si = hay xsi= 0, ∀i Tiếp theo ta chứng minh M [ P ] = S0 , ta có S0 ⊂ M [ P ] Ngược lại lấy x ∈ M [ P ] , S ∪ { x} phụ thuộc nên tồn a ∈ D, ax ≠ cho ax + ∑ si = Khi ∀p ' ∈ P si ∈S ∑ p 'a s si ∈S i i = Vì S độc lập nên p ' si= 0, ∀i , P ⊂ O(ai si ), ∀i Do với i P = O(ai si ) O(ai si ) = D Nếu O(ai si ) = D si = ∈ S0 O( si ) = (ai si ) P O= Nếu P = O(ai si )= ( O(si ), ) ( k Suy P si , k −1 )=P ksi −1 t + uai = p si từ p hay P ksi −1 ksi (P P ksi ksi ) , k −1 + = P si nên tồn t ∈ P si , u ∈ D cho si = uai si ( t + uai ) si = k ( u , P ) = (vì ksi ( u , P ) ≠ ( u , P ) ≠ hay u ∈ P mà ta có P = O(a s ) nên ∈ P ta có ord ( p ) ≥ ord ( P ) hay = p = s ua s p ksi i i ksi −1 ksi −1 i ksi −1 ksi ksi i i ksi − ≥ ksi , vô lý) Vậy tồn r ∈ P si , v ∈ D cho uv + r = , ta có k si =(uv + r )ai si =uvai si + rai si =v(uai si ) =v( p ksi −1 si ) ∈ S0 Tóm lại ta có si ∈ S0 , ∀i , nên suy ax = −∑ si ∈ S0 Mặt khác, i ax ≠ nên a ∉ P , ( , a , P ) = tức tồn w ∈ D, q ∈ P : aw + q = x = (aw + q ) x = awx + qx = awx = w(ax) ∈ S0 Do đó, M [ P ] ⊂ S0 Vậy M [ P ] = S0 Footer Page 49 of 16 Header Page 50 of 16 48 Mặt khác, M [ P ] không gian vectơ D , S0 sở M [ P ] P = S S= dimM [ P ] Chứng minh định lý 2.2.3    i)Giả sử M =  ⊕ xi  ⊕  ⊕ y j  i∈I   j∈J   xi module cyclic cấp vô  hạn, y j module cyclic cấp hữu hạn Ta chứng minh S = { xi }i∈I tập độc lập tối đại gồm phần tử cấp vô hạn M Thật vậy, dễ thấy { xi }i∈I hệ độc lập Với x ∈ M , x có cấp vô hạn Khi đó, x = ∑ a x + ∑b y i∈I i i j∈J j j , với xi phần tử có cấp vô hạn, y j phần tử có cấp hữu hạn, có hữu hạn ≠ hữu hạn b j ≠ Giả sử C bội chung nhỏ ideal O( y j )(b j ≠ 0) Khi đó, ta có = cx ∑ ca x , ∀c ∈ C suy cx − ∑ ca x i∈I i i i∈I i i = (ít cx ≠ C ≠ , x có cấp vô hạn) hệ x ∪ { xi }i∈I phụ thuộc Vậy S = { xi }i∈I tập độc lập tối đại gồm phần tử cấp vô hạn I S= r0 ( M ) M Do = ii) Nếu M module tựa tự số phần tử cấp P m nằm P-thành phần nguyên sơ M Cho nên, ta cần xét M P-module Footer Page 50 of 16 Header Page 51 of 16 49    Khi đó, giả sử M = H ⊕  ⊕ xi  ⊕  ⊕ y j  i∈I   j∈J   ⊕ K , với H tổng trực tiếp  module cyclic cấp P t (t > m + 1) ; xi module cyclic cấp P m+1 ; y j module cyclic cấp P m ; K tổng trực tếp module cyclic cấp P t (t < m)   Khi P m = M P m H ⊕  ⊕ P m xi  Suy i∈I   PmM ∩ M [ P] =  M )[ P] ( P H )[ P] ⊕  ⊕P (P = m m  m i∈I  xi     Vậy ( P m M ) [= P ] H [ P ] ⊕  ⊕ P m xi  i∈I   Tương tự, ta có P m+1M = P m+1H Suy P m+1M ∩ M= [ P] Suy PmM ∩ M [ P] PmM ∩ M [ P] Vậy (P m +1 M= )[ P] H [ P] ( P M )[ P] = m P m+1M ∩ M [ P ] P m+1M ∩ M [ P ] (P m +1 M )[ P] = ⊕ P m xi i∈I = I Từ định lý này, ta có hệ sau: 2.2.6 Hệ Nếu M module tựa tự M luôn có sở tắc Nếu M có hai sở tắc lực lượng hai sở tắc M Chứng minh Cho M module tựa tự do, M = ⊕ xi , với xi i∈I module cyclic Nếu xi có cấp vô hạn ta đặt yi = xi Footer Page 51 of 16 Header Page 52 of 16 50 Nếu xi có cấp hữu hạn A ( A ≠ 0) = Do D miền Dedekind nên A Pi1ki1 Pimkim , kij ∈ N , với Pij , j = 1, m ideal nguyên tố D (mệnh đề 1.4.9) Áp dụng mệnh đề 1.7.10, mệnh đề 1.8.10 mệnh đề 1.8.11, ta có xi = yi1 + + yim = yi1 ⊕ ⊕ yim , với yij có cấp Pijk , j = 1, m ij Vậy xi có cấp A ≠ xi = yi1 ⊕ ⊕ yim , với yij có cấp lũy thừa ideal nguyên tố Khi M = yi , yim Vậy M có sở mà phần tử sở có cấp lũy thừa ideal nguyên tố có cấp vô hạn Vậy module tựa tự M có sở tắc 2.3 Sự đẳng cấu hai module tựa tự miền Dedekind Hai module tự có hai sở có lực lượng đẳng cấu với Vấn đề từ nảy sinh câu hỏi hai module tựa tự có hai cở sở có lực lượng có đẳng cấu với không? Câu trả lời phủ định Ví dụ: Module Z Z-module tựa tự có sở {1} Module Z Z- {} module tựa tự có sở Hai sở có lực lượng, nhiên Z Z không đẳng cấu với 2.3.1 Định nghĩa Hai họ phần tử X = xi }i∈I , Y { y j } {= j∈J gọi kiểu lực lượng phần tử có cấp vô hạn họ với ideal nguyên tố P số tự nhiên m ≥ , lực lượng phần tử cấp P m họ Nhận xét: Nếu hai họ phần tử X = { xi }i∈I Y = { y j } có kiểu j∈J X = Y I = J Do đó, ta kí hiệu hai họ phần tử kiểu là: X = { xi }i∈I Y = { yi }i∈I Footer Page 52 of 16 Header Page 53 of 16 51 Theo định lý 2.2.3 hai sở tắc module tựa tự có kiểu Ngược lại ta có định lý sau: 2.3.2 Định lý Hai module tựa tự mà có sở tắc kiểu đẳng cấu với Chứng minh Cho M, N hai module tựa tự Gọi X = { xi }i∈I sở tắc mdule tựa tự M Y = { yi }i∈I sở tắc mdule tựa tự N Theo định nghĩa sở tắc kiểu, ta có X = Y Lập ánh xạ f : X →Y xi → f ( xi ) = yi xi , f ( xi ) có cấp Dễ thấy f song ánh Song ánh f mở rộng đến f :M → N xi → f ( xi ) = yi x → f ( x) = y Với phần tử x ∈ M x = ∑ xi Khi i∈I   f ( x) f  ∑= xi  =  i∈I  Ta có ∑a x i i i∈I f (x ) ∑ ay = ∑ a= i∈I i i i∈I i i y =⇔ xi =⇔ f ( xi ) =⇔ 0 (vì xi , f ( xi ) = yi ∑ f ( xi ) = i∈I có cấp) f đồng cấu module f đơn cấu Hiển nhiên Im f ⊂ N Hơn nữa, với y ∈ N, y = ∑a y = ∑a i∈I i i i∈I i   f ( xi ) = f  ∑ xi  = f ( x) ∈ Im f , N ⊂ Im f Vậy  i∈I  Im f = N Do f toàn cấu Footer Page 53 of 16 Header Page 54 of 16 52 Vậy f đẳng cấu Do đó, M ≅ N 2.4 Điều kiện cần đủ để P-module miền Dedekind module tựa tự 2.4.1 Định lý Một P-module M module tựa tự tồn dây chuyền tăng module M ≤ M ≤ ≤ M n ≤ cho ∪ M n = M tồn n dãy số dương k (n) để độ cao phần tử khác không thuộc M n nhỏ k (n) Chứng minh ( ⇒ ) Nếu M P-module tựa tự M = ⊕ xi , xi module i∈I cyclic { Định nghĩa M n := xk / O( xk ) P n } Rõ ràng ta có M ≤ M ≤ ≤ M n ≤ ∪ M n = M n Vì M n module sinh tất xk mà O( xk ) P n nên M n phần tử khác không có độ cao lớn n − Vậy {M n } dây chuyền cần tìm ( ⇐ ) Ngược lại, giả sử M có dây chuyền {M n } với tính chất Không tính tổng quát, ta giả sử k (n)= n − (ta thêm vào đầu dây chuyền {M n } số phần tử 0, lặp lại M n với số lần hữu hạn sau đánh số chúng lại) Ta chứng minh P n M ∩ M n = 0, ∀n = 1, 2, Thật vậy, có α ∈ P n M ∩ M n α ∈ P n M , suy α có độ cao lớn n α ∈ M n nên α ≠ α có độ cao nhỏ n − (mâu thuẫn) Do đó, α = Footer Page 54 of 16 Header Page 55 of 16 53 Tiếp theo, ta chứng minh P n−1M ∩ H n [ P ] module tựa tự Gọi F tập gồm tất dây chuyền { H n } có tính chất dây chuyền {M n } cho Sắp thứ tự F quan hệ M n ⊂ H n P n M ∩ H n = {H n } ⊂ {K n } ⇔ H n ⊂ K n , ∀n Theo bổ đề Zorn, F có phần tử tối đại, giả sử {H n } phần tử tối đại F ( ) Theo Với x ∈ P n−1M ∩ H n [ P ] suy Px = hay P P n −1M ∩ H n [ P ] = mệnh đề 2.1.3, suy P n−1M ∩ H n [ P ] module tựa tự Chọn sở S n module P n−1M ∩ H n [ P ] nên S1 , S , rời S = ∪ S n tập độc lập Thật Vì P n M ∩ H n [ P ] = n vậy: Giả sử, tồn i < j hay i ≤ j − cho x ∈ Si ∩ S j , x ≠ mà Si sở P i −1M ∩ H i [ P ] , S j sở P j −1M ∩ H j [ P ] , suy x ∈ H i [ P ] ∩ P j −i M ⊂ H j −1 [ P ] ∩ P j −i M = Do đó, x = (mâu thuẫn) Vậy S1 , S , rời Chứng minh S = ∪ S n tập độc lập n n −1 n −1 i =1 i =1 an sn = −∑ si , với si ∈ H i [ P ] ⊂ H n−1 [ P ] Do Nếu có an sn + ∑ si = n −1 −∑ si ∈ P n−1M ∩ H n−1 [ P ] = Suy an sn = Vậy S = ∪ S n tập đó, an sn = i =1 n độc lập Nếu s ∈ S , giả sử h(s) độ cao s Ta chứng minh biểu diễn s = psh ( s ) x( s ) , O ( x( s ) ) = P h ( s )+1 Footer Page 55 of 16 Header Page 56 of 16 54 Thật vậy, s có độ cao h(s), suy s ∈ P h ( s ) M s ∉ P h ( s )+1M ∑ p s , p ∈P = ⇒s i i h( s) i , si ∈ M i Cấp si P ni (do M P-module) Với k ≥ max {h( s ), ni } Do D miền P Dedekind nên ta có, tồn ps ∈ P cho= ps + P k Do đó, P h ( s ) ⊂ psh ( s ) + P k +1 Khi đó, pi ∈ P h ( s ) nên pi = psh ( s ) + ui , ∈ D, ui ∈ P k +1 Vì ui ∈ P k +1 ⊂ P ni nên ui si = Do đó, s= ∑ p s = ∑(a p i i i i h( s) s + ui ) si = i ∑a p i s = psh ( s ) x( s ) (với x( s ) = ∑ si ) h( s) s i i i Giả sử O ( x( s ) ) = P z ( s ) Ta có:= P O= ( s ) O ( psh ( s ) x= (s) ) ( ⇒ O ( x( s ) ) , psh ( s ) O ( x( s ) ) ( O ( x( s ) ) , psh ( s ) ) P )= z ( s ) −1 ⇒ psh ( s ) ⊂ P z ( s )−1 mà psh ( s ) ⊄ P h ( s )+1 nên P z ( s )−1 ⊄ P h ( s )+1 ⇒ z ( s ) − < h( s ) + ⇒ z ( s ) ≤ h( s ) + ⇒ P h ( s )+1 ⊂ P z ( s ) = O ( x( s ) ) Mặt khác, psh ( s ) ∈ P h ( s ) thỏa psh ( s ) x( s ) ≠ nên O ( x( s ) ) = P h ( s )+1 Kế tiếp, xét= tập K { x( s) / s ∈ S} Ta chứng minh K độc lập Giả sử K phụ thuộc Khi ∑ a x(s) = tồn hữu hạn a x(s) ≠ Trong s s s { } ( s ') ) = P d với d max = t / O ( as x ( s ) ) P t tổng trên, O ( as ' x= Nếu d=1 Pas x( s )= 0, ∀s mà O ( x( s ) ) = P h ( s )+1 nên Pas ⊂ P h ( s )+1 suy as ∈ P h ( s ) Footer Page 56 of 16 Header Page 57 of 16 55 ⇒= as ks psh ( s ) + ls , ks ∈ D, ls ∈ P k +1 (k p ⇒ as x ( s ) = = ⇒0 s + ls ) x( s ) = ks psh ( s ) x( s ) h( s) s x( s ) ∑ k p = x( s ) ∑ k s ∑ a= s s s h( s) s s s s ⇒ ks s =0, ∀s (do S độc lập) ⇒ as x ( s ) = 0, ∀s (mâu thuẫn) Vậy d>1 Ta giả sử ∑ a x( s ) = s s ⇒ ∀q ∈ P d −1 : q ∑ as x( s ) = = s ∑ a qx(s) s s Hơn nữa, P d as x( s ) = mà O ( x( s ) ) = P h ( s )+1 nên P d as ⊂ P h ( s )+1 ⇒ P d −1as ⊂ P h ( s ) ⇒ P d −1as ⊂ psh ( s ) + P k +1 ⇒ qa= bs psh ( s ) + cs , bs ∈ D, cs ∈ P k +1 s = ⇒0 qx( s ) ∑ ( b p ∑ a= s s s h( s) s + c= s ) x( s ) s x( s ) ∑ b s ∑ b p= s h( s) s s s s ⇒ bs s =0, ∀s (do S độc lập) ⇒ qas x( s ) = 0, ∀s ⇒ P d −1as x( s ) = 0, ∀s ⇒ O ( as ' x( s ') ) ⊃ P d −1 (mâu thuẫn) Vậy K độc lập Bước tiếp theo, đặt T = K Ta chứng minh M= T= K= x( s ) / s ∈ S Trước hết ta chứng minh M [ P ] ⊂ T Giả sử M [ P ] ⊄ T , M [ P ] = ∪ H n [ P ] nên có r nhỏ cho H r [ P ] ⊄ T n Nếu r=1, H1 [ P ] =P M ∩ H1 [ P ] = S1 Vì s ∈ S1 , độ cao s nên = s x( s ) ∈ T suy H1 [ P ] ⊂ T (mâu thuẫn) Footer Page 57 of 16 Header Page 58 of 16 56 Chọn x ∈ H r [ P ] \ T , x ∉ H r −1 tính nhỏ r Ta có: , ta thay H r −1 P r −1M ∩ x, H r −1 ≠ P r −1M ∩ x, H r −1 = ' x, H r −1 để dây chuyền {H n' } với H= H i , ∀i ≠ r − 1, H r' −1= i x, H r −1 Rõ { } ràng dây chuyền H n' ⊃ { H n } Điều mâu thuẫn với tính tối đại { H n } F Vì P r −1M ∩ x, H r −1 ≠ nên tồn ≠ α ∈ P r −1M ∩ x, H r −1 Suy α ∈ P r −1M α ∈ x, H r −1 , suy α = kx + hr −1 , hr −1 ∈ H r −1 , suy ≠ kx =α − hr −1 ∈ x ∩ ( P r −1M + H r −1 ) Do đó, x ∩ ( P r −1M + H r −1 ) ≠ O( x) = P nên k∉P ⇒ ( k , P) = ⇒ ∃u ∈ D, p ∈ P :1= uk + p ⇒ x = ukx ∈ P r −1M + H r −1 ⇒ x = x1 + h, x1 ∈ P r −1M , h1 ∈ H r −1 ⇒ x1 = x − h ∈ P r −1M ∩ H r ; Px1 ∈ P r M ∩ H r = ⇒ x1 ∈ P r −1M ∩ H r [ P ]= Sr ⊂ T Ta có Ph =Px − Px1 =0 suy h ∈ H r −1 [ P ] Tính nhỏ r cho ta h ∈ T suy x = x1 + h ∈ T (mâu thuẫn) Vậy M [ P ] ⊂ T Cuối ta giả sử x ∈ M \ T thỏa O( x) = P t với ( z) Pd , z ∉ T } = t {d / O= Nếu t=1 x ∈ M [ P ] ⊂ T (mâu thuẫn) Do đó, t ≥ Suy O( x) = P n +1 , với n số tự nhiên lớn Footer Page 58 of 16 Header Page 59 of 16 57 P Vì D miền Dedekind nên tồn p ∈ P cho = p + P Ta có p n x ∈ T [ P ] nên ta viết p n x= a1s1 + + ak sk , si ∈ S ( S sinh T [ P ] ) Bằng cách đánh số lại si , cần, ta giả sử sau: s1 , , s j ∈ S n+1 ∪ S n+ ∪ s j +1 , , sk ∈ S1 ∪ ∪ Sn ,0 ≤ j ≤ k j + 1, , k , si ∈ H i [ P ] ⊂ H n [ P ] Với i = Với i = 1, , j , ta có si = psh ( s ) x( si ) với h( si ) ≥ n ( độ cao si lớn i i n , O ( x( si ) ) = P h ( si )+1 )(chứng minh trên) Vì psi ∈ P nên pshi ( si ) ∈ P h ( si ) ⊂ p h ( si ) + P h ( si )+1 Do h ( si ) với xi ksi p h ( si )− n x( si ) ∈ x( si ) ⊂ T = si a= x( si ) k s= p h ( si ) x( si ) p n xi = i psi i Ta có P n+1 xi P n+1ai ksi p h ( si )− n x( si ) ⊂ P h ( si )+1 x( si ) Suy P n +1 xi = 0, ∀i = 1, 2, j = x j ) a j +1 x j +1 + + ak sk Bởi p n ( x − x1 − −= Ta có p n ( x − x1 − − x j ) ∈ P n M a j +1s j +1 + + ak sk ∈ H n [ P ] nên p n ( x − x1 − −= x j ) a j +1s j +1 + + ak sk ∈ P n M ∩ H n = [ P] Bây giờ, với b ∈ P n , suy b ∈ p n + P n+1 nên b( x − x1 − − x= kp n ( x − x1 − − x= ( P n+1 x = P n+1 xi = 0, ∀i = 1, 2, j ) j) j) Suy O( x − x1 − − x j ) ⊃ P n Vậy P n ( x − x1 − − x j ) = Do tính chất O(x), suy x − x1 − − x j ∈ T , suy x ∈ T (mâu thuẫn) Mâu thuẫn chứng tỏ M = T ta có điều phải chứng minh Đối với module tựa tự miền ideal chính, ta có kết quả: Module module tựa tự module tựa tự Liệu kết có module tựa tự miền Dedekind? Ta xét ví dụ sau: 2.4.2 Ví dụ Xét miền Dedekind D =Z + Z −5 ideal I= D-module I module D Footer Page 59 of 16 2,1 + −5 Xem D Header Page 60 of 16 58 Ta có D = nên D module tựa tự Đầu tiên, ta chứng minh với a, b ∈ I dều phụ thuộc Thật vậy, ta có b.a + (−a ).b =0 b.a ≠ 0,(−a ).b ≠ Do đó, I module tựa tự I có sở gồm phần tử Suy I = a hay I ideal Tuy nhiên, theo ví dụ 1.8.6, I ideal Nên I module tựa tự Vậy module module tựa tự miền Dedekind chưa module tựa tự Tuy nhiên, M module tựa tự do, xoắn kết Cụ thể ta có hệ sau: 2.4.3 Hệ Module module tựa tự do, xoắn miền Dedekind module tựa tự Chứng minh Giả sử M module tựa tự do, xoắn miền Dedekind D H module M Khi đó, M= ⊕ P nguyên tô M P nên ta xem M P- module Theo định lý 2.4.1, tồn dây chuyền tăng module {M n } M cho ∪ M n = M tồn dãy số dương k (n) để độ cao phần tử n khác không thuộc M n nhỏ k (n) Đặt H= H ∩ Mn n Khi đó, { H n } dây chuyền tăng module H thỏa mãn ( ) ∪ H n = ∪ ( H ∩ M n )= H ∩ ∪ M n = H ∩ M = H độ cao phần tử khác n n n không thuộc H n nhỏ k (n) Theo định lý 2.4.1, ta có H module tựa tự Footer Page 60 of 16 Header Page 61 of 16 59 KẾT LUẬN Sau đưa khái niệm nghiên cứu module tựa tự miền Dedekind, đạt số kết sau: 1) M module miền Dedekind D, P ideal nguyên tố D M [ P ] D-module tựa tự 2) Nếu module tựa tự M phân tích thành tổng trực tiếp module cyclic cấp vô hạn cấp lũy thừa ideal nguyên tố hai cách khác lực lượng hạng tử cyclic cấp vô hạn với ideal nguyên tố P, số tự nhiên m ≥ lực lượng hạng tử cấp P m phân tích 3) Chúng đưa khái niệm sở tắc module tựa tự miền Dedekind chứng minh hai module tựa tự đẳng cấu với chúng có sở tắc kiểu 4) Điều kiện cần đủ để P-module M module tựa tự M tồn dây chuyền tăng module M ≤ M ≤ ≤ M n ≤ cho Footer Page 61 of 16 Header Page 62 of 16 60 ∪Mn = M tồn dãy số dương k (n) để độ cao phần tử khác không n thuộc M n nhỏ k (n) 5) Module module tựa tự miền Dedekind chưa module tựa tự do, nhiên có thêm điều kiện module xoắn kết TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Võ Thị Vân Anh (2011), Module chia miền Dedekind, Luận văn thạc sĩ toán học Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên (2006), Đai số đồng điều, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số (giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Vĩnh Thuyên (2010), Module tựa tự vành chính, Luận văn thạc sĩ toán học Tiếng Anh Derek J.S Robinson, A course in the theory of groups, Springer-Verlag, New York Footer Page 62 of 16 Header Page 63 of 16 61 H Cartan and S Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton University Press Joseph J Rotman (1995), An introduction to the theory of groups, SpringerVerlag, New York L.Fuchs (1960), Abelian Groups, Pergamon Press 10 M F Atiyal, I G Macdonald (1994), Introduction to commutative algebra, Westview Press 11 M.R Adhikari, A Adhikari (2003), Groups, Rings And Modules With Applications, Universities Press 12 Serge Lang (1978), Đại số, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Footer Page 63 of 16 ... B MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND 24 1.6 Module tự miền Dedekind 24 1.7 Cấp phần tử module miền Dedekind 26 1.8 Module cyclic miền Dedekind 32 CHƯƠNG II MODULE TỰA TỰ DO TRÊN... MODULE TỰA TỰ DO TRÊN MIỀN DEDEKIND .41 2.1 Định nghĩa module tựa tự miền Dedekind 41 2.2 Cơ sở module tựa tự miền Dedekind 43 2.3 Sự đẳng cấu hai module tựa tự miền Dedekind 50 2.4 Điều... tính chất cấp phần tử module miền Dedekind, tính chất module cyclic miền Dedekind Chương 2: Module tựa tự miền Dedekind Là chương luận văn, trình bày số kết module tựa tự miền Dedekind Vì thời gian