Một số tính chất về module con và module thương

L ỜI MỞ ĐẦU

2.2.3. Một số tính chất về module con và module thương

Như chúng ta đã biết nếu ta có một toàn cấu :σ B→C thì ta có ngay một dãy khớp ngắn 0→Kerσ i→ → →B σ C 0 tương tự nếu χ:A→B là một đơn cấu thì ta có dãy khớp ngắn 0→ → →A χ B p Cokerχ →0 (với Cokerχ =BImχ ) Trong trương hợp, nếu toàn cấu σ (tương ứng: đơn cấu χ) là phép chiếu tự nhiên ( tương ứng: là phép nhúng tự nhiên) thì ta có định nghĩa sau.

2.2.3.1. Định nghĩa: Cho dãy khớp 0→ → → →A χ B σ C 0(*). Khi đó,

Module C được gọi là module thương của module B nếu σ là toàn cấu chiếu tự nhiên và A=Kerσ.

Module A được gọi là module con của module B nếu χ là đơn cấu nhúng tự nhiên và C =Cokerχ.

Đồng thời, dãy khớp tương ứng của module con ( hay module thương) được gọi là dãy khớp liên kết với đơn cấu χ:A→B ( hay toàn cấu :σ B→C).

2.2.3.2. Mệnh đề: Cho dãy khớp 0→ → → →A χ B σ C 0. Khi đó, nếu A và C

là hai module chia được thì B là module chia được.

Chứng minh:

Giả sử A và C là hai module chia được. Khi đó, với mọi λ∈R ta có

(R , ) (R , ) 0

Ext A Ext C

R R

36 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , , ... R R R

Hom R A Hom R B Hom R C

R R R

Ext A Ext B Ext C

R R R λ λ λ λ λ λ → → → → → → → Do đó, ta có ngay Ext(R ,B) 0 R

λ = với mọi λ∈R nên B là module chia được.

2.2.3.3. Mệnh đề: Module con A của module chia được B là module chia được nếu và chỉ nếu dãy khớp liên kết là thuần khiết.

Chứng minh:

Giả sử A là module con chia được của module chia được B. Ta khẳng định dãy khớp liên kết 0 A i B p B 0

A

→ → → → là thuần khiết. Thật vậy, từ dãy khớp ngắn ta có, với mọi λ∈R, dãy khớp dài sau

( ) ( ) ( ) ( )

0 Hom R ,A Hom R ,B Hom R ,B Ext R ,A ...

R R R A R

λ λ λ λ

→ → → → →

Do A là module chia được nên Ext(R ,A) 0

R

λ = .

Suy ra, p Hom*: (R ,B) Hom(R ,B )

R R A

λ → λ là một toàn cấu. Như vậy dãy khớp ngắn trên là thuần khiết.

Ngược lại, nếu dãy khớp liên kết với đơn cấu :i A→ B là thuần khiết thì với mọi

R

λ∈ ta có dãy khớp dài sau

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 , , ,

, ,

R R R B

Hom R A Hom R B Hom R A

R R Ext A Ext B R R λ λ λ λ λ → → → → →

37

Do B là module chia được nên Ext(R ,B) 0

R

λ = và vì dãy khớp liên kết là thuần khiết nên p Hom*: (R ,B) Hom(R ,B )

R R A

λ → λ là một toàn cấu. Do đó, theo mệnh đề 1.2.5 ta có ngay Ext(R ,A) 0

R

λ = với mọi λ∈R nên A là module chia được.

Bây giờ ta sẽ đưa ra một số kết quả liên quan đến sự “di truyền” tính chia được của một module.

2.2.3.4. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành PP nếu mọi ideal chính của R là module xạ ảnh.

2.2.3.5. Mệnh đề: Mọi module thương của module chia được là chia được nếu và chỉ nếu R là vành PP.

Chứng minh:

Giả sử C là module thương của module chia được B và với mọi λ∈R,ideal λR là module xạ ảnh.

Khi đó ta có dãy khớp liên kết 0→ A i→ → →B p C 0 với A=Kerp. Với mọi λ, ta có dãy khớp dài sau

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2( )

0 , , ,

, , , ,

R R R

Hom R A Hom R B Hom R C

R R R R

Ext A Ext B Ext C Ext A

R R R R

λ λ λ

λ λ λ λ

→ → →

→ → → →

Mặt khác, ta có dãy khớp ngắn 0→λRi→ R p→RλR→0 nên ta có dãy khớp dài ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 0 , , , , , , , , R R

Hom A Hom R A Hom R A Ext A

R R

R

Ext R A Ext R A Ext A Ext R A

R λ λ λ λ λ → → → → → → → →

38

Vì λR và R là hai module xạ ảnh nên ( ) 2( )

, , 0

Ext λR A =Ext R A = . Suy ra,

( ) 2 , 0 R Ext A R λ = mà Ext(R ,B) 0 R

λ = ( do B là module chia được). Do đó, ta có

(R , ) 0

Ext C R

λ = với mọi λ∈R nên C là module chia được.

Ngược lại, với mọi module A ta khẳng định Ext(λR A, )=0 với mọi λ∈R . Thật vậy, Vì mọi module đều có thể nhúng vào một module nội xạ nên ta có là dãy khớp ngắn 0 A i J p J 0

A

→ → → → với J là module nội xạ. Do đó, ta có dãy khớp dài sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 0 , , , , , , , , J R R R

Hom R A Hom R J Hom R A Ext R A

J

R R R R

Ext J Ext Ext A Ext J

R R A R R λ λ λ λ λ λ λ λ → → → → → → → →

Do J là module nội xạ nên 2( )

, 0

R Ext J

R

λ = và J là module chia được. Suy ra, module J

A cũng là module chia được nên Ext(R ,J ) 0

R A λ = . Do đó, ta có ( ) 2 , 0 R Ext A R λ = .

Mặt khác, từ dãy khớp ngắn 0→λRi→ R p→RλR→0 ta có dãy khớp dài sau

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2( )

0 , , , ,

, , ,

R R

Hom A Hom R A Hom R A Ext A

R R

R

Ext R A Ext R A Ext A

R λ λ λ λ λ → → → → → → →

Vì R là module xạ ảnh nên Ext R A( , )=0. Như vậy, ta có Ext(λR A, )=0. Vậy λR là module xạ ảnh với mọi λ∈R.

2.2.3.7. Mệnh đề: Cho R là vành PP. Khi đó, mọi R−module đều có module con chia được lớn nhất.

39

Chứng minh :

Trước hết ta sẽ chứng minh mệnh đề sau: “ Nếu A1 và A2 là hai module chia được thì

1 2

A + A là module chia được. ”. Thật vậy:

Ta có đẳng cấu 1 2 1

2 1 2

A A A

A A A

+ ≅

∩ vì A1 là module chia được và R là vành PP

nên theo mệnh đề 2.2.3.5 ta có 1

1 2

A

A ∩A là module chia được hay 1 2 2

A A

A

+ là một

module chia được. Do đó, áp dụng mệnh đề 2.2.3.2, ta có ngay A1+ A2 là một module chia được.

Như vậy, theo quy nạp toán học ta có, tổng hữu hạn các module chia được là module chia được.

Quay trở lại bài toán, Xét A là module tùy ý. Giả sử { }Ai i I∈ là họ tất cả các module con chia được của module A (hiển nhiên họ này khác rỗng vì có chưa module không). Đặt Ad = A ii | ∈I . Ta khẳng định Ad là module con chia được lớn nhất của module A. Thật vậy, với mỗi x∈Ad và λ∈R thỏa Ann( )λ x=0. Ta có i

hh

x∈∑A mà theo chứng minh trên thì i

hh

A

∑ là module chia được nên i hh

x∈λ∑A suy ra x∈λAd. Như vậy, Ad là module chia được. Hiển nhiên Ad là module con chia được lớn nhất của module A.

2.2.3.8. Bổ đề: Ideal chính λR của vành R là module xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại phẩn tử lũy đẳng eλ thỏa λ =eλ.λ và Ann( )λ =Ann e( )λ =e R'λ với eλ +e'λ =1.

Chứng minh:

Giả sử λR là xạ ảnh với λ∈R. Ta có toàn cấu :λ R→λR định bởi λ( )r =λrvới mọi r∈R. Do kerλ= ∈{r R|λr=0}= Ann( )λ nên ta có dãy khớp ngắn sau

40

( )

0→Ann λ i→ R λ→λR→0

Vì λR là module xạ ảnh nên dãy khớp trên là chẻ. Suy ra, tồn tại đồng cấu

: R R

ϕ λ → sao cho λϕ =1λR nên ta có λ λϕ λ= ( ) . Đặt eλ =ϕ λ( ) khi đó,

( ) ( ). ( . ( )) ( )

ϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ= =ϕ λ nên eλ là phần tử lũy đẳng. • Chứng minh Ann( )λ = Ann e( )λ =e R'λ với e'λ = −1 ϕ λ( ):

Ta có: Ann( )λ =Ann e( )λ là hiển nhiên (do ϕ là một đơn cấu). Với mọi 'e rλ ∈e R'λ thì λe r' =λ(1−ϕ λ( ))r =0 nên e R'λ ⊂ Ann( )λ .Đồng thời, với mọi r∈Ann( )λ thì

( )

(1 )

r=r −ϕ λ (do rϕ λ( )=ϕ( )0 =0 ) nên Ann( )λ ⊂e R'λ . Do đó ta có ngay

( ) ( ) '

Ann λ =Ann eλ =e Rλ .

Ngược lại, ta cần chứng minh λR là một module xạ ảnh. Từ toàn cấu :λ R→λR ta có đẳng cấu R ( ) R

Ann λ ≅λ tương tự ta có đẳng cấu R ( ) e R

Ann eλ ≅ λ mà

( ) ( )

Ann λ = Ann eλ nên ta có λR≅e Rλ .

Bây giờ, ta sẽ chứng minh R=e Rλ ⊕e R'λ . Thật vậy, với mọi r∈R ta có

(1 )

r= r −eλ +reλ nên ta có R=e Rλ +e R'λ . Đồng thời, với mọi x∈e Rλ ∩e R'λ thì tồn tại r r, '∈R sao cho x=e rλ = −(1 eλ)r' suy ra x=e e rλ λ =(eλ −e e rλ λ) '=0 . Do đó, R=e Rλ ⊕e R'λ mà R là một module xạ ảnh nên e Rλ là module xạ ảnh hay λR

là module xạ ảnh.

Dựa vào bổ đề 2.2.3.8, ta đưa ra mệnh đề sau.

2.2.3.9. Mệnh đề: Cho R là vành PP. Khi đó, A là module chia được nếu và chỉ nếu λ:A→e Aλ định bởi λ( )a =λa với mọi a∈A là một toàn cấu.

41

Giả sử A là module chia được. Khi đó, với mọi e aλ ∈e Aλ ta có

( ) ( ) 0

Ann λ e aλ = Ann e e aλ λ = mà A là module chia được nên tồn tại 'a ∈A sao cho

'

e aλ =λa . Do đó, λ là một toàn cấu.

Ngược lại, Với mọi a∈A mà Ann( )λ a=0 thì ta có e aλ ∈e Aλ và λ là một toàn cấu nên tồn tại 'a ∈A sao cho e aλ =λa'. Đồng thời, λ(1−eλ)=0 suy ra 1− ∈eλ Ann( )λ

nên (1−eλ)a=0. Như vậy, a=e aλ =λa' nên A là module chia được.

2.2.3.10. Mệnh đề: Cho R là vành PP. Khi đó, nếu A là module chia được thì

A⊗C là module chia được (với mọi R−module C).

Chứng minh:

Ta có A là module chia được nên λ:A→e Aλ là một toàn cấu nên ta có dãy khớp

0

Aλ→e Aλ → . Suy ra, với mọi module C dãy sau cũng khớp

1

( ) 0

A⊗ C λ⊗→ e Aλ ⊗ →C

Mà (e Aλ )⊗ =C eλ(A⊗C) nên theo mệnh đề 2.2.3.9 ta có A⊗C là module chia được.

2.2.4. Module tối giản 2.2.4.1. Mệnh đề: 2.2.4.1. Mệnh đề:

i. Tích trực tiếp ∏Cα là module tối giản nếu và chỉ nếu mọi Cα là module tối giản.

ii. Nếu C là module tối giản thì mọi module con của C cũng là module tối giản. iii. Cho dãy khớp 0→ → → →A χ B σ C 0. Nếu A và C là hai module tối

giản thì B là module tối giản.

42

Giả sử ∏Cα là module tối giản. Khi đó, nếu tồn tại Cα0 không là module tối giản thì tồn tại module chia được A sao cho Hom A C( , α0)≠0 nên có

0 0:

f A→Cα là đồng cấu khác không. Do đó, theo tính phổ dụng của tích trực tiếp, tồn tại đồng cấu

:

f A→∏Cα khác không. Vậy mọi module thành phần Cα là module tối giản. Ngược lại, giả sử mọi module Cα đều là module tối giản. Khi đó, nếu ∏Cα không là module tối giản thì tổn tại module chia được A thỏa Hom A( ,∏Cα)≠0 hay tồn tại đồng cấu f A: →∏Cα khác không. Suy ra, tồn tại Cα0 sao cho Hom A C( , α0) khác không. Như vậy, ∏Cα là module tối giản.

Chứng minh ii:

Giả sử C là module tối giản và X là module con của C. Nếu X không là module tối giản thì tồn tại module chia được A sao cho Hom A X( , )≠0 nên ta có

( , ) 0

Hom A C ≠ . Vậy X là module tối giản.

Chứng minh iii:

Với mọi module chia được X , ta có Hom X A( , )= Hom X C( , )=0 và từ dãy khớp ngắn 0→ → → →A χ B σ C 0 ta suy ra dãy sau cũng khớp

0→Hom X A( , )→χ* Hom X B( , )→σ* Hom X C( , )→0 Do đó, Hom X B( , )=0 nên B là module tối giản.

2.2.4.2. Hệ quả: Cho A là một module. Khi đó, tồn tại module con nhỏ nhất, kí hiệu là D A( ) sao cho AD A( ) là module tối giản.

43

Xét { }Bi i I∈ là họ tất cả các module con của A thỏa

i

A

B là module tối giản. Khi đó, theo mệnh đề 2.2.4.1 i, ta có

i

A B

∏ là module tối giản. Ngoài ra, đồng cấu :

i

A f A

B

→∏ có K fer =Bi nên theo định lý Noether thì

i A B  là module con của i A B ∏ suy ra i A B

 là module tối giản ( mệnh đề 2.2.4.1 ii ).

2.2.4.3. Mệnh đề: Cho R là vành PP. Khi đó, C là module tối giản nếu và chỉ nếu

C chỉ có một module con chia được tầm thường là module không.

Chứng minh :

Cho C là module tối giản. Giả sử A là module con chia được, khác không, của module C. Khi đó, đồng cấu nhúng :i A→C khác không nên Hom A C( , )≠0 với A

là module chia được (vô lý). Như vậy, C chỉ có module con chia được là module không.

Ngược lại, Giả sử C không là module tối giản. Khi đó, tồn tại module chia được A

sao cho Hom A C( , )≠0 hay có đồng cấu f A: →C khác không. Do đó, vì A là module chia được và R là vành PP nên f A( ) Aker

f

≅ là module con khác không, chia được, của module C (vô lý). Vậy C là module tối giản.

2.2.4.4. Định nghĩa: Module A được gọi là chia được yếu nếu D A( )= A.

2.2.4.5. Mệnh đề: Module chia được là chia được yếu.

Chứng minh:

Cho A là module chia được. Giả sử D A( )≠ A thì AD A( ) là module tối giản, khác không. Do đó, Hom A, A ( ) 0

D A

  ≠

 

44

Vậy D A( )= A hay A là module chia được yếu.

2.2.4.6. Mệnh đề: Các khẳng định sau là tương đương: i. R là vành PP.

ii. D B( ) là module chia được với mọi module B. iii. Mọi module chia được yếu là module chia được.

iv. Nếu Hom A C( , )=0 với mọi module tối giản C thì A là module chia được.

Chứng minh i⇒ii:

Giả sử R là vành PP và B là một R−module tùy ý. Khi đó, theo mệnh đề 2.2.3.7,

module B có module con chia được lớn nhất, đặt là M . Ta có, BD B( ) là module tối giản nên Hom M; B ( ) 0

D B

  =

 

  suy ra M ⊂D B( ). Ta khẳng định B

M là module tối giản. Thật vậy, giả sử K

M là module con khác

không và chia được của B

M . Theo mệnh đề 2.2.3.2, ta có ngay K là một module chia được nên K ⊂M (mâu thuẫn). Do đó, B

M chỉ có một module con chia được là module không nên theo mệnh đề 2.2.4.3, B

M là một module tối giản.

Như vậy, theo định nghĩa của D B( ), ta có D B( )⊂M nên theo chứng minh trên ta có M =D B( ) hay D B( ) là một module chia được.

Chứng minh ii⇒iii:

Giả sử A là một module chia được yếu bất kỳ. Khi đó, theo định nghĩa ta có

( )

A= D A nên theo ii) thì A là module chia được.

45

Giả sử A≠ D A( ) . Khi đó, AD A( ) là module tối giản, khác không. Do đó,

( ) , A 0 Hom A D A   ≠  

  . Trái với giả thiết của iv. Suy ra, D A( )= Ahay A là module chia được (do điều kiện iii).

Chứng minh iv⇒i: Giả sử A là một module chia được bất kỳ và B là một module con của A (tùy ý). Ta khẳng định A

B là một module chia được. Thật vậy, với mọi module tối giản C , ta giả sử Hom(A ,C) 0

B ≠ . Khi đó, tồn tại một đồng cấu

:A

f C

B→ khác không nên đồng cấu g = fp∈Hom A C( , ) khác không (với

: A

p A

B

→ là đông cấu chiếu tự nhiên) (mâu thuẫn). Do đó, Hom(A ,C) 0

B = nên

A

B là module chia được.

Như vậy, ta đã chứng minh, module thương của module chia được là module chia được. Nên theo mệnh đề 2.2.3.5 ta có R là vành PP.

46

KẾT LUẬN

Luận văn đã tổng hợp được một số kết quả của “module chia được trên miền nguyên”, đưa ra hai định nghĩa về “module chia được trên vành giao hoán có đơn vị” . Từ đó, tổng quát hóa và kết hợp với một số khái niệm như: dãy khớp thuần khiết, vành PP… để đưa ra một số kết quả của các module chia được trên vành giao hoán.

Tất nhiên, nếu ta xét R là một vành không giao hoán thì bằng cách xét các linh