L ỜI MỞ ĐẦU
2.2.2. Liện hệ với dãy khớp thuần khiết
2.2.2.1. Mệnh đề: Cho 0→ A→ →χ B σ C →0 (1) là dãy khớp. Khi đó, A là module chia được nếu và chỉ nếu mọi dãy khớp (1) là thuần khiết.
Chứng minh:
Xét dãy khớp (1) tùy ý và giả sử A là module chia được. Từ dãy khớp (1), theo định lý 1.5.3 ta có dãy khớp dài sau
( ) ( ) ( ) ( )
33
Do A là module chia được nên theo mệnh đề 2.2.1b.4 ta có Ext(RλR,A)=0. Suy ra đồng cấu σ*:Hom(RλR,B)→Hom(RλR,C) là một toàn cấu nên dãy khớp (1) là thuần khiết.
Ngược lại, xét A là một module chia được tùy ý, vì mọi module đều có thể nhúng vào một module nội xạ nên ta có dãy khớp 0→ A i→ J p→J A→0 với J là module nội xạ. Do đó, với mọi λ∈R ta có dãy khớp
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , J R R R
Hom A Hom J Hom
R R R A R R Ext A Ext J R R λ λ λ λ λ → → → → →
Theo giả thiết, dãy khớp ngắn trên là thuần khiết
nên p Hom*: (R ,J) Hom(R ,J )
R R A
λ → λ là một toàn cấu. Đồng thời, do J là module nội xạ nên Ext(R ,J) 0
R
λ = . Do đó, theo mệnh đề 1.2.5 ta có
(R , ) 0
Ext A R
λ = suy ra A là module chia được.
2.2.2.2. Bổ đề: Mọi R−module đều là module chia được nếu và chỉ nếu mọi module
R R
λ là xạ ảnh với mọi λ∈R.
Chứng minh:
Với mọi dãy khớp 0→ A→ →χ B σ C →0 và với mọi λ∈R, ta có dãy khớp dài sau
( ) ( ) ( ) ( )
0 Hom R ,A Hom R ,B Hom R ,C Ext R ,A
R R R R
λ λ λ λ
34
Ta có Ext(RλR,A)=0 (do A là module chia được) nên Hom(RλR,−) là hàm tử bảo toàn tình khớp của một dãy khớp ngắn. Do đó R
R
λ là module xạ ảnh với mọi
R
λ∈ .
Chiều ngược lại hoàn toàn hiển nhiên do R R
λ là module xạ ảnh nên (R , ) 0
Ext A R
λ = với mọi module A và với mọi λ∈R.
2.2.2.3. Bổ đề: R là vành chính quy nếu và chỉ nếu R R
λ là module xạ ảnh với mọi
R
λ∈ .
Chứng minh:
Giả sử R là vành chính quy. Khi đó, với mọi λ∈R ta khẳng định R R
λ là một module xạ ảnh. Thật vậy:
Theo định lý 1.6.8 ta có R R
λ là một R−module chính quy và do nó là module hữu hạn sinh nên theo định lý 1.6.9, ta có R
R
λ là một module xạ ảnh.
Ngược lại, Cho A là một module và B là module con của A. Khi đó, ta có dãy khớp
0→Bi→ →A p AB→0 nên theo định lý 1.5.3 ta có dãy khớp sau
( ) ( ) ( ) ( )
0 Hom R ,B Hom R ,A Hom R ,A Ext R ,A
R R R B R
λ λ λ λ
→ → → →
Vì R
R
λ là module xạ ảnh nên Ext(R ,A) 0
R
λ =
Suy ra p*:Hom(R ,A) Hom(R ,A )
R R B
λ → λ là một toàn cấu. Như vậy dãy khớp ngắn trên là thuần khiết nên B là module con thuần khiết. Vậy theo định lý 1.6.8 ta có R là vành chính quy.
35
2.2.2.4. Mệnh đề: Các khẳng định sau là tương đương: i. Mọi dãy khớp các R−module đều là thuần khiết. ii. Mọi R−module đều là module chia được.
iii. Vành R là vành chính quy.
Tiếp theo, ta sẽ xem xét các module con, module thương của module chia được.