Liện hệ với dãy khớp thuần khiết

Một phần của tài liệu module chia được trên vành giao hoán (Trang 34 - 37)

L ỜI MỞ ĐẦU

2.2.2. Liện hệ với dãy khớp thuần khiết

2.2.2.1. Mệnh đề: Cho 0→ A→ →χ B σ C →0 (1) là dãy khớp. Khi đó, A là module chia được nếu và chỉ nếu mọi dãy khớp (1) là thuần khiết.

Chứng minh:

Xét dãy khớp (1) tùy ý và giả sử A là module chia được. Từ dãy khớp (1), theo định lý 1.5.3 ta có dãy khớp dài sau

( ) ( ) ( ) ( )

33

Do A là module chia được nên theo mệnh đề 2.2.1b.4 ta có Ext(RλR,A)=0. Suy ra đồng cấu σ*:Hom(RλR,B)→Hom(RλR,C) là một toàn cấu nên dãy khớp (1) là thuần khiết.

Ngược lại, xét A là một module chia được tùy ý, vì mọi module đều có thể nhúng vào một module nội xạ nên ta có dãy khớp 0→ A i→ J pJ A→0 với J là module nội xạ. Do đó, với mọi λ∈R ta có dãy khớp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , J R R R

Hom A Hom J Hom

R R R A R R Ext A Ext J R R λ λ λ λ λ → → → → →

Theo giả thiết, dãy khớp ngắn trên là thuần khiết

nên p Hom*: (R ,J) Hom(R ,J )

R R A

λ → λ là một toàn cấu. Đồng thời, do J là module nội xạ nên Ext(R ,J) 0

R

λ = . Do đó, theo mệnh đề 1.2.5 ta có

(R , ) 0

Ext A R

λ = suy ra A là module chia được.

2.2.2.2. Bổ đề: Mọi R−module đều là module chia được nếu và chỉ nếu mọi module

R R

λ là xạ ảnh với mọi λ∈R.

Chứng minh:

Với mọi dãy khớp 0→ A→ →χ B σ C →0 và với mọi λ∈R, ta có dãy khớp dài sau

( ) ( ) ( ) ( )

0 Hom R ,A Hom R ,B Hom R ,C Ext R ,A

R R R R

λ λ λ λ

34

Ta có Ext(RλR,A)=0 (do A là module chia được) nên Hom(RλR,−) là hàm tử bảo toàn tình khớp của một dãy khớp ngắn. Do đó R

R

λ là module xạ ảnh với mọi

R

λ∈ .

Chiều ngược lại hoàn toàn hiển nhiên do R R

λ là module xạ ảnh nên (R , ) 0

Ext A R

λ = với mọi module A và với mọi λ∈R.

2.2.2.3. Bổ đề: R là vành chính quy nếu và chỉ nếu R R

λ là module xạ ảnh với mọi

R

λ∈ .

Chứng minh:

Giả sử R là vành chính quy. Khi đó, với mọi λ∈R ta khẳng định R R

λ là một module xạ ảnh. Thật vậy:

Theo định lý 1.6.8 ta có R R

λ là một R−module chính quy và do nó là module hữu hạn sinh nên theo định lý 1.6.9, ta có R

R

λ là một module xạ ảnh.

Ngược lại, Cho A là một module và B là module con của A. Khi đó, ta có dãy khớp

0→Bi→ →A p AB→0 nên theo định lý 1.5.3 ta có dãy khớp sau

( ) ( ) ( ) ( )

0 Hom R ,B Hom R ,A Hom R ,A Ext R ,A

R R R B R

λ λ λ λ

→ → → →

R

R

λ là module xạ ảnh nên Ext(R ,A) 0

R

λ =

Suy ra p*:Hom(R ,A) Hom(R ,A )

R R B

λ → λ là một toàn cấu. Như vậy dãy khớp ngắn trên là thuần khiết nên B là module con thuần khiết. Vậy theo định lý 1.6.8 ta có R là vành chính quy.

35

2.2.2.4. Mệnh đề: Các khẳng định sau là tương đương: i. Mọi dãy khớp các R−module đều là thuần khiết. ii. Mọi R−module đều là module chia được.

iii. Vành R là vành chính quy.

Tiếp theo, ta sẽ xem xét các module con, module thương của module chia được.

Một phần của tài liệu module chia được trên vành giao hoán (Trang 34 - 37)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(49 trang)