khả năng nhúng một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Trọng Huỳnh KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Trọng Huỳnh KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục BẢNG KÝ HIỆU T 5T LỜI NÓI ĐẦU T 5T CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ T T 1.1 Các định nghĩa tính chất T T 1.2 Địa phương hóa vành giao hoán 13 T T CHƯƠNG 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO T HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA 17 T 2.1 Xây dựng vành thương vành không giao hoán 17 T T 2.2 Khả nhúng miền vào vành chia 26 T T KẾT LUẬN 38 T 5T TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 T T BẢNG KÝ HIỆU  Tập số tự nhiên  Tập số nguyên  Tập số hữu tỉ ∅ Tập rỗng U ( R) Nhóm nhân phần tử khả nghịch vành R RS , RS −1 Vành thương phải R S Qclr ( R ) (Qcll ( R ) ) Vành thương phải (trái) cổ điển R K [ x] Vành đa thức biến x K K (G ) Vành tổng hình thức sinh G K K [ x,ϕ ] Vành đa thức biến x với tự đồng cấu K ann X Linh hóa tử X K G Vành sinh tập G K Mn (K ) Tập ma trận vuông cấp n lấy hệ số K x1 , x2 , , xn Nhóm sinh phần tử x1 , x2 , , xn Z(R) Tâm vành R A R A ideal vành R N(R) Radical nguyên tố vành R Spec(R) Tập ideal nguyên tố vành R J(R) Radical Jacobson vành R MR M R – môđun phải Q8 Nhóm quaternion LỜI NÓI ĐẦU Cho vành R giao hoán có đơn vị Một tập S ⊂ R gọi tập nhân (đóng nhân) R 1∈ S ∀x, y ∈ S ⇒ xy ∈ S Xác định quan hệ “∼” tập R × S sau: Với a, b ∈ R; s, t ∈ S ( a, s )  (b, t ) ⇔ ∃u ∈ S ,( at − bs)u =0 Dễ kiểm tra “∼” quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương ( a, s ) ký hiệu: a / s gọi thương (phân số) Gọi RS −1 tập hợp tất lớp tương đương a / s (thương, phân số) Trên RS −1 xác định phép cộng nhân: a / s + b / t =( at + bs) / st , ( a / s )(b / t ) = ab / st Khi RS −1 trở thành vành giao hoán Vành RS −1 gọi vành thương vành R theo tập nhân S Hơn nữa, I ideal nguyên tố R ta có tập nhân đóng S = R\I, vành thương R S vành địa phương Khi R miền nguyên giao R R hoán S = R\{0}, vành thương R S trường, gọi trường R R thương R Như vậy, miền nguyên giao hoán R nhúng vào trường thương sai khác đẳng cấu Vấn đề đặt miền nguyên không giao hoán, nhúng vào vành chia hay không? Nếu có hay không? Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa tính chất Phần ta nhắc lại số định nghĩa, tính chất định lý đại số không giao hoán 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng , R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+ ” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hoán ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x, y , z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.1.2 Định nghĩa Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A vành ta nói A vành vành R 1.1.3 Định nghĩa Cho R vành, vành A R gọi ideal trái (ideal phải) vành R thỏa mãn điều kiện: ∈ A (ar ∈ A), ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành A R gọi ideal vành R A vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.1.4 Định nghĩa Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử R ước R gọi miền nguyên Chú ý: để tránh nhầm lẫn với đại số giao hoán ta gọi miền nguyên R (như định nghĩa trên) miền 1.1.5 Định nghĩa Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch R gọi vành chia (thể) 1.1.6 Định nghĩa Vành R gọi vành Artin phải tập không rỗng ideal phải R có phần tử tối tiểu Các định nghĩa vành Artin trái, vành Artin cách tương tự Ta định nghĩa vành Artin phải thông qua dây chuyền giảm: Vành R vành Artin phải dây chuyền giảm ideal phải R ρ1 ⊃ ρ ⊃  ⊃ ρ n ⊃  dừng Tức là, ∃N ∈ * , ρ n= ρ N , ∀n ≥ N 1.1.7 Định nghĩa Vành R gọi vành Noether phải tập không rỗng ideal phải R có phần tử tối đại Các định nghĩa vành Noether trái, vành Noether cách tương tự 1.1.8 Mệnh đề Cho vành R điều kiện sau tương đương: i) R vành Noether phải ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng iii) Mỗi ideal phải R hữu hạn sinh iv) Mỗi tập khác rỗng ideal phải R có phần tử tối đại 1.1.9 Định nghĩa Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R-môđun phải có ánh xạ f : MxR → M thỏa ( m, r )  mr cho ∀m, m1 , m2 ∈ M ∀a, b ∈ R thì: i) m( a + b) = ma + mb ii) ( m1 + m2 )a =m1a + m2 a iii) ( ma )b = m( ab) Chú ý: M R R-môđun phải, tương tự ta có R M R-môđun trái Nếu không nói thêm R-môđun phải M gọi tắt R-môđun M 1.1.10 Định nghĩa Cho R-môđun M tập ∅ ≠ N ⊂ M N gọi môđun M với phép toán cảm sinh M N R-môđun N Hơn nữa, N môđun M R , với phép toán cảm sinh M M/N R-môđun phải gọi môđun thương 1.1.11 Định lý Cho M R- môđun phải N tập khác rỗng M Khi N môđun M điều kiện sau thỏa mãn: i) ∀x, y ∈ N : x − y ∈ N ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N : xa ∈ N 1.1.12 Định nghĩa R-môđun M gọi môđun đơn hay bất khả quy MR ≠ M có hai môđun M Nếu môđun M R hạng tử trực tiếp M R M R R R R R R R gọi môđun phải nửa đơn 1.1.13 Định nghĩa R-môđun M gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (d.c.c) dãy giảm môđun M ⊃ M ⊃ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn n cho: = = Mn M n +1 R-môđun gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c) dãy tăng môđun: M ⊂ M ⊂ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn n = Mn M cho: = n +1 R-môđun phải M gọi môđun Noether tập không rỗng môđun M có phần tử tối đại R-môđun M gọi môđun Artin nếu tập không rỗng môđun M có phần tử tối tiểu 1.1.14 Mệnh đề Giả sử A môđun môđun M Các điều kiện sau tương đương: i) M môđun Artin ii) A M/A môđun Artin iii) M thỏa điều kiện dây chuyền giảm (d.c.c) 1.1.15 Mệnh đề Giả sử A môđun môđun M Các điều kiện sau tương đương: i) M môđun Noether ii) A M/A môđun Noether iii) M thỏa điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c) iiii) Mọi môđun M hữu hạn sinh 1.1.16 Định nghĩa M gọi R-môđun trung thành với r ∈ R mà Mr = r = 1.1.17 Mệnh đề 0} ideal hai phía Cho M R-môđun Khi A ( M ) = {r ∈ R | Mr = R Hơn nữa, M R / A ( M ) - môđun trung thành 1.1.18 Bổ đề Cho M R-môđun Với r ∈ R ta có tự đồng cấu nhóm cộng: Tr : M → M cho Tr ( m )= mr, ∀m ∈ M Kí hiệu E(M) vành tự đồng cấu nhóm cộng M C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) | T ϕ = r ϕ Tr , ∀ r ∈ R } Khi đó, M môđun đơn C ( M ) vành chia 1.1.19 Định nghĩa Vành R đơn R2 ≠ R có hai ideal R P P 1.1.20 Định lý Cho vành R điều kiện sau tương đương: i) R vành Artin phải đơn ii) Tồn n ∈  cho R  M n ( D ) , D vành chia 1.1.21 Định nghĩa Một phần tử a vành R lũy linh tồn n cho a n = Nếu phần tử ideal A R lũy linh A gọi nil ideal Ideal A vành R lũy linh tồn số tự nhiên n cho An = 1.1.22 Định lý Cho vành R điều kiện sau tương đương: i) R tích trực tiếp hữu hạn vành Artin đơn ii) R R-môđun nửa đơn iii) R Artin phải ideal lũy linh khác iv) R Artin phải giao ideal phải tối đại 1.1.23 Định nghĩa Vành R gọi nửa đơn phải môđun R R môđun phải nửa R đơn R 25 (Thao khảo cách chứng minh định lý giáo trình “Nhóm tuyến tính” thầy Bùi Xuân Hải xuất năm 2011) 2.1.9.2 Định lý Mọi miền Artin vành chia Chứng minh: Giả sử R miền Artin ∀x ∈ R \ {0} ta xét dãy giảm ideal sinh x i (i ∈ * ) : x ⊃ x ⊃ ⊃ x n ⊃ Do R vành Artin nên tồn n0 ∈ * : x n0 = x n0 +1 suy tồn r ∈ R cho x n0 = x n0 +1r kết hợp với R miền suy xr = □ Vì miền hữu hạn R miền Artin, kết hợp Định lý Wedderburn 2.1.9.1 ta có R trường Do ta thu hệ sau: 2.1.9.3 Hệ Không tồn miền không giao hoán hữu hạn 2.1.9.4 Định lý Mọi miền Ore R phải (trái) tồn vành chia hull Thật vậy, áp dụng Định lý 2.1.8.2 ta có kết cần tìm □ 26 2.2 Khả nhúng miền vào vành chia 2.2.1 Sự tồn vành chia Cho F vành, G nhóm (hoặc nửa nhóm) hữu hạn Ký hiệu F(G) tập hợp tổng hình thức: F = (G ) {∑ αi gi : αi ∈ F , gi ∈ G} Trên F(G) ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: = ∀x +) Phép cộng: = ∀x +) Phép nhân: α g , y ∑ α ′g , ta có: x += y ∑ (α + α ′) g ∑= α g , y ∑ α ′g tích xy phép nhân hai đa thức ∑= i i i i i i i i i i i Với hai phép toán vừa định nghĩa, F(G) vành Khi G = x1 , , xn ta kí hiệu F (G ) = F ( x1 , , xn )  x = Trong M ((i )) xét tập A   − y y  | x , y ( i ) ∈    x  ( i ) = −1} Dễ dàng kiểm tra tập A với phép tính cộng {a + bi | a, b ∈ ,i2 = nhân hai ma trận thông thường vành có đơn vị Hơn  x = ∀α  −y y x ∈ det( α ) = A \ ta có { }  x −y = nghịch α −1 α khả y x = x x + y y = x + y ≠ nên 2  x −y  ∈ A Như vậy, A vành chia 2  x + y  y x  Do x, y ∈(i ) nên tồn x1 , y1 , x2 , y ∈ cho x= x1 + iy1 = y x2 + iy2 Ta có:  x  −y y  0 i   1 0 i  x y x y = + + +  1   −i   −1   i  x  1       27  1  0 0 i  i  Đặt I =  , , , = α α = α = j k i  −1    i  Khi đó:  −i          A= {x I + y α 1 i + x2α j + y2α k | x1 , y1 , x2 , y ∈ } =  (α i , α j , α k ) Kiểm tra trực tiếp ta thấy nhóm αi , α j , α k với phép nhân ma trận lập thành nhóm quaternion Tức αi , α j , α k ≅ Q8 = {1, −1, i, j, k , −i, − j, −k } Do ánh xạ: ϕ :  (α i , α j , α k ) →  ( i , j , k ) x1 I + y1αi + x2α j + y2α k  x1 + y1i + x2 j + y2 k đẳng cấu vành Như vậy:  ( i, j, k ) vành chia Để ý i.j = k j.i = - k,  ( i, j, k ) trường Hơn nữa, tâm  ( i, j, k ) Z (  ( i, j, k ) ) =  Xét vành  ( i, j, k ) ⊂  ( i, j, k ) Hiển nhiên  ( i, j, k ) miền không giao hoán Đơn cấu đồng nhất: I d :  ( i, j, k ) →  ( i, j, k ) x  Id ( x ) = x Cho phép nhúng miền  ( i, j, k ) không giao hoán vào vành chia Hơn nữa, vành chia  ( i, j, k ) vành chia hull  ( i, j, k ) 2.2.2 Sự tồn miền nhúng vào vành chia Trước tiên ta xét mệnh đề sau: 2.2.2.1 Mệnh đề Cho a, b, c, d, x, y, u, v phần tử nửa nhóm H thỏa ax = by, cx = dy au = bv Nếu H nhúng vào nhóm G cu = dv H Thật vậy: Do G nhóm nên ta có: 28 −1 −1 ax = by  yx = b a  −1  −1 −1 −1 cx = dy ⇒  yx = d c ⇒ d c = vu ⇒ cu = dv au = bv b −1a = vu −1   Dựa vào kết mệnh đề 2.2.1 ta xây dựng nửa nhóm H có luật giản ước hai phía chứa phần tử a, b, c, d, x, y, u, v thỏa ax = by, cx = dy, au = bv cu ≠ dv  = A, B, C , D, X , Y , U, V nửa nhóm tự (có đơn vị 1) sinh Gọi H phần tử A, B, C, D, X, Y, U, V Các phép biến đổi: + Thay AX BY + Thay CX DY + Thay AU BV  gọi phép biến đổi sơ cấp Phần tử W ∈ H  Trên phần tử H gọi thu gọn W thực phép biến đổi sơ cấp Ta gọi số kí tự W bậc W ( kí hiệu: deg(W)), tức xem W đơn thức với biến độc lập A, B, C, D, X, Y, U, V bậc W bậc đơn thức theo nghĩa thông thường Hiển nhiên ta có số tính chất sau:  có phần tử thu gọn tương ứng qua + Mỗi phần tử H phép biến đổi sơ cấp + Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi bậc  + Deg (W1W2 )= deg(W1 ) + deg(W2 ), ∀W1 ,W2 ∈ H + Nếu WW1 ,WW2 phần tử thu gọn WW1 = WW2 W1 = W2  : W ~ W '  sau: ∀W, W ' ∈ H Xét quan hệ “~” H W W’ có phần tử thu gọn sau hữu hạn phép biến đổi sơ cấp Dễ dàng kiểm tra “~” có tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu nên “~”  Gọi H tập lớp tương đương theo quan hệ quan hệ tương đương H 29  nửa nhóm Đặt a = A , “~” Khi H phép toán cảm sinh H b = B , c = C , d = D , x = X , y = Y , u = U , v = V Ta có: ax AX = AX = BY = BY = by += cx C= X CX = DY = DY = dy += + au = AU = AU = BV = BV = bv + Vì CU BV phần tử thu gọn, khác nên CU ≠ BV cu ≠ bv Như vậy, H chứa phần tử a, b, c, d, x, y, u, v thỏa ax = by, cx = dy, au = bv cu ≠ dv Tiếp theo, ta chứng minh luật giản ước trái Tức là: ∀w, w1 , w2 ∈ H : ww1 = ww2 w1 = w2 Thật vậy: Ta giả sử w, w1 , w2 lớp đại diện phần tử thu gọn W ,W1 ,W2 + Nếu WW1 ,WW2 phần tử thu gọn Khi từ WW1 = WW2 ta có ngay: W1 = W2 Từ suy w1 = w2 = W M = A,W1 X N M + Nếu WW1 chưa thu gọn, chẳng hạn: N thu gọn Ta có: WW1 = MAXN ~ MBYN Mặt khác, ww1 = ww2 ~ MBYN suy W2 = X N ' N’ phần tử thu nên WW2 = MAW gọn Từ đó: WW2 = MAXN ' ~ MBYN ' Đồng MBYN = MBYN ' ta có N = N ' Vì W1 = W2 hay w1 = w2 Các trường hợp W M = W M = C ,W1 X N= = A,W1 U N chứng minh tương tự Trường hợp luật giản ước phải chứng minh tương tự luật giản ước trái □ 30 Dựa vào mệnh đề 2.2.2.1 nửa nhóm H theo cách xây dựng nhúng vào nhóm G Một điều cần lưu ý H nửa nhóm vô hạn  có bậc nên ta Vì phần tử thuộc lớp H định nghĩa:  Deg= (W) deg(W), ∀W ∈ H 2.2.2.2 Định lý Cho K miền Khi R = K ( H ) miền Chứng minh: Ta cần chứng tỏ vành R ước Giả sử tồn = x1 ∑α w ∈ R \ {0}, (α ∈ K , w ∈ H , i ∈ I ) = x2 ∑α w i∈I j∈I ' i i ' j i ' j i ∈ R \ {0}, (α 'j ∈ K , w'j ∈ H , j ∈ I ' ) cho x1 x2 = Trong tổng ∑α w ta lập tổng ∑α w i∈I i i i∈I1 i bỏ hạng tử i có hệ số αi = hạng tử chứa wi có bậc bé max {deg ( wi ) | i ∈ I } , tức giữ lại hạng tử khác có bậc cao Làm tương tự cho tổng ∑α w j∈I ' ' j ' j ta tổng tương ứng ∑α w ' j ' j Vì x1 x2 = nên tồn j∈I 2' i, j ≠ cho w1w1' = wi w'j ( hạng tử α1α1' w1w1' bị triệt tiêu αiα 'j wi w'j ) Lấy W1 ,W1' ,Wi ,W j' phần tử thu gọn đại diện cho lớp w1 = W1 , w1' = W1' , wi = Wi , w'j = W j' Ta có hai trường hợp xảy ra: ' + W1W1' WW i j phần tử thu gọn: 31 ' ' Do deg (W1 ) deg = = (Wi ) ,deg (W1' ) deg (W j' ) WW i j = W1W1 nên ta có ' = W1 W= W j' ( mâu thuẫn) i ,W1 ' ' + W1W1' WW i j chưa thu gọn: Giả sử W1W1 chưa thu gọn, chẳng hạn: W1 = M A, W1' = X N M N thu gọn Ta có: W1W1' = MAXN ~ MBYN suy Wi = MB, W j' = YN Khi số hạng α1α 'j w1w'j chứa w1w'j với đại diện MAYN phần tử thu gọn Hơn nữa, số hạng không bị triệt tiêu số hạng khác (mâu thuẫn với x1 x2 = ) Như vậy, Vành R (có đơn vị 1K = 1R ) ước nên R □ miền 2.2.2.3 Định lý Miền R = K ( H ) nhúng vào vành chia Thật vậy: Giả sử R nhúng vào vành chia R’ Khi đó, nửa nhóm (nhân) H nhúng vào nhóm (nhân) U ( R ' ) = R '\ {0} Điều trái với 2.2.1 □ 2.2.3 Sự tồn nhiều vành chia hull khác miền không giao hoán Cho K vành tự đồng cấu vành ϕ : K → K Ký hiệu K [ x,ϕ ] tập hợp đa thức trái hình thức: = K [ x,ϕ ] {∑α x i i : αi ∈ K } Trên K [ x,ϕ ] ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: 32 = ∀u +) Phép cộng: n n α x , v ∑α x ∑= i i =i =i ' i i v , ta có u += n ∑ (α i =1 i + αi′) x i ( phép cộng hai đa thức thông thường) +) Phép nhân: ∀u = ∑αi x i , v = ∑ α ′j x j ta có uv = ∑ αi x i ∑ α ′j x j = ∑ β i + j x i + j xα = ϕ (α ) x Với hai phép toán vừa định nghĩa, K [ x,ϕ ] vành (không giao hoán trường hợp tổng quát) Khi K vành chia tự đồng cấu vành ϕ : K → K khác 0, ta có ϕ tự đơn cấu vành K [ x,ϕ ] miền Hơn nữa, K [ x,ϕ ] giao hoán ϕ ánh xạ đồng Dựa vào thuật toán Euclid ta dễ dàng chứng tỏ K [ x,ϕ ] vành trái ( Ideal trái sinh phần tử), K [ x,ϕ ] miền Noether trái 2.2.3.1 Định lý Mọi miền Noether phải nhúng vào vành chia Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.1.8.3 2.1.9.4 □ Hoàn toàn tương tự miền Noether phải, tất miền Noether trái nhúng vào vành chia Do miền K [ x,ϕ ] (K vành chia ϕ tự đơn cấu K) nhúng vào vành chia Như ta có hệ sau: 2.2.3.2 Hệ Cho K vành chia ϕ : K → K tự đơn cấu vành Khi đó, miền K [ x,ϕ ] nhúng vào vành chia 33 2.2.3.3 Bổ đề Cho miền K tự đơn cấu vành ϕ : K → K Tập {ti | i ∈ I } ⊂ K gọi độc lập tuyến tính phải ϕ ( K ) có ∑t f i∈I i i = f i ∈ K hầu hết trừ số hữu hạn hạn tử f i = 0, ∀i ∈ I Cho ϕ : K → K tự đơn cấu (vành) miền K đặt R = K [ x,ϕ ] Nếu tập {ti | i ∈ I } ⊂ K độc lập tuyến tính phải ϕ ( K ) tập {ti x | i ∈ I } ⊂ R độc lập tuyến tính phải trên R Thậy vậy, Giả sử ∑ (t x ) f i∈I i i = , f i ∈ R hầu hết trừ ∑ a x , (a số hữu hạn hạn tử.= Khi f i = ( ti x ) fi ∑= i∈I j j∈J ij    j t x a x = ( )  i  ∑ ij   ∑ i∈I   j∈J    Đồng hai vế cho ta ij ∈ K ) Ta có:   ∑ ∑ t ϕ ( a ) x j∈J i∈I i ij j +1 ∑ t ϕ ( a ) = Mặt khác, {t | i ∈ I } độc lập tuyến i∈I i ij i tính phải nên ϕ ( aij ) = , từ suy aij = (do ϕ đơn cấu) Vậy f i = ∑a x j∈J ij j = 0, ∀i ∈ I □ 2.2.3.4 Bổ đề (Jategaonkar) Giả sử a, b hai phần tử độc lập tuyến tính phải miền R C vành khác không cho phần tử giao hoán với a, b Khi đó, vành R sinh a, b C ( C a, b sinh a, b ) C – đại số tự 34 Thậy vậy: Nếu a, b không tự C, chọn đa thức (khác đa thức hằng) f ( x, y ) ∈ C ( x, y ) có bậc n nhỏ cho f ( a, b ) = Biểu diễn f dạng: α + xg ( x, y ) + yh ( x, y ) α ∈ C g ( x, y ) , h( x, y ) không đồng thời 0, không tính tổng quát ta giả sử g ( x, y ) ≠ Ta có: f ( a, b= = ) b a ( g ( a, b ) b ) + b (α + h ( a, b ) b ) Suy g ( a, b ) b = Bây viết g dạng: β + xp ( x, y ) + yq ( x, y ) ( β ∈ C ) Ta có deg g ≤ n − 1,deg p ≤ n − 2,deg q ≤ n − (∗) g ( a, b= Và= ) b a ( p ( a , b )b ) + b( β + q ( a , b )b ) (∗∗)  p( x, y ) y = x a= , y b khi=  β + q( x , y ) y = (∗∗) suy ra:  (∗) suy ra: ( x, y ) q=  p= ( x, y )  β = (mâu thuẫn với g ( x, y ) ≠ ) Vậy: vành C a, b C − đại số tự sinh a, b □ Cho C trường đặt A = C ( u, v ) đại số tự sinh u, v C Khi A miền Ta tìm cách nhúng A vào vành chia Gọi K trường hàm phân thức hữu tỉ vành đa thức C(t) ϕ n : K → K ( n > 1, n ∈  ) tự đồng cấu (vành) K cho: ϕ n (c) = c , ∀ c ∈ C ϕ n (t ) = t n Đặt Rn = K [ x,ϕ n ] Ta có, tập {1,t} ⊂ K độc lập tuyến tính phải ϕ n ( K ) nên tập {x, tx} ⊂ Rn độc lập tuyến tính phải Rn (Bổ đề : xc ϕ n= 2.2.3.3) Mặt khác, ∀c ∈ C= ( c ) x cx nên x, tx giao hoán với phần tử C Áp dụng bổ đề Jategaonkar 2.2.3.4 ta có C ( x, tx ) C – đại số tự Từ ta có vành C ( u, v ) đẳng cấu với vành C ( x, tx ) , suy tồn 35 α n ( u ) x= , α n ( v ) tx Tiếp theo, phép nhúng α n : C ( u, v ) → Rn thỏa mãn= áp dụng Hệ 2.2.3.2 ta nhúng miền Rn vào vành chia hull Dn Rn Như ta có định lý sau: 2.2.3.5 Định lý α n ( u ) x= , α n ( v ) tx Hơn Tồn phép nhúng α n : C ( u, v ) → Dn thỏa= nữa, Dn vành chia hull miền C ( u, v ) Thật vậy: giả sử E vành chia Dn chứa imα n Khi α n ( u )= x ∈ E ⇒ t ∈ E Từ suy K ∈ E , Rn ∈ E Do đó: E = Dn □  α n ( v )= tx ∈ E 2.2.3.6 Định lý Khi n ≠ m ( n, m > 1) Không tồn đồng cấu (vành) f : Dm → Dn αm C ( u, v ) cho tam giác sau giao hoán: αn Dm f Dn Tức f α m = α n ( Dn Dm vành chia hull khác miền C ( u, v ) ) Chứng minh: Giả sử tồn f thỏa định lý Khi ta có: m α m ( u )−1 α m ( v= )  Suy ra: ( x tx= ) m −1 −1 m x −= t x x= xt α m ( v ) α m ( u ) ∈ Dm −1 ( ) m −1 −1 −1 f  α m ( u= α m ( v )  f α m= v )αm (u ) α n ( v ) α n ( u ) ∈ Dn ) (    n −1 −1 Mặt khác: α n (= u ) α n ( v ) α n ( v ) α n ( u ) ∈ Dn   36 x −1t n x ⇒ t m−n = 1∈ Dn α n ( u ) α n= ( v ) x −1tx ∈ Dn nên ta có x −1t m x = −1 Điều mâu thuẫn với n ≠ m □ 2.2.4 Một định lý nhúng A.Robinson 2.2.4.1 Định nghĩa Vành R gọi quy mạnh nếu: với a ∈ R, tồn x ∈ R cho a = a x 2.2.4.2 Định lý Vành R quy mạnh R quy Von Neumann giản ước Vành tích trực tiếp họ vành chia Do nội dung phần chứng minh không nằm phần nghiên cứu nên ta không nêu cách chứng minh Bây trình bày phát biểu chứng minh kết sau A.Robinson 2.2.4.3 Định lý Nếu miền R nhúng vào tích trực tiếp vành chia Di ( i ∈ I ) , R nhúng vào vành chia Chứng minh: Đặt P = ∏ Di , viết phần tử x ∈ P dạng ( xi )i∈I i∈I Với x ∈ P , ta xác định phần= tử x ∗  xi∗ 0= , xi = Ta định nghĩa: = Ux  ∗ −1 =  xi xi , xi ≠ (x ) ∗ i i∈I {( a ) i i∈I ∈ P sau: | ∀i ∈ I , xi ≠ 0= ⇒ 0} = annr ( x ) ), − xx ∗ ∈U x (vì U x ann Ta có: U x ideal P= l ( x) (U x + U y + + U z ) xy z = ( *) Vì R nhúng vào P nên ta xem R vành P, đặt U = ∑U x , x chạy khắp P \ {0}, ta có U ≠ P , U = P tồn 37 x, y , , z ∈ P \ {0} cho:1∈U x + U y + + U z theo (*) ta xy z = , điều mâu thuẫn với giả thiết R miền Do U ≠ P nên P / U ≠ Với phần tử x ∈ P / U thỏa x ≠ ( x ∉U ) ta có: − xx ∗ ∈U x ⇒ − xx ∗ ∈U ⇒ − xx ∗ = Mặt khác: − xx ∗ = − xx ∗ = − x x ∗ Do ta có ngay: x x ∗ = Như vậy, P / U vành chia Xét đồng cấu f : R → P /U thỏa f ( x ) = x , ∀x ∈ R Mặt khác, ∀x ∈ R \ {0} : f (1 − xx ∗ ) = ⇒ f ( x ) f ( x ∗ ) = f (1) ⇒ ≠ f ( x ) ∈ P / U Do f đơn cấu Vậy: f phép nhúng R vào vành chia P/U □ 2.2.4.4 Hệ Nếu miền R nhúng vào vành quy mạnh R ' R nhúng vào vành chia Chứng minh: Theo Định lý 2.2.4.2 R ' tích trực tiếp họ vành chia Di ( i ∈ I ) , R ' nhúng ∏ D Do đó: miền R có i∈I i thể nhúng vào tích trực tiếp vành chia, suy R nhúng vào vành chia (Định lý 2.2.4.2).□ 38 KẾT LUẬN Kết luận văn: - Xây dựng vành thương vành giao hoán không giao hoán Điều kiện tồn vành thương - Trình bày tồn vành chia không giao hoán - Đưa ví dụ nhóm H có luật giản ước hai phía nhúng vào nhóm G Từ xây dựng miền K(H) nhúng vào vành chia - Chỉ tính không nhúng miền không giao hoán vào vành chia - Trình bày định lý nhúng A.Robinson 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh Lê Thanh Hà (1999), Các cấu trúc đại số bản, Nxb Giáo dục Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Tiếng Anh Herstein I.N (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA Lam T.Y (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer – Verlag, New York Lam T.Y (2003), Exercises in classical ring theory, Springer – Verlag, New York [...]... Chương 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA 2.1 Xây dựng vành các thương của vành không giao hoán Mở rộng hơn cho vành không giao hoán, cách xây dựng vành các thương bằng phương pháp địa phương hóa theo tâm của lý thuyết vành giao hoán như trên cũng có thể áp dụng để xây dựng vành các thương cho một số vành không giao hoán Tuy nhiên, không phải với vành không giao hoán bất kỳ... Mọi miền Noether phải đều có thể nhúng vào một vành chia Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.1.8.3 và 2.1.9.4 □ Hoàn toàn tương tự như miền Noether phải, tất cả miền Noether trái đều có thể nhúng vào một vành chia Do đó miền K [ x,ϕ ] (K là một vành chia và ϕ là tự đơn cấu trên K) có thể nhúng vào một vành chia Như vậy ta có hệ quả sau: 2.2.3.2 Hệ quả Cho K là một vành chia và ϕ : K → K là một tự đơn cấu vành. .. x,ϕ ] là một vành (không giao hoán trong trường hợp tổng quát) Khi K là một vành chia và tự đồng cấu vành ϕ : K → K khác 0, ta có ngay ϕ là một tự đơn cấu vành và K [ x,ϕ ] là một miền Hơn nữa, K [ x,ϕ ] giao hoán khi và chỉ khi ϕ là ánh xạ đồng nhất Dựa vào thuật toán Euclid ta dễ dàng chứng tỏ K [ x,ϕ ] là một vành chính trái ( các Ideal trái đều sinh bởi một phần tử), do đó K [ x,ϕ ] là một miền Noether... trường Do đó ta thu được hệ quả sau: 2.1.9.3 Hệ quả Không tồn tại miền không giao hoán hữu hạn 2.1.9.4 Định lý Mọi miền Ore R phải (trái) đều tồn tại vành chia hull Thật vậy, áp dụng Định lý 2.1.8.2 ta có ngay kết quả cần tìm □ 26 2.2 Khả năng nhúng của một miền vào một vành chia 2.2.1 Sự tồn tại vành chia Cho F là một vành, G là một nhóm (hoặc nửa nhóm) hữu hạn Ký hiệu F(G) là tập hợp các tổng hình... i, j, k ) không giao hoán vào một vành chia Hơn nữa, vành chia  ( i, j, k ) chính là vành chia hull duy nhất của  ( i, j, k ) 2.2.2 Sự tồn tại miền không thể nhúng vào vành chia Trước tiên ta xét mệnh đề sau: 2.2.2.1 Mệnh đề Cho a, b, c, d, x, y, u, v là các phần tử của nửa nhóm H thỏa ax = by, cx = dy và au = bv Nếu H được nhúng vào nhóm G thì cu = dv trong H Thật vậy: Do G là một nhóm nên ta có:... Như vậy, miền A có vành chia hull khi và chỉ khi A có thể nhúng vào một vành chia Hai vành chia hull của một miền A được coi là giống nhau nếu chúng đẳng cấu với nhau trên A 2.1.9.1 Định lý (Wedderburn) Mọi vành chia hữu hạn đều là trường 25 (Thao khảo cách chứng minh định lý trong giáo trình “Nhóm tuyến tính” của thầy Bùi Xuân Hải xuất bản năm 2011) 2.1.9.2 Định lý Mọi miền Artin đều là vành chia Chứng... MAYN là phần tử thu gọn Hơn nữa, số hạng này không bị triệt tiêu bởi bất kì số hạng nào khác (mâu thuẫn với x1 x2 = 0 ) Như vậy, Vành R (có đơn vị là 1K 1 = 1R ) không có ước của 0 nên R là □ một miền 2.2.2.3 Định lý Miền R = K ( H ) không thể nhúng vào bất kì một vành chia nào Thật vậy: Giả sử R được nhúng vào vành chia R’ Khi đó, nửa nhóm (nhân) H được nhúng vào nhóm (nhân) U ( R ' ) = R '\ {0} Điều... là một đẳng cấu vành Như vậy:  ( i, j, k ) là một vành chia Để ý rằng i.j = k nhưng j.i = - k, do đó  ( i, j, k ) không phải là trường Hơn nữa, tâm của  ( i, j, k ) là Z (  ( i, j, k ) ) =  Xét vành con  ( i, j, k ) ⊂  ( i, j, k ) Hiển nhiên  ( i, j, k ) là miền không giao hoán Đơn cấu đồng nhất: I d :  ( i, j, k ) →  ( i, j, k ) x  Id ( x ) = x Cho phép nhúng một miền  ( i, j, k ) không. .. Nếu R là vành Artin phải thì N ( R ) lũy linh và là ideal lũy linh lớn nhất của R Hơn nữa, R / N ( R ) là vành nửa đơn và J ( R ) = N ( R ) 1.1.32 Định nghĩa Vành R là nửa nguyên tố nếu vành R không có ideal lũy linh khác 0 1.1.33 Định nghĩa Nếu vành R có một môđun đơn trung thành M R thì R được gọi là vành nguyên thủy phải Ideal A của vành R là được gọi là ideal nguyên thủy nếu R/A là vành nguyên thủy... niệm khả hoán bên phải S được phát biểu lại dưới dạng tương đương như sau: aR ∩ bR ≠ 0 với a, b ∈ R \ {0} Điều kiện này được gọi là điều kiện Ore phải trên R 2.1.8.2 Định lý Cho R là một miền Khi đó, R là miền Ore phải khi và chỉ khi R có vành các thương bên phải là vành chia Chứng minh: Nếu R là một miền Ore phải thì R có một vành các thương bên phải RS−1 Ta sẽ chứng minh rằng RS−1 là vành chia ... hóa vành giao hoán 13 T T CHƯƠNG 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO T HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA 17 T 2.1 Xây dựng vành thương vành không giao hoán 17 T T 2.2 Khả nhúng miền vào. .. R{0}, vành thương R S trường, gọi trường R R thương R Như vậy, miền nguyên giao hoán R nhúng vào trường thương sai khác đẳng cấu Vấn đề đặt miền nguyên không giao hoán, nhúng vào vành chia hay không? ... S-1P vành không ∈ S P P Đặc biệt, Khi R miền giao hoán trường thương R tương ứng với địa phương hóa R tập nhân đóng S = R{0} 17 Chương 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA