lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

L ỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta thấy rằng trong vành giao hoán có lũy đẳng ? thì vành ? được phân tích thành tích trực tiếp của hai vành con ?? và ?1 − ?.. Theo nhiều nghiên cứu trong lý thuyế

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin

và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép

Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS Bùi Tường Trí

Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng

lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn

TP Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013

Tác giả

Nguy ễn Vũ Vân Trang

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

B ẢNG KÝ HIỆU 3

L ỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Các định nghĩa, tính chất của vành 5

1.2 Các định nghĩa, tính chất của môđun 7

1.3 Radical c ủa vành 10

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 15

2.1 Lũy đẳng 15

2.2 Lũy đẳng tâm 18

2.3 Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ 19

2.4 Lũy đẳng nguyên thủy 19

2.5 Lũy đẳng địa phương 20

2.6 Lũy đẳng bất khả quy 23

2.7 Lũy đẳng đẳng cấu 25

2.8 S ự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R 27 2.9 Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối 34

KẾT LUẬN 42

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 43

𝑀𝑛(𝐷) Vành ma trận vuông cấp n trên 𝐷

𝑈(𝑅) Nhóm các phần tử khả nghịch của vành 𝑅

ACC Điều kiện dây chuyền tăng

L ỜI NÓI ĐẦU

Trước hết ta thấy rằng trong vành giao hoán có lũy đẳng 𝑒 thì vành 𝑅 được phân tích thành tích trực tiếp của hai vành con 𝑅𝑒 và 𝑅(1 − 𝑒) Theo nhiều nghiên

cứu trong lý thuyết vành giao hoán, chúng ta chỉ thu hẹp nghiên cứu trong các vành 𝑅 không thể phân tích được nghĩa là 𝑅 ≠ 0 và 𝑅 không phân tích được thành tích trực

tiếp của hai vành con khác không Các vành này là các vành chỉ có các phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1 Đối với vành không giao hoán, nhận xét trên sẽ hợp lí nếu

ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm” Do đó, một vành 𝑅 khác không là không phân tích được nếu và chỉ nếu nó không có phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường Tuy nhiên trong các vành này có thể có nhiều phần tử lũy đẳng không là lũy đẳng tâm không tầm thường Do vậy trong lý thuyết các vành không giao hoán định lý về các lũy đẳng có vai trò nổi bật hơn trong lý thuyết các vành giao hoán Đặc biệt là vai trò

của lũy đẳng tâm trong sự phân tích khối của các vành

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao hoán Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì 𝑅 là vành không giao hoán có đơn vị, môđun M là một 𝑅 – môđun phải

1.1 Các định nghĩa, tính chất của vành

Định nghĩa 1.1.1

Cho tập hợpR khác r ỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu

là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân) Ta nói R +, ,. là một vành nếu

các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) R +, là một nhóm giao hoán

(2) R,. là một nửa nhóm

(3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, với các phần tử tùy ý

𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 và (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥

Nếu phép nhân trong 𝑅 giao hoán thì ta gọi 𝑅 là vành giao hoán, nếu phép

nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi 𝑅 là vành có đơn vị

Định nghĩa 1.1.2

Một bộ phận 𝐴 khác rỗng của vành 𝑅 cùng với hai phép toán của vành 𝑅 cảm

sinh trên 𝐴 thành một vành thì ta nói 𝐴 là vành con của vành 𝑅

Định nghĩa 1.1.3

Cho 𝑅 là một vành, một vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan trái (hoặc iđêan

ph ải) của vành 𝑅 nếu thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅

Vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan của vành 𝑅 nếu 𝐴 vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của vành 𝑅

Định nghĩa 1.1.5

Một phần tử 𝑎 của vành 𝑅 là lũy linh nếu tồn tại 𝑛 sao cho a = n 0

Định nghĩa 1.1.6

Một iđêan một phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 được gọi là nil nếu 𝐴 chứa các phần

tử lũy linh; 𝐴 được gọi là lũy linh nếu 𝐴𝑛 = 0 với 𝑛 là số tự nhiên nào đó

Định nghĩa 1.1.7

Cho 𝑅 là một vành có đơn vị Nếu mọi phần tử khác 0 trong 𝑅 đều khả

nghịch thì 𝑅 được gọi là một vành chia (hay là một thể)

Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ được gọi là một đồng cấu vành nếu 𝑓 bảo

toàn các phép toán, nghĩa là:

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)

Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 được gọi là một tự đồng cấu của 𝑅 Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn

c ấu, đẳng cấu

Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu Nếu tồn tại một đẳng

cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ thì ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′

1.2 Các định nghĩa, tính chất của môđun

Định nghĩa 1.2.1

Cho 𝑅 là một vành tùy ý và 𝑀 là một nhóm cộng aben 𝑀 được gọi là một 𝑅 – môđun phải nếu có một ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀,

(𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟 sao cho ∀𝑚, 𝑚1, 𝑚2 ∈ 𝑀 và ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì:

𝑀 được gọi là 𝑅 – môđun trung thành nếu 𝑀𝑟 = (0) thì 𝑟 = 0

Như vậy 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành khi và chỉ khi 𝐴(𝑀) = {0}

Mệnh đề 1.2.4

𝐴(𝑀) là iđêan hai phía của 𝑅, hơn nữa 𝑀 là 𝑅/𝐴(𝑀) – môđun trung thành

Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M Khi đó, 𝐸(𝑀)

lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ánh xạ thông thường

Với mỗi a∈R, ta định nghĩa T a:M → M sao cho mT a =ma, ∀ ∈m M

Mệnh đề 1.2.5

𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với một vành con của vành 𝐸(𝑀)

Đặc biệt nếu 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành thì 𝐴(𝑀) = {0} khi đó 𝑅 được xem

là vành con của vành 𝐸(𝑀) Bây giờ ta xét những phần tử nào trong E M( )mà giao hoán được với tất cả T a

Định nghĩa 1.2.6

Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅}

Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự đồng cấu môđun của 𝑀

Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự đồng cấu môđun của 𝑀

𝑀 được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu 𝑀𝑅 ≠ 0 và 𝑀 có đúng

hai môđun con là (0) và 𝑀

𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu mọi dãy tăng các

môđun con 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao cho:

𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Noether

Môđun 𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu mọi dãy

giảm các môđun con 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Artin

Mệnh đề 1.2.14

Nếu 𝑁 là một môđun con của 𝑅 – môđun 𝑀 thì tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng và

phép nhân vô hướng định bởi:

(𝑥 + 𝑁) + (𝑦 + 𝑁) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑁, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 𝑎(𝑥 + 𝑁) = 𝑎𝑥 + 𝑁, ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝑎 ∈ 𝑅

là một 𝑅 – môđun Khi đó 𝑅 – môđun 𝑀/𝑁 được gọi là môđun thương của 𝑅–môđun

𝑀 với môđun con 𝑁 của nó

Định nghĩa 1.2.15

Một dãy hợp thành của một 𝑅 – môđun 𝑀 là một dãy giảm gồm một số hữu

hạn các môđun con

𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑀𝑛 = {0}

sao cho 𝑀𝑖−1⁄ là một môđun đơn, 𝑖 = 1, … , 𝑛 Khi đó số 𝑛 được gọi là độ dài của 𝑀𝑖

dãy h ợp thành này Môđun 𝑀 có một dãy hợp thành được gọi là môđun có dãy hợp

thành

Định lý 1.2.16 (Định lý Jordan-Holder)

Nếu 𝑅 – môđun 𝑀 có một dãy hợp thành với độ dài 𝑛, thì tất cả các dãy hợp thành của 𝑀 cũng có độ dài 𝑛 Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các môđun con của 𝑀 đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều

cơ sở của M

Định nghĩa 1.2.20

Một R – môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f: P→ M ″ và mọi toàn cấu g: M→ M ″ các R – môđun đều tồn tại một đồng cấu h: P → M sao cho gh=f

1.3 Radical c ủa vành

Định nghĩa 1.3.1

Radical Jacobson ( Căn Jacobson) của 𝑅, ký hiệu là 𝑟𝑎𝑑 𝑅, là tập tất cả các

phần tử của 𝑅 linh hóa tất cả các 𝑅 – môđun bất khả quy của 𝑅 Nếu 𝑅 không có môđun bất khả quy nào thì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑅

Theo định nghĩa thì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 =∩ 𝐴(𝑀), M chạy khắp các R - môđun bất khả quy, ta có 𝐴(𝑀) là iđêan hai phía nên 𝑟𝑎𝑑 𝑅 cũng là iđêan hai phía

Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 được gọi là tựa chính quy phải nếu có 𝑎′ ∈ 𝑅 sao cho

𝑎 + 𝑎′ + 𝑎𝑎′ = 0 Ta gọi 𝑎′ là tựa nghịch đảo phải của 𝑎

Ta định nghĩa tương tự cho phần tử tựa chính quy trái Chú ý nếu 𝑅 có đơn vị 1 thì 𝑎 là tựa chính quy phải nếu và chỉ nếu 1 + 𝑎 là khả nghịch phải trong 𝑅

(3) 𝑦𝑀 = 0 với 𝑀 là 𝑅 – môđun trái đơn bất kỳ

Định lý 1.3.6 (Định lý Hopkins – Levitzki)

Cho 𝑅 là vành với 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là lũy linh và 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là nửa đơn (𝑅 được gọi

là vành nửa nguyên thủy) Khi đó với bất kỳ 𝑅 – môđun trái 𝑀 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:

Định lý 1.3.7

Cho vành 𝑅 bất kỳ khác không, các phát biểu sau là tương đương:

(1) 𝑅 có duy nhất một iđêan trái tối đại

(2) 𝑅 có duy nhất một iđêan phải tối đại

Vành 𝑅 nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn

Định nghĩa 1.3.11

Một 𝑅 – môđun phải 𝑀 ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 𝑀 không thể

viết được dưới dạng tổng trực tiếp của hai 𝑅 – môđun con khác không của 𝑀

Cho 𝑅 là vành Artin đơn Khi đó 𝑅 ≅ 𝑀𝑛(𝐷), với 𝐷 là vành chia Hơn nữa, 𝑛

là duy nhất và 𝐷 xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu Ngược lại, với vành chia

𝐷, 𝑀𝑛(𝐷) là vành Artin đơn

B ổ đề 1.3.14

Cho 𝑅 là vành với các iđêan khác không 𝐵1, … , 𝐵𝑟 và 𝐶1, … , 𝐶𝑠 thỏa 𝑅 =

𝐵1⨁ … ⨁ 𝐵𝑟 = 𝐶1⨁ … ⨁ 𝐶𝑠 sao cho mỗi 𝐵𝑖, 𝐶𝑖 không phân tích được như là một iđêan (tức không là tổng trực tiếp của hai iđêan con khác 0) Khi đó 𝑟 = 𝑠 và sau một hoán vị của các chỉ số, 𝐵𝑖 = 𝐶𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟

B ổ đề 1.3.15 (Bổ đề Nakayama)

Với iđêan trái bất kỳ 𝐽 ⊆ 𝑅, các phát biểu sau là tương đương:

(1) 𝐽 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅

(2) Với 𝑅 – môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ M, 𝐽 𝑀 = 0 suy ra 𝑀 = 0

(3) Với các 𝑅 – môđun trái 𝑁 ⊆ 𝑀 sao cho 𝑀/𝑁 là hữu hạn sinh,

𝑁 + 𝐽 𝑀 = 𝑀 suy ra 𝑁 = 𝑀

Vành giao hoán, có đơn vị có nhiều hơn một phần tử, mọi phần tử khác không

đều khả nghịch gọi là trường

Một đại số 𝐴 trên trường 𝐹 là một không gian vectơ trên 𝐹 sao cho trên 𝐴 có

một phép nhân và cùng với phép nhân này 𝐴 là một vành Hơn nữa, cấu trúc không gian vectơ có thể khớp với cấu trúc vành theo luật :

𝑘(𝑎𝑏) = (𝑘𝑎)𝑏 = 𝑎(𝑘𝑏), ∀𝑘 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

Số chiều của không gian vectơ 𝐴 trên 𝐹 được gọi là số chiều của đại số 𝐴 và kí

hiệu là 𝑑𝑖𝑚𝐹𝐴 hay viết gọn là dim 𝐴 nếu không sợ nhầm lẫn

𝐹 được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1

trong 𝐹[𝑥] đều có nghiệm trong 𝐹

Một đồng cấu từ đại số 𝐴 vào đại số 𝐴′ là ánh xạ ℎ: 𝐴 → 𝐴′ vừa là đồng cấu

môđun, vừa là đồng cấu vành

M ệnh đề 1.3.16

Cho 𝑖 ∶ 𝑅 ⟶ 𝑆 là đồng cấu vành Giả sử 𝑆 = 𝑅 𝑥1 + ⋯ + 𝑅 𝑥𝑛 với mỗi 𝑥𝑗

giao hoán (theo từng thành phần) với 𝑖(𝑅) Khi đó 𝑖(𝑟𝑎𝑑 𝑅) ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆

Định lý 1.3.20 (Định lý Krull – Schmidt – Azumaya)

Cho 𝑅 là một vành và giả sử 𝑅 – môđun phải 𝑀 có hai sự phân tích thành các môđun con: 𝑀 = 𝑀1⨁ … ⨁𝑀𝑟 = 𝑁1⨁ … ⨁𝑁𝑠

với mỗi 𝑁𝑖 là không phân tích được và mỗi 𝑀𝑖 là không phân tích được mạnh Khi đó

𝑟 = 𝑠 và ta có 𝑀𝑖 ≅ 𝑁𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Trong chương này ta nghiên cứu một lý thuyết có hệ thống về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán Sau đó ta xét hai bài toán lớn: bài toán 1 về khả năng nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành 𝑅 và bài toán 2 về sự phân tích khối

2.1 L ũy đẳng

Định nghĩa 2.1.1

Phần tử 𝑒 ≠ 0 trong 𝑅 là lũy đẳng nếu 𝑒2 = 𝑒

B ổ đề 2.1.2

Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố Giả sử ρ≠ (0) là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 Khi

đó ρ = 𝑒𝑅 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝑅

Ch ứng minh

Do 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝜌 ≠ (0) là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nên 𝜌2 ≠ (0),

do đó tồn tại 𝑥 ∈ 𝜌 sao cho 𝑥𝜌 ≠ (0) Tuy nhiên 𝑥𝜌 ⊂ 𝜌 là iđêan phải của 𝑅 và do tính tối tiểu cùa 𝜌 thì 𝑥𝜌 = 𝜌 Vì vậy tồn tại 𝑒 ∈ 𝜌 thỏa 𝑥𝑒 = 𝑥 suy ra 𝑥𝑒2 = 𝑥𝑒 vì

vậy 𝑥(𝑒2− 𝑒) = 0 Giả sử 𝜌0 = {𝑎 ∈ 𝜌: 𝑥𝑎 = 0}; 𝜌0 là iđêan phải của 𝑅 và 𝜌 chứa

𝜌0 và 𝜌 ≠ 𝜌0 vì 𝑥𝜌 ≠ (0) Theo tính tối tiểu của 𝜌 ta có 𝜌0 = (0); vì 𝑒2− 𝑒 ∈ 𝜌0nên 𝑒2 = 𝑒 và vì 𝑥𝑒 = 𝑒 ≠ 0 ta có 𝑒 ≠ 0, tức là e là lũy đẳng trong 𝑅 Khi đó 𝑒 ∈

𝜌 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ρlà iđêan phải của 𝑅, chứa 𝑒2 = 𝑒 ≠ 0 vì vậy 𝑒𝑅 ≠ (0) Do tính tối tiểu

của ρ nên 𝑒𝑅 = ρ

B ổ đề 2.1.3

Cho 𝑅 là vành và 𝑎2 − 𝑎 lũy linh, 𝑎 ∈ 𝑅 Khi đó hoặc 𝑎 là lũy linh hoặc tồn tại

đa thức 𝑞(𝑥)∈ ℤ[𝑥] thỏa 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác không

Ch ứng minh

Giả sử (𝑎2 – 𝑎)𝑘 = 0 với 𝑘 ∈ ℕ, khai triển (𝑎2 – 𝑎)𝑘 = 0 ta được 𝑎𝑘 =

𝑎𝑘+1𝑝(𝑎) với 𝑝(𝑥)∈ ℤ[𝑥] Khi đó

𝑎𝑘 = 𝑎𝑘+1𝑝(𝑎) = 𝑎 𝑎𝑘𝑝(𝑎) = 𝑎 𝑎𝑘+1𝑝(𝑎)𝑝(𝑎) = 𝑎𝑘+2𝑝(𝑎)2

Tiếp tục quá trình trên ta được 𝑎𝑘 = 𝑎2𝑘𝑝(𝑎)𝑘 Nếu a lũy linh thì ta có đpcm Mặt khác nếu 𝑎𝑘 ≠ 0, vì 0 ≠ 𝑒 = 𝑎𝑘𝑝(𝑎)𝑘 = (𝑎2𝑘𝑝(𝑎)𝑘)𝑝(𝑎)𝑘 = 𝑎2𝑘𝑝(𝑎)2𝑘 = 𝑒2

Vì ρkhông lũy linh nên ρ⊄ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 Đặt 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 thì 𝑅� là nửa nguyên tố

Giả sử 𝜌̅ = {𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ∶ 𝑎 ∈ 𝜌} là ảnh của 𝜌 trong 𝑅� Do 𝜌̅ ≠ (0) và 𝑅� là Artin suy

ra 𝜌̅ chứa một iđêan phải tối tiểu 𝜌��� của 𝑅� Theo (2.1.2) 𝜌0 ��� có một lũy đẳng 𝑒̅ ≠ 0� 0sao cho 𝜌��� = 𝑒̅𝑅� Giả sử 𝑎 ∈ 𝜌 là tạo ảnh của 𝑒̅ tức là 𝑒̅ = 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅, vì 𝑒̅0 2 = 𝑒̅ suy

ra 𝑎2 – 𝑎 là tạo ảnh của 0� tức là 𝑎2− 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 Do đó 𝑎2− 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 suy ra 𝑎2− 𝑎 lũy linh trong 𝑟𝑎𝑑 𝑅 Ta chỉ ra rằng a không lũy linh, thật vậy nếu

𝑎𝑘 = 0, 𝑘 ∈ ℕ, khi đó 0 = 𝑎�𝑘 = 𝑒̅𝑘 = 𝑒̅ mâu thuẩn Theo (2.1.3) tồn tại đa thức 𝑞(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] sao cho 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác 0 Do 𝑎 ∈ 𝜌 suy ra 𝑎𝑞(𝑎) ∈ 𝜌 vì

nếu N ≠ (0) là 𝑒𝑅𝑒–môđun con của 𝑀𝑒 và 0 ≠ 𝑚𝑒 ∈ 𝑁 thì (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑒 ⊂ 𝑁 suy ra 𝑁 = 𝑀𝑒) và 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0) (vì mỗi phần tử của 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) đều có dạng 𝑒𝑅𝑒 nên 𝑀𝑒 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)) Nói cách khác nếu 𝑀𝑒 ≠ (0) thì 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)

Trường hợp 2: 𝑀𝑒 = (0) thì 𝑀𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)

Do vậy trong hai trường hợp ta có 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) linh hóa tất cả các 𝑅 –môđun bất

khả quy 𝑀, do đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑅) Vì vậy

𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)𝑒 ⊂ 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒

" ⊃ " Giả sử 𝑎 ∈ 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 ⊂ 𝑟𝑎𝑑𝑅 (vì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là iđêan hai phía), khi đó a có

tựa nghịch đảo trái và phải 𝑎′ Ta có 𝑎 + 𝑎′+ 𝑎𝑎′ = 0 (i) nhân hai vế trái và phải

của đẳng thức (i) với 𝑒 và sử dụng 𝑒𝑎𝑒 = 𝑎 ta có

0 = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + 𝑒𝑎𝑎′𝑒 = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑎′𝑒) = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + 𝑎𝑒𝑎′𝑒

Suy ra 𝑒𝑎′𝑒 là tựa nghịch đảo phải của 𝑎 Vì phần tử tựa nghịch đảo của 𝑎 là duy

nhất nên 𝑎′ = 𝑒𝑎′𝑒 Do đó mọi phần tử trong 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 đều tựa chính quy trong 𝑒𝑅𝑒 Hơn nữa 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 là một iđêan của 𝑒𝑅𝑒, thì iđêan tựa chính quy của 𝑒𝑅𝑒 được chứa trong 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) tức là 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)

Định lý 2.1.6

Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố và 𝑒 ≠ 0 là lũy đẳng trong 𝑅 Khi đó 𝑒𝑅 là iđêan

phải tối tiểu của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑒 là vành chia

Ch ứng minh

" ⇒ " Giả sử 𝜌 = 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 Nếu 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 ∈ 𝑒𝑅𝑒 thì (0) ≠ 𝑒𝑎𝑒𝑅 ⊂ 𝑒𝑅 ⇒ 𝑒𝑎𝑒𝑅 = 𝑒𝑅 (do tính tối tiểu của 𝑒𝑅) Do đó tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅 sao cho 𝑒𝑎𝑒𝑦 = 𝑒, 𝑒𝑎𝑒𝑦𝑒 = 𝑒2 suy ra (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑦𝑒) = 𝑒 Vì vậy 𝑒𝑅𝑒 là vành chia với

phần tử đơn vị là 𝑒

" ⇐ " Giả sử 𝑒𝑅𝑒 là vành chia ta chứng minh rằng 𝜌 = 𝑒𝑅 là một iđêan phải

tối tiểu của 𝑅 Giả sử (0) ≠ 𝜌0 ⊂ 𝜌 là một iđêan phải của 𝑅, khi đó 𝜌0𝑒 ≠ (0) thật

vậy nếu 𝜌02 ⊂ 𝜌0𝜌 = 𝜌0𝑒𝑅 = (0) (mâu thuẩn giả thiết 𝑅 là nửa nguyên tố) Giả sử

𝑎 = 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 trong 𝑒𝑅𝑒; vì 𝑎 ∈ 𝑒𝑅 𝑣à 𝑒𝑎 = 𝑎 ta có 0 ≠ 𝑎𝑒 = 𝑒𝑎𝑒 ∈ 𝜌0; vì 𝑒𝑅𝑒 là vành chia nên tồn tại 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 sao cho (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) = 𝑒 Tuy nhiên 𝑒 =(𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) ∈ 𝜌0 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ 𝜌0 ⊂ 𝑒𝑅 = 𝜌 Do đó 𝜌0 = 𝜌 và 𝜌 là iđêan tối tiểu thật

sự

Thay từ “trái” bởi từ “phải” trong định lý trên ta có được:

H ệ quả 2.1.7

Nếu 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅 thì 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu

của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑅𝑒 là một iđêan trái tối tiểu của 𝑅

B ổ đề Brauer 2.1.8

Cho 𝒜 là một iđêan trái tối tiểu trong vành 𝑅 Khi đó hoặc 𝒜2 = 0 hoặc

𝒜 = 𝑅𝑒 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝒜

Giả sử 𝑒, 𝑒′ là các lũy đẳng và 𝑀 là 𝑅 – môđun phải Khi đó có một đẳng cấu nhóm cộng tự nhiên 𝜆: 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑀) → 𝑀𝑒 Đặc biệt, có một đẳng cấu nhóm tự nhiên 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) ≅ 𝑒′𝑅𝑒

Ch ứng minh

Xét 𝑅 − đồng cấu 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀, 𝑚 = 𝜃(𝑒) Khi đó:

𝑚𝑒 = 𝜃(𝑒)𝑒 = 𝜃(𝑒2) = 𝜃(𝑒) = 𝑚

Do đó 𝑚 = 𝑚𝑒 ∈ 𝑀𝑒 Ta định nghĩa ánh xạ 𝜆 cho bởi 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒) Khi đó 𝜆

là đơn cấu nhóm Để chứng minh 𝜆 toàn ánh: xét 𝑚 ∈ 𝑀𝑒 bất kỳ và định nghĩa 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀 với 𝜃(𝑒𝑟) = 𝑚𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅 Do 𝑒𝑟 = 0 ⟹ 𝑚𝑟 ∈ 𝑀𝑒𝑟 = 0 và 𝜃 là 𝑅 – đồng

cấu định nghĩa tốt Ta có: 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒) = 𝑚 nên 𝜆 là toàn ánh

Kết luận cuối cùng của (2.2.3) suy ra bằng cách cho tập 𝑀 = 𝑒′𝑅

Hệ quả 2.2.4

Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 bất kỳ, có một đẳng cấu vành tự nhiên 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) ≅ 𝑒𝑅𝑒

Ch ứng minh

Lấy 𝑒′ = 𝑒 trong (2.2.3) ta có đẳng cấu nhóm 𝜆: 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) → 𝑒𝑅𝑒 Ta chỉ cần

chỉ ra 𝜆 là một đẳng cấu vành Giả sử 𝜃, 𝜃′ ∈ 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) và 𝑚 = 𝜃(𝑒) ∈ 𝑒𝑅 Khi đó:

Lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 được gọi là đầy đủ nếu 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅

2.4 Lũy đẳng nguyên thủy

M ệnh đề 2.4

Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 khác 0 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:

(1) 𝑒𝑅 không phân tích được như là một 𝑅 – môđun phải

(1′) 𝑅𝑒 không phân tích được như là một 𝑅 – môđun trái

(2) Vành 𝑒𝑅𝑒 không có các lũy đẳng không tầm thường

(3) 𝑒 không có sự phân tích dạng 𝛼 + 𝛽 với 𝛼, 𝛽 là các lũy đẳng trực giao khác 0 trong 𝑅

Nếu lũy đẳng 𝑒 ≠ 0 thỏa mãn một trong những điều kiện nêu trên, ta nói 𝑒 là

lũy đẳng nguyên thủy của 𝑅

(2) ⟹ (3) Giả sử ta có sự phân tích 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 với 𝛼, 𝛽 là các lũy đẳng trực giao khác 0 trong 𝑅 Khi đó: 𝑒𝛼 = 𝛼2+ 𝛽𝛼 = 𝛼 và 𝛼𝑒 = 𝛼2+ 𝛼𝛽 = 𝛼 Do (2.1.9)(4), 𝛼 ∈ 𝑒𝑅𝑒 (mâu thuẩn với (2))

2.5 Lũy đẳng địa phương

M ệnh đề 2.5.1

Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:

(1) 𝑒𝑅 không phân tích được mạnh như là một 𝑅 – môđun phải

(1′) 𝑅𝑒 không phân tích được mạnh như là một 𝑅 – môđun trái