lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để thực luận văn thời gian cho phép Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Thầy nhiệt tình hỗ trợ hướng dẫn suốt trình làm luận văn Dù cố gắng thực hoàn thành luận văn tất tâm huyết lực luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành quý thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Vũ Vân Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun 1.3 Radical vành 10 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 15 2.1 Lũy đẳng 15 2.2 Lũy đẳng tâm 18 2.3 Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ .19 2.4 Lũy đẳng nguyên thủy .19 2.5 Lũy đẳng địa phương .20 2.6 Lũy đẳng bất khả quy 23 2.7 Lũy đẳng đẳng cấu 25 2.8 Sự nâng lên lũy đẳng vành thương tới lũy đẳng vành R 27 2.9 Lũy đẳng tâm phân tích khối 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 BẢNG KÝ HIỆU ℤ Vành số nguyên 𝑍(𝑅) Tâm vành 𝑅 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁) Nhóm 𝑅 – đồng cấu từ 𝑀 đến 𝑁 𝐴↠𝐵 𝑀𝑅 B ảnh toàn cấu A 𝑅 – môđun phải 𝑀 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑀) Vành 𝑅 – tự đồng cấu 𝑀 𝑈(𝑅) Nhóm phần tử khả nghịch vành 𝑅 ACC Điều kiện dây chuyền tăng 𝑀𝑛 (𝐷) 𝑟𝑎𝑑 𝑅 DCC Vành ma trận vuông cấp n 𝐷 Căn Jacobson 𝑅 Điều kiện dây chuyền giảm LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta thấy vành giao hoán có lũy đẳng 𝑒 vành 𝑅 phân tích thành tích trực tiếp hai vành 𝑅𝑒 𝑅(1 − 𝑒) Theo nhiều nghiên cứu lý thuyết vành giao hoán, thu hẹp nghiên cứu vành 𝑅 phân tích nghĩa 𝑅 ≠ 𝑅 không phân tích thành tích trực tiếp hai vành khác không Các vành vành có phần tử lũy đẳng tầm thường Đối với vành không giao hoán, nhận xét hợp lí ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm” Do đó, vành 𝑅 khác không không phân tích phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường Tuy nhiên vành có nhiều phần tử lũy đẳng không lũy đẳng tâm không tầm thường Do lý thuyết vành không giao hoán định lý lũy đẳng có vai trò bật lý thuyết vành giao hoán Đặc biệt vai trò lũy đẳng tâm phân tích khối vành CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số không giao hoán Quy ước chương: không nói thêm 𝑅 vành không giao hoán có đơn vị, môđun M 𝑅 – môđun phải 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng , R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: (1) R, + nhóm giao hoán (2) R, nửa nhóm (3) Phép nhân phân phối phép cộng, với phần tử tùy ý 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥 Nếu phép nhân 𝑅 giao hoán ta gọi 𝑅 vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi 𝑅 vành có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 Một phận 𝐴 khác rỗng vành 𝑅 với hai phép toán vành 𝑅 cảm sinh 𝐴 thành vành ta nói 𝐴 vành vành 𝑅 Định nghĩa 1.1.3 Cho 𝑅 vành, vành 𝐴 𝑅 gọi iđêan trái (hoặc iđêan phải) vành 𝑅 thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅 Vành 𝐴 𝑅 gọi iđêan vành 𝑅 𝐴 vừa iđêan trái vừa iđêan phải vành 𝑅 Định lý 1.1.4 Giả sử 𝐴 iđêan vành (𝑅, +, ) nhóm thương (𝑅�𝐴 , +) ta định nghĩa phép toán nhân sau: (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴 Khi (𝑅�𝐴 , +, ) vành, gọi vành thương 𝑅 𝐴 Định nghĩa 1.1.5 Một phần tử 𝑎 vành 𝑅 lũy linh tồn 𝑛 cho a n = Định nghĩa 1.1.6 Một iđêan phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 gọi nil 𝐴 chứa phần tử lũy linh; 𝐴 gọi lũy linh 𝐴𝑛 = với 𝑛 số tự nhiên Định nghĩa 1.1.7 Cho 𝑅 vành có đơn vị Nếu phần tử khác 𝑅 khả nghịch 𝑅 gọi vành chia (hay thể) Định nghĩa 1.1.8 Vành 𝑅 đơn 𝑅 ≠ 𝑅 có hai iđêan (0) 𝑅 Định nghĩa 1.1.9 Vành 𝑅 gọi Artin phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối tiểu Định nghĩa 1.1.10 Vành 𝑅 gọi Noether phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.11 Vành 𝑅 gọi vành nguyên tố 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 = 𝑏 = Định nghĩa 1.1.12 Vành 𝑅 gọi nửa nguyên tố iđêan lũy linh khác không Định nghĩa 1.1.13 Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ gọi đồng cấu vành 𝑓 bảo toàn phép toán, nghĩa là: 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 gọi tự đồng cấu 𝑅 Một đồng cấu đồng thời đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′ 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho 𝑅 vành tùy ý 𝑀 nhóm cộng aben 𝑀 gọi 𝑅 – môđun phải có ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀, cho ∀𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì: (𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟 (1) m(a + b) = ma + mb (2) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a (3) (ma)b = m(ab) Định nghĩa 1.2.2 𝑀 𝑅 – môđun tập 𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0} gọi tập linh hóa M R Định nghĩa 1.2.3 𝑀 gọi 𝑅 – môđun trung thành 𝑀𝑟 = (0) 𝑟 = Như 𝑀 𝑅 – môđun trung thành 𝐴(𝑀) = {0} Mệnh đề 1.2.4 𝐴(𝑀) iđêan hai phía 𝑅, 𝑀 𝑅/𝐴(𝑀) – môđun trung thành Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất tự đồng cấu nhóm cộng M Khi đó, 𝐸(𝑀) lập thành vành với phép cộng phép nhân ánh xạ thông thường Với a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M cho mTa= ma, ∀m ∈ M Mệnh đề 1.2.5 𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với vành vành 𝐸(𝑀) Đặc biệt 𝑀 𝑅 – môđun trung thành 𝐴(𝑀) = {0} 𝑅 xem vành vành 𝐸(𝑀) Bây ta xét phần tử E ( M ) mà giao hoán với tất Ta Định nghĩa 1.2.6 Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎 𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅} Khi 𝐶(𝑀) vành vành 𝐸(𝑀), vành tự đồng cấu môđun 𝑀 Khi 𝐶(𝑀) vành vành 𝐸(𝑀), vành tự đồng cấu môđun 𝑀 Định nghĩa 1.2.7 Cho 𝑅 – môđun 𝑀 tập ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀, 𝑁 gọi môđun 𝑀 nếu: 1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁 2) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁 Định nghĩa 1.2.8 𝑀 gọi môđun đơn (hay môđun bất khả quy) 𝑀𝑅 ≠ 𝑀 có hai môđun (0) 𝑀 Định nghĩa 1.2.9 Một vành 𝑅 gọi nửa đơn 𝑅 R - môđun đơn Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur) Nếu 𝑀 môđun đơn 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) vành chia Định nghĩa 1.2.11 quy Vành 𝑅 gọi vành nguyên thủy 𝑅 có môđun trung thành bất khả Định nghĩa 1.2.12 đơn Môđun 𝑀 gọi nửa đơn tổng trực tiếp hữu hạn môđun Định nghĩa 1.3.13 𝑀 gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) dãy tăng môđun 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn 𝑛 cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi 𝑀 gọi môđun Noether Môđun 𝑀 gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) dãy giảm môđun 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn 𝑛 cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi 𝑀 gọi môđun Artin Mệnh đề 1.2.14 Nếu 𝑁 môđun 𝑅 – môđun 𝑀 tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng ̅ 𝛼 cho 𝑒������ 𝑛+1 = 𝛽 = 𝑥𝑛+1 Do 𝑒𝑖 = 𝛼𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 𝛼, 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑒𝑛+1 trực giao với 𝑒1 , … 𝑒𝑛 Tiếp theo ta đưa điều kiện đủ thú vị để tồn tập vô hạn đếm lũy đẳng khác không đôi trực giao Ví dụ 2.8.3 Giả sử 𝑅 vành không Dedekin – hữu hạn, tức tồn 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 cho 𝑎𝑏 = 𝑒 ≔ 𝑏𝑎 ≠ Khi đó, 𝑒 = 𝑏(𝑎𝑏)𝑎 = 𝑒 𝑒 lũy đẳng (không tầm thường) Với 𝑖, 𝑗 ≥ 0, giả sử 𝑒𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 �𝑒𝑖𝑗 � tập ma trận đơn vị trường hợp 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑘𝑙 = 𝛿𝑗𝑘 𝑒𝑖𝑙 (với 𝛿𝑗𝑘 delta Kronecker) Chú ý 𝑎𝑖 𝑏 𝑖 = 1, ∀𝑖, 𝑎(1 − 𝑒) = = (1 − 𝑒)𝑏 Nếu 𝑗 ≠ 𝑘 𝑎 𝑗 𝑏 𝑘 = 𝑎|𝑗−𝑘| 𝑎 𝑗 𝑏 𝑘 = 𝑏 |𝑗−𝑘| nên ta có 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑘𝑙 = 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 𝑏𝑘 (1 − 𝑒)𝑎𝑙 = Mặt khác (1 − 𝑒) lũy đẳng nên 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑗𝑙 = 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 𝑏 𝑗 (1 − 𝑒)𝑎𝑙 = 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎𝑙 = 𝑒𝑖𝑙 Với 𝑒𝑖𝑗 ≠ 0, ta có 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 = = 𝑎𝑖 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 𝑏 𝑗 = − 𝑒 (mâu thuẩn) Đặc biệt, {𝑒𝑖𝑖 : 𝑖 ≥ 0} dãy vô hạn lũy đẳng đôi trực giao 𝑅 𝑅 chứa tổng trực tiếp vô hạn iđêan phải khác không ⊕𝑖≥0 𝑒𝑖𝑖 𝑅 Điều dẫn đến điều mâu thuẩn với (1.3.10) Hệ 2.8.4 Giả sử 𝑆 vành cho 𝑅 ≔ 𝑆/𝑟𝑎𝑑𝑆 không chứa tổng trực tiếp vô hạn iđêan phải khác không (ví dụ 𝑅 vành Noether phải) Khi 𝑆 Dedekind – hữu hạn Chứng minh Theo (2.8.3) 𝑅 Dedekind – hữu hạn Suy 𝑆 Dedekind – hữu hạn Thật vậy, 𝑎𝑏 = 𝑆 ta có 𝑏𝑎 ∈ + 𝑟𝑎𝑑 𝑆 ⊆ 𝑈(𝑆) Chọn 𝑢 ∈ 𝑅 cho 𝑏𝑎𝑢 = Nhân bên trái với 𝑎 ta 𝑎𝑢 = 𝑎 𝑏𝑎 = Trở lại vấn đề nâng lũy đẳng , ta xây dựng hai điều kiện đủ riêng rẽ iđêan 𝐼 ⊆ 𝑅 để lũy đẳng 𝑅/𝐼 nâng tới lũy đẳng vành 𝑅 Định lý 2.8.5 29 Giả sử 𝐼 nil iđêan 𝑅 (𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅), 𝑎 ∈ 𝑅 với 𝑎� ∈ 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼 lũy đẳng Khi tồn lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑎𝑅 cho 𝑒̅ = 𝑎� ∈ 𝑅� Chứng minh Với 𝑏 = − 𝑎 ta có 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 − 𝑎2 ∈ 𝐼 nên (𝑎𝑏)𝑚 = với số nguyên 𝑚 ≥ Ta có: = (𝑎 + 𝑏)2𝑚 = 𝑎2𝑚 + 𝑟1 𝑎2𝑚−1 𝑏 + ⋯ + 𝑟𝑚 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 + 𝑟𝑚+1 𝑎𝑚−1 𝑏 𝑚+1 + ⋯ + 𝑏 2𝑚 , với 𝑟𝑖 số nguyên Giả sử 𝑒 = 𝑎2𝑚 + 𝑟1 𝑎2𝑚−1 𝑏 + ⋯ + 𝑟𝑚 𝑎𝑚 𝑏𝑚 ∈ 𝑎𝑅, 𝑓 = 𝑟𝑚+1 𝑎𝑚−1 𝑏 𝑚+1 + ⋯ + 𝑏 2𝑚 Do 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 = 𝑏 𝑚 𝑎𝑚 = nên 𝑒𝑓 = 𝑒 = 𝑒(𝑒 + 𝑓) = 𝑒 Cuối 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 ⟹ 𝑒 ≡ 𝑎2𝑚 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝐼) Hệ 2.8.6 Giả sử 𝑅 vành nửa địa phương thỏa 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 nil iđêan (1) Nếu 𝑅 lũy đẳng không tầm thường 𝑅 ≠ (0) 𝑅 vành địa phương (2) Một iđêan phải 𝒜 ⊆ 𝑅 chứa lũy đẳng khác không 𝒜 không nil Chứng minh Nếu 𝑅 lũy đẳng không tầm thường theo (2.8.5) ta 𝑅� = 𝑅/𝐼 Theo định lý Wedderburn – Artin, suy 𝑅� vành chia nên 𝑅 vành địa phương Để chứng minh không tầm thường (2), giả sử 𝒜 không nil Do 𝐼 nil iđêan nên ảnh 𝒜 𝑅� khác chứa lũy đẳng khác không Giả sử 𝑎 ∈ 𝒜 cho ≠ 𝑎� = 𝑎�2 ∈ 𝑅� Do (2.8.5), tồn lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑎𝑅 ⊆ 𝒜 cho 𝑒̅ = 𝑎� ≠ Để trình bày loại điều kiện đủ thứ cho nâng lên lũy đẳng vành thương tới lũy đẳng vành R, ta nhắc lại vài yếu tố đầy đủ vành ứng với iđêan Giả sử 𝐼 iđêan vành 𝑅, ta có dãy vành thương toàn cấu vành 𝑅 𝑅 𝑅 ↞ 2↞ 3↞⋯ 𝐼 𝐼 𝐼 Nếu I iđêan lũy linh dãy kết thúc sau hữu hạn bước 30 Nếu I không lũy linh dãy vô hạn Ta gọi giới hạn ngược dãy 𝑅� kí hiệu 𝑅� = 𝑙𝑖𝑚 𝑅/𝐼 𝑛 𝑅� vành mà tất vành thương dãy ảnh đồng cấu 𝑅� 𝑅� nhỏ theo nghĩa có X vành có tính chất 𝑅� ảnh đồng cấu X Đặc biệt xét đồng cấu tự nhiên 𝑖: 𝑅 ⟶ 𝑅�𝐼 𝑛 𝑎 ↦ 𝑎�𝑛 = (𝑎�1 , 𝑎�2 , … , 𝑎�𝑛 , … ) Ta nói 𝑅 𝐼 − adically đầy đủ ánh xạ tự nhiên 𝑖 ∶ 𝑅 → 𝑅� đẳng cấu Ta điều kiện sau: 𝑛 (1) 𝑖 đơn ánh tức ⋂∞ 𝑛=1 𝐼 = (0) (2) 𝑖 toàn ánh tức với dãy (𝑎1 , 𝑎2 , … ) thỏa 𝑎𝑛+1 ≡ 𝑎𝑛 (𝑚𝑜𝑑 𝐼 𝑛 ) ∀𝑛 tồn 𝑎 ∈ 𝑅 cho 𝑎 ≡ 𝑎𝑛 (𝑚𝑜𝑑 𝐼 𝑛 ) ∀ 𝑛 Chú ý: Khi 𝐼 iđêan lũy linh 𝑅 𝐼 – adically đầy đủ Định lý 2.8.7 Giả sử 𝐼 iđêan 𝑅 cho 𝑅 𝐼 – adically đầy đủ Khi lũy đẳng 𝑅/𝐼 nâng tới lũy đẳng vành 𝑅 Chứng minh Giả sử 𝑎1 ∈ 𝑅/𝐼 lũy đẳng Xem 𝑅/𝐼 = (𝑅/𝐼 )/(𝐼/𝐼 ) Ta nâng 𝑎1 tới lũy đẳng 𝑎2 ∈ 𝑅/𝐼 , iđêan 𝐼/𝐼 ⊆ 𝑅/𝐼 có bình phương Tiếp tục trình này, ta 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , … ) ∈ 𝑙𝑖𝑚𝑅/𝐼 𝑛 = 𝑅� = 𝑅, với 𝑛, 𝑎𝑛 lũy đẳng 𝑅/𝐼 𝑛 Ta 𝑎2 = (𝑎12 , 𝑎22 , … ) = (𝑎1 , 𝑎2 , … ) = 𝑎 nên 𝑎 ∈ 𝑅 lũy đẳng nâng từ 𝑎1 ∈ 𝑅/𝐼 Hệ 2.8.8 Giả sử (𝑅, 𝐼) thỏa điều kiện định lý (2.8.7) Khi lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 nguyên thủy 𝑅 𝑒̅ nguyên thủy 𝑅/𝐼 tập đếm lũy đẳng đôi trực giao 𝑅/𝐼 nâng tới tập tương tự 𝑅 Bổ đề 2.8.9 31 Cho 𝑘 vành Noether giao hoán 𝐼 – adically đầy đủ ứng với iđêan 𝐼 ⊆ 𝑘 Giả sử 𝑀 𝑘 – môđun hữu hạn sinh Khi 𝑀 𝐼 – adically đầy đủ theo nghĩa ánh xạ tự nhiên 𝑖𝑀 : 𝑀 → 𝑙𝑖𝑚 𝑀/𝐼 𝑛 𝑀 đẳng cấu Chứng minh 𝑛 Hạt nhân ánh xạ 𝑖𝑀 𝑁 = ⋂∞ 𝑛=1 𝐼 𝑀 Ta có 𝐼 𝑁 = 𝑁 Do 𝑁 hữu hạn sinh 𝑘, theo bổ đề Nakayama suy 𝑁 = Ta cần 𝑖𝑀 Cố định tập phần tử sinh (𝑚1 , … , 𝑚𝑟 ) 𝑀 lấy phần tử (𝑎1 , 𝑎2 , … ) ∈ 𝑙𝑖𝑚𝑀/𝐼 𝑛 𝑀 Do 𝐼 𝑛 𝑀 = ∑ 𝐼 𝑛 𝑚𝑗 nên ta viết: 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛 = ∑𝑟𝑗=1 𝛽𝑛𝑗 𝑚𝑗 , với 𝛽𝑛𝑗 ∈ 𝐼 𝑛 𝑎1 = ∑𝑟𝑗=1 𝑎1𝑗 𝑚𝑗 , với 𝑎1𝑗 ∈ 𝑘 Khi đó: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑎2 − 𝑎1 ) + ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 ) = � 𝛼1𝑗 𝑚𝑗 + � 𝛽1𝑗 𝑚𝑗 + ⋯ + � 𝛽𝑛−1.𝑗 𝑚𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 = ∑𝑗 𝛼𝑛𝑗 𝑚𝑗 , với 𝛼𝑛𝑗 = 𝛼1𝑗 + 𝛽1𝑗 + ⋯ + 𝛽𝑛−𝑗.𝑗 Do 𝛽𝑛−1𝑗 ∈ 𝐼 𝑛−1 , 𝛼𝑛𝑗 hội tụ đến 𝛼𝑗 ∈ 𝑘 𝑛 → ∞ Đặt 𝑎 = ∑𝑗 𝛼𝑗 𝑚𝑗 , ta có: 𝑎 − 𝑎𝑛 = ��𝛼𝑗 − 𝛼𝑛𝑗 �𝑚𝑗 ∈ 𝐼 𝑛 𝑀, ∀𝑛 Vì 𝑖𝑀 (𝑎) = (𝑎1 , 𝑎2 , … ) 𝑗 Mệnh đề 2.8.10 Giả sử (𝑘, 𝐼) thỏa (2.8.9) 𝑅 𝑘 – đại số hữu hạn sinh 𝑘 – môđun Khi đó: (1) 𝑅 𝐼𝑅 – adically đầy đủ lũy đẳng 𝑅/𝐼𝑅 nâng tới lũy đẳng vành 𝑅 (2) Giả sử 𝑘 nửa địa phương 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑘 Nếu 𝑅 lũy đẳng không tầm thường (và 𝑅 ≠ (0)) 𝑅 vành địa phương Chứng minh (1) Suy từ (2.8.9) (2.8.7) Trước chứng minh (2) ta cần chứng minh nhận xét sau: 32 Một vành Artin phải 𝑅 ≠ vành địa phương 𝑅 lũy đẳng tầm thường (vii) Ta chứng minh chiều thuận, xét môđun quy phải 𝑀 = 𝑅𝑅 Theo định lý Hopkins – Levitzki, 𝑀 có độ dài hữu hạn Vành tự đồng cấu 𝐸 = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) (tác động bên trái 𝑀) đẳng cấu với 𝑅 Nếu 𝑅 lũy không tầm thường 𝑀 không phân tích Theo (1.3.18), 𝐸 ≅ 𝑀 vành địa phương (2) Chú ý 𝑅/𝐼𝑅 hữu hạn sinh môđun 𝑘/𝐼 Với giả thiết cho (2) 𝑘/𝐼 vành Artin (giao hoán), 𝑅/𝐼𝑅 vành Artin (trái phải) Nếu 𝑅 lũy đẳng không tầm thường theo (1), 𝑅/𝐼𝑅 lũy đẳng không tầm thường Theo (vii), 𝑅/𝐼𝑅 vành địa phương Do 𝐼𝑅 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 (theo (1.3.17)) nên 𝑅 vành địa phương Nhận xét dẫn đến kết quan trọng sau: Định lý 2.8.11 Cho 𝑘 vành Noether nửa địa phương giao hoán 𝐼 – adically đầy đủ với 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑘 Giả sử 𝑅 𝑘 – đại số hữu hạn sinh 𝑘 – môđun Khi 𝑅 – môđun phải hữu hạn sinh 𝑀 có phân tích Krull – Schmidt, tức 𝑀 = 𝑀1 ⊕ … ⨁𝑀𝑟 với 𝑀𝑖 𝑅 – môđun không phân tích 𝑀 Hơn nữa, 𝑟 xác định dãy đẳng cấu 𝑀1 , … , 𝑀𝑟 xác định sai khác hoán vị Chứng minh Từ giả thiết suy 𝑅 – môđun 𝑀 thỏa mãn ACC nên theo (1.3.19), tồn phân tích Krull-Schmidt, tức ta có 𝑀 = 𝑀1 ⊕ … ⨁𝑀𝑟 Xét 𝑘 – đại số 𝐸𝑖 = 𝐸𝑛𝑑𝑅 𝑀𝑖 lũy đẳng không tầm thường Do 𝐸𝑛𝑑𝑘 (𝑀𝑖 ) hữu hạn sinh 𝑘 – môđun 𝑘 Noether, nên 𝐸𝑖 hữu hạn sinh 𝑘 – môđun Theo (2.8.10)(2), 𝐸𝑖 vành địa phương, 𝑀𝑖 không phân tích mạnh với ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 Phần chứng minh (2.8.11) suy từ định lý Krull – Schmidt – Azumaya (1.3.20) Ví dụ 2.8.12 33 𝑎 𝑏 Giả sử 𝑘 trường, 𝑅 𝑘 – đại số ma trận tam giác �� �� 𝑘 𝑐 𝑏 Vành có iđêan lũy linh 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = �� �� với (𝑟𝑎𝑑 𝑅)2 = 0, 𝑅 𝐼 – 0 adically đầy đủ Theo (2.8.7) lũy đẳng vành thương 𝑅/𝐼 nâng tới lũy đẳng vành 𝑅 � Chẳng hạn ta có lũy đẳng 𝑒̅ = �1 0� tới lũy đẳng 𝑒 = � � vành 𝑅 0 0� � vành thương 𝑅/𝐼 nâng 0� 2.9 Lũy đẳng tâm phân tích khối Ta xét ứng dụng lũy đẳng để giải toán phân tích khối vành thông qua lũy đẳng tâm Một lũy đẳng 𝑒 vành 𝑅 gọi lũy đẳng tâm 𝑒𝑅𝑓 = 𝑓𝑅𝑒 = 𝑓 = − 𝑒 lũy đẳng bù 𝑒 (xem (2.2.1)) Nếu e lũy đẳng tâm thực sự, phân tích Peirce 𝑅 = 𝑒𝑅 ⊕ 𝑓𝑅, tất hạng tử iđêan 𝑅 Xem 𝑒𝑅 𝑓𝑅 vành (đồng 𝑒 𝑓), ta đẳng cấu vành 𝑅 ≅ 𝑒𝑅 × 𝑓𝑅 Ngược lại, 𝑅 = 𝒜 ⊕ ℬ với 𝒜, ℬ iđêan, = 𝑒 + 𝑓 với 𝑒 ∈ 𝒜, 𝑓 ∈ ℬ Dễ thấy 𝑒, 𝑓 lũy đẳng tâm 𝒜 = 𝑒𝑅, ℬ = 𝑓𝑅 Ta nói vành 𝑅 (≠ 0) không phân tích 𝑅 không tổng trực tiếp iđêan khác không Đây trường hợp 𝑅 lũy đẳng tâm không tầm thường Giả sử 𝑐 ∈ 𝑅 lũy đẳng tâm Nếu 𝑐 = 𝛼 + 𝛽 phân tích tùy ý 𝑐 thành lũy đẳng tâm trực giao 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅, 𝛼 = (𝛼 + 𝛽)𝛼 = 𝑐𝛼 ∈ 𝑐𝑅, tương tự 𝛽 ∈ 𝑐𝑅 Do đó, phân tích 𝑐 = 𝛼 + 𝛽 xảy vành 𝑐𝑅 Định nghĩa 2.9.1 𝑐 gọi lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅 𝑐 ≠ 𝑐 viết dạng tổng hai lũy đẳng tâm trực giao khác không 𝑅 Như 𝑐𝑅 không phân tích vành (hoặc iđêan 𝑅) 34 Mệnh đề 2.9.2 Giả sử tồn phân tích ∈ 𝑅 thành tổng lũy đẳng tâm nguyên thủy trực giao, = 𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 Khi đó: (1) Lũy đẳng tâm 𝑐 ∈ 𝑅 tổng tập {𝑐1 , … , 𝑐𝑟 } (2) 𝑐1 , … , 𝑐𝑟 lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅 Đặc biệt, hai lũy đẳng tâm nguyên thủy phân biệt 𝑅 trực giao hạng tử (3) Sự phân tích = 𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 sai khác hoán vị Chứng minh (1) Nếu 𝑐𝑐𝑖 ≠ 𝑐𝑐𝑖 = 𝑐𝑖 𝑐𝑖 lũy đẳng tâm khác 𝑐𝑖 𝑅 Do ta có: 𝑐 = 𝑐(𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 ) = ∑ 𝑐𝑖 , tổng tất 𝑖 cho 𝑐𝑐𝑖 ≠ Từ ta có kết luận (2), (3) (theo (1.3.14)) Nhận xét: Vành 𝑅 phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn vành không phân tích ∈ 𝑅 viết dạng tổng lũy đẳng tâm nguyên thủy trực giao Khi ta có 𝑅 = 𝑐1 𝑅 ⨁ … ⨁𝑐𝑟 𝑅 ta nói phân tích khối 𝑅 𝑐𝑖 𝑅 gọi khối 𝑅 Trong trường hợp tổng quát phân tích khối không tồn Vậy iđêan vành 𝑅 thỏa điều kiện để đảm bảo tồn phân tích khối vành 𝑅? Mệnh đề 2.9.3 Giả sử 𝑅 vành có iđêan thỏa mãn ACC thỏa DCC (ví dụ 𝑅 vành Noether phải trái) Khi 𝑅 có phân tích thành khối kết luận (2.9.2) cho 𝑅 Chứng minh Theo định lý Krull – Schmidt trường hợp 𝑅 môđun Để nghiên cứu tồn phân tích khối trường hợp tổng quát, ta giới thiệu quan hệ hai lũy đẳng nguyên thủy vành Với vành 𝑅 ≠ cho trước, giả sử 𝐸 tập lũy đẳng nguyên thủy 𝑅 Với 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸, ta định nghĩa 𝑒~𝑒 ′ nghĩa tồn 𝑓 ∈ 𝐸 cho 35 𝑒𝑅𝑓 ≠ ≠ 𝑒 ′ 𝑅𝑓 Theo (2.2.3) ta có 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑓𝑅, 𝑒𝑅) ≅ 𝑒𝑅𝑓, ta 𝑒~𝑒 ′ dẫn đến tồn 𝑅 – đồng cấu khác không 𝑓𝑅 → 𝑒𝑅, 𝑓𝑅 → 𝑒 ′ 𝑅 với 𝑓 ∈ 𝐸 Đặc biệt, 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸 đẳng cấu (2.7.1) 𝑒~𝑒 ′ ; 𝑒, 𝑓 ∈ 𝐸 𝑒𝑅𝑓 ≠ 𝑒~𝑓 (vì 𝑓𝑅𝑓 ≠ 0) Vì quan hệ "~" 𝐸 phản xạ đối xứng nên quan hệ tương đương Kí hiệu quan hệ tương đương " ≈ ", ta có 𝑒 ≈ 𝑒′ 𝑒~𝑒1 ~𝑒2 ~ … ~𝑒𝑚 ~𝑒 ′ Bổ đề 2.9.4 Giả sử 𝑒 ≈ 𝑒 ′ 𝐸 𝑐 lũy đẳng tâm 𝑅 Khi 𝑒 ∈ 𝑐𝑅 𝑒 ′ ∈ 𝑐𝑅 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh nhận xét sau: Với 𝑒 ∈ 𝐸 bất kỳ, ta có 𝑒 ∈ 𝑐𝑅 𝑒 ∈ (1 − 𝑐)𝑅 (viii) Thật vậy, từ phân tích 𝑒 = 𝑐𝑒 + (1 − 𝑐)𝑒, suy 𝑐𝑒 = (1 − 𝑐)𝑒 = 0, 𝑒 lũy đẳng nguyên thủy (và 𝑐𝑒, (1 − 𝑐)𝑒 lũy đẳng trực giao) Nếu 𝑐𝑒 = 𝑒 = (1 − 𝑐)𝑒 ∈ (1 − 𝑐)𝑅 (1 − 𝑐)𝑒 = 𝑒 = 𝑐𝑒 ∈ 𝑐𝑅 Để chứng minh bổ đề (2.9.4) ta cần chứng minh chiều thuận, giả sử 𝑒~𝑒 ′ Cố định lũy đẳng 𝑓 ∈ 𝐸 cho 𝑒𝑅𝑓 ≠ ≠ 𝑒 ′ 𝑅𝑓 Nếu 𝑒 ∈ 𝑐𝑅 ≠ 𝑒𝑅𝑓 = 𝑐𝑒𝑅𝑓 = 𝑒𝑅(𝑐𝑓) suy 𝑐𝑓 ≠ 𝑓 ∈ 𝑐𝑅 Khi ≠ 𝑒 ′ 𝑅𝑓 = 𝑒 ′ 𝑅(𝑐𝑓) = 𝑐𝑒 ′ 𝑅𝑓 suy 𝑐𝑒 ′ ≠ 𝑒 ′ ∈ 𝑐𝑅 Kết cho ta điều kiện đủ hữu ích cho tồn phân tích khối vành liên kết lớp tương đương 𝐸 số hạng phân tích khối Định lý 2.9.5 Giả sử ∈ 𝑅 = 𝑒1 + ⋯ + 𝑒𝑛 với 𝑒𝑖 lũy đẳng nguyên thủy trực giao Khi ∈ 𝑅 viết thành tổng lũy đẳng tâm nguyên thủy (vì tồn phân tích khối 𝑅) Hai lũy đẳng nguyên thủy 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸 gọi liên kết chúng thuộc khối Chứng minh 36 Các 𝑒𝑖 phân biệt 𝐸 " ≈ " cảm sinh quan hệ tương đương {𝑒1 , … , 𝑒𝑛 } Do đó, ta có phân chia tập thành lớp tương đương Giả sử 𝑐1 , … , 𝑐𝑟 tổng lớp khác lũy đẳng trực giao với tổng Hơn nữa, từ định nghĩa " ≈ " ta thấy 𝑐𝑖 𝑅𝑐𝑗 = với 𝑖 ≠ 𝑗 Vì thế, với 𝑎 ∈ 𝑅 tùy ý, 𝑐𝑖 𝑎 = 𝑐𝑖 𝑎(𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 ) = 𝑐𝑖 𝑎𝑐𝑖 = (𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 )𝑎𝑐𝑖 = 𝑎𝑐𝑖 , 𝑐𝑖 lũy đẳng tâm Tiếp theo để chứng minh 𝑐𝑖 lũy đẳng tâm nguyên thủy, ta cần 𝑐 lũy đẳng tâm khác không 𝑐𝑖 𝑅, 𝑐 = 𝑐𝑖 Ta có 𝑐𝑖 = 𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚 , với �𝑒𝑖1 , … , 𝑒𝑖𝑚 � lớp tương đương Từ ≠ 𝑐 = 𝑐𝑐𝑖 = 𝑐�𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚 �, ta có 𝑐𝑒𝑖1 ≠ Vì 𝑐 lũy đẳng tâm 𝑅 nghĩa 𝑒𝑖1 ∈ 𝑐𝑅 theo (2.9.4), 𝑒𝑖𝑗 ∈ 𝑐𝑅, ∀𝑗 Vì thế: 𝑐 = 𝑐�𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚 � = 𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚 = 𝑐𝑖 , Xét 𝑒 ∈ 𝐸 bất kỳ, theo (viii) ta có 𝑒 thuộc khối 𝑅𝑖 ≔ 𝑐𝑖 𝑅 Khi đó: ≠ 𝑒𝑅 = 𝑒𝑐𝑖 𝑅 = 𝑒𝑅𝑖 = 𝑒𝑅𝑖 𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑅𝑖 𝑒𝑖𝑚 suy 𝑒𝑅𝑒𝑖𝑗 ≠ Theo nhận xét trước ta có 𝑒~𝑒𝑖𝑗 𝑒 ≈ 𝑒𝑖1 Ngược lại, (2.9.4), lũy đẳng nguyên thủy 𝑒 ≈ 𝑒𝑖1 thuộc khối 𝑐𝑖 𝑅 = 𝑅𝑖 Điều dẫn đến kết luận cuối định lý Định lý 2.9.6 Giả sử 𝑅 vành Artin phải Khi 𝑅 có (duy nhất) phân tích khối 𝑅 = 𝑅1 ⊕ … ⨁𝑅𝑟 Với lũy đẳng nguyên thủy 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸, ta có 𝑒~𝑒 ′ 𝑒𝑅 𝑒 ′ 𝑅 có nhân tử chung Vì thế, hai lũy đẳng nguyên thuỷ 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸 thuộc khối tồn 𝑒1 , … , 𝑒𝑚 ∈ 𝐸 với 𝑒1 = 𝑒, 𝑒𝑚 = 𝑒 ′ cho với 𝑖 < 𝑚, 𝑒𝑖 𝑅 𝑒𝑖+1 𝑅 có nhân tử chung Chứng minh Vì 𝑅𝑅 có phân tích Krull – Schmidt, giả thiết (2.9.5) thỏa Do 𝑅 có phân tích khối Theo (1.3.18), lũy đẳng 𝑓 ∈ 𝐸 địa phương, 𝑓𝑅/𝑓𝐽 𝑅 – môđun phải đơn với 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 Ngược lại, 𝑉 𝑅 – môđun phải đơn 𝑉 ≅ 𝑓𝑅/𝑓𝐽 với 𝑓 ∈ 𝐸 (chọn lũy đẳng 𝑥 ∈ 𝑅� = 𝑅/𝐽 ̅ � ≅ 𝑓𝑅/𝑓𝐽) cho 𝑉 ≅ 𝑥𝑅� Nâng x tới lũy đẳng 𝑓 ∈ 𝑅, theo (2.6.4) 𝑓 ∈ 𝐸 𝑉 ≅ 𝑓𝑅 Xét 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸 theo định nghĩa 𝑒~𝑒 ′ nghĩa tồn 𝑓 ∈ 𝐸 với 𝑒𝑅𝑓 ≠ ≠ 𝑒 ′ 𝑅𝑓 Theo 37 (2.6.5), nghĩa 𝑒𝑅 𝑒 ′ 𝑅 có 𝑓𝑅/𝑓𝐽 nhân tử Điều cho ta biểu diễn "~" (2.9.6) kết luận cuối (2.9.6) suy từ (2.9.5) Trong trường hợp đặc biệt 𝑅 vành nửa đơn, theo (2.9.6), 𝑒~𝑒 ′ 𝑒 ≅ 𝑒 ′ Vì thế, 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸 thuộc khối 𝑒 ≅ 𝑒 ′ Các khối 𝑅 hiển nhiên nhân tố đơn 𝑅 Nếu đơn vị vành 𝑅 phân tích thành tổng lũy đẳng tâm nguyên thủy, = 𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑅 phân tích thành khối 𝑅1 ⊕ … ⨁ 𝑅𝑟 với 𝑅𝑖 = 𝑐𝑖 𝑅 tâm 𝐶 𝑅 phân tích thành khối 𝐶1 ⊕ … ⨁ 𝐶𝑟 với 𝐶𝑖 = 𝑐𝑖 𝐶 = 𝑍(𝑅𝑖 ) Sự phân bố lũy đẳng nguyên thủy 𝑅 vào khối 𝑅1 , … , 𝑅𝑟 phân tích cách sử dụng tính chất 𝐶 Ta nghiên cứu điều cách xét trường hợp đại số hữu hạn chiều trường đóng đại số Định lý 2.9.7 Cho 𝑅 đại số hữu hạn chiều trường đóng đại số k giả sử 𝑅 = 𝑅1 ⊕ … ⨁ 𝑅𝑟 , 𝐶 = 𝐶1 ⊕ … ⊕ 𝐶𝑟 Với lũy đẳng nguyên thủy 𝑒 ∈ 𝐸 bất kỳ, tác động phần tử 𝑐 ∈ 𝐶 lên môđun đơn 𝑒𝑅/𝑒 𝑟𝑎𝑑 𝑅 nhân vô hướng với 𝜆𝑒 (𝑐) ∈ 𝑘 Ánh xạ 𝜆𝑒 : 𝐶 → 𝑘 đồng cấu 𝑘 – đại số 𝑒, 𝑒 ′ ∈ 𝐸 thuộc khối 𝜆𝑒 = 𝜆𝑒 ′ Hơn nữa, đồng cấu 𝑒 ∈ 𝐸 𝑘 – đại số 𝐶 → 𝑘 có dạng 𝜆𝑒 với Chứng minh Vì 𝑘 đóng đại số, theo bổ đề Schur suy 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒𝑅/𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑅) = 𝑘 Vì thế, ta có ánh xạ 𝜆𝑒 : 𝐶 → 𝑘 định nghĩa định lý rõ ràng 𝜆𝑒 đồng cấu 𝑘 – đại số Xét khối 𝐶𝑖 𝐶, 𝐶𝑖 lũy đẳng không tầm thường nên 𝑘 – đại số địa phương (do (vii)) với 𝐶𝑖 /𝑟𝑎𝑑𝐶𝑖 = 𝑘 Do đó, tồn đồng cấu 𝑘 – đại số 𝜆𝑖 : 𝐶𝑖 → 𝑘 Giả sử 𝑒 ∈ 𝑅𝑖 , 𝐶𝑗 (𝑗 ≠ 𝑖) 𝑒𝑅/𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑅 𝜆𝑒 |𝐶𝑗 = ta có 𝜆𝑒 |𝐶𝑖 = 𝜆𝑖 Kế tiếp ta bàn vấn đề nâng lũy đẳng tâm từ ảnh đồng cấu 𝑅 tới lũy đẳng tâm 𝑅 Nếu 𝐼 iđêan 𝑅, lũy đẳng tâm 𝑅�𝐼 nâng tới lũy đẳng tâm 𝑅 38 Ta kết thúc vấn đề cách vài trường hợp mà lũy đẳng tâm vành thương 𝑅 nâng tới lũy đẳng tâm vành 𝑅 Đầu tiên ta chứng minh Bổ đề 2.9.8 𝑛 Giả sử 𝐼 iđêan vành 𝑅 cho ⋂∞ 𝑛=1 𝐼 = Khi 𝑒 lũy đẳng tâm 𝑅 ảnh 𝑒̅ lũy đẳng tâm 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼2 Chứng minh Ta chứng minh chiều ngược định lý: Giả sử 𝑒̅ lũy đẳng tâm 𝑅� 𝑓 = − 𝑒 Ta chứng minh 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼 𝑛 , ∀𝑛 ≥ Thật vậy, ta có 𝑒𝑅𝑓 = tương tự 𝑓𝑅𝑒 = theo (2.2.2), 𝑒 lũy đẳng tâm 𝑅 Bằng qui nạp theo 𝑛, 𝑒̅ lũy đẳng tâm 𝑅�, ta có 𝑒𝐼 ⊆ 𝐼𝑒 + 𝐼 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼 Theo nguyên lý qui nạp, 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼 𝑛 với 𝑛 ≥ 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝑒𝐼 𝑛 𝑓 ⊆ (𝐼𝑒 + 𝐼 )𝐼 𝑛−1 𝑓 ⊆ 𝐼 𝑒𝑅𝑓 + 𝐼 𝑛+1 = 𝐼 𝑛+1 Định lý 2.9.9 Giả sử 𝑅 vành 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 iđêan lũy linh Khi đó, ánh xạ 𝑒 ↦ 𝑒̅ xác định tương ứng – lũy đẳng tâm 𝑅 lũy đẳng tâm 𝑅� = 𝑅/𝐼 Hơn nữa, 𝑒 lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅 𝑒̅ lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅� Đặc biệt, 𝑅 không phân tích 𝑅� không phân tích Chứng minh Giả sử 𝑥 lũy đẳng tâm 𝑅� Vì 𝐼 lũy linh, 𝑥 nâng 𝑛 tới lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 theo (2.8.5) Từ tính lũy linh 𝐼 suy ⋂∞ 𝑛=1 𝐼 = 0, theo (2.9.8), 𝑒 lũy đẳng tâm 𝑅 Vì 𝐼2 không chứa lũy đẳng khác không 𝑅 (theo (v)), 𝑒 lũy đẳng (tâm) 𝑅 nâng từ 𝑥 Điều thiết lập tương ứng – định lý Nếu 𝑒 có phân tích thành 𝑒1 + 𝑒2 với 𝑒1 , 𝑒2 lũy đẳng tâm trực giao khác không 𝑅 𝑒̅ = 𝑒�1 + 𝑒�2 với 𝑒�1 , 𝑒�2 lũy đẳng tâm trực giao khác không 𝑅� Ngược lại, 𝑒̅ = 𝑥1 + 𝑥2 với 𝑥1 , 𝑥2 lũy đẳng tâm trực giao khác không 𝑅�, giả sử 𝑒1 , 𝑒2 lũy đẳng tâm (duy nhất) 𝑅 nâng từ 𝑥1 , 𝑥2 Khi 𝑒1 𝑒2 lũy đẳng 𝐼 , 𝑒1 𝑒2 = 39 Hơn nữa, 𝑒 𝑒1 + 𝑒2 nâng từ 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 , ta có 𝑒 = 𝑒1 + 𝑒2 Điều chứng tỏ 𝑒 lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅 𝑒̅ lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅� Với 𝑅 vành Artin phải, theo (2.9.9) suy trường hợp đặc biệt khối 𝑅 tương ứng – với khối 𝑅/𝐼 với 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑𝑅 Vì 𝑟𝑎𝑑(𝑅/𝐼 ) = 𝐼/𝐼 nên trường hợp phân tích thành khối trường hợp vành Artin phải có bình phương Trong trường hợp khác ta có kết dựa nâng lũy đẳng tâm với nhận xét thú vị sau: Bổ đề Dade 2.9.10 Cho 𝑘 vành giao hoán 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑘 iđêan 𝑘 Giả sử 𝑅 𝑘 – đại số hữu hạn sinh 𝑘 – môđun Khi lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 lũy đẳng tâm 𝑅 ảnh 𝑒̅ lũy đẳng tâm 𝑅� = 𝑅/𝐼𝑅 Chứng minh Ta chứng minh chiều ngược định lý: Giả sử 𝑓 = − 𝑒 𝑓 ̅ = − 𝑒̅ 𝑒̅ 𝑅�𝑓 ̅ = (vì 𝑒̅ lũy đẳng tâm), 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼𝑅 Theo phân tích Peirce (3) 𝑒𝑅𝑓 hạng tử 𝑘 – trực tiếp 𝑅 Vì e𝑅𝑓 ⊆ 𝐼𝑅 suy 𝑒𝑅𝑓 = 𝐼 𝑒𝑅𝑓 hạng tử 𝑘 – trực tiếp 𝑅, 𝑒𝑅𝑓 hữu hạn sinh 𝑘 – môđun Do đó, theo bổ đề Nakayama, 𝑒𝑅𝑓 = Tương tự, 𝑓𝑅𝑒 = Theo (2.2.2), 𝑒 lũy đẳng tâm 𝑅 Định lý 2.9.11 Cho 𝑘 vành Noether giao hoán 𝑘 I – adically đầy đủ ứng với iđêan 𝐼 ⊆ 𝑘 Giả sử 𝑅 𝑘 – đại số hữu hạn sinh 𝑘 – môđun Khi ánh xạ 𝑒 ↦ 𝑒̅ xác định tương ứng – lũy đẳng tâm 𝑅 lũy đẳng tâm 𝑅� = 𝑅/𝐼𝑅 Hơn nữa, 𝑒 lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅 𝑒̅ lũy đẳng tâm nguyên thủy 𝑅� Đặc biệt, 𝑅 không phân tích 𝑅� không phân tích Chứng minh 40 Theo (1.3.17) 𝐼𝑅 ⊆ (𝑟𝑎𝑑 𝑘)𝑅 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 nên 𝐼𝑅 không chứa lũy đẳng khác không 𝑅 Theo (2.8.10)(1), lũy đẳng tâm 𝑅/𝐼𝑅 nâng tới lũy đẳng 𝑅 nâng tới lũy đẳng tâm 𝑅 theo (2.9.10) Chú ý với giả thiết định lý, 𝑅 vành Noether phải (hoặc trái), theo (2.9.3) 𝑅 𝑅� = 𝑅/𝐼𝑅 có phân tích khối (duy nhất) Theo (2.9.11), có tương ứng – khối 𝑅 với khối 𝑅� 41 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu cách có hệ thống đầy đủ toàn lý thuyết lũy đẳng vành không giao hoán 𝑅 Luận văn giải hai vấn đề lớn: 1) Các điều kiện để lũy đẳng vành thương 𝑅�𝐼 nâng tới lũy đẳng vành 𝑅 2) Ứng dụng lũy đẳng vào giải toán phân tích khối vành 𝑅 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Hoàng Xuân Sính (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Dương Quốc Việt (2010), Cơ sở lí thuyết Module, Nxb Đại học Sư phạm Tiếng Anh I N Herstein (1968), NoncommutativeRings, The Mathematical Association of America, USA T Y Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer - Verlag, New York 43 [...]... CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này ta nghiên cứu một lý thuyết có hệ thống về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán Sau đó ta xét hai bài toán lớn: bài toán 1 về khả năng nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành 𝑅 và bài toán 2 về sự phân tích khối 2.1 Lũy đẳng Định nghĩa 2.1.1 Phần tử 𝑒 ≠ 0 trong 𝑅 là lũy đẳng nếu 𝑒 2 = 𝑒... tới các lũy đẳng của vành 𝑅 � Chẳng hạn ta có lũy đẳng 𝑒̅ = �1 0� 1 0 tới lũy đẳng 𝑒 = � � của vành 𝑅 0 0 0� � của vành thương 𝑅/𝐼 có thể nâng được 0� 2.9 Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối Ta xét ứng dụng của lũy đẳng để giải quyết bài toán về sự phân tích khối của vành thông qua các lũy đẳng tâm Một lũy đẳng 𝑒 trong vành 𝑅 được gọi là lũy đẳng tâm nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑓 = 𝑓𝑅𝑒 = 0 tại 𝑓 = 1 − 𝑒 là lũy đẳng. .. phân tích không tầm thường của 𝑒 thành các lũy đẳng trực giao 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 Theo (v), 𝛼 ≠ 0 ⟹ 𝛼� ≠ 0; 𝛽 ≠ 0 ⟹ 𝛽̅ ≠ 0 trong 𝑅� Vì thế, 𝑒̅ = 𝛼� + 𝛽̅ là sự phân tích không tầm thường của 𝑒̅ thành các lũy đẳng trực giao 𝛼�, 𝛽̅ ∈ 𝑅� Ngược lại, giả sử 𝑒̅ = 𝑥 + 𝑦 là sự phân tích không tầm thường của 𝑒̅ thành các lũy đẳng trực giao 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅� , giả sử các lũy đẳng này có thể nâng được tới các lũy đẳng của vành 𝑅 Giả... 𝑅 ⊃ (0) nên 𝑒 𝑎 không bất khả quy phải Lưu ý 𝑒𝑅𝑒 = �� 0 ≠ ≠ 0 �� đẳng cấu với 𝑘 nên trường hợp đặc 0 biệt, 𝑒 là lũy đẳng địa phương Tương tự, ta kiểm tra lũy đẳng bù 𝑓 = 1 − 𝑒 = 0 0 � � là bất khả quy phải nhưng không bất khả quy trái 0 1 Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu khái niệm đẳng cấu giữa các lũy đẳng 2.7 Lũy đẳng đẳng cấu Mệnh đề 2.7.1 Giả sử 𝑒, 𝑓 là các lũy đẳng trong vành 𝑅 Khi đó các phát biểu sau... Đối với iđêan tổng quát 𝐼, không nhất thiết mọi lũy đẳng 𝑥̅ ∈ 𝑅/𝐼 đều có thể nâng được Ví dụ: Với 𝑅 = ℤ, 𝐼 là iđêan sinh bởi 6 = 32 − 3 thì 3� là một lũy đẳng trong 𝑅/𝐼 mà không nâng được tới một lũy đẳng của vành 𝑅 Vậy điều kiện nào của 𝐼 ⊆ 𝑅 thì sẽ đảm bảo cho sự nâng của các lũy đẳng của vành thương 𝑅/𝐼 tới các lũy đẳng của vành 𝑅? Mệnh đề 2.8.1 Giả sử 𝑒 ∈ 𝑅 là một lũy đẳng và 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là một iđêan... Nakayama lần nữa, ta nhận được eR=eA Kết hợp các kết quả trên, ta có kết quả sau: eR = eA = A ≅ fR Kế tiếp ta sẽ nghiên cứu khái niệm nâng của các lũy đẳng 2.8 Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R Nếu 𝐼 là một iđêan trong vành 𝑅, ta nói một lũy đẳng 𝑥̅ ∈ 𝑅/𝐼 có thể được nâng tới một lũy đẳng của vành 𝑅 nếu tồn tại một lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 mà ảnh của nó qua ánh xạ tự nhiên... cho các lũy đẳng trong 𝑅� = 𝑅/𝐼 có thể nâng được tới các lũy đẳng của 𝑅 Khi đó, với mỗi tập đếm được (hoặc hữu hạn) các lũy đẳng đôi một trực giao {𝑥1 , 𝑥2 , … } bất kỳ trong 𝑅�, tồn tại một tập các lũy đẵng đôi một trực giao {𝑒1 , 𝑒2 , … } trong 𝑅 sao cho 𝑒�𝚤 = 𝑥𝑖 , ∀𝑖 Chứng minh Giả sử tìm được {𝑒1 , … 𝑒𝑛 } thỏa mãn điều kiện trên Ta chỉ cần chỉ ra cách tìm 𝑒𝑛+1 Giả sử 𝛼 = 𝑒1 + ⋯ + 𝑒𝑛 là lũy đẳng, ... 𝛼, 𝛽 là các lũy đẳng trực giao khác 0 trong 𝑅 Nếu lũy đẳng 𝑒 ≠ 0 thỏa mãn một trong những điều kiện nêu trên, ta nói 𝑒 là lũy đẳng nguyên thủy của 𝑅 Chứng minh Do sự đối xứng trái – phải nên ta chỉ cần chứng minh sự tương đương của (1), (2) và (3) (1) ⟺ (2) theo (2.2.4) vì 𝑒𝑅 là không phân tích được nếu và chỉ nếu 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒𝑅) không có các lũy đẳng không tầm thường (3) ⟹ (2) Nếu 𝑒𝑅𝑒 có lũy đẳng không tầm... đẳng, 𝛽 là lũy đẳng của 𝑅 nâng bởi 𝑥𝑛+1 Khi đó, 𝛼� và 𝛽̅ là các lũy đẳng trực giao trong 𝑅� Ta tìm được lũy đẳng 𝑒𝑛+1 trực giao với 28 ̅ 𝛼 sao cho 𝑒������ 𝑛+1 = 𝛽 = 𝑥𝑛+1 Do 𝑒𝑖 = 𝛼𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 𝛼, 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑒𝑛+1 trực giao với mỗi 𝑒1 , … 𝑒𝑛 Tiếp theo ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ thú vị để tồn tại một tập vô hạn đếm được các lũy đẳng khác không đôi một trực giao Ví dụ 2.8.3 Giả sử 𝑅 là một vành bất kỳ không Dedekin... là vành nửa địa phương thỏa 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là nil iđêan (1) Nếu 𝑅 không có lũy đẳng không tầm thường và 𝑅 ≠ (0) thì 𝑅 là vành địa phương (2) Một iđêan phải 𝒜 ⊆ 𝑅 chứa lũy đẳng khác không nếu và chỉ nếu 𝒜 không là nil Chứng minh Nếu 𝑅 không có lũy đẳng không tầm thường thì theo (2.8.5) ta được 𝑅� = 𝑅/𝐼 Theo định lý Wedderburn – Artin, suy ra 𝑅� là một vành chia nên 𝑅 là vành địa phương Để chứng minh sự không ... lũy đẳng không lũy đẳng tâm không tầm thường Do lý thuyết vành không giao hoán định lý lũy đẳng có vai trò bật lý thuyết vành giao hoán Đặc biệt vai trò lũy đẳng tâm phân tích khối vành CHƯƠNG 1:... cứu cách có hệ thống đầy đủ toàn lý thuyết lũy đẳng vành không giao hoán