Lý thuyết về tính chất từ của các electron dẫn

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU ĐỨC BẰNG LÝ THUYẾT VỀ TÍNH CHẤT TỪ CỦA CÁC ELECTRON DẪN Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT Mã số: 10201 LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ LÝ THUYẾT HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NHẬT KHANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 2 Lời cảm ơn Trước hết cho em được gởi lời tri ân chân thành và sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Nhật Khanh, người thầy tận tụy hết lòng hướng dẫn em thực hiện bản luận văn này. Nhân đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ Môn Vật Lý Lý Thuyết đã tận tình giúp đở, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tại trường. Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắ n bản luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô góp ý bổ sung. Tp Hồ Chí Minh tháng 8 năm 2009 Lưu Đức Bằng 3 Mục lục Mở đầu 4 Chương 1: Độ cảm thuận từ và độ cảm nghịch từ của electron dẫn 5 1.1 Trạng thái electron tự do 5 1.2 Các trạng thái electron dẫn trong tinh thể 7 1.3 Độ cảm thuận từ của electron dẫn 13 1.4 Độ cảm nghịch từ của electron dẫn 17 Chương 2: Tương tác Coulomb giữa các electron 24 2.1 Nhiễu loạn bậc nhất và tương tác trao đổi 24 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn bậc hai và n ăng lượng tương quan 29 2.3 Nhiễu loạn bậc cao – Lý thuyết Gell-Mann-Brueckner 32 Chương 3: Lý thuyết của Slater và Lý thuyết của Kanamori về tương tác trao đổi của các electron 40 3.1 Tương tác trao đổi của electron trong gần đúng liên kết mạnh – Lý thuyết Slater 40 3.2 Hamiltonian Slater – Hubbard và hệ hai electron 45 3.3 Lý thuyết Kanamori về tương quan electron 54 3.4 Phương pháp biến phân Gutzwiller 59 Chương 4: Lý thuyết RPA cho kim loại sắt từ 66 4.1 Lý thuyết Stoner 66 4.2 Kích thích Stoner 69 4.3 Kích thích sóng spin 74 4.4 Độ cảm động lực học thuận từ 75 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 92 4 MỞ ĐẦU Ngày nay ngành khoa học chất rắn đóng vai trò hết sức quan trọng trong đời sống cũng như sự phát triển của con người. Các vật liệu rắn đặc biệt là vật liệu từ đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rải. Những thành tựu của ngành khoa học chất rắn có tầm ảnh hưởng sâu sắc đến đời sống con người. Nhu cầu nghiên cứ u và ứng dụng các vật liệu rắn đặc biệt là vật liệu mới rất thiết yếu trong thế kỷ 21. Vì nhu cầu đó, khoa học chất rắn đã phát triển rất nhanh trong những năm gần đây. Nghiên cứu chất rắn là tìm ra các mối liên hệ giữa cấu trúc bên trong các vật liệu và các tính chất của chúng dựa trên các mô hình thích hợp. Trong bản luận văn này tôi xin đề cập đến một tính chấ t quan trọng của chất rắn là tính chất từ và một số mô hình giải thích tính chất này. Các đóng góp vào tính chất từ của chất rắn ta có thể chia làm hai loại: momen từ định xứ (momen từ nguyên tử hay ion) và momen từ của các điện tử dẫn. Đến nay đã có nhiều lý thuyết giải thích tính chất từ dựa trên tính toán momen từ định xứ: lý thuyết nghịch từ Larmor, nghịch từ Landau, thuận từ Langevin, lý thuyết lượ ng tử về tính thuận từ, thuyết cổ điển của Weiss về tính sắt từ, phương pháp sóng spin cho chất sắt từ… Trong bản luận văn này tôi đi sâu vào đóng góp cho tính chất từ của các momen từ của các điện tử dẫn. Cụ thể là xét tính chất từ của kim loại với tương quan mạnh của các electron dẫn. Tôi bắt đầu với các hệ electron tự do không có tương quan. 5 Chương 1: ĐỘ CẢM THUẬN TỪ VÀ ĐỘ CẢM NGHỊCH TỪ CỦA CÁC ELECTRON DẪN 1.1 Trạng thái electron tự do. Chúng ta xem xét các electron hóa trị trong kim loại. Electron bị tác dụng bởi thế tuần hoàn do mạng ion tinh thể và thế Coulomb của các electron khác. Thế do các electron khác là một hàm phụ thuộc tọa độ của mỗi electron. Ta chia thế này làm hai phần: một phần là thế trung bình của các electron và phần còn lại là độ lệch khỏi thế trung bình. Nếu bỏ qua sự đóng của độ lệch khỏi thế trung bình thì gần đúng này được gọi là gần đúng Hartree và được xem là phép gần đúng khởi đầu cho việc giải bài toán hệ nhiều hạt. Theo cách này, bài toán hệ nhiều hạt có thể qui về thành bài toán một hạt. Thế trung bình được tính bằng cách giải bài toán một hạt. Quá trình giải bài toán được lặp lại cho đến khi thế nhận được bằng với thế ban đầu. Phươ ng pháp này được gọi là phương pháp tự hợp. Thế năng xác định từ sự phân bố trung bình các electron cũng tuân theo tính tuần hoàn của mạng. Phần đồng nhất đẵng hướng của thế năng trung bình của các electron triệt tiêu với thế năng trung bình của các ion nút mạng tích điện dương (ở đây ta đã bỏ qua đại lượng 1 so với số nút mạng N ). Sự triệt tiêu là do sự trung hòa điện của toàn b ộ tinh thể. Do đó trong gần đúng này, thế tác dụng lên mỗi electron có tính tuần hoàn như mạng. Nếu chúng ta bỏ qua thế tuần hoàn của mạng tinh thể, electron chuyển động một cách tự do. Hàm sóng của electron tự do trong một khối lập phương cạnh L là một sóng phẳng. () ikr k 1 re V ψ= r r r r (1.1) Trong đó V là thể tích của khối lập phương, r r là tọa độ của electron và k r là vectơ sóng. Điều kiện biên tuần hoàn Born-von Karman cho các vectơ sóng 6 ()() xyz xyz 2 k ,k ,k n ,n ,n L π = (1.2) Trong đó x n , y n , z n là các số nguyên âm hoặc dương. Năng lượng k ε r của mỗi electron ứng với vectơ sóng k r là 22 k k 2m ε= r h (1.3) Trong đó m là khối lượng electron và h là hằng số Planck chia cho 2π. Gọi e N là số electron toàn phần. Trạng thái cơ bản của hệ e N electron là trạng thái mà trong đó các electron (có spin hướng lên hoặc hướng xuống) chiếm các trạng thái sóng phẳng mô tả bởi biểu thức (1.1) theo các mức năng lượng và tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Mức năng lượng cao nhất bị chiếm 22 k/2mh được gọi là năng lượng Fermi. Vectơ sóng lớn nhất F k được gọi là vectơ sóng Fermi. Số các trạng thái electron chứa trong quả cầu bán kính k trong không gian k r được cho bởi () () 3/2 33 33/2 3 3222 k 4k/3 V4k V V 2m nk k 836 6 2/L ππ ⎛⎞ ==== ε ⎜⎟ πππ ⎝⎠ π r r h (1.4) Bằng cách lấy vi phân đại lượng này theo năng lượng k ε r , ta có thể tính số trạng thái trong khoảng năng lượng giữa ε và d ε +ε, gọi là mật độ trạng thái () 3/2 1/2 22 V2m 3 3n 622 ⎛⎞ ρε = ε = ⎜⎟ π ε ⎝⎠ h (1.5) Quả cầu bán kính F k trong không gian k r mà bị chiếm bởi các electron được gọi là quả cầu Fermi và bề mặt của nó gọi là mặt Fermi. Mật độ trạng thái ở mặt Fermi đối với một spin được cho như sau: () 3/2 1/2 e FF 22 F 3N V2m 44 ⎛⎞ ρε = ε = ⎜⎟ π ε ⎝⎠ h , (1.6) 7 Biểu thức trên nhận được bằng cách thay ε , n trong (1.5) tương ứng bằng F ε và e N/2. 1.2. Các trạng thái electron dẫn trong tinh thể. Các electron dẫn trong kim loại bị tác dụng bởi thế tuần hoàn của mạng ion. Giả sử rằng, mạng tinh thể được hình thành bằng cách lặp lại việc tịnh tiến của ba vectơ nguyên tố độc lập 1 a r , 2 a r , 3 a r . Một khối nguyên tố tạo thành từ các vectơ nguyên tố này được gọi là ô đơn vị, thể tích ô đơn vị 0 v bằng ( ) 12 3 × rr r aa a . Nếu mỗi ô đơn vị chỉ chứa một nguyên tử thì mạng tinh thể được gọi là mạng Bravais. Thông thường thì mỗi ô đơn vị có vài nguyên tử. Đối với thế tuần hoàn () Vr r , tính tuần hoàn được diễn tả bởi hệ thức: ( ) ( ) 123 Vr Vr la ma na=+++ r rr r r (1.7) Trong đó l, m, n là các số nguyên bất kỳ. Hàm thực ( ) Vr r có tính chất trên có thể được diễn tả dưới dạng chuổi Fourier ( ) ( ) iKr K Vr e VK − = ∑ u urr r r ur (1.8) ( ) ( ) * VK VK−= u rur Với các điều kiện sau cho K ur 1 1 Ka 2 n=π ur r , 2 2 Ka 2 n = π u rr , 3 3 Ka 2 n = π u rr (1.9) Trong đó 1 n , 2 n , 3 n là các số nguyên. Điều kiện (1.9) được thỏa mãn nếu: 123 12 3 Knb nb nb=+ + u rr r r (1.10) Ở đây 1 b r , 2 b r , 3 b r là vectơ nguyên tố của mạng đảo. Chúng liên hệ với các vectơ của mạng thuận theo hệ thức 8 ij ij a.b 2=πδ rr , () 23 1 12 3 aa b2 a.a a × =π × r r r r rr ,…. (1.11) Nếu thế tuần hoàn () Vr r yếu, nó có thể được xem là một sự nhiễu loạn. Các yếu tố ma trận (1.8) ứng với các sóng phẳng k ψ r , ( ) VK u r , chỉ có giá trị khác không giữa hai trạng thái k r và ' k r thỏa mãn ' kk K − = r r r . Vì vậy, hàm sóng nhiễu loạn được diễn tả như sự chồng chất của các sóng phẳng ikr e rr và () ik Kr e + ruurr : () () ikr iKr ikr kkKk K0 1 re1aeeur V + ≠ ⎛⎞ ψ= + = ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ rr uurr rr rruurr rr (1.12) Hàm () k ur r r hiển nhiên là hàm tuần hoàn theo r r vì K r là vectơ mạng đảo. Kết quả trên chính là định lý Bloch, là một trong những định lý cơ sở trong lý thuyết các electron trong chất rắn. Ở đây ta tính đến nhiễu loạn cấp hai. Phương trình Schrodinger có dạng: () () () 2 2 Vr r r 2m ⎡⎤ −∇+ ψ=εψ ⎢⎥ ⎣⎦ r rr h + Trường hợp () Vr 0= r : () () 2 20 0 kk rr 2m ⎡⎤ −∇ψ =εψ ⎢⎥ ⎣⎦ rr r r h Nghiệm phương trình trên là: () 0ikr k 22 0 k 1 re V k 2m ⎧ ψ= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ε= ⎪ ⎩ r r r r r h + Trường hợp () Vr r bé gần bằng không: Theo lý thuyết nhiễu loạn ta có ( ) ( ) 12 0 kk ε =ε +Δε +Δε rr Trong đó: 9 () () () () () () 1 0* 0 3 kk VV 11 k V r k r V r r V r d r V const 0 VV Δε = = ψ ψ = = = ≡ ∫∫ rr r r rrrrrr () () ' 2 ' 2 00 k k k kV r k Δε = ε−ε ∑ r r r rr r () () () () ' '0* 03 k k V 1 kV r k r V r r dr V =ψ ψ ∫ r r rr rrrrr () () () ' ' ikKkr 3 kk,K K V 11 VK e dr VK VV −− + − ==δ ∑∑ ∫ rr r r rr r r r r r () ' ' ' ikKkr 3 kk,K ' V 0,k k K 1 edr V 1, k k K −− + − ⎧ −= ⎪ ==δ ⎨ −≠ ⎪ ⎩ ∫ rr r r rr r r r r r rr r () () ' ' kk,K K 1 kV r k V K V − =δ ∑ rr r r rr r r () ( ) 2 2 00 K kkK VK + Δε = ε −ε ∑ r r ruur u r ( ) 2 0 00 kk K kkK VK + ε=ε+ ε −ε ∑ rr r r ruur u r (1.13) Trong số hạng thứ hai ở vế phải của biểu thức (1.13), nếu 00 0 0 kkK k kK 0 + + ε −ε ≈ ⇒ε =ε rr r r r r ( ) 2 2 22 kK k 2m 2m + ⇒= r r r h h 2 2kK K 0⇒+= r ur ur (1.14) 10 Hình 1.1: Hệ thức giữa k r và K r thỏa (1.14). Vậy gần đúng cho bởi (1.13) không thể tính được khi k r thỏa mãn (1.14). Điều kiện (1.14) thì thỏa mản với tất cả các k r trong mặt phẳng chia đôi đường nối điểm K − r và gốc tọa độ. Đối với các vectơ sóng k r trong mặt phẳng này và trong các lân cận, đóng góp vào tổng theo K r trong (1.13) được mong đợi là nhỏ ngoại trừ K r đặc biệt xác định mặt phẳng. Ta bỏ qua các số hạng nhỏ này và chỉ tính đến đóng góp của các yếu tố ma trận giữa 2 trạng thái k r và kK + r r . Ta có: 00 kkK + ε ≈ε rr r ( ) ( ) 00 kkK rr + ψ≠ψ rr r r r Vậy mức năng lượng bị suy biến bội hai. Phương pháp nhiễu loạn cho trường hợp suy biến: () () () 2 2 Vr r r 2m ⎡⎤ −∇+ ψ=εψ ⎢⎥ ⎣⎦ r rr h (*) () () 2 20 00 kkk rr 2m ⎡⎤ −∇ψ =εψ ⎢⎥ ⎣⎦ rrr r r h () () 2 20 0 0 kK kK kK rr 2m +++ ⎡⎤ −∇ψ =εψ ⎢⎥ ⎣⎦ rrr rrr r r h K − r K r K 2 − r k r 0 [...]... thời gian Trong các số hạng của độ r cảm χ ( q, ω) , chúng ta có thể nhận được sự biến đổi của momen từ spin theo thời gian và không gian 18 1.4 Độ cảm nghịch từ của electron dẫn Các hệ electron dẫn có cả độ cảm thuận từ Pauli và độ cảm nghịch từ Tính nghịch từ đưa ra theo định luật Lenz Các electron dẫn phản ứng chống lại tác dụng của từ trường ngoài Đôi khi nó được gọi là nghịch từ Landau do Landau... rộng ra một vài vùng Tuy nhiên, mật độ các trạng thái ρ(ε) , là một hàm của năng lượng, nó vẫn được xác định như trong trường hợp của các electron tự do Trong trường hợp này bản chất của các electron dẫn là các vùng bị chiếm bởi các electron này bị tách hẳn khỏi các vùng không bị chiếm, và mặt Fermi là mặt giới hạn 1.3 Độ cảm thuận từ của electron dẫn Năng lượng của electron ứng với hình chiếu spin (+)... đầu tiên tính độ nghịch từ của các electron tự do Việc tính toán độ nghịch từ của các electron dẫn thì không phải là một việc dể dàng và nhiều người đã đưa ra các phương pháp khác nhau Kết quả, độ từ hóa chứa một hàm dao động của nghịch đảo từ trường ngoài: ⎛ 1 ⎞ 2πe Δ⎜ ⎟ = ⎝ Η ⎠ hcS (1.27) Trong đó S là cực trị của tiết diện mặt Fermi cắt vuông góc với hướng của từ trường Ở đây, điện tích electron. .. xảy ra giữa các electron có spin song song và làm giảm năng lượng của chúng Các electron có spin đối song không bị giảm năng lượng Do đó các electron tự do có khuynh hướng xắp xếp spin của chúng song song với nhau do tương tác trao đổi Block đã thảo luận tính sắt từ của các electron tự do dựa trên tương tác trao đổi (2.4) Trạng thái cơ bản của các electron tự do là trạng thái mà trong đó số electron có... này thỏa mãn ở mật độ các electron dẫn thấp Chú ý rằng tính sắt từ không hoàn toàn, trong đó cả n+ và n- hữu hạn không xảy ra trong mẫu này 29 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn bậc hai và năng lượng tương quan Trong phạm vi lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất, một vài tương quan giữa các electron có spin song song một cách tự nhiên được tính bởi nguyên lý Pauli, nhưng đối với trường hợp các electron spin đối song... trúc vùng năng lượng Các hàm sóng của các electron dẫn trong thế tuần hoàn được gọi là các quỹ đạo Bloch (Bloch orbitals) Nhiều gần đúng đã được đưa ra nhưng phương pháp đơn giản nhất là tính sự nhiễu loạn bắt đầu từ các sóng phẳng và được gọi là gần đúng các electron gần tự do Ngược lại có một phương pháp để tính gần đúng một quỹ đạo Bloch bằng một tổ hợp tuyến tính của các quỹ đạo nguyên tử ở mỗi nút... này phá vỡ sự cân bằng giữa các electron dẫn có spin song song và đối song với 14 trường ngoài.Vì thế hệ electron dẫn bị từ hóa Độ cảm từ do một quá trình như thế được gọi là độ cảm thuận từ Pauli ε ↑ 1 ρgμB H 2 ↓ εF gμBH ρ↑ ( ε ) ρ↓ ( ε ) Hình 1.2: Phân bố năng lượng của electron trong từ trường Gọi N là số electron toàn phần, N + là số electron có spin (+) và N − là số electron có spin (-) Ta có... H 2m 2 ε− = h2k 2 1 + gμ B H 2m 2 Vậy trong từ trường đều, năng lượng của các electron dẫn có spin song song với từ trường giảm một lượng (1/ 2 ) gμ B H , trong khi năng lượng của các electron có spin đối song tăng một lượng tương tự Vì vậy như trình bày trong hình 1.2, một số (1/ 2 ) ρgμ B H của các electron với spin đối song gần mặt Fermi chuyển thành các trạng thái spin song song Ở đây ρ là mật... GIỮA CÁC ELECTRON Các electron dẫn trong kim loại chuyển động không hoàn toàn tự do Chúng chuyển động dưới tác dụng của tương tác Coulomb lẫn nhau và thế tuần hoàn của các ion tại các nút mạng Ở đây ta bỏ qua thế tuần hoàn và chỉ xem xét ảnh hưởng của tương tác Coulomb 2.1 Nhiễu loạn bậc nhất và tương tác trao đổi r r Tương tác đẩy Coulomb giữa các electron bằng e 2 / rij , trong đó rij là khoảng cách... cả electron, các electron với spin đối song cũng bị giữ khoảng cách với nhau Dự đoán này đưa ra từ sự thay đổi của các hàm sóng và chỉ xuất hiện trong các số hạng bậc hai hoặc cao hơn của năng lượng nhiễu loạn Nó làm giảm hiệu ứng trao đổi trong (2.4) Năng lượng nhiễu loạn bậc nhất thì không đủ để thảo luận tính sắt từ của khí điện tử Vì vậy chúng ta trở lại tương tác Coulomb và xem xét ảnh hưởng của . LƯU ĐỨC BẰNG LÝ THUYẾT VỀ TÍNH CHẤT TỪ CỦA CÁC ELECTRON DẪN Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT Mã số: 10201 LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ LÝ THUYẾT HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. đóng góp cho tính chất từ của các momen từ của các điện tử dẫn. Cụ thể là xét tính chất từ của kim loại với tương quan mạnh của các electron dẫn. Tôi bắt đầu với các hệ electron tự do không có. (momen từ nguyên tử hay ion) và momen từ của các điện tử dẫn. Đến nay đã có nhiều lý thuyết giải thích tính chất từ dựa trên tính toán momen từ định xứ: lý thuyết nghịch từ Larmor, nghịch từ Landau,