về cấu trúc thứ tự trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thành Thị Phương Bối VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thành Thị Phương Bối VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa ToánTin thuộc trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy, truyền đạt kiến thức quý báu giúp đỡ suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình đào tạo trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn khóa anh chị khóa nhiệt tình giúp đỡ động viên suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tạo điều kiện, hỗ trợ cho tinh thần lẫn vật chất để yên tâm hoàn thành khóa học Bản thân cố gắng học tập, tìm hiểu hoàn thành luận văn tâm huyết lực luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì thế, mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh TP.HCM, Tháng 09 năm 2013 Tác giả Thành Thị Phương Bối MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn MỤC LỤC T 0T BẢNG KÍ HIỆU T 0T PHẦN MỞ ĐẦU T 0T Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO T HOÁN 16 0T 2.1 Định lý 16 T 0T 0T 0T 2.2 Định lý R.E Johnson 21 T 0T 0T T 2.3 Định lý 22 T 0T 0T 0T 2.4 Định lý 25 T 0T 0T 0T 2.5 Định lý Albert, Neumann, Fuchs 26 T 0T 0T T 2.6 Định lý 28 T 0T 0T 0T 2.7 Các ví dụ vành không giao hoán thứ tự 31 T 0T 0T T KẾT LUẬN 35 T 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 T 0T BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Đọc charR Đặc số vành R MR M R − module phải R M M R − module trái R MR M song module J ( R) Căn Jacobson vành R P Thứ tự vành R  [ x] Vành đa thức biến x có hệ số thực T Tiền thứ tự vành R T Cái bao đóng chia T PHẦN MỞ ĐẦU Vành số nguyên  có cấu trúc thứ tự tự nhiên định nghĩa với hai phép toán cộng nhân  Cụ thể: ∀a, b, c ∈ , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c , < a,0 < b ⇒ < ab Trong  , có quan hệ thứ tự: < −2 < −1 < < < < Nếu tiên đề hóa tính chất trên, đến khái niệm vành thứ tự Tuy nhiên vành R đưa vào quan hệ thứ tự để trở thành vành thứ tự Điều phức tạp lớp vành không giao hoán Trong trường hợp R trường Artin Schreier rằng: trường R trường thứ tự R “số thực hình thức”, −1 không tổng bình phương R Vậy với điều kiện vành R thứ tự vành không giao hoán thứ tự có đặc trưng nào? Luận văn tìm hiểu làm rõ vấn đề Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức kết có liên quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ tự, trường thứ tự 1.1 Định nghĩa vành Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hoán ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.2 Định nghĩa vành Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A lập thành vành ta nói A vành vành R 1.3 Định lý Cho A tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: 1.4 i) A vành R ; ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, − x ∈ A; iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A xy ∈ A Định nghĩa ideal vành Cho R vành, vành I R gọi ideal trái (ideal phải) vành R thỏa mãn điều kiện: rx ∈ I ( xr ∈ I ) , ∀x ∈ I , ∀r ∈ R Vành I R gọi ideal vành R I vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.5 Định lý Cho I tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: i) I ideal R ; ii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x + y ∈ I , − x ∈ I , rx ∈ I xr ∈ I ; iii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x − y ∈ I , rx ∈ I xr ∈ I 1.6 Định nghĩa ideal nguyên tố Một ideal I vành R gọi ideal nguyên tố I ≠ R với hai ideal M , N ⊆ R, MN ⊆ I M ⊆ I N ⊆ I 1.7 Định nghĩa ideal tối đại Một ideal I vành R gọi ideal tối đại I ≠ R M ideal thỏa I ⊂ M ⊂ R I = M M = R 1.8 Định lý − Định nghĩa Giả sử I ideal vành R Khi ta xét nhóm thương nhóm cộng Abel R I • Lớp xy + I phụ thuộc vào lớp x + I y + I mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử đại diện x, y từ lớp Và ta gọi xy + I tích hai lớp x + I y + I • R với hai phép toán: I Phép cộng: ( x + I , y + I )  x + y + I Phép nhân: ( x + I , y + I )  xy + I vành, gọi vành thương R I Nhận xét: 1) Nếu R vành giao hoán vành thương R I giao hoán 2) Nếu vành R có đơn vị e vành thương R 1.9 e+I I có đơn vị Định nghĩa đồng cấu vành Một ánh xạ f từ vành R vào vành R ' gọi đồng cấu vành f bảo toàn phép toán, nghĩa ∀x, y ∈ R f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) Một đồng cấu từ vành R vào vành R gọi tự đồng cấu R Một đồng cấu đồng thời đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ R vào R ' ta nói R đẳng cấu với R ' Kí hiệu: R ≅ R' 1.10 Các ví dụ đồng cấu vành 1) Ánh xạ đồng id R vành R tự đẳng cấu, gọi tự đẳng cấu đồng R 2) Giả sử A vành vành R Khi ánh xạ bao hàm iA : A → R định iA ( x ) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc 3) Giả sử I ideal vành R Khi ánh xạ π : R → R định I π ( x )= x + I toàn cấu, gọi toàn cấu tắc 4) Giả sử R, R ' hai vành Khi ánh xạ f : R → R ' định f ( x ) = R ' ( R ' phần tử không vành R ' ) đồng cấu, gọi đồng cấu tầm thường 5) Cho R vành có đơn vị a ∈ R khả nghịch Khi ánh xạ f : R → R , định f ( x ) = axa −1 tự đẳng cấu R 1.11 Mệnh đề Nếu f : R → R' f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ R 1.12 Mệnh đề đồng cấu vành f ( 0R ) = 0R ' 22 ii ⇒ iii ) Cố định tiền thứ tự T R Theo bổ đề Zorn, ta mở rộng T thành tiền thứ tự tối đại T1 Áp dụng định lý 2.1.7, ta có T1 thứ tự R Vậy định lý chứng minh Trong lý thuyết trường thực hình thức, điều tiếng tiền thứ tự T trường F giao tất thứ tự chứa T Trong trường hợp T = T ( F ) phần tử a ∈ F \ {0} tổng bình phương F a > thứ tự trường F Artin sử dụng kết làm công cụ giải tiếng ông vấn đề thứ 17 Hilbert (những lưu ý cấu trúc hàm hữu tỉ nửa xác định dương) Tiếp theo, xét tổng quát hóa kết từ trường đến vành tùy ý 2.3 Định lý 2.3.1 Định nghĩa Cho T tiền thứ tự vành R , ta định nghĩa: T ={a ∈ R : at ∈ T , t ∈ T } ={a ∈ R : t ' a ∈ T , t ' ∈ T } ={a ∈ R : ab ∈ T , b ≠ 0} = {a ∈ R : b '2 a ∈ T , b ' ≠ 0} T gọi bao đóng chia T Nhận xét: Ta có ∉ T , T ⊆ T Do T tiền thứ tự R 23 Thật vậy: Ta có ∉ T ⇒ ∉ T Do để chứng minh T tiền thứ tự R ta cần kiểm tra T thỏa hai tính chất sau: (1) T + T ⊆ T ; ( ) Với a1, , an ∈ T , c1, , cm ∈ R \ {0} per ( c12 cm2 a1 an ) ∈ T Kiểm tra tính chất (1): Giả sử a1 , a2 ∈ T Ta cần chứng a1 , a2 ∈ T ⇒ aiti ∈ T , ti ∈ T , ∀i =1,2 Vì T t1= a2t2 t1 ( a2t2 ) ∈ T ⇒ ( a1 + a2 ) t1= a2t2 minh a1 + a2 ∈ T Ta có: tiền thứ tự nên ta lại có ( a1t1 )( a2t2 ) + a2t1a2t2 ∈ T ⇒ a1 + a2 ∈ T Kiểm tra tính chất (2): ( ) Với a1 , , an ∈ T , c1 , , cm ∈ R \ {0} , ta cần chứng minh: per c12 cm2 a1 an ∈ T ( ) ( tức chứng minh per c12 cm2 a1 an t ∈ T , t ∈ T Ta biết per c12 cm2 a1 an ) tích phần tử c1 , c1 , , cm , cm , a1 , , an lấy theo thứ tự Nếu ta cách đặt t xếp ti ∈ T cho aiti ∈ T với = ( a1t1 ) ( antn ) ∈ T ta có : = per ( c12 cm2 a1 an ) t per ( c12 cm2 a12 an2t1 tn ) ∈ T Suy per ( c12 cm2 a1 an ) ∈ T Vậy T tiền thứ tự R 2.3.2 Định lý 24 Cho tiền thứ tự T ⊆ R \ {0} , bao đóng chia T T giao tất thứ tự T ' R chứa T Chứng minh Với thứ tự P ⊇ T , ta có P ⊇ T Từ P =P ⇒ T ' ⊇ T Để hoàn tất chứng minh, ta cần rằng: với a ≠ 0, a ∉ T ⇒ a ∉ P, P ⊇ T ( a ∉ T ') Xét tập T− a định nghĩa bổ đề 2.1.6 Vì a ∉ T theo bổ đề 2.1.6 nên T− a tiền thứ tự R T− a mở rộng thành thứ tự P R Nhưng P ⊇ T −a ∈ T− a ⊆ P ⇒ a ∉ P Vậy định lý chứng minh 2.3.2.1 Hệ Một tiền thứ tự T ⊆ R \ {0} giao họ thứ tự T “cái bao đóng chia” ( a ∈ R, t ∈ T : at ∈ T ⇒ a ∈ T ) 2.3.2.2 Hệ Trong vành thực hình thức R , phần tử ≠ a ∈ R hoàn toàn dương (tức dương tất thứ tự R ) tồn b ∈ R \ {0} cho ab ∈ T ( R ) Nhận xét: Tiền thứ tự yếu T ( R ) không thiết phải bao đóng chia nó, phần tử hoàn toàn dương a không cần thuộc vào T ( R ) Chẳng hạn, xét ví dụ minh họa sau: 25 = Cho R  [ x1 , , xn , y, z ] / ( x12 + + xn2 − y z ) thực hình thức tiền thứ tự yếu T = T ( R ) không đóng chia, tức T ≠ T Thật vậy: Ta có: T ( R ) = thức = T ( R) tức {∑ a i {∑ per ( a a ) / a , , a ∉T ( R ) m Trong m } ∈ R \ {0} trường hợp / ∈ R \ {0}} R thực hình thức tức R thực hình R ∑a i giao hoán, ≠ ⇒ ≠ Nếu xem R vành giao hoán trường hợp x12 + + xn2 − y z ) ( đa thức bất khả quy ideal x12 + + xn2 − y z ideal nguyên tố Do R miền nguyên Trường thương F R xem trường phân ( ) thức hữu tỉ  x1 , , xn , y Ta có F thực hình thức R Do để T không đóng chia, ta xét  − đồng cấu f : R →  xác định bởi: ( ) ( ) ( ) () () f x1 = = f xn = f y = 0, f z = −1 Từ f (T ) ≥ R f z = −1 ta 2 có z ∉ T Mặt khác, y z= x1 + + xn ∈ T ⇒ z ∈ T Vậy T ≠ T 2.4 Định lý Cho R ⊆ R ' vành Khi thứ tự P R mở rộng thành thứ tự P ' R ' R ' , không tổng ( ) phần tử có dạng per a12 am2 t1 tn , a1 , , am ∈ R '\ {0} , t1 , , tn ∈ P Chứng minh 26 ( ⇒ ) Hiển nhiên ( ⇐) ( Giả sử T ' tập tất tổng phần tử có dạng per a12 am2 t1 tn ) không chứa Khi T ' tiền thứ tự R ' Cho P ' thứ tự R ' chứa T ' , ta có : P ⊆ T '∩ R ⊆ P '∩ R ⇒ P = P '∩ R Vậy P thứ tự Nhận xét: Nếu R miền thứ tự R mở rộng thành thứ tự vành thương 2.5 Định lý Albert, Neumann, Fuchs 2.5.1 Định lý Cho R miền, R ' vành thương R Khi đó, thứ tự P R mở rộng thành thứ tự P ' R ' Chứng minh Đặt P ' ={ x ∈ R ', ∃a, b ∈ P : axb ∈ P} Giả sử P ' = { x ∈ R ', ∃a ∈ P : ax ∈ P} (1) Lấy x ∈ P ', a, b ∈ P : axb ∈ P Cố định phần tử c ∈ R \ {0} : cax ∈ R Ta giả sử c ∈ P , c ( axb ) ∈ P.P ⊆ P Điều kéo theo cax ∈ P, ca ∈ P Chứng minh tương tự, ta có: P ' = { x ∈ R ', ∃b ∈ P : xb ∈ P} ( 2) 27 P P '∪ ( − P ') =R '\ {0} Do để P ' thứ tự Ta có: R ∩ P ' = R ' , ta cần chứng minh: x, y ∈ P ' ⇒ x + y ∈ P ' xy ∈ P ' Từ (1) (2) suy tồn a, b ∈ P : ax ∈ P, yb ∈ P Mà a ( x + y ) b= a ( xy ) b = ( ax )( yb ) ∈ P Do theo định nghĩa ( ax ) b + a ( yb ) ∈ P P ' , ta có: x + y ∈ P ', xy ∈ P ' Vậy P ' thứ tự R ' mở rộng từ P tính P ' hiển nhiên Nhận xét: Định nghĩa thứ tự vành không dựa tồn phần tử đơn vị Vì thế, nói thứ tự vành đơn vị Do đó, định lý cho vành R ⊆ R ' đơn vị, R ' vành thương R 2.5.2 Hệ Cho R miền I ideal khác không R Khi thứ tự I (xem vành đơn vị) mở rộng thành thứ tự R Chứng minh Cố định phần tử a ≠ I Với x ∈ R , ta có: ax ∈ I , xa ∈ I Vì R vành thương I , áp dụng định lý 2.5.1 ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Nói chung lớp vành thứ tự rộng khác biệt so với định lý phân lớp tốt Do đó, lớp vành thứ tự Acsimet đủ nhỏ để mô tả hoàn toàn 28 2.6 Định lý 2.6.1 Định nghĩa Cho a phần tử dương vành thứ tự ( R, < ) Khi đó: a vô lớn a > n ( = n.1) với số nguyên n ≥ a vô bé na < với số nguyên n ≥ 2.6.2 Bổ đề Cho vành thứ tự ( R, < ) Hai tính chất sau tương đương: (1) Với a, b > R , tồn số nguyên n ≥ cho na > b (2) R phần tử vô lớn lẫn vô bé Nếu (1) (2) ( R, < ) gọi vành thứ tự Acsimet Chứng minh (1) ⇒ ( ) rõ ràng ( ) ⇒ (1) Giả sử ta có (2) lấy a, b > Từ (2) ta có: b < n ma > với m, n ≥ số nguyên thích hợp.Ta suy mna > n > b Chú ý: Nếu ( R, < ) vành chia thứ tự với a > 0, a vô lớn a −1 vô bé Do đó, trường hợp ( R, < ) vành thứ tự Acsimet R phần tử vô lớn, R phần tử vô bé 29 2.6.3 Định lý Cho ( R, < ) vành thứ tự Acsimet Khi đó: i) R vành giao hoán; ii) ( R, < ) đẳng cấu thứ tự với vành  (với thứ tự cảm sinh) iii) Chỉ có tự đẳng cấu thứ tự R ánh xạ đồng Ta sử dụng nhát cắt Dedekind để chứng minh định lý: Một nhát cắt Dedekind tập A tập hợp số hữu tỉ  thỏa tính chất sau: i) A ≠ ∅; ii) \ A≠∅; iii) A không chứa phần tử lớn iv) Với x, y ∈ , x ∈ A, y < x y ∈ A Chứng minh định lý Ua Lấy a ∈ R , đặt = = La {m n : m, n ∈ , na < m} {m n : m, n ∈ , n > 0, m ≤ na} Vì ( R, < ) Acsimet nên tập hợp chứa số nguyên Đặc biệt, chúng tập không rỗng  Ta có {La ,U a } lát cắt Dedekind  Do đó, {La ,U a } xác định số thực f ( a ) Xét ánh xạ f : R →  Giả sử 30 a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) Lấy số nguyên n ≥ 1: n ( b − a ) > Đặt m số nguyên nhỏ lớn na Khi đó: na ≥ m − > m + − n ( b − a ) ⇒ nb > m + > m > na ⇒ f (b) ≥ m +1 m > ≥ f ( a ) Đặc biệt f đơn ánh n n Tiếp theo xét hai phần tử tùy ý a, b ∈ R Ta có: U a + U b ⊆ U a +b La + Lb ⊆ La +b Suy luận từ tính chất nhát cắt Dedekind ta có f ( a + b=) f ( a ) + f ( b ) Chứng minh tương tự, ta có f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) Vậy ( R, < ) đẳng cấu thứ tự với f ( R ) với thứ tự cảm sinh từ  Trong trường hợp đặc biệt R giao hoán, ta có f hiển nhiên phép nhúng thứ tự từ R vào  Từ ta có kết luận ii) iii) Nhận xét: Việc chứng minh định lý dựa vào nhát cắt Dedekind, nhiên ta dùng phương pháp khác để vành thứ tự Acsimet ( R, < ) giao hoán có tự đẳng cấu thứ tự ( R, < ) ánh xạ đồng Chứng minh R vành giao hoán Lấy a, b ∈ R , ta chứng minh ab = ba 31 Ta có: với m∈ bất kỳ, ∃n ∈  : ( n − 1) a ≤ mb < na m ( ab − ba = = a Vì ) a ( mb ) − ( mb ) a < a ( na ) − ( n − 1) aa ( R, < ) Suy Acsimet với m∈ nên ta có ab − ba ≤ (1) Tương tự, ta chứng minh ba − ab ≤ (2) Từ (1) (2) suy ab = ba Do R vành giao hoán Chứng minh có tự đẳng cấu thứ tự ( R, < ) ánh xạ đồng Ta định nghĩa giá trị tuyệt đối (với thứ tự " < " ) theo cách thông thường sau: a = a a ≥ a = −a a < Gọi ϕ tự đẳng cấu thứ tự ( R, < ) , lấy b > R Ta có với m∈ bất kỳ, ∃n ∈  : n − ≤ mb < n (*) Đặt b ' = ϕ ( b ) áp dụng ϕ cho bất đẳng thức (*), ta thu được: n − ≤ mb ' < n Suy −1 < m ( b − b ') < ⇔ m b − b ' < 1, ∀m ∈  Mặt khác, ( R, < ) Acsimet nên b= b=' ϕ ( b ) Từ đó, ta có: ϕ ( −b ) = −ϕ ( b ) = −b Do ϕ ánh xạ đồng R 2.7 Các ví dụ vành không giao hoán thứ tự Các ví dụ vành giao hoán thứ tự tương đối nhiều như: vành số nguyên  , số thực  , vành  [ x ] với quan hệ: ∀f , g ∈  [ x ] , f < g ⇔ g − f có hệ số dẫn đầu dương,…Tuy nhiên xét vành không giao hoán thứ tự phức tạp nhiều Sau đây, xét hai ví dụ vành không giao hoán thứ tự 2.7.1 Ví dụ 32 Cho ( R, < ) vành thứ tự ( G, < ) nhóm nhân thứ tự Trong vành nhóm A = RG , định nghĩa:  n  P ∑ ri gi / r1 > R, g1 < g < < g n G  =  i =1  Khi đó, ta có ( A, P ) vành thứ tự Chứng minh Trước tiên ta có nhóm nhân ( G ,.) thứ tự tồn thứ tự toàn phần " < " G cho: ∀a, b, c ∈ G , ta có: a < b ⇒ ac < bc Ta có: P + P ⊆ P, P ∪ ( − P ) =A \ {0} rõ ràng Ta cần kiểm tra tính chất P.P ⊆ P Lấy α ,α ' ∈ P đó: = α n ∑ r g , r > R, g i =1 = α' i i m ∑r g j =1 ' j ' j < g < < g n G , r1' > R, g1' < g 2' < < g m' G Ta có: α α=' r1r1' g1 g1' + s2 h2 + s3h3 + ( si ∈ R, hi ∈ G ), r1r1' > R, g1 g1' < h2 < h3 < G ⇒ α α ' ∈ P Vậy P thứ tự A Do ( A, P ) vành thứ tự 33 2.7.2 Ví dụ Xét đại số Weyl R trường số thực  , sinh hai biến x y với quan hệ xy − yx = Khi phần tử R biểu diễn dạng tắc = r r0 ( x ) + r1 ( x ) y + + rn ( x ) y n , ri ( x ) ∈  [ x ] , rn ( x ) ≠ Xét P ⊂ R tập tất phần tử ≠ r ∈ R trên, rn ( x ) có hệ số dẫn đầu dương Khi P xác định thứ tự " < " R , đó:  < x < x < < y < xy < x y < < y < xy < x y < Chứng minh Đại số Weyl: Cho k vành = R k xi : i ∈ I với { xi : i ∈ I } hệ độc lập, không giao hoán k F= {f thương R = R j : j ∈ J } ⊆ R, ( F ) ideal sinh F R Ta có vành (F ) Ta xem R vành sinh ( f ({x : i ∈ I }) =0 ∈ R, ∀j ) Nếu R = k j i { xi } k với quan hệ F x, y F = { xy − yx − 1} R = R đại số Weyl k Kí hiệu A1 ( k ) với quan hệ x y − y x = Trở lại ví dụ 2: Ta có hai tính chất P + P ⊆ P, P ∪ ( − P ) =R \ {0} rõ ràng Ta cần kiểm tra P.P ⊆ P ( F ) 34 Lấy r , s ∈ P , ta có: r= r0 ( x ) + r1 ( x ) y + + rn ( x ) y n , rn ( x )= xi + + a0 , > s= s0 ( x ) + s1 ( x ) y + + sm ( x ) y m , sm ( x )= bk x k + + b0 , bk > Khi tích r s viết dạng tắc trên, số hạng có bậc cao y xác định từ tích rn ( x ) y n sm ( x ) y m k  k  n n i Ta có: = y sm ( x ) y= ∑ bi x  ∑ bi xi  y n + số hạng có bậc y bé n  =i 0=i  Do đó: rn = ( x ) y n sm ( x ) y m rn ( x ) sm ( x ) y n+m + số hạng có bậc y bé n + m Hệ số dẫn đầu rn ( x ) sm ( x ) tích hệ số dẫn đầu rn ( x ) sm ( x ) tích số dương Vậy r.s ∈ P Vậy P xác định thứ tự R sau: r < s ⇔ s − r ∈ P, ∀r , s ∈ P Cuối ta kiểm tra với thứ tự đó, ta có:  < x < x < < y < xy < x y < < y < xy < x y < Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: l < t Ta có: x k y l < x s y t ⇔ x s y t − x k y l ∈ P (vì x s y t − x k y l có hệ số dẫn đầu > ) Trường hợp 2: l = t 35 ( ) Ta có: x k y l < x s y l ⇔ x s − x k y l ∈ P (vì x s − x k có hệ có hệ số dẫn đầu > ) KẾT LUẬN Kết luận văn: - Nêu lên mối quan hệ vành tiền thứ tự vành thứ tự - Điều kiện để tiền thứ tự trở thành thứ tự - Điều kiện để vành R có thứ tự - Tìm mối quan hệ miền nguyên thứ tự vành thương - Tìm mối quan hệ vành thứ tự Acsimet tính giao hoán vành - Nêu số ví dụ minh họa vành không giao hoán thứ tự 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh Lê Thanh Hà (1999), Các cấu trúc đại số bản, Nxb Giáo dục Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Tiếng Anh Herstein I.N (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA Lam T.Y (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer – Verlag, New York Lam T.Y (2003), Exercises in classical ring theory, Springer – Verlag, New York [...]... trên R 2.7 Các ví dụ về vành không giao hoán sắp thứ tự Các ví dụ về vành giao hoán sắp thứ tự thì tương đối nhiều như: vành số nguyên  , số thực  , vành  [ x ] với quan hệ: ∀f , g ∈  [ x ] , f < g ⇔ g − f có hệ số dẫn đầu dương,…Tuy nhiên khi xét các vành không giao hoán sắp thứ tự thì phức tạp hơn nhiều Sau đây, chúng ta sẽ xét hai ví dụ cơ bản về các vành không giao hoán sắp thứ tự 2.7.1 Ví... hình thức nếu −1∉ ∑ F 2 với + + an2 / n ∈ , ai ∈ F ,1 ≤ i ≤ n} là tổng của các bình phương trong F 1.42 Định lý Artin- Schreier Một trường F là thực hình thức nếu và chỉ nếu F sắp thứ tự 16 Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chương này sẽ trình bày các tính chất và mối quan hệ giữa vành tiền sắp thứ tự và vành sắp thứ tự, điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự, ... −1 là vô cùng bé Do đó, trong trường hợp này ( R, < ) là vành sắp thứ tự Acsimet nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng lớn, nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng bé 29 2.6.3 Định lý Cho ( R, < ) là vành sắp thứ tự Acsimet Khi đó: i) R là vành giao hoán; ii) ( R, < ) đẳng cấu thứ tự với vành con duy nhất của  (với thứ tự cảm sinh) iii) Chỉ có duy nhất tự đẳng cấu thứ tự của R là ánh xạ đồng... hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là một đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành 1.10 Mệnh đề Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành cũng là một đẳng cấu vành 1.13 Định lý Cho đồng cấu vành f : R → R ' và A là một vành con của R , A ' là vành con của R ' Khi đó: i) f ( A ) là vành con của R ' ii) f −1 ( A ') là vành con... nguyên sắp thứ tự và vành các thương, mối quan hệ giữa vành sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của vành Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm thông thường của một vành sắp thứ tự như sau: 2.1 Định lý 2.1.1 Định nghĩa R là vành sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần " < " trên R sao cho ∀a, b, c ∈ R , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c; 0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab 2.1.2 Định nghĩa Hình nón dương của thứ tự " ... dương,…Tuy nhiên xét vành không giao hoán thứ tự phức tạp nhiều Sau đây, xét hai ví dụ vành không giao hoán thứ tự 2.7.1 Ví dụ 32 Cho ( R, < ) vành thứ tự ( G, < ) nhóm nhân thứ tự Trong vành nhóm A =... quan hệ vành tiền thứ tự vành thứ tự - Điều kiện để tiền thứ tự trở thành thứ tự - Điều kiện để vành R có thứ tự - Tìm mối quan hệ miền nguyên thứ tự vành thương - Tìm mối quan hệ vành thứ tự Acsimet... GIAO HOÁN Chương trình bày tính chất mối quan hệ vành tiền thứ tự vành thứ tự, điều kiện để tiền thứ tự trở thành thứ tự, mối quan hệ miền nguyên thứ tự vành thương, mối quan hệ vành thứ tự Acsimet