BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để thực luận văn thời gian cho phép Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Thầy nhiệt tình hỗ trợ hướng dẫn suốt trình làm luận văn Dù cố gắng thực hoàn thành luận văn tất tâm huyết lực luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành quý thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Vũ Vân Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun 1.3 Radical vành 10 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 15 2.1 Lũy đẳng 15 2.2 Lũy đẳng tâm 18 2.3 Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ .19 2.4 Lũy đẳng nguyên thủy .19 2.5 Lũy đẳng địa phương .20 2.6 Lũy đẳng bất khả quy 23 2.7 Lũy đẳng đẳng cấu 25 2.8 Sự nâng lên lũy đẳng vành thương tới lũy đẳng vành R 27 2.9 Lũy đẳng tâm phân tích khối 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 BẢNG KÝ HIỆU ℤ Vành số nguyên 𝑍(𝑅) Tâm vành 𝑅 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁) Nhóm 𝑅 – đồng cấu từ 𝑀 đến 𝑁 𝐴↠𝐵 𝑀𝑅 B ảnh toàn cấu A 𝑅 – môđun phải 𝑀 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑀) Vành 𝑅 – tự đồng cấu 𝑀 𝑈(𝑅) Nhóm phần tử khả nghịch vành 𝑅 ACC Điều kiện dây chuyền tăng 𝑀𝑛 (𝐷) 𝑟𝑎𝑑 𝑅 DCC Vành ma trận vuông cấp n 𝐷 Căn Jacobson 𝑅 Điều kiện dây chuyền giảm LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta thấy vành giao hoán có lũy đẳng 𝑒 vành 𝑅 phân tích thành tích trực tiếp hai vành 𝑅𝑒 𝑅(1 − 𝑒) Theo nhiều nghiên cứu lý thuyết vành giao hoán, thu hẹp nghiên cứu vành 𝑅 phân tích nghĩa 𝑅 ≠ 𝑅 không phân tích thành tích trực tiếp hai vành khác không Các vành vành có phần tử lũy đẳng tầm thường Đối với vành không giao hoán, nhận xét hợp lí ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm” Do đó, vành 𝑅 khác không không phân tích phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường Tuy nhiên vành có nhiều phần tử lũy đẳng không lũy đẳng tâm không tầm thường Do lý thuyết vành không giao hoán định lý lũy đẳng có vai trò bật lý thuyết vành giao hoán Đặc biệt vai trò lũy đẳng tâm phân tích khối vành CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số không giao hoán Quy ước chương: không nói thêm 𝑅 vành không giao hoán có đơn vị, môđun M 𝑅 – môđun phải 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng , R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: (1) R, + nhóm giao hoán (2) R, nửa nhóm (3) Phép nhân phân phối phép cộng, với phần tử tùy ý 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥 Nếu phép nhân 𝑅 giao hoán ta gọi 𝑅 vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi 𝑅 vành có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 Một phận 𝐴 khác rỗng vành 𝑅 với hai phép toán vành 𝑅 cảm sinh 𝐴 thành vành ta nói 𝐴 vành vành 𝑅 Định nghĩa 1.1.3 Cho 𝑅 vành, vành 𝐴 𝑅 gọi iđêan trái (hoặc iđêan phải) vành 𝑅 thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅 Vành 𝐴 𝑅 gọi iđêan vành 𝑅 𝐴 vừa iđêan trái vừa iđêan phải vành 𝑅 Định lý 1.1.4 Giả sử 𝐴 iđêan vành (𝑅, +, ) nhóm thương (𝑅�𝐴 , +) ta định nghĩa phép toán nhân sau: (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴 Khi (𝑅�𝐴 , +, ) vành, gọi vành thương 𝑅 𝐴 Định nghĩa 1.1.5 Một phần tử 𝑎 vành 𝑅 lũy linh tồn 𝑛 cho a n = Định nghĩa 1.1.6 Một iđêan phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 gọi nil 𝐴 chứa phần tử lũy linh; 𝐴 gọi lũy linh 𝐴𝑛 = với 𝑛 số tự nhiên Định nghĩa 1.1.7 Cho 𝑅 vành có đơn vị Nếu phần tử khác 𝑅 khả nghịch 𝑅 gọi vành chia (hay thể) Định nghĩa 1.1.8 Vành 𝑅 đơn 𝑅 ≠ 𝑅 có hai iđêan (0) 𝑅 Định nghĩa 1.1.9 Vành 𝑅 gọi Artin phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối tiểu Định nghĩa 1.1.10 Vành 𝑅 gọi Noether phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.11 Vành 𝑅 gọi vành nguyên tố 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 = 𝑏 = Định nghĩa 1.1.12 Vành 𝑅 gọi nửa nguyên tố iđêan lũy linh khác không Định nghĩa 1.1.13 Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ gọi đồng cấu vành 𝑓 bảo toàn phép toán, nghĩa là: 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 gọi tự đồng cấu 𝑅 Một đồng cấu đồng thời đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′ 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho 𝑅 vành tùy ý 𝑀 nhóm cộng aben 𝑀 gọi 𝑅 – môđun phải có ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀, cho ∀𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì: (𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟 (1) m(a + b) = ma + mb (2) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a (3) (ma)b = m(ab) Định nghĩa 1.2.2 𝑀 𝑅 – môđun tập 𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0} gọi tập linh hóa M R Định nghĩa 1.2.3 𝑀 gọi 𝑅 – môđun trung thành 𝑀𝑟 = (0) 𝑟 = Như 𝑀 𝑅 – môđun trung thành 𝐴(𝑀) = {0} Mệnh đề 1.2.4 𝐴(𝑀) iđêan hai phía 𝑅, 𝑀 𝑅/𝐴(𝑀) – môđun trung thành Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất tự đồng cấu nhóm cộng M Khi đó, 𝐸(𝑀) lập thành vành với phép cộng phép nhân ánh xạ thông thường Với a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M cho mTa= ma, ∀m ∈ M Mệnh đề 1.2.5 𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với vành vành 𝐸(𝑀) Đặc biệt 𝑀 𝑅 – môđun trung thành 𝐴(𝑀) = {0} 𝑅 xem vành vành 𝐸(𝑀) Bây ta xét phần tử E ( M ) mà giao hoán với tất Ta Định nghĩa 1.2.6 Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎 𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅} Khi 𝐶(𝑀) vành vành 𝐸(𝑀), vành tự đồng cấu môđun 𝑀 Khi 𝐶(𝑀) vành vành 𝐸(𝑀), vành tự đồng cấu môđun 𝑀 Định nghĩa 1.2.7 Cho 𝑅 – môđun 𝑀 tập ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀, 𝑁 gọi môđun 𝑀 nếu: 1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁 2) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁 Định nghĩa 1.2.8 𝑀 gọi môđun đơn (hay môđun bất khả quy) 𝑀𝑅 ≠ 𝑀 có hai môđun (0) 𝑀 Định nghĩa 1.2.9 Một vành 𝑅 gọi nửa đơn 𝑅 R - môđun đơn Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur) Nếu 𝑀 môđun đơn 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) vành chia Định nghĩa 1.2.11 quy Vành 𝑅 gọi vành nguyên thủy 𝑅 có môđun trung thành bất khả Định nghĩa 1.2.12 đơn Môđun 𝑀 gọi nửa đơn tổng trực tiếp hữu hạn môđun Định nghĩa 1.3.13 𝑀 gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) dãy tăng môđun 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn 𝑛 cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi 𝑀 gọi môđun Noether Môđun 𝑀 gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) dãy giảm môđun 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn 𝑛 cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi 𝑀 gọi môđun Artin Mệnh đề 1.2.14 Nếu 𝑁 môđun 𝑅 – môđun 𝑀 tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng