BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thành Thị Phương Bối VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thành Thị Phương Bối VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa ToánTin thuộc trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy, truyền đạt kiến thức quý báu giúp đỡ suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình đào tạo trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn khóa anh chị khóa nhiệt tình giúp đỡ động viên suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tạo điều kiện, hỗ trợ cho tinh thần lẫn vật chất để yên tâm hoàn thành khóa học Bản thân cố gắng học tập, tìm hiểu hoàn thành luận văn tâm huyết lực luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì thế, mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh TP.HCM, Tháng 09 năm 2013 Tác giả Thành Thị Phương Bối MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn MỤC LỤC T 0T BẢNG KÍ HIỆU T 0T PHẦN MỞ ĐẦU T 0T Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO T HOÁN 16 0T 2.1 Định lý 16 T 0T 0T 0T 2.2 Định lý R.E Johnson 21 T 0T 0T T 2.3 Định lý 22 T 0T 0T 0T 2.4 Định lý 25 T 0T 0T 0T 2.5 Định lý Albert, Neumann, Fuchs 26 T 0T 0T T 2.6 Định lý 28 T 0T 0T 0T 2.7 Các ví dụ vành không giao hoán thứ tự 31 T 0T 0T T KẾT LUẬN 35 T 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 T 0T BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Đọc charR Đặc số vành R MR M R − module phải R M M R − module trái R MR M song module J ( R) Căn Jacobson vành R P Thứ tự vành R [ x] Vành đa thức biến x có hệ số thực T Tiền thứ tự vành R T Cái bao đóng chia T PHẦN MỞ ĐẦU Vành số nguyên có cấu trúc thứ tự tự nhiên định nghĩa với hai phép toán cộng nhân Cụ thể: ∀a, b, c ∈ , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c , < a,0 < b ⇒ < ab Trong , có quan hệ thứ tự: < −2 < −1 < < < < Nếu tiên đề hóa tính chất trên, đến khái niệm vành thứ tự Tuy nhiên vành R đưa vào quan hệ thứ tự để trở thành vành thứ tự Điều phức tạp lớp vành không giao hoán Trong trường hợp R trường Artin Schreier rằng: trường R trường thứ tự R “số thực hình thức”, −1 không tổng bình phương R Vậy với điều kiện vành R thứ tự vành không giao hoán thứ tự có đặc trưng nào? Luận văn tìm hiểu làm rõ vấn đề 4 Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức kết có liên quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ tự, trường thứ tự 1.1 Định nghĩa vành Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hoán ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.2 Định nghĩa vành Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A lập thành vành ta nói A vành vành R 1.3 Định lý Cho A tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: 1.4 i) A vành R ; ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, − x ∈ A; iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A xy ∈ A Định nghĩa ideal vành Cho R vành, vành I R gọi ideal trái (ideal phải) vành R thỏa mãn điều kiện: rx ∈ I ( xr ∈ I ) , ∀x ∈ I , ∀r ∈ R Vành I R gọi ideal vành R I vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.5 Định lý Cho I tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: i) I ideal R ; ii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x + y ∈ I , − x ∈ I , rx ∈ I xr ∈ I ; iii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x − y ∈ I , rx ∈ I xr ∈ I 1.6 Định nghĩa ideal nguyên tố Một ideal I vành R gọi ideal nguyên tố I ≠ R với hai ideal M , N ⊆ R, MN ⊆ I M ⊆ I N ⊆ I 1.7 Định nghĩa ideal tối đại Một ideal I vành R gọi ideal tối đại I ≠ R M ideal thỏa I ⊂ M ⊂ R I = M M = R 1.8 Định lý − Định nghĩa Giả sử I ideal vành R Khi ta xét nhóm thương nhóm cộng Abel R I • Lớp xy + I phụ thuộc vào lớp x + I y + I mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử đại diện x, y từ lớp Và ta gọi xy + I tích hai lớp x + I y + I • R với hai phép toán: I Phép cộng: ( x + I , y + I ) x + y + I Phép nhân: ( x + I , y + I ) xy + I vành, gọi vành thương R I Nhận xét: 1) Nếu R vành giao hoán vành thương R I giao hoán 2) Nếu vành R có đơn vị e vành thương R 1.9 e+I I có đơn vị Định nghĩa đồng cấu vành Một ánh xạ f từ vành R vào vành R ' gọi đồng cấu vành f bảo toàn phép toán, nghĩa ∀x, y ∈ R f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) Một đồng cấu từ vành R vào vành R gọi tự đồng cấu R Một đồng cấu đồng thời đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ R vào R ' ta nói R đẳng cấu với R ' Kí hiệu: R ≅ R' 1.10 Các ví dụ đồng cấu vành 1) Ánh xạ đồng id R vành R tự đẳng cấu, gọi tự đẳng cấu đồng R 2) Giả sử A vành vành R Khi ánh xạ bao hàm iA : A → R định iA ( x ) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc 3) Giả sử I ideal vành R Khi ánh xạ π : R → R định I π ( x )= x + I toàn cấu, gọi toàn cấu tắc 4) Giả sử R, R ' hai vành Khi ánh xạ f : R → R ' định f ( x ) = R ' ( R ' phần tử không vành R ' ) đồng cấu, gọi đồng cấu tầm thường 5) Cho R vành có đơn vị a ∈ R khả nghịch Khi ánh xạ f : R → R , định f ( x ) = axa −1 tự đẳng cấu R 1.11 Mệnh đề Nếu f : R → R' f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ R 1.12 Mệnh đề đồng cấu vành f ( 0R ) = 0R '