Độ cong gauss trên đa tạp remann

lời nói đầu Đa tạp Rimann là một trong những khái niệm quan trọng của Hình học vi phân. Khi nói tới độ cong Gauss của đa tạp Rimann ngời ta thờng xét tới dạng liên kết, sự bất biến của độ cong Gauss qua vi phân đẳng cự. Mục đích của khoá luận là hệ thống lại và bổ sung thêm một số tính chất độ cong Gauss của đa tạp Rimann hai chiều. Khoá luận đợc trình bày trong 4 mục. Đ1: ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3 Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết: Khái niệm ánh xạ Waigarten, một số mệnh dề các công thức tính độ cong Gauss (có ví dụ minh hoạ). Đ2.Một số tính chất của độ cong Gauss. Trong mục này chúng tôi chủ yếu trình bày một số tính chất của độ cong Gauss trong E 3 . Các kết quả chính của Đ2 là: Mệnh đề 2.1 Định lý 2.2 Mệnh đề 2.3 Mệnh đề 2.4 Đ 3. Đa tạp Rimann hai chiều Trong mục này, chúng tôi đã đa ra một số khái niệm về đa tạp Rimann và các định nghĩa liên quan. Đ4.Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Rimann hai chiều Trong mục này chúng tôi đã đa ra một số định lý, mệnh đề về dạng liên kết sau đó đa ra định nghĩa độ cong Gauss (có ví dụ minh hoạ) Nội dung của 4 mục khoá luận này liên quan với nhau khá chặt chẽ, nội dung phần trớc là cơ sở cho nội dung phần sau. 1 Khóa luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng đại học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, đồng thời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tôi trong suốt khoá học. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chắc chắn khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5 năm 2005 Sinh viên: Nguyễn Thị Hảo 2 Đ1. ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3 1. Định nghĩa đa tạp định hớng. Đa tạp hai chiều S đợc gọi là định hớng nếu mỗi không gian tiếp xúc TpS ta đa vào một hớng xác định bởi điều kiện sau: Tồn tại họ tham số hoá địa phơng r: U r(U) của S Sao cho ánh xạ tiếp xúc của r biến hớng chính tắc trên miền U R 2 thành hớng trên không gian tiếp xúc tại mỗi điểm của r(U). 1.2. Định nghĩa ánh xạ Waigarten. Cho S là đa tạp hai chiều định hớng với n là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị trên S (xác định hớng của S) mà trong tham số địa phơng. r: U S của S với hớng của không gian tại r(u, v) là xác định bởi {r' u , r' v } ta có nor = ' ' ' ' u v u v r r r r Với T p S ta xét đạo hàm của trờng pháp tuyến đơn vị D n ta có n.n = 1 D nn = 0 D n n D n T p S Xét ánh xạ h p : T p S T p S a h p () = - D n h p đợc gọi là ánh xạ Waigarten của S tại điểm P. 1.3. Mệnh đề: h p là ánh xạ tuyến tính đối xứng Chứng minh. Thật vậy tính tuyến tính của ánh xạ h p suy từ phép toán đạo hàm của tr- ờng véc tơ theo một véctơ tiếp xúc. h p ( + ) = - ( ) D n + = - (D n + D n) = h p () + h p () h p () = D n = - D n = h p () 3 . h p có tính đối xứng tức là h p (). = h p (), với mọi , T p S Trong tham số hoá địa phơng r, p = r(u,v) và T p S có cơ sở là {R u (r(u,v)), R v (r(u,v))} = {r' u (u,v), r' v (u,v)} Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , , , u p u r u v n r h R r u v D n u v u = = uuuuuv uuuuuuuuuuuuuuuuv r h p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' , . ' , , . o u v v o vu n r R p R P u v r u v n r u v r u = = uuuuuuv uuv uuv uuuv (1.1) Tơng tự ta có h p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' , . ' , , . o v u u o uv n r R p R P u v r u v n r u v r v = = uuuuuuv uuv uuv uuuv (1.2) Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra: h p ( ) ( ) ( ) u v R p R P = h p ( ) ( ) ( ) v u R p R P h p () = h p , T p S 1.4. Độ cong chính, phơng chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss của đa tạp. Cho da tạp hai chiều S có hớng trong E 3 , h p : T p S T p S h p là tự đồng cấu tuyến tính trong không gian véctơ Ơclit haichiều T p S nên có các giá trị riêng là thực. . Các giá trị riêng của h p gọi là độ cong chính của S tại P. . Mỗi véctơ riêng của h p gọi là phơng chính của S tại P . 1/2 vết của tự đồng cấu tuyến tính h p gọi là độcong trung bình của S tại P: ký hiệu H(p) . Định thức của tự đồng cấu tuyến tính h p gọi là độ cong Gauss của S tại P: ký hiệu K(p). 4 1.5. Nhận xét. Vì h p là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng trong không gian Ơclit hai chiều T p S nên có 2 giá trị riêng thực phân biệt hoặc có một giá trị riêng (thực) trùng nhau. - Nếu h p có hai giá trị riêng thực phân biệt k 1 k 2 thì h p có hai phơng chính (các véctơ riêng của h p ) vuông góc với nhau. Giả sử {e 1 , e 2 } là cơ sở của T p S , hai véctơ riêng ứng với hai giá trị riêng k 1, k 2 . Ta có ( ) 1 1 1 2 2 2 ( ) p p h e k e h e k e = = Ma trận của h p đối với cơ sở {e 1 , e 2 ) là 2 1 0 0 k k ữ H (p) = ( ) 1 2 1 2 k k+ K (p) = k 1 . k 2 - Nếu h p có hai giá trị riêng (thực) trùng nhau k 1 = k 2 = k thì mọi véctơ của T p S đều là véctơ riêng (phơng chính) Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn {e 1 , e 2 } của T p S ta có ( ) 1 1 1 2 2 2 ( ) p p h e k e h e k e = = Với k 1 = k 2 = k K(p) = k 2 H(p) = k . Trong trờng hợp này điểm p đợc gọi là điểm rốn . Khi k 1 = k 2 = 0 thì điểm p đợc gọi là điểm dẹt k 1 = k 2 0 thì điểm p đợc gọi là điểm cầu - Nếu (p) > o thì điểm p đợc gọi là điểm elíptic - Nếu (p) = o thì điểm p đợc gọi là điểm parabolic - Nếu (p) < o thì điểm p đợc gọi là điểm Hypebôlic 5 1.6 Chú ý: Khi đổi hớng của S bằng cách xét - n thay cho n thì h p đổi thành - h p nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi (Do đó định nghĩa đợc độ cong Gauss cho mặt S. Khi S cha có hớng hay cả khi S không xác định đợc ) 1.7. Các ví dụ: a. Xét S là mặt phẳng, n là trờng véctơ song song. P S thì h p là đồng cấu không (tức h p () = 0 T p S) k 1 = k 2 = H(p) = K(p) = 0 p S đều là điểm dẹt b. Xét S là mặt cầu tầm 0 bán kính R. Với n là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị có hớng ra ngoài của S Tính H(p); K(p) Ta có h p : T p S T p S a h p () = - D n =- (no)' (t 0 ) Trong đó : J S. t a (t) sao cho '(t 0 ) = (t 0 ) = p Ta có - D n uuuuv = - (no)' (t 0 ) = - ( ) ( ) 'O t R (t 0 ) = - ( ) ( ) 0 1 1 ' t R R = uuuuuuv r h p () = - R r T p S Chứng tỏ rằng các giá trị riêng của nó là k 1 = k 2 = - 1 R là độ cong chính và H(p) = - 1 R K(p) = 2 1 R > 0 điểm p gọi là điểm elíptic. 1.8. Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều định hớng S trong E 3 6 S là đa tạp hai chiều trong E 3 , T p S T p E 3 (không gian véctơ Ơclit với tích vô hớng cảm sinh từ tích vô hớng trên E 3 ) với mỗi điểm p S xét hai ánh xạ. I p : T p S x T p S R (, ) a I p (, ) = Ta thấy I p là tích vô phân hớng trên T p S và tích vô hớng này đợc gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p. II p : T p S x T p S R (, ) a II p (, ) = h p () trong đó h p : T p S T p S là ánh xạ Waigarten. Ta thấy II p là tích vô phân hớng trên T p S và tích vô hớng này đợc gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại p. I p , II p là những dạng song tuyến tính đối xứng trên T p S 1.9. Các hệ số của dạng I, và II. Công thức tính các hệ số đó. Gọi r: U S (u,v) a r(u,v) là tham số hoá địa phơng của S và P = r(u,v). Trên T p S xét cơ sở {r' u (u,v); r' v (u,v)} Xét 6 hàm số E, F, G, L, M, N, xác định trên U nh sau. E(p) = I p ( r r ' u (u,v); r r ' u (u,v)) = ( r r ' u (u,v); r r ' u (u,v)) F(p) = I p ( r r ' u (u,v); r r ' v (u,v)) = ( r r ' u (u,v); r r ' v (u,v)) G(p) = I p ( r r ' v (u,v); r r ' v (u,v)) = ( r r ' v (u,v); r r ' v (u,v)) E(p), E(p), G(p) đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của S tại điểm p trong tham số hoá địa phơng r. L(p) = II p ( r r ' u (u,v); r r ' u (u,v)) = ( r r ' u (u,v); r r ' u (u,v)) M(p) = II p ( r r ' u (u,v); r r ' v (u,v)) = ( r r ' u (u,v); r r ' v (u,v)) N(p) = II p ( r r ' v (u,v); r r ' v (u,v)) = ( r r ' v (u,v); r r ' v (u,v)) L(p), M(p), N(p) đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của S tại điểm p trong tham số hoá địa phơng r. 7 Trong đó. L(p) = II p ( r r ' u (u,v); r r ' u (u,v)) =h p ( r r ' u ). r r ' u = ( ) ( ) ( ) , o n r u v uuuv . r'' uu (u,v) M(p) = II p ( r r ' u (u,v); r r ' v (u,v)) = h p ( r r ' u ). r r ' v = ( ) ( ) ( ) , o n r u v uuuv . r'' uv (u,v) N(p) = II p ( r r ' v (u,v); r r ' v (u,v)) = h p ( r r ' v ). r r ' v = ( ) ( ) ( ) , o n r u v uuuv . r'' vv (u,v) Ta có ( ) ( ) , o n r u v uuuv = ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' , ' , ' , u v u v r u v r u v r u v r u v Vì r r ' u, r r ' v là các véctơ độc lập tuyến tính nên r r ' u r r ' v 0 r ( ) ( ) 2 ' , ' , u v r u v r u v > 0 mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' , ' , ' , ' , ' , ' , u v u v u v r u v r u v r u v r u v r u v r u v = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' , ' , ' , ' , ' , ' , ' , u u u v v u v v r u v r u v r u v r u v r u v r u v r u v r u v ( ) ( ) ( ) o 2 ' ' n , , u v r r r u v u v EG F = r r uuuv Vậy L (u,v) = ( ) ( ) 2 ' ' '' , u v uu r r r u v EG F r r M (u,v) = ( ) ( ) ' '' 2 ' , u v uv r r r u v EG F r r r N (u,v) = ( ) ( ) ' '' 2 ' , u v vv r r r u v EG F r r r 1.10. Công thức tính độ cong Gauss Ta ký hiệu. 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , , , E u v F u v EG F u v F u v G u v = = h p : T p S T p S Giả sử {, } là cơ sở của không gian T p S và h p () = a + b h p () = c + d Khi đó K (p) = ad - cb Xét h p () h p () = (a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd = (ad - bc) = K(p) h p () h p () ( ) = K(p) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p h h K p h h = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , II II I I K p II II I I = ( ) ( ) ( ) , , L M E F u v K p u v M N F G = K(p) = ( ) 2 2 , LN M u v EG F là công thức tính độ cong Gauss Trong đó r: (u,v) r(u,v) của S là tham số hoá địa phơng. Lấy P = r(u,v). Chọn { = ( ) ' , u r u v r , = ( ) ' , v r u v r } là cơ sở của T p S 1.11. Một số ví dụ 1. Tính độ cong Gauss của mặt cầu xác định vởi tham số hoá địa phơng r: U E 3 (u,v) a r(u,v) = (acosu cosv, asinucosv, acosv) Ta có. ( ) ( ) ' , sin cos , cos sin ,0 u r u v a u v a u v= 9 ( ) ( ) ' , cos sin , sin sin , cos v r u v a u v a u v a v= − − ( ) ( ) '' , cos cos , sin cos ,0 uu r u v a u v a u v= − − ( ) ( ) '' , sin sin , cos sin ,0 uv r u v a u v a u v= − ( ) ( ) '' , cos cos , sin cos , sin vv r u v a u v a u v a v= − Ta cã c¸c hÖ sè d¹ng I ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 , , , cos u u E u v r u v r u v a u= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 ' ' 2 , , , 2 sin cos sin cos , , , u u u u F u v r u v r u v a u v v u G u v r u v r u v a = = − = = XÐt EG - F 2 = a 4 cos 2 v ⇒ 2 2 cosEG F a v− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 3 2 2 2 2 ' ' '' 3 3 ' ' '' ' ' '' 3 , , cos , cos sin , cos sin , , , cos , , , 0 , , , cos u v u v uu u v uv u v vv r u v r u v a u a v v a v u r u v r u v r u v a v r u v r u v r u v r u v r u v r u v a v ∧ = ∧ = − ∧ = ∧ =− Ta cã c¸c hÖ sè d¹ng II L(u,v) = ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' '' 3 3 2 2 2 , , , cos cos cos u v uu r u v r u v r u v a v a v a v EG F ∧ =− = − − M(u,v) = ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' '' 2 , , , 0 u v uu r u v r u v r u v EG F ∧ = − N(u,v) = ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' '' 2 , , , u v uu r u v r u v r u v a EG F ∧ = − − VËy ®é cong Gauss lµ K(p) = 2 2 2 2 4 2 2 cos 1 cos LN M a v EG F a v a − = = − 10 . R P h p () = h p , T p S 1.4. Độ cong chính, phơng chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss của đa tạp. Cho da tạp hai chiều S có hớng trong E 3 ,. tính độ cong Gauss (có ví dụ minh hoạ). Đ2.Một số tính chất của độ cong Gauss. Trong mục này chúng tôi chủ yếu trình bày một số tính chất của độ cong Gauss