Đa tạp m chiều (khả vi lớp CK, K ≥ 0) là tập M (mỗi phần tử của nó là một điểm) cùng một họ những đơn ánh ri : Ui → Μ (i ∈ tập chỉ số I) , Ui là một tập mở trong Rm, sao cho
1. Nếu ri: Ui → M
rj: Uj → M thuộc họ đó mà V = ri(Ui) ∩rj(Uj) ≠ Φ thì tập ri−1(V) là mở trong Ui, r Vj−1( ) là mở trong Uj và ánh xạ.
1i i r− , ri r Vi−1( ) ; r Vi−1( ) → 1 i r− (V) là một ánh xạ khả vi lớp CK (khi k = 0 có nghĩa ánh xạ liên tục). 2. Họ các ri(Ui) phủ toàn bộ M tức là i( )i i I M r U ∈ =U
3. Nếu gọi mỗi tập con V của M mà r Vi−1( ) mở trong Vi, ∀i ∈ I là tập mở (trong M) thì cho hai điểm tùy ý p, q ∈ M, p≠ q có các tập mở (trong M) V, W sao cho p ∈ V, q ∈ W và V ∩ W = Φ.
4. Họ các đơn ánh đó là tối đại, tức nếu có đơn ánh r : U → M, U là tập mở trong Rm, mà ∀i ∈ I khi ri(Ui) ∩ r(U) ≠ Φ, r ri−1 , r ri−1 là khả vi lớp Ck thì r thuộc họ đó.
3.2. Định nghĩa
a. Cho M là một đa tạp nhẵn m chiều trong R3 một cấu trúc Rimann trên M ký hiệu <,> là việc đặt ứng với mỗi điểm p ∈ M một tích vô hớng trên TpM (α, β) a (α, β) sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi (nghĩa là với hai trờng véc tơ X, Y khả vi bất kỳ trên M, hàm số
p → X p Y p( ), ( ) p khả vi) tơng ứng nói trên đợc gọi là Mêtric Rimann ký hiệu
<,> đa tạp hai chiều M cùng với cấu trúc Mêtric Rimann đó đợc gọi là một đa tạp Rimann hai chiều ký hiệu là(M,<,>).
Ví dụ 1: M = R2 với tích vô hớng X Y, p= X p Y pr( ), ( )r là một đa tạp Riman hai chiều.
Thật vậy, X p Y pr( ), ( )r là tích vô hớng trong R2, R2 là đa tạp hai chiều. Giả sử X = f1E1 + f2E2; Y = g1E1 + g2E2
Vì X, Y khả vi nên f1, f2, g1, g2 khả vi
Ta có X Y, ( )p = f1(p)g1(p) + f2(p)g2(p) (vì E1E1 = E2E2 = 1; E1E2 = E2E1 =
0)
Ví dụ 2: Giả sử H là “nửa trên” của mặt R2 H = {(x, y) \ x, y ∈ R, y > 0}
H là một đa tạp hai chiều. Tại mỗi một p ∈ H có không gian tiếp xúc TpH. Trên TpH có một tích vô hớng cảm sinh bởi tích vô hớng trong Er2. Ta thấy tích vô hớng nói trên phụ thuộc vào p một cách khả vi, vì vậy có một Mêtric, gọi là Mêtric chính tắc. Mêtric chính tắc nói trên đợc ký hiệu là can. Khi đó (H, can) trở thành một đa tạp Rimann hai chiều.
Tại mỗi một p = (x, y) ∈ H, ta định nghĩa một tích vô hớng <,>p của TpH nh sau:
<,>(p) = 12 can
y . Khi đó tích vô hớng<,> p phụ thuộc khả vi theo p. Do
đó ta có một Mêtric Riman <,> trên H, còn (H,<,>) là một đa tạp Riman hai chiều. Đa tạp Rimann hai chiều này đợc gọi là nửa phẳng poicare.