4.4.1. Định nghĩa.
Trên đa tạp Rimann haichiều (M, <,> )lấy trờng mục tiêu trực chuẩn bất kỳ {U1, U2}. Gọi {θ1, θ2} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2} và ω21 là dạng liên kết của M trong {U1, U2}. Tồn tại hàm số nhẵn
p a k(p) Thoả mãn d 1
2
ω = K θ1∧θ2 khi đó k đợc gọi là độ cong Gauss của M, giá trị K (p) (p ∈ M) đợc gọi là độ cong Gauss tại điểm p.
4.4.2. Nhận xét.
Độ cong Gauss của đa tạp tạp Rimann hai chiều xác định duy nhất.
4.4.3. Mệnh đề.
f là một ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Rimann hai chiều , f: (M,<,>) → (M%, <,>) thì f bảo tồn độ cong Gauss tức là: K(p) = K%(f(p)), ∀ p ∈ M
Chứng minh.
Gọi K và K%lần lợt là độ cong Gauss của M và M%
Gọi {θ1, θ2} là trờng đối mục tiêu của trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2}bất kỳ trên M và 1
2
ω là dạng liên kết của M trong {U1, U2}lúc đó ta có. d ω12 = Kθ1∧θ2 (4.7) Trên M%chọn trờng mục tiêu trực chuẩn {E1 = f* U1, E2 = f* U2}. Gọi {θ1, θ2} là trờng đối mục tiêu của {E1, E2} và ω%12 là dạng liên kết của M%trong {E1, E2}. Khi đó ta có: d 1 2 ω%= K%θ θ% %1∧ 2 Từ các tính chất của dạng vi phân ta có f* (dω%12 ) = f* (K%θ θ% %1∧ 2)= f* ( )K%θ%1 ∧ f* 2θ%= f*( )K f% * 1θ%∧ f* 2θ% Từ đó ta thu đợc f* (d 1 2
ω%) =( )Kof f% * 1θ%∧ f* 2θ% cho nên d (f* 1
2
Mặt khác ta có f*θ θ%i= i, i=1,2 (Trờng đối mục tiêu của một trờng mục tiêu trực chuẩn bất biến qua vi phôi đẳng cự) và theo mệnh đề 4.3 ta có f* 1
2ω% = ω% = 1 2 ω Thay vào (4.8) ta đợc d 1 2 ω =Kof% θ1 ∧θ2 (4.9) Từ (4.7) và (4.9) kết hợp với tính duy nhất của độcong Gauss ta suy ra mệnh đề đợc chứng minh
4.4.3. Mệnh đề.
M là một đa tạp hai chiều trong E3 với cấu trúc Rimann cảm sinh từ tích vô hớng trong E3 thì độ cong Gauss trong đa tạp Rimann hai chiều trùng với độ cong Gauss nói trong E3.
Chứng minh.
Trên tập mở V ⊂ S lấy một trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2}. Gọi {θ1,
θ2} là trờng đối mục tiêu của trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} thì dạng liên kết ω21= − ω12 của mặt S trong E3 và dạng liên kết của đa tạp Rimann (M, <,>) đều cùng thoả mãn
dθ1 = − ∧ω θ12 2
dθ2 = −ω12 ∧θ1 (với ω12 = −ω12) nên theo định lý 4.1. chúng trùng nhau
Phơng trình Gauss của S: dω21 =Kθ θ1∧ 2 mà ta đã nêu ở Đ1 chứng tỏ độ cong Gauss K của S trong E3 trùng với độ cong Gauss của đa tạp Rimann (S, can)
Ví dụ:
Tính độ cong Gauss của mặt cầu xác định bởi tham số hoá địa phơng r: U → E3
(u,v) a r(u,v) =(a cosu cosv, asinucosv, acosv) Ta có
12 2 ω = - sinv du θ1 = acosv du θ2 = adv 2 3 ω = dv ω31 = cosvdu Do đó dω =12 -ω ω31∧ 23=cosvdu dv∧ Mặt khác d 1 2 ω = K θ1∧θ2 = K acosv du ∧ adv = K a2cosv du ∧ dv
Vậy K a2cosv du ∧ dv = cosvdu dv∧ ⇒ K = 12
kết luận
Nhìn lại một cách tổng thể khoá luận, chúng tôi thấy khoá luận đã đạt đ- ợc kết quả sau:
. Đa ta đợc khái niệm ánh xạ waigarten và định nghĩa độ cong Gauss thông qua ánh xạ waigarten.
. Xây dựng đợc công thức tính độ cong trung bình và độ cong Gauss của mặt trong E3.
. Trình bày đợc một số tính chất của độ cong Gauss. . Chứng minh đợc ánh xạ đẳng cự bảo tồn độ cong Gauss
. Trình bày đợc mối liên hệ giữa độ cong Gauss và độ cong trung bình của mạch S với độ cong Gauss của mặt song song S* tơng ứng.
. Đa ra đợc các khái niệm đa tạp Rimann hai chiều.
. Định nghĩa độ cong Gauss trong đa tạp Rimann hai chiều thông qua dạng liên kết .
. Chứng minh độ cong Gauss trong E3 tơng đơng với độ cong Gauss trong đa tạp Rimann hai chiều.
Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân , Nxb Giáo dục, Hà Nội
[2] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trờng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập Hình học vi phân, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm tập 1, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[4] Nguyễn Thúc Hào (1968), Hình học vi phân tập 2, Nxb Giáo dục, Hà Nội
mục lục
Trang
Lời nói đầu 1
Đ1. ánh xạ waigarten của mặt trong E3 3
Đ2. Một số tính chất của độ cong GAUSS 13
Đ3. Đa tạp Rimann 25
Đ4. Dạng liên kết và độ cong GAUSS của đa tạp Rimann hai chiều 28
Kết luận 34