Mặt của đa diện trong không gian ơclít n chiều

mục lục Trang mở đầu 2 Đ1.Một số khái niệm cơ bản .4 Đ2.Đa diện .15 Đ3.Mặt của đa diện .19 kết luận .30 Tài liệu tham khảo .31 1 Mở đầu Giải tích lồi là một ngành toán học đợc bắt đầu xây dựng cách đây khá lâu, hiện nay hầu nh đã đợc xem là ngành toán học cổ điển. Nó đợc đúc kết từ những tinh hoa của các ngành toán học riêng rẽ khác và trở thành tiền đề để phát triển và nghiên cứu những ngành toán học hiện đại ngày nay. Chúng ta biết rằng một tập hợp cộng với một cấu trúc sẽ trở thành một không gian. Với một tập hợp trong không gian đó ta trang bị cho chúng các đặc tr- ng riêng thì tơng ứng với các tập hợp đó sẽ trở thành những tập hợp khác nhau với tên gọi và tính chất khác nhau. Vấn đề đặt ra là trên không gian ơclit n- chiều thì ngoài những tập hợp thông thờng nh chúng ta đã biết còn có những tập hợp nào khác nữa và tơng quan giữa chúng nh thế nào, việc mô tả các đặc trng của các tập đó trong không gian ra sao? Vì lí do đó tác giả chọn đề tài Mặt của đa diện trong không gian ơclit n- chiều nhằm mô tả các đặc trng của đa diện trong không gian ơclit và đợc bố cục thành ba mục: Đ1. Một số khái niệm cơ bản Mục này giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản dùng cho các phần sau. Đ2. Đa diện Trong mục này chúng tôi đã nêu ra định nghĩa đa diện trong không gian E n và một số mệnh đề quan trọng để từ đó nêu lên các đặc trng cơ bản của đa diện. Đ3. Mặt của đa diện Nội dung chủ yếu của mục này là nghiên cứu một vài tính chất về mặt của đa diện trên cơ sở là tập lồi và các tính chất của đa diện đã nêu ở phần Đ2. Khoá luận đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của TS. Tạ Khắc C. Nhân đây, tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy 2 giáo TS. Tạ Khắc C và các thầy giáo khác trong tổ giải tích đã tận tình hớng dẫn và giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khoá luận này. Do năng lực và phơng pháp nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên sự trình bày và nội dung của khoá luận còn nhiều khiếm khuyết. Rất mong nhận đợc sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 04 năm 2004 Sinh viên: Cao Thị Thoa. 3 Đ1. Một số khái niệm cơ bản Phần này giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản dùng cho các phần sau. Giả sử ( ) n n Rxxxx = , ,, 21 ; ( ) n n Ryyyy = , ,, 21 ; R , . Các phép cộng vectơ và nhân vô hớng: ( ) n nn Ryxyxyxyx +++=+ , ,, 2211 . = x ( ) n n Rxxx , .,, 21 . sẽ biến n R thành một không gian tuyến tính. Trong n R , ta trang bị tích vô hớng = = n i ii Ryxyx 1 , . Khi đó n R là một không gian ơclit. Khi nói về không gian tuyến tính n R với tích vô hớng đợc cho nh trên, ta gọi đó là không gian ơclit n-chiều và kí hiệu n E . 1.1. Định lý . n Ezyx ,, và R , ta có 0, = yx nếu và chỉ nếu = x , ( )0, ,0,0( = là véctơ không của n E ). xyyx ,, = . ( ) yxyx ,,. = . 1.2. Định nghĩa . Nếu 0, = yx , thì x và y đợc gọi là trực giao với nhau. 1.3. Định nghĩa . Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K ( R , C ) và . xx RE .: Hàm đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn 0,,0 = xExx khi và chỉ khi x= . xx = , ExK , . yxyx ++ , Eyx , . Không gian tuyến tính n E cùng với chuẩn nói trên đợc gọi là không gian định chuẩn. Đợc kí hiệu là ( ) .,E hay E . 4 Trong n R ta đặt = = n i i xx 1 2 và gọi x là chuẩn của x. Chuẩn của một vectơ x còn đợc cho bởi 2 1 , xxx = . Nếu x =1, thì x đợc gọi là vectơ đơn vị. 1.4. Định nghĩa. Nếu n Eyx , , thì khoảng cách từ x tới y kí hiệu là ( ) yxd , đợc cho bởi ( ) yxyxd = , ; Nếu dùng thuật ngữ tích vô hớng ta có ( ) 2 1 ,, yxyxyxd = ; Đại lợng này còn có thể viết dới dạng toạ độ ( ) ( ) 2 1 1 2 , = = n i ii yxyxd với ( ) n n Exxxx = , ,, 21 ; ( ) n n Eyyyy = , ,, 21 . 1.5. Định lý. Với mọi n Eyx , , và với mọi R , ta có: ( ) 0, = yxd nếu và chỉ nếu yx = . ( ) ( ) xydyxd ,, = . ( ) ( ) ( ) yzdzxdyxd ,,, + . ( ) ( ) yxdyxd ,.,. = . ( ) ( ) yxdzyzxd ,, =++ . 1.6. Hình cầu mở. Với mọi n Ex và 0 > , ta gọi hình cầu mở tâm x bán kính là tập hợp ( ) ( ) { } <= yxdEyxB n ,:, . Với mọi n Ex và 0 > , ta gọi hình cầu đóng tâm x bán kính là tập hợp [ ] ( ) { } = yxdEyxB n ,:, . 1.7. Định nghĩa. Giả sử S là tập con bất kì của n E , Sx . Điểm x đợc gọi là điểm trong của tập S nếu tồn tại một 0 > sao cho : ( ) SxB , . 1.8. Định nghĩa. Giả sử S là một tập bất kì của n E . 5 Tập n ES gọi là tập mở nếu mỗi điểm của nó là điểm trong của S . Hợp tất cả các tập mở đợc chứa trong S gọi là phần trong của S . Kí hiệu là int S hoặc 0 S . 1.9. Mệnh đề. Phần trong của S là tập mở lớn nhất đợc chứa trong S . 1.10. Mệnh đề. Kí hiệu U là họ tất cả các tập con mở của không gian metric ( ) dX , . Khi đó U có các tính chất sau: Tập rỗng là tập mở và n E là tập mở trong chính nó. Mọi hình cầu mở trong không gian n E là tập mở. Nếu G U, , thì U G U. ( hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở) Nếu 1 G , 2 G , , n G là các tập mở, thì = n i i G 1 U. (giao của một họ hữu hạn các tập mở là tập mở) 1.11. Định nghĩa. Giả sử U là tập con bất kì của n E , n Ea , U đợc gọi là lân cận của a nếu tồn tại một tập mở V trong n E sao cho UVx . 1.12. Mệnh đề. Giả sử BA, là các tập con của n E . Khi đó ta có (i). Nếu BA thì BA intint . (ii). Nếu A mở thì với mỗi tập B ta có BA + mở. (iii). Nếu A mở thì AA int = . Chứng minh. Giả sử BA, là các tập con bất kì của n E (i). Nếu BA , ta phải chứng minh BA intint . Giả sử x là điểm bất kì thuộc Aint ta cần chứng minh x thuộc Bint . Thật vậy: Vì x A int , nên x là điểm trong của A , do đó 0 > r sao cho ( ) ArxB , . Vì BA nên ( ) BArxB , . Hay x là điểm trong của B . Vậy BA intint . 6 (ii). Giả sử Aa , Bb . Khi đó ta có BAba ++ . Vì A mở nên tồn tại lân cận U của điểm 0 để AUa + . Mặt khác Ua + là lân cận của a . Đặt V= ++ ba U suy ra BAbUa +++ . Vậy BA + mở. Ta có thể chứng minh A + B mở bằng cách khác: Giả sử a A , b B . Vì phép cộng ( ) baba + , là phép đồng phôi nên khi A mở thì A + b là mở. Và A + B = { } Bb bA + là hợp của các tập mở nên A + B là tập mở. (iii). Giả sử A mở ta phải chứng minh AA int = . Thật vậy ta đã có: int A A (1) Ta cần chứng minh AA int Giả sử x bất kì thuộc A . Vì A mở nên x là điểm trong của A tức ( ) ArxB , với 0 > r . Do đó x Aint . Vậy A Aint . (2) Từ (1) và (2) ta có nếu A mở thì AA int = . 1.13. Tôpô thông thờng Tôpô t ơng đối. Họ tất cả các tập con mở của n E đợc định nghĩa nh trên gọi là một tôpô thông thờng của n E . Nếu S là tập con không rỗng của n E , thì tôpô tơng đối trên S là họ tất cả các tập U sao cho U= S V, với V là tập mở trong n E . 1.14. Định nghĩa. Một tập S đợc gọi là đóng nếu phần bù của nó }:{\ : SxExSECS nn == là tập mở. 1.15. Định nghĩa. Giả sử S là tập con của n E , a là điểm bất kì của n E khi đó: Điểm a S đợc gọi là điểm dính của S nếu tồn tại một dãy { } Sx n sao cho ax n khi n . 7 Tập hợp tất cả các điểm dính của S đợc gọi là bao đóng của S . Kí hiệu là clS hay S ( bao đóng của S là giao của tất cả các tập đóng chứa S ). 1.16. Mệnh đề. Họ tất cả các tập con đóng của n E có các tính chất sau: x S khi và chỉ khi với mọi 0 > , tồn tại hình cầu mở ( ) ,xB chứa ít nhất một điểm của S . và n E là hai tập đóng. Nếu i G , Ii là các tập đóng, thì Ii i G là tập đóng. Nếu 1 G , 2 G , , n G là họ hữu hạn các tập đóng thì n i i G 1 = là tập đóng. 1.17. Mệnh đề. Giả sử A , B là hai tập con bất kì của n E . Khi đó: a) Nếu A B thì BA . b) A , B đóng, nhng A + B có thể không đóng hoặc không mở. Chứng minh. Giả sử A , B n E a) A B . Ta phải chứng minh BA Vì B B nên A B . Mặt khác A đóng nên A = A . Từ đó suy ra BA . b) A , B đóng nhng A + B không đóng. Thật vậy, khi ta lấy A = { } , .2,1, = mm R và =+= , .2,1, 1 m m mB R thì A , B là hai tập đóng trong R . Nhng A + B không đóng vì nếu lấy { } { } = == 2 , .}4,3,2{ n n nx và { } = += ++= 2 1 , . 3 1 3, 2 1 2 n n n ny với { } { } ByAx nn , lúc này { } = =+ 2 1 n nn n yx 8 và nn yx + = BA n + 0 1 , ( ) n . Vậy A + B không đóng. Nhng A + B có thể đóng: Vì trong R ta lấy A =[1,2] R , B =[3,4] R và A + B =[4,6] đóng trong R . 1.18. Định nghĩa. Giả sử S là tập bất kì trong không gian n E . Tập S đợc gọi là bị chặn nếu 0 > sao cho S ( ) ,OB . 1.19. ánh xạ liên tục. Một hàm mn EEf : đợc gọi là liên tục trên n E nếu )( 1 Uf là tập mở trong n E với U là tập mở trong m E . Ta có thể dễ dàng phát biểu đinh nghĩa của tính liên tục nói trên bằng nhiều cách khác nhau: Theo ngôn ngữ hình cầu mở: hàm f liên tục tại điểm x n E nếu với mỗi o > , 0 > sao cho ( )( ) ( )( ) ,, xfBxBf . Nếu f liên tục tại mọi điểm của tập A thì nó liên tục trên A . Theo ngôn ngữ dãy: hàm f liên tục trên n E nếu và chỉ nếu với mọi dãy { } nk Ex hội tụ tới điểm x n E thì dãy { } )( k xf hội tụ tới )(xf n E . 1.20. Định lý. Mỗi một trong các hàm sau đây là liên tục. a) nnn EEEf ì : đợc xác định bởi yxyxf += ),( . b) Với mọi điểm a n E cho trớc, hàm nn a EEf : đợc xác định bởi ( ) xaxf a += . c) Với mọi số cho trớc R , hàm nn EEf : đợc xác định bởi ( ) xxf = . d) Với mọi cặp điểm cho trớc x , y n E , hàm n ERf : đợc xác định bởi ( ) ( ) yxf += 1 . Chứng minh. a) Cho trớc 0> , giả sử 2 = . Nếu nn EEyx ì ),( 00 thì với mọi ( x , y ) n E ì n E với ( )( ) < ),(,, 00 yxyxd ta có: 9 ( )( ) ( ) [ ] ( ) [ ] { } 2 1 2 0 2 000 ,,),(,, yydxxdyxyxd += . Do đó < ),( 0 xxd và < ),( 0 yyd từ đó suy ra rằng: ++ ),( 00 yxyxd +++ ),( 0 yxyxd ),( 000 yxyxd ++ = + ),( 0 yyd =+),( 0 xxd . Nh vậy, nếu ( x , y ) ( ) ),,( 00 yxB thì ( ) yxf , ( ) ),,( 00 yxfB và do đó f liên tục tại ),( 00 yx . Do ),( 00 yx là một điểm tuỳ ý trong n E , nên f liên tục. b) Việc chứng minh b) đợc suy ra từ a). c) Giả sử 0> và x n E . Nếu 0 , ta lấy 1 = . Khi đó với mỗi y n E sao cho < ),( yxd ; Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) =<== yxdyxdyfxfd ,,, ; Nếu 0 = thì ( ) ( )( ) ( ) <== 0,, dyfxfd với mọi 0 > . Trong cả hai trờng hợp ta đều có )),(()),(( xfBxBf , tức là f liên tục. d) Việc chứng minh d) đợc suy ra từ a) và c). 1.21. Định nghĩa. Nếu A , B n E và R , ta định nghĩa: A + B = { } ByAxyx + ,: . { } AxxA = : . Nếu A chỉ gồm một điểm, A = { } x thì ta viết x + B thay cho viết A + B . Tập x + B đợc gọi là một dịch chuyển của B . Tập A đợc gọi là nhân vô hớng của A . Nếu 0, thì tập x + A đợc gọi là tập đồng dạng với A . 1.22. Mệnh đề. Với mọi số thực và mọi tập A , B , C n E ta có i) ( A + B )+ C = A +( B + C ). ii) ( A + B )= A + B . Chứng minh. Giả sử A , B , C là các tập con của n E . i) ( A + B )+ C = A +( B + C ). 10 . di n trong không gian E n và một số mệnh đề quan trọng để từ đó n u l n các đặc trng cơ b n của đa di n. Đ3. Mặt của đa di n N i dung chủ yếu của mục n y. giả ch n đề tài Mặt của đa di n trong không gian ơclit n- chiều nhằm mô tả các đặc trng của đa di n trong không gian ơclit và đợc bố cục thành ba mục: Đ1.