đa tạp và tính chất tôpô của đa tạp trong không gian euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Đề tài: ĐA TẠP VÀ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA ĐA TẠP TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Toán Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Lâm Quốc Anh Sinh viên thực hiện: Nguyễn Khánh Duy Lớp: Sp Toán K37 MSSV: 1110016 Cần Thơ, 2015 MỤC LỤC A- PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………4 B- PHẦN NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức sở………………………………………………………….….…7 1.2.Không gian tôpô ………………………………………………… ………… 1.3 Không gian HAUDORFF………………………………………… ……… 1.4 Ánh xạ liên tục, đồng phôi…………………………………… …………… Chương II: ĐA TẠP TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE 2.1 Đa tạp khả vi……………………………………………… ……………… 10 2.2 Tham số hóa nhúng………………………………………………… ….18 2.3 Đường cong………………………………………………………… ………18 2.4 Mặt cong………………………………………………… ………………….21 2.5 Bản đồ tập đồ………………………………………………….…… 22 2.6 Một số ví dụ………………………………………………………… ………24 Chương III: ÁNH XẠ TRƠN 3.1 Ánh xạ trơn không gian Euclide…………………………………….….32 3.2 Đa tạp trừu tượng………………………………………………………… …33 3.3 Ánh xạ trơn Đa tạp trừu tượng………………………… ………….34 3.4 Nhóm Lie……………………………………………………… ……………37 Chương IV: KHÔNG GIAN TIÊP XÚC 4.1 Định nghĩa………………………………………………………… ……… 40 4.2.Không gian tiếp xúc Đa tạp R n …………………… …………… 40 4.3.Không gian tiếp xác trừu tượng……………………………………… … ….41 4.4 Phân thớ tiếp xúc…………………………………………………………… 43 4.5 Trường vector…………………………………………………………………44 4.6 Sự định hướng……………………………………………… ………………44 4.7 Ánh xạ tiếp xúc……………………………………………………………… 48 4.8 Đa tạp R k ………………………………………………….………49 4.9 Đa tạp trừu tượng …………………………………………….……….49 C- PHẦN KẾT LUẬN ……………………………………………….……….50 D- TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………… 51 LỜI CẢM ƠN  Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học niềm vinh hạnh sinh viên, vinh hạnh em làm luận văn với hướng dẫn tận tình Thầy Lâm Quốc Anh Sau thời gian nổ lực làm việc cuối em hoàn thành luận văn Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt Thầy Lâm Quốc Anh tận tình hướng dẫn động viên em để hoàn thành đề tài luận văn Và em xin gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi khuyết điểm Mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô bạn Cuối em xin cảm ơn tất người tạo điều kiện thuận lợi để em thực luận văn cuối khóa Sinh viên thực A- PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tôpô ngành toán học nghiên cứu bất biến qua nhóm phép biến đổi liên tục Một đối tượng nghiên cứu tôpô học đa tạp Đây khái quát hóa nhiều chiều từ khái niệm đường mặt không gian Euclide 3-chiều Việc nghiên cứu đa tạp công nhận có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học cổ điển….Nhờ gợi ý Thầy Lâm Quốc Anh nên em chọn đề tài “ Đa tạp tính chất tôpô đa tạp không gian Euclide” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn tìm hiểu khái niệm đa tạp không gian Euclide R n , tính chất tôpô đa tạp giải số ví dụ điển hình Ngoài giúp em có hội củng cố lại kiến thức Hình học, Đại số, đặc biệt kiến thức tôpô giúp em làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề Toán học III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp sử dụng trình hoàn thảnh luận văn phân tích, tổng hợp, so sánh Tìm kiếm tài liệu Giải tích ta đạp Sau phân tích trình bày rõ ràng hợp lý vấn đề IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Luận văn gồm phần sau: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm định lý không gian tôpô để làm nên cho chương sau Chương II: Đa tạp không gian Euclide Chương trình bày khái niệm định lý đa tạp Các vấn đề liền quan như: Tham số hóa nhúng, Đường cong, Mặt cong, Bản đồ tập đồ Đưa dạng tập hướng dẫn cụ thể Chương III: Ánh xạ trơn Chương trình bày khái niệm ánh xạ trơn, Đa tạp trừu tượng Ứng dụng ánh xạ trơn đa tạp Giới thiệu sơ lược nhóm đại số Lie Chương IV: Không gian tiếp xúc Chương trình bày khái niệm không gian tiếp xúc đa tạp không gian Euclide đa tạp trừu tượng Giới thiệu phân thớ tiếp xúc, trường vector, định hướng đa tạp B- PHẦN NỘI DUNG Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.1 Định nghĩa Không gian mêtric cặp ( X , d ) X tập hợp, d : X  X  R hàm xác định X  X thỏa mãn điều kiện sau: 1) Với x, y  X : d ( x, y)  0; d ( x, y)   x  y (tiên đề đồng nhất) 2) Với x, y  X : d ( x, y)  0; d ( x, y)  d ( y, x) (tiên đề đối xứng) 3) Với x, y, z  X : d ( x,z)  d ( x, y)  d ( y,z) (tiên đề tam giác) Hàm d gọi mêtric X Mỗi phần tử X gọi điểm không gian X, số d(x,y) gọi khoảng cách hai điểm x y 1.1.2 Định nghĩa Giả sử M tập hợp không gian mêtric (X,d) Khi d M  d M M mêtric tập hợp M Không gian mêtric ( M , d M ) gọi không gian không gian mêtric (X,d) ta gọi d M mêtric cảm sinh mêtric d M 1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X,d) không gian mêtric x0  X r số dương Tập hợp S  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r gọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r Giả sử A tập không gian mêtric (X,d) Điểm x0 X gọi điểm tập hợp A tồn tập cầu mở S ( x0 , r )  A Tập tất điểm tập A gọi phần A Ký hiệu A0 Tập A  ( X , d ) gọi tập đóng phần bù A X (tập X\A) tập mở 1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.2.1 Định nghĩa Một không gian tôpô tập không rỗng X bị họ tập con, gọi tập mở, với tính chất sau: 1) Tập Ø X tập mở 2) Giao họ hữu hạn tập mở tập mở 3) Hợp họ tùy ý (hữu hạn hay vô hạn) tập mở tập mở 1.2.2 Định nghĩa Lân cận điểm x  X tập U  X với tính chất chứa tập mở chứa x Phần tập A, kí hiệu A , tập tất điểm x  A cho A lân cận x Nghĩa là, hợp tất tập mở A, phần A mở 1.2.3 Định nghĩa Cho tập A  X Nó gọi đóng phần bù Ac mở X Bao đóng A, kí hiệu A , tập tất điểm x  X cho lân cận chứa điểm từ A (hay lân cận có giao với A khác rỗng) biên A tập A \ A , mà chứa tất điểm có tính chất lân cận điểm có giao với A Ac 1.2.4 Định nghĩa Cho X Y hai không gian tôpô f : X  Y ánh xạ Khi đó, f gọi liên tục x  X với lân cận V f(x) Y tồn lân cận U x X cho f (U )  V , f gọi liên tục liên tục x  X 1.2.5 Định nghĩa Cho X Y hai không gian tôpô, A  X B  Y Ánh xạ f : A  B song ánh có ánh xạ ngược liên tục gọi phép đồng phôi 1.2.6 Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,  A tập X Khi họ  A  G  A G   tôpô A , gọi tôpô cảm sinh  A Không gian A với tôpô cảm sinh  A gọi không gian không gian tôpô X 1.3 KHÔNG GIAN HAUSDORFF 1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff hai điểm x,y khác X tồn lân cận U x lân cận V y cho U  V   Tính chất Giả sử A tập mở tùy ý không gian Hausdorff Khi A với tôpô cảm sinh tôpô X không gian Hausdorff 1.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC, ĐỒNG PHÔI 1.4.1 Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X, Y ánh xạ f : X  Y , đó: 1) Ánh xạ f liên tục điểm x  X lân cận mở V f ( x) Y tồn lân cận mở U x cho f (U )  V 2) Ánh xạ f liên tục X liên tục điểm thuộc X Tính chất 1) Cho f ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi f liên tục X tạo ảnh tập đóng (hoặc mở) Y tập đóng (hoặc mở) X 2) Ánh xạ hợp hai ánh xạ liên tục ánh xạ liên tục 3) Ảnh tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục tập compact (hoặc liên thông) Mệnh đề Cho không gian tôpô X thỏa X  n X i với X i tập đóng X i 1 ánh xạ liên tục fi : X i  Y (i  1, n) cho với i, j  1, n , X i  X j   fi xi  x j  fj xi  x j Khi ánh xạ f : X  Y xác định f xi  fi (i  1, n) ánh xạ liên tục 1.4.2 Đồng phôi Cho f song ánh từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Nếu f , f 1 liên tục ta nới f phép đồng phôi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Hai tôpô X Y gọi đồng phôi ( X  Y ) tồn phép đồng phôi chúng Quan hệ đồng phôi quan hệ tương đương Chương II ĐA TẠP TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE 2.1 ĐA TẠP KHẢ VI 2.1.1 Định nghĩa Một tập M R n gọi đa tạp k  chiều (trong R n ) với x  M điều kiện sau nghiệm ( M ) Tồn tập mở U chứa x , tập mở V  R n vi phôi h : U  V cho: h(U  M )  V   R k  0  x V : xk 1   xn  0 Nói cách khác U  M sai khác vi phôi phần tử không gian R k  0 Ví dụ: Một điểm R n đa tạp 0-chiều Thật Giả sử M   A  a1 , , an  tập hợp gồm điểm A không gian R n n Khi tồn tập mở U   (a1   , a   ) chứa A , tập mở i 1 n V   ( ,  )  R n tồn vi phôi h : U  V xác định công thức i 1 h( x1, , xn )  ( x1  a1, , xn  an ) thỏa h(U M)  h( A)  h(a1, , an )  Định lý 2.1.1 n Giả sử A tập mở R g : A  R n hàm khả vi cho g '( x) có hạng p điểm x mà g ( x)  Khi g 1 (0) đa n tạp (n  p)  chiều R Chứng minh 1 Gọi M  g 1 (0) Ta thấy h ánh xạ ngược h xách định đóng vai trò hàm h điều kiện ( M ) Khi đó:  U tập mở R nên h(U ) tập mở R chứa x n n 10 n Suy khái niệm tính trơn giống với trước M  S  R M  S  Rl Dễ thấy hợp hai ánh xạ trơn đa tạp trừu tượng ánh xạ trơn Ví dụ Cho M N hai không gian vectơ hữu hạn chiều vói số chiều m n Đây hai đa tạp trừu tượng Cho f : M  N ánh xạ tuyến tính Nếu chọn sở cho không gian xác định đồ tương ứng , biểu diễn tọa độ cho f ánh xạ tuyến tính từ R m vào R n (được cho ma trận biểu diễn f ), trơn Từ suy f trơn Nếu f song ánh ánh xạ ngược tuyến tính, trường hợp f vi phôi Ví dụ Cho  : U  M đồ đa tạp trừu tượng m-chiều M Từ giả thiết chuyển tiếp trơn phần giao suy  trơn từ U vào M, xem U đa tạp m-chiều (với đồ đồng nhất) m Ngược lại vi phôi g tập mở không rỗng V  R vào tập mở M dồ M Thật vậy, theo định nghĩa đồ g phải có phần giao trơn với đồ  tập đồ M, nghĩa g 1    1  g phải trơn (trên tạp mà chúng xác định) Điều suy từ nhận xét trước ánh xạ trơn 3.4 NHÓM LIE 3.4.1 Định nghĩa Nhóm Lie nhóm G, đa tạp, cho 1 phép toán nhóm ( x, y)  xy , x  x ánh xạ trơn từ G  G G vào G Ví dụ Mỗi không gian vectơ thực hữu hạn chiều V nhóm, với phép cộng vectơ phép toán phần tử trung hòa Ánh xạ ( x, y)  x  y tuyến tính V V  V , trơn Tương tự x   x trơn G nhóm Lie  Ví dụ: Tập R số thực khác nhóm Lie chiều, với phép nhân  phép toán với phần tử trung hòa Tương tự, tập C số phức khác nhóm Lie 2-chiều với phép nhân số phức phép toán Cấu 37 trúc trơn xác định đồ ( x1 , x2 )  x1 ix Tích xy  ( x1  ix )( y1  iy )  x1 y1  x2 y2  i( x1 y2  x2 y1 ) hàm trơn, hàm ngược hàm trơn x 1  x1  ix   1 x1  ix x12  x22 Ví dụ Cho G=SO(2), nhóm tất ma trận thực cấp  trưc giao, nghĩa chúng thỏa mãn quan hệ AAt=I, có định thức Tập G tương ứng với  x1 đường tròn đơn vị R ánh xạ ( x1 , x2 )     x2 x2   x1  Nếu cho G cấu trúc trơn cho ánh xạ vi phôi, tở thành nhóm Lie 1-chiều, gọi nhóm đường tròn Phép nhân ma trận cho 1 biểu diễn trơn với ẩn x1 x2 nghịch đảo x  x vậy, mà thay đổi dấu x2 Ví dụ Cho G=GL(n, R ) tập tất ma trận khả nghịch cấp n  n Nó nhóm, vói phép nhân phép toán Nó đa tạp theo cách thức sau Tập M(n, R ) tất ma trận thực cấp n  n song ánh tương ứng với R n2 đa tạp với số chiều n2 Tập G   A  M (n, R) det A  0 tập mở, hàm định thức liên tục Vì G đa tạp Hơn nữa, phép nhân ma trận M (n, R)  M (n, R)  M (n, R) cho biểu diễn trơn kết (bao gồm tích tổng), ánh xạ trơn Suy hạn chế lên G  G trơn 1 Cuối cùng, ánh xạ x  x trơn từ G vào G, theo công thức Gramer kết nghịch đảo x-1 cho hàm hữu tỉ (với định thức mẫu số) Suy G=GL(n, R ) nhóm Lie Ví dụ Cho G nhóm tùy ý, trang bị tôpô rời rạc Nó nhóm Lie 0-chiều Định lí 3.4.1 Cho G  G(n, R) nhóm mà đa tạp R n Khi G 38 nhóm Lie Chứng minh Chúng ta phép nhân trơn G  G  G Chúng ta cần tìm mở rộng trơn địa phương ánh xạ phép nhân ánh xạ nghịch đảo Vì GL(n, R ) mở R n Ví dụ Nhóm SL(2, R ) ma trận cấp  với dịnh thức đa tạp 3-chiều R , áp dụng cho f với hàm định thức a det  c b   ad  bc Vì nhóm Lie d  39 Chương IV KHÔNG GIAN TIẾP XÚC 4.1 Định nghĩa Giả sử M đa tạp k -chiều R n , f : W  R n hệ tọa độ lân cận điểm x = f (a) Vì hạng f '(a) k nên ánh xạ tuyến tính f n : Rak  Rxn x f n ( x) ánh xạ 1-1 không gian k-chiều Rxn Nếu g : V  R n hệ tọa độ khác x = g(b) gn ( Rbk )  f n ( f 1 g )(R bk )  f n ( Rak ) Như không gian k -chiều f n (R ka ) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ f Không gian gọi không gian tiếp xúc với M x ký hiệu M x Trong phần sau ta sử dụng kiện M x có tích vô hướng tự nhiên Tx cảm sinh tích vô hướng R n , với cặp (v, w)  M x ta định nghĩa tích vô hướng Tx (v, w)  v, w x  v, w 4.2 KHÔNG GIAN TIẾP XÚC CỦA ĐA TẠP TRONG Rn n Cho S  R đa tạp 4.2.1 Định nghĩa Không gian tiếp xúc  điểm p  S không gian tuyến tính m-chiều Tp S  Tx0  R m ,  : U  S đồ tùy ý S với p   ( x0 ) cho vài x0 U Suy không gian tiếp xúc T p S  Tx  không phụ thuộc vào đồ  , đồ khác quanh p tham số hóa lại Trong điểm gốc p T p S thuộc S  R khác biệt với điểm gốc x0  R m Tx0  n Để tổng quát hóa cho đa tạp trừu tượng cho đại diện khác không gian tiếp xúc T p S 40 Chúng ta gọi đường cong tham số hóa trơn  : I  R n đường cong tham số hóa S ảnh t  I chứa S Định lí 4.2.1 Cho p  S , không gian tiếp xúc T p S tập tất vectơ R m , mà vectơ tiếp xúc  (t )  p với vài t  I Chứng minh Cho  : U  S đồ với p   ( x0 ) với vài x0 U Theo định nghĩa T p S  Tx  Ánh xạ v  D ( x0 )v đẳng cấu tuyến tính từ R m vào Tx  0 m Với v  R định nghĩa đường cong tham số hóa:  v (t )   ( x0  tv ) với t gần với (sao cho x0  tv U ) Từ quy tắc dây chuyền suy  'v (0)  D ( x0 )v Vì kết luận ánh xạ T  : R m  Tp S , v   'v (0) đẳng cấu tuyến tính Đặc biệt, thấy vectơ T p S vectơ tiếp xúc đường cong tham số hóa S Ngược lại, cho đường cong tham số hóa  : I  R n S với  (t )  p , định nghĩa đường cong tham số hóa  R m ,    1   với t thuộc lân cận t0 Đây biểu diễn tọa độ  theo  Từ suy  trơn,      nên từ quy tắc dây chuyền ta suy  ' (t )  D ( x0 ) ' (t0 )  Tx  Điều chứng minh kết luận ngược lại 4.3 KHÔNG GIAN TIẾP XÚC TRỪU TƯỢNG Xét đa tạp trừu tượng m-chiều M, cho  : U  M đồ Không có ý nghĩa lặp lại định nghĩa 3.1 không gian tiếp xúc cho  , ma trận D ( x0 ) cấp n  m không xác định 41 Chúng ta xác định đường cong tham số hóa M ánh xạ trơn  : I  M , I  R mở Theo định nghĩa ,  1   trơn với tất đồ M, gọi    1   biểu diễn tọa độ  theo  Nếu điểm p  M đường cong tham số hóa M qua p, đường cong tham số hóa M với t  I cho p   (t ) Cho  : I1  M  : I  M hai đường cong tham số hóa M với p   (t1 )   (t ) , cho  đồ quanh p, p   (x) Chúng ta nói   tiếp xúc p biểu diễn tọa độ thỏa mãn ( 1   )' (t1 )  ( 1   )' (t ) Bổ đề 4.3.1 Tính tiếp xúc p quan hệ tương đương đường cong qua p Nó độc lập với việc chọn đồ  Chứng minh Phát biểu dễ thấy Nếu ~ đồ khác biểu diễn tọa độ liên hệ ~ 1   i  (~ 1   )  ( 1   i ) phần giao Từ quy tắc dây chuyền suy (~ 1   i )' (ti )  D(~ 1   )( x)( 1   i )' (ti ) đường cong Suy quan hệ tương tự với  thay ~ Chúng ta viết quan hệ tương đương sau  ~ p  , giải thích trừu tượng “vectơ tiếp xúc” hai đường cong p Mặc dù thực tế chưa định nghĩa vectơ tiếp xúc đường cong M Điều xác cần để cung cấp lối giải thích trừu tượng 4.3.2 Định nghĩa Không gian tiếp xúc TpM tập hợp ~ p -lớp đường cong tham số hóa M qua p Nhận xét sau quan trọng, không gian tiếp xúc trừu tượng có tính địa phương, nghĩa phụ thuộc cấu trúc M lân cận p Nếu M '  M tập mở, M’ đa tạp trừu tượng Hiển nhiên đường cong tham số hóa M’ cung đường cong tham sô hóa M khái niệm hai đường cong tiếp xúc điểm p  M ' độc lập với cách xét 42 đường cong Suy bao hàm thức T p M '  T p M hiển nhiên Ngược lại, đường cong tham số hóa  : I  M qua p tiếp xúc p với hạn chế  I' I '   1 ( M ' ) , đường cong tham số hóa M’ Suy Tp M '  Tp M Chúng ta cần thuyết phục không gian tiếp xúc trừu tượng n tương đồng với không gian tiếp xúc trường hợp M  S  R Đây nội dung bổ đề sau Bổ đề 4.3.3 Cho S đa tạp R m ,  ,  hai đường cong S qua p Khi đó,  ~ p   ' (t1 )   ' (t ) Suy ánh xạ    ' (t ) cảm sinh song ánh từ ~ p -lớp đường cong tham số hóa vào không gian tiếp xúc TpS Vì , không gian tiếp xúc trừu tượng tương ứng 1-1 với không gian tiếp xúc đa tạp R k Chứng minh: Chọn đồ  quanh p, đặt i   1   i biểu diễn tọa độ cho  i Khi theo định nghĩa  ~ p  nghĩa 1' (t1 )   2' (t ) Bằng việc áp dụng quy tắc dây chuyền cho biểu diễn  i    i i   1   i thấy 1' (t1 )   2' (t )  ' (t1 )   ' (t ) 4.4 PHÂN THỚ TIẾP XÚC k Giả sử M đa tạp khả vi m chiều lớp C Xét TM  Tp M Đối với pM đồ (U , x) M, ta đặt TU  Tp M Xét ánh xạ pU x :TU  x(U )  R n x(v)   x(p), v(x'), , v(x m )  Ta gọi (TU , x) đồ TM, kết hợp với (U,x) Ta trang bị cho TM tôpô xác định cho đồ (TU , x) TM có x đồng   phôi Cụ thể, xét U  Vi , xi  , i  I tập đồ M, xi : U i  Vi  R m 43 Khi A mở TM A  (TU i ) tạo ảnh tập mở Vi  R m qua xi , i  I   Khi , tập đồ TU i , x tạo thành atlas khả vi lớp C k 1 , cho cấu k 1 trúc khả vi lớp C TM TM với cấu trúc khả vi xác định đa tạp khả vi 2m chiều, gọi phân thớ tiếp xúc đa tạp khả vi M 4.5 TRƯỜNG VECTƠ Cho M đa tạp khả vi m chiều, TM phân thớ tiếp xúc đa tạp M, U  M ( U mở) Trường vectơ khả vi M ánh xạ khả vi X : M  TM cho  X ( p)  p ( p  M ) Ta gọi X nhát cắt khả vi xác định M Tập trường khả vi M kí hiệu V ( M ) Đa tạp M gọi khả song tồn m trường vectơ tiếp xúc độc lập tuyến tính M, nghĩa có m trường vectơ khả vi X1 , , X m cho với p  M , X1 (p), ,Xm ( p) tạo thành sở Tp M 4.6 SỰ ĐỊNH HƯỚNG Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều Hai sở (v1 , v2 , , vm ) ~ ,v ~ , , v ~ ) gọi định hướng đồng bậc ma trận chuyển S, mà cột (v m tọa độ vectơ v1 , v2 , , vm theo sở (v~1 , v~2 , , v~m ) , có định thức dương Được định hướng đồng bậc quan hệ tương sở, cách xác có hai lớp tương đương Không gian V gọi định hướng lớp đại diện chọn lớp gọi hướng V, vectơ sở gọi dương Không gian Euclide R n định hướng lớp chứa sở chuẩn tắc (e1 , e2 , , em ) Với không gian V  0 quy ước chọn hai hướng + – Ví dụ Với không gian 2-chiều V R thông thường định hướng cách chọn vectơ pháp tuyến N Cơ sở dương (v1 , v2 ) V mà 44 (v1 , v2 , N ) sở dương R (cách hiểu khác, tam diện thuận) Cho  đồ đa tạp trừu tượng M, không gian tiếp xúc trang bị sở chuẩn tắc theo  Với p  (U ) nói hướng TpM, mà sở chuẩn tắc dương, hướng cảm sinh  4.6.1 Định nghĩa Hướng đa tạp M hướng không gian tiếp xúc TpM, p  M , cho tồn tập đồ M mà đồ cảm sinh hướng cho không gian tiếp xúc Đa tạp gọi định hướng tồn hướng Nếu hướng chọn nói M đa tạp định hướng gọi đồ dương cảm sinh hướng dương không gian tiếp xúc Vi phôi f : M  N hai đa tạp định hướng với số chiều gọi bảo toàn hướng với p  M , vi phân df p ánh xạ biến sở dương TpM thành sở dương T f ( p ) N Ví dụ Mỗi đa tạp M, tồn tập đồ có tập đồ cho nó, định hướng Hướng cảm sinh đồ đĩ nhiên hướng M n Ví dụ Giả sử S  R đa tạp n – k-chiều cho phương trình f ( p)  c Không gian tiếp xúc p hạt nhân Tp S  X  R n Df ( p) X  0đối với ma trận Df ( p) cấp k  n Đặt 1 , 2 , , k  R n kí hiệu dòng Df ( p) Khi đó, xác định hướng TpS cách kết luận sở (v1 , v2 , , vnk ) dương sở kết hợp (v1 , v2 , , vnk , 1 , , , k ) cho R n dương theo thứ tự chuẩn tắc Có thể hướng S, định hướng Đối với mặt R cho f ( p)  c , f hàm có giá trị vô hướng, nghĩa xác định hướng theo vectơ pháp tuyến cho vectơ  f f f   f , ,  x  y  z   gradient    Một ví dụ cổ điển đa tạp không định hướng Mobious Ta mô tả hình dáng cách dán đầu mép băng giấy hình chữ nhật sau 45 xoắn lại nửa vòng Các định nghĩa trường vectơ, dạng định hướng mở rộng cho trường hợp đa tạp có biên Nếu M đa tạp k -chiều có biên, xM  M  x không gian k 1-chiều không gian vectơ k -chiều  x Như có đúnghai vectơ đơn vị M x vuông góc với  M  x ta phân biệt hai vectơ Định lý 4.6.1 Giả sử M cho tập hợp tọa độ C cho 1) Đối với điểm x  M tồn f  C hệ tọa độ lân cận x 2) det( f 1 g )  với f , g  C Khi M có định hướng bảo toàn với f  C Chứng minh Giả sử M định hướng tương thích m chọn Khi với x  M tồn hệ tọa độ f bảo tồn định hướng Vì x  M từ điều kiện i ta suy tồn hệ tọa độ g lân cận điểm x , ta chứng minh hệ tọa độ bảo tồn định hướng Thật vậy: n Giả sử f : W  R , x  f (a),  f*  (e1 )a  , , f*  (ek ) a    f ( a )  x g : V  Rn , x  g (b) Vì det( f 1 g )  nên ta có  g 1 f   (e1 ) a  , ,  g 1 f   (ek ) a    (e1 )b ' , ,(ek )b '      f*  (e1 ) a  , , f*  (ek ) a    g*  (e1 )b '  , , f*  (ek )b '  Vì g lân cận điểm x nên g ánh xạ 1-1 Kết hợp với ta suy b = b' Điều chứng tỏ xác định Hơn ta có g bảo toàn định hướng Bây ta chứng minh  x định hướng bảo tồn với f  C Thật giả sử có định hướng  x' cho với f  C bảo toàn định hướng Khi với x  M , f  C từ thỏa mãn điều kiện i ii  ,  ' ta có:  f*  (e1 )a  , , f*  (ek )a    f ( a )  x  x' 46 Suy x  x' , x  M     ' Vậy  Định lý 4.6.2 Giả sử M  R n đa tạp k -chiều định hướng Khi tồn ánh xạ g : A  R nk cho M  g 1 (0) g'(x) có hạng n - k x  M Chứng minh Ta có với x  M tồn g1 : A1  R nk (trong A1 tập mở R n ) cho: 1) A1  M  g11 (0) 2) g1' ( x) có hạng (n-k) với x  g11 (0) Vì M nên ta chọn định hướng  , với định hướng  ta chọn “nghiệm địa phương” tương thích sau: với x  A1  M ta chọn hàm g1 xác định nói trên, nghĩa f ( x)  g1 ( x) ta có f ( y)  g1 ( y), y  A1  M Như định lý nghiệm lân cận mở x M phủ tập mở hàm trường hợp tổng quát xác định sau: Ai  R nk cho g ( y)  gi ( y), y  Ai  M g:A iI Khi ta có M  g 1 (0) Thật vậy: 1 x  g 1 (0) tồn i  I cho x  gi (0)  Ai  M  x  M x  M tồn gi : Ai  R nk thỏa x  Ai  M  gi1 (0)  x  g 1 (0) Từ xác định ánh xạ g hiển nhiên ta có g '(x) có hạng (n - k ) với x  g 1 (0) Định lý 4.6.3 Giả sử M đa tạp (n -1)-chiều R n M ( ) tập hợp tất vectơ pháp tuyến có độ dài  (dựng hai hướng) Giả sử  bé cho M ( ) đa tạp (n -1)-chiều Khi M ( ) định hướng (ngay M không định hướng được) Chứng minh 47 Để chứng minh M ( ) định hướng ta cần chứng minh vectơ pháp tuyến n(x) M ( ) chọn cách liên tục Do xác định M ( ) nên với x  M ( ) ta chọn vectơ pháp tuyến (ngay M không định hướng được) nên n(x) M ( ) chọn cách liên tục Định lý 4.6.4 Giả sử g : A  R p khả vi g'(x) có hạng p x  g 1 (0) Nếu f : R p  R khả vi có cực đại (hay cực tiểu) g 1 (0) điểm a tồn p số 1 , ,  p cho D j f (a)   i D j gi (a), j  1, n i 1 Chứng minh Vì f : R p  R khả vi có cực đại (hay cực tiểu) g 1 (0) điểm a nên tồn D j f (a), D j f (a)  0, j  1, n Mặt khác a  g 1 (0) nên g'(a) có hạng p , tức ma trận hệ số phương trình có hạng p nên theo phương pháp Cramer ta có điều phải chứng minh 4.7 ÁNH XẠ TIẾP XÚC Giả sử M,N hai đa tạp khả vi với số chiều m,n tương ứng f : M  N ánh xạ khả vi Với p  M , xét Tp M  T f ( p ) N xác định sau: Với v  Tp M , v  c  , c : J  M mà c(0)  p , đặt Tp f (v)   f c   T f ( p ) N Ta thấy định nghĩa không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v Ta xét biểu diễn địa phương Tp f Giả sử (U , x) đồ địa phương p, (V , y) đồ địa phương quang f (p) , cho f (U )  V Khi  v   v( x ) i x i 1 m Tp f  (v)   v( y j n i p f) j 1  y j f ( p) Do Tp f ánh xạ tuyến tính Như ta xác định ánh xạ Tf : TM  TN với v  Tp M  (Tf )(v)  (Tp f )(v) 48 4.8 ĐA TẠP CON TRONG Rk 4.8.1 Định nghĩa Cho S đa tạp R k Đa tạp S tập   S , mà đa tạp R k k Bổ đề 4.8.1 Cho  đa tạp S  R Khi đó, dim   dim S T p   T p S với p   Hơn nữa, ánh xạ bao hàm i :   S trơn, vi phân dip p   ánh xạ bao hàm T p   T p S Chứng minh Không gian tiếp xúc T p  hông gian tất vectơ tiếp xúc  ' (t )   với  (t )  p Vì   S nên đường cong  đường cong S suy bao hàm thức T p   T p S Bất đẳng thức số chiều hệ trực tiếp bao hàm thức k k Ánh xạ bao hàm i :   S hạn chế ánh xạ đồng id : R  R , ánh xạ trơn, vi phân p hạn chế vi phân id Vi phân ánh xạ đồng Vì vậy, kết luận dip ánh xạ bao hàm Tp   Tp S 4.9 ĐA TẠP CON TRỪU TƯỢNG 4.9.1 Định nghĩa Cho M đa tạp trừu tượng Đa tạp trừu tượng M tập N  M mà đa tạp trừu tượng cho: 1) Tôpô N cảm sinh từ M 2) Ánh xạ bao hàm i : N  M trơn 3) Vi phân di p : Tp N  Tp M đơn ánh với p  N Trong trường hợp này, đa tạp M gọi bao quanh N Đặc biệt, dip đơn ánh nên số chiều N phải bé với số chiều M Vi phân dip biến lớp tương đương đường cong  qua p N thành lớp tương đương đường cong vậy, xem đường cong đa tạp bao quanh (tạo thành đường cong i   ) Dựa vào tiên đề iii), ánh xạ đơn ánh nên xem không gian tiếp xúc TpN không gian TpM 49 C- PHẦN KẾT LUẬN Đa tạp đối tượng nghiên cứu Toán học đại, cầu nối Giải tích, Hình học Đại số Tính chất tôpô sử dụng công cụ chìa khóa để giải vấn đề Đa tạp Luận văn hoàn thành mục tiêu đề làm rõ sở lý thuyết sau giải số tập điển hình Do hạn hẹp thời gian, hạn chế vềkiến thức thân nên luận văn trình bày chưa phong phú, đa dạng, nhiều khiếm khuyết Làm luận văn hội để em ôn lại kiến thức học đồng thời biếtthêm kiến thức Hy vọng luận văn “Đa tạp tính chất tôpô đa tạp không gian Euclide” tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên ngành Toán, Toán - tin 50 D- TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Jean DieuDonne, Cơ sở giải tích đại, tập 5, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, năm 1979 [2] Jean – Marie Monier, Giải tích 2, NXB Giáo dục, năm 1999 [3] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, năm 1999 [4] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Lý Thuyết Liên Thông hình học Riemann, NXB Đại học Sư phạm, năm 2004 [5] Nông Quốc Chinh, Tôpô đại cương, NXB Đại học sư phạm [6] U.C.De, A.A.Shaikh, Differential Geometry of Manifolds, NXB Alpha Science International, Oxford, U.K, năm 2007 [7] Antoni A.Kosinski, Differential Manifolds [8] Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, NXB John Wiley & Sons, Inc, năm 2005 51 [...]... D vào R Vậy Dn  R n Từ các chứng minh trên và từ tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương ta được Dn  Sn  R n Định lý 2.1.2 Nếu M là m -đa tạp và N là n -đa tạp thì M  N là (m+n) -đa tạp Chứng minh M , N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích M  N là không gian Hausdorff Xét điểm ( x, y ) tùy ý thuôc M  N Do M là m -đa tạp nên tồn tại lân cận mở U x của. .. trên một đa tạp S đã cho trong R m là tương thích Vì thế, cấu trúc trơn được chứa trên S được gọi là cấu trúc trơn chuẩn tắc 3.2.3 Định nghĩa Một đa tạp trừu tượng (hoặc đơn giản là đa tạp) với số chiều m, là một không gian tôpô Hausdorff M, được trang bị một tập bản đồ trơn m-chiều Các bản đồ tương thích được xét trên cùng một đa tạp (vì vậy định nghĩa chuẩn xác là một đa tạp là một không gian tôpô Hausdorff... m và nếu thêm vào g : Y  Rl là trơn thì g f : X  Rl là trơn Chứng minh m Lấy p  X , và đặt F : W  R là mở rộng trơn địa phương của f quanh p Tương l tự, đặt G : W  R là mỏ rộng trơn địa phương của g quanh f ( p)  Y Tập W '  F 1 (V ) là lân cận mở của p, và G  F W'  là mở rộng trơn địa phương của g  f tại p Định nghĩa về tính trơn mà chúng ta đã cho với đa tạp trong Rn sử dụng không gian. .. thuộc vào cấu trúc trơn của m Chú ý rằng ánh xạ trơn f : M  Rl là liên tục, vì trong lân cận của mỗi điểm p  M nó có thể được viết như  f      1 đối với bản đồ  ~ ~ Cho S và S lần lượt là các đa tạp trong R n và R l , và đặt f : S  S Đã xác định rằng f là trơn Chúng ta sẽ cho một sự mô tả tiếp theo ~ ~ ~ Cho  : U  S và ~ : U  S lần lượt là các bản đồ trên S và S , trong đó ~ U  R m và. .. là M Định lý 2.1.5 n Giả sử A là một tập mở trong R Khi đó: 1) A là một đa tạp n -chiều; 2) Biên của A, FrA là một đa tạp n 1-chiều; 3) Tập hợp N AFrA là một đa tạp n -chiều có biên Ta cũng có khẳng định tương tự cho một tập con mở của đa tạp n -chiều Chứng minh 1) Vì A là một tập mở trong Rn nên với mỗi xA tồn tại A là tập mở chứa x, A  Rn  và ánh xạ đồng nhất id A : A  A là một vi phôi... bản đồ trong tập bản đồ, khi đó f là trơn quanh tất cả các điểm p  S 3.2 ĐA TẠP TRỪU TƯỢNG Cho M là không gian tôpô Hausdorff, và m  0 là số tự nhiên cố định 3.2.1 Định nghĩa Tập bản đồ trơn m-chiều của M là một họ các tập mở Oi iI trong M sao cho M  Oi iI , cùng với một họ tập mở U i iI trong R m và một họ iI 33 phép đồng phôi, được gọi là bản đồ,  i : U i  Oi   (U i ) có tính chất. .. với cấu trúc 3.3 ÁNH XẠ TRƠN GIỮA CÁC ĐA TẠP TRỪU TƯỢNG 3.3.1 Định nghĩa Cho M là một đa tạp trừu tượng với số chiều m Ánh xạ f : M  Rl được gọi là trơn nếu với mỗi bản đồ  ,U  trong tập bản đồ trơn của l M thì ánh xạ f   là trơn U  R Tập U là mở trong R m và tính trơn của f   được xác định trên một tập mở Dễ 34 thấy rằng yêu cầu trong định nghĩa là không thay đổi nếu tập bản đồ được thay... thấy rằng C  (S ) là một không gian vectơ khi đã trang bị phép cộng và phép nhân vô hướng của các hàm Vì tập mở tương đối   S là một đa tạp nên không gian C  () được xác định với mọi tập như vậy Dễ thấy rằng sự hạn chế f  f  là ánh xạ từ C  (S ) và C  () n Ví dụ Các hàm số x  xi , trong đó i=1,2, ,n, là hàm trơn trên R Vì vậy, chúng n hạn chế lên hàm trơn trên mỗi đa tạp S  R Ví dụ Cho S... một không giang Hausdorff Do A là tập con mở của M nên với điểm x bất kì thuộc A luôn tồn tại lân cận U r1 (bán kính r1 ) nằm trong A Mặt khác, M là n -đa tạp nên điểm x có một lân cận U r2 (bán kính r2 ) đồng n phôi với D Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho r  r2  r1 , khi đó U r cùng N n là lân cận mở của x đồng phôi vói D nằm trong A Suy ra A là n -đa tạp Định lý 2.1.4 n Đối với mỗi điểm x của. .. mở của x0 Theo bổ đề trên, Sn  D n n Xét điểm x  S , khi đó tồn tại một phép quay tâm O là Q0 sao cho Q0 ( x)  x0 Hiển nhiên Q0 là phép đồng phôi từ S n lên chính nó Suy ra điểm x có một lân cận mở là Q0 (Sn )  Sn  Dn n Vậy S là n -đa tạp Định lý 2.1.3 Nếu M là n -đa tạp thì mọi tập con mở của M cũng là n -đa tạp Chứng minh Giả sử A là một tập con tùy ý của M  tập A với tôpô cảm sinh bởi tôpô ...   tôpô A , gọi tôpô cảm sinh  A Không gian A với tôpô cảm sinh  A gọi không gian không gian tôpô X 1.3 KHÔNG GIAN HAUSDORFF 1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff hai... trơn, Đa tạp trừu tượng Ứng dụng ánh xạ trơn đa tạp Giới thiệu sơ lược nhóm đại số Lie Chương IV: Không gian tiếp xúc Chương trình bày khái niệm không gian tiếp xúc đa tạp không gian Euclide đa tạp. .. đề tài “ Đa tạp tính chất tôpô đa tạp không gian Euclide II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn tìm hiểu khái niệm đa tạp không gian Euclide R n , tính chất tôpô đa tạp giải số ví dụ điển hình Ngoài