Siêu cầu trong không gian EUCLIDE

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa toán Luận văn tốt nghiệp Đề tài : Siêu cầu trong không gian euclide e n Ngành: Toán Chuyên ngành: Hình học Ngời hớng dẫn: TS Nguyễn Duy Bình Ngời thực hiện : Nguyễn thị Vân Anh 1 Vinh 2002 Lời nói đầu Siêu cầu là một nội dung quan trọng của chuyên đề hình học. Nó đợc xây dựng cách đây khá lâu. Trong khoảng thời gian đó đã có nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu đem lại nhiều kết quả khả quan. Siêu cầu thực chất là chất một siêu mặt bậc hai đặc biệt trong không gian afin, vì vậy, nó có các khái niệm cũng nh các tính chất của siêu mặt bậc II, nếu trang bị thêm tích vô hớng để không gian afin trở thành không gian Euclide thì có các tính toán về l- ợng trên siêu cầu. Nội dung này đã đợc các nhà toán học nghiên cứu một cách khá đầy đủ. ở đây tôi chỉ hệ thống lại, làm rõ một số khái niệm và chứng minh một số tính chất. Các phép biến hình trong mặt phẳng E đều có tính chất biến đờng thẳng thành đờng thẳng, đờng tròn thành đờng tròn. Tuy nhiên đối với phép nghịch đảo thì điều đó không còn đúng nữa. Từ những kết quả quen thuộc trong E đối với đờng tròn tôi mở rộng trong không gian E n với siêu cầu S n-1 Có thể nhìn nhận siêu cầu là một đa tạp khả vi từ đó nghiên cứu cấu trúc hình học vi phân của siêu cầu. Luận văn đợc trình bày thành 4 phần : Phần I ( Đ1) : Định nghĩa và sự xác định siêu cầu 2 Phần này đa ra khái niệm siêu cầu (thực) và siêu cầu tổng quát. Sau đó đa ra điều kiện để n+2 điểm thuộc một siêu cầu. Từ điều kiện đó mà suy ra sự xác định siêu cầu. Phần II ( Đ2): Siêu mặt bậc hai và hình học Euclide của nó Phần này nghiên cứu siêu cầu với quan niệm là một siêu mặt bậc hai đặc biệt trong không gian afin, chỉ rõ tâm, phơng chính, siêu mặt kính chính . sau đó xét sự tơng quan giữa các hình, phơng tích của một điểm đối với siêu cầu . Phần III ( Đ3): Phép nghịch đảo đối với siêu cầu Phần này đa ra khái niệm phép nghịch đảo trong không gian E n U { } Sau đó đa ra một số tính chất và nghiên cứu hình mới của siêu cầu qua phép nghịch đảo. Phần IV ( Đ3): Cấu trúc hình học vi phân của siêu cầu Phần này đa ra một số tính chất tô pô của siêu cầu, chứng minh siêu cầu là đa tạp n-1 chiều trong E n , sau đó mở rộng khái niệm n-1 mặt trong E n , ánh xạ Vaigacten trong E n , các đờng đặc biệt trên n-1 mặt . Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo Nguyễn Duy Bình, ngời đã đặt vấn đề và trực tiếp, nhiệt tình hớng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn. Đồng thời cho tôi có lời cảm ơn tới các thầy giáo trong khoa đã cung cấp những kiến thức cần thiết trong suốt thời gian học tập tại khoa Toán để sử dụng vào luận văn, các thầy giáo trong tổ hình học đã tham khảo và đóng góp ý kiến. Bớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học còn nhiều bỡ ngỡ và không tránh khỏi thiếu sót, tôi mong các thầy giáo chỉ bảo về những thiếu sót của bài viết, giúp tôi rút kinh nghiệm và vững vàng hơn trong những bớc đi sau này. Vinh, tháng 5 năm 2002 3 Đ1. Định nghĩa và sự xác định siêu cầu 1.1 Định nghĩa. 1.1.1. Siêu cầu (thực). Cho điểm I trong không gian Euclide E n và số thực r > 0 tập hợp S (I, r) = { } rMIdEM n = ),(: gọi là siêu cầu ( thực) tâm I, bán kính r. Đối với mục tiêu trực chuẩn, nếu I = (a 1 , a 2 , ., a n ) thì phơng trình của siêu cầu S (I, r) là: n ( xi - ai) 2 = r 2 i =1 Hay n n n xi 2 - 2 ai xi + ai 2 - r 2 = 0 (1) i =1 i =1 i =1 Nhận xét: Viết lại (1) dới dạng n x t x + 2 a t x + ao = 0 , a t = (- a 1 , - a 2 , ., a n ) ; ao = ai 2 - r 2 i=1 x t Ax + 2 a t x + ao = 0 (A = In là ma trận đối xứng). Vậy siêu cầu thực là một siêu mặt bậc hai afin. 1.1.2. Siêu cầu tổng quát . Trong không gian Euclide E n với mục tiêu trực chuẩn một siêu mặt bậc hai (S) gọi là siêu cầu tổng quát , nếu nó xác định bởi phơng trình dạng: n n xi 2 + 2 ai xi + ao = 0 (2) i =1 i =1 4 Ta biến đổi (2) về dạng : n n ( xi + ai) 2 = ai 2 - ao (2) i =1 i =1 Nếu n ai 2 - ao > 0 thì (2) là một siêu cầu (thực) với tâm I (-a1,-a2 .-an) i =1 n bán kính r = ai 2 - ao i =1 Nếu n ai 2 - ao = 0 , siêu cầu tổng quát (S) còn gọi là siêu cầu tâm I, bán i =1 kính 0 . Nếu n ai 2 - ao < 0 , siêu cầu tổng quá (S) còn gọi là siêu cầu ảo, tâm I. i =1 Nó không chứa điểm thực nào. 1.2. Sự xác định siêu cầu. 1.2.1. Điều kiện để n+2 điểm thuộc một siêu cầu trong E n . Với hệ m điểm M 1 , M 2 , .,M m trong E n , đặt dij = d (Mi, Mj ) ( i,j =1,2, .,m ) và xét ma trận 0 d 2 12 . d 2 1m d 2 21 0 . d 2 2m (M 1 , M 2 , .,M m ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 2 1m d 2 2m 0 Khi đó điều kiện cần và đủ để n+2 điểm M 1 , M 2 , .,M n+2 trong E n cùng thuộc một siêu cầu ( thực) hay một siêu phẳng là det (M 1 , M 2 , .,M n+2 )= 0 . Chứng minh. Xem quyển (1) trang 175,176 . 5 Nhận xét. n+1 điểm trong E n luôn thuộc một siêu cầu hay một siêu phẳng vì lấy M n+2 = M n+1 thì ma trận (M 1 , M 2 , ., M n+2 ) có hai cột giống nhau. Ví dụ : n=2, đặt = d 12 d 34 ; = d 13 d 24 ; = d 14 d 23 thì tính đợc det (M 1 , M 2 ,M 3 ,M 4 )= - ( + + ) ( + - ) ( - + ) (- + + ) Từ đó suy ra định lý Ptôlêmê về tứ giác nội tiếp (trong mặt phẳng Euclide). 1.2.2 Chú ý : Cho m+1 điểm M 0 ,M 1 , M 2 , .,M m trong E n , đặt 0 1 1 . 1 1 0 d 2 01 . d 2 0,m (M 0 ,M 1 , M 2 , .,M m ) = 1 d 2 10 0 . d 2 1,m . . . . . . 1 d 2 m,0 d 2 m,1 0 (-1) m+1 Khi đó det Gr(M 0 M 1 , M 0 M 2 , ., M 0 M m ) = det (M 1 , M 2 , .,M m ) 2 m Thực vậy có thể coi M 1 , M 2 , .,M m nằm trong một không gian Euclide m chiều và đặt m = n rồi xét một mục tiêu Euclide ( I, e1, . en ) của không gian đó, gọi )( j x là toạ độ của điểm M ( j = 1,2, .n ; =0,1, .n) gọi là định thức của hệ véc tơ {M 0 M 1 , M 0 M 2 , ., M 0 M n }đối với cơ sở trực chuẩn = (e1, e2 , ., en) của E n thì det Gr (M 0 M 1 , M 0 M 2 , ., M 0 M m ) = 2 và x 11 x 10 . . . x n1 x n0 1 0 0 0 0 x 12 x 10 . . . x n2 x n0 0 1 x 10 x 20 x n0 6 = . . . . . = 0 1 x 11 x 21 x n1 . . . . . . . . . . x 1n x 10 . . . x nn x n0 0 1 x 1n x 2n x nn 0 1 0 . 0 1 0 0 0 1 0 x 10 x n0 0 1 1 1 = 1 0 x 11 x n1 = 0 x 10 x 11 x 1n . . . . . . . . . . . . . . 1 0 x n1 .x nn 0 x n0 x n1 . . x nn Tính định thức tích của hai ma trận cuối cùng này, ta đợc 0 1 1 . 1 1 xjo xjo xjo xj1 xjo xjn j j j det Gr (M 0 M 1 , ., M 0 M n ) = . . . . . . . . 1 xjn xjo xjn xj1 x 2 jn j j j n Với mỗi i 2, cộng thêm vào cột thứ i cột đầu nhân với - 1/2 x 2 j, i-2 n j =1 Sau đó cộng thêm vào dòng thứ i , dòng đầu nhân với - 1/2 x 2 j, i-2, suy ra (-1) n+1 j=1 det Gr (M 0 M 1 , ., M 0 M n ) = det (M 0 , M 1 , . , M n ) 2 n Mo Ví dụ : m = n = 2, đặt d 01 = a, d 12 = b, d 20 = c thì tính đợc det (M 0 , M 1 , M 2 ) c a = - (a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) 7 M2 b M1 nên det Gr (M 0 M 1 , M 0 M 2 ) = 1/4 (a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) ( đây chính là công thức Hêrông về diện tích tam giác) 1.2.3. Hệ quả: M 1 ,M 2 , ., M n+1 là n+1 điểm độc lập afin trong E n thì có một chỉ một siêu cầu S (J, R) đi qua các điểm đó và 1 det (M 1 ,M 2 , ., M n+1 ) r 2 = - 2 det (M 1 ,M 2 , ., M n+1 ) Thật vậy, có và duy nhất của S (J,R) do tâm J phải nằm trên các siêu phẳng trực giao với M 1 Mj (j = 2,3, , n+1) tại trung điểm của nó mà n siêu phẳng này có n véc tơ pháp tuyến độc lập tuyến tính (M 1 M 2 , . M 1 M n+1 ) nên chúng cắt nhau tại một và chỉ một điểm. Đặt J= Mo thì hệ điểm { M 0, M 1 , ., M n+1 }không độc lập afin nên det Gr (M 0 M 1 , . M 0 M n+1 ) = 0, do đó det (M 0, M 1 , ., M n+1 ) = 0, nhng d 0 = d ( Mo , M) = d (I, M) = r ( =1,2, .n+1) nên viết tắt = (M 0, M 1 , ., M n+1 ) thì 0 1 1 . 1 0 1 1 1 1 0 r 2 r 2 1 - r 2 r 2 r 2 det (J, M 1 , ., M n+1 ) = 1 r 2 = 1 0 . . . . . . . . 1 r 2 1 0 0 1 . 1 1 r 2 . r 2 0 r 2 . r 2 - r 2 1 = 0 - 1 . . . . . . . . . 1 0 1 8 0 1 . 1 = - r 2 1 = det Γ - 2 r 2 x det Δ ( M 1 , ., M n+1 ) . . 1 Γ VÝ dô: M 1 , M 2 , M 3 t¹o thµnh mét tam gi¸c trong E n th× b¸n kÝnh r ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã lµ : 1 det Γ(M 1 , M 2 , M 3 ) 1 2a 2 b 2 c 2 r 2 = - = 2 det Δ (M 1 , M 2 , M 3 ) 2 -(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) a b c Tøc r = √ (a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a, b, c lµ c¹nh cña tam gi¸c ) 9 Γ Đ2: siêu Cầu và hình học eclide của nó 2.1.1. Các khái niệm. Trong không gian afin A n _thực.Cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình : x t Ax +2a t x+a 0 =0 - Véc tơ ), .,( 21 n cccc = gọi là phơng tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) nếu oc và = == n ji jiij t ccaAcc 1, 0 - Véc tơ oc là phơng chính của (S) nếu c là véc tơ riêng của ma trận A. 10 . phẳng). iii. Siêu cầu qua 0 thành siêu phẳng bổ sung không qua 0. iV. Siêu cầu không qua0 thành siêu cầu không qua 0 và 0 với tâm 2 siêu cầu đó luôn thẳng. xứng). Vậy siêu cầu thực là một siêu mặt bậc hai afin. 1.1.2. Siêu cầu tổng quát . Trong không gian Euclide E n với mục tiêu trực chuẩn một siêu mặt bậc