Chẳng khó khăn để nhận ra tầm quan trọng của hình học không gian trong quá trình học toán của học sinh chúng ta. Xét về mặt tư duy, hình học không gian đòi hỏi sự tư duy khá cao, một khả năng hình tượng nhạy bén và nhiều khả năng khác. Vì vậy, không phải khó hiểu khi những bạn giỏi hình học không gian thường làm khá tốt trong các lĩnh vực khác. Xét về mặt thi cử, trong mỗi kì thi từ bậc THPT trở đi, bài toán hình học không gian luôn có trong đề thi toán và chiếm một số điểm khá lớn. Vì vậy, tìm được một phương pháp học hình học không gian đúng đắn luôn là mối quan tâm hàng đầu của các bạn học sinh.
TR ƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG CHUYÊN ðỀ: NĂM HỌC: 2007-2008 LƯU HÀNH NỘI BỘ LỜI NÓI ðẦU Chẳng khó khăn ñể nhận ra tầm quan trọng của hình học không gian trong quá trình học toán của học sinh chúng ta. Xét về mặt tư duy, hình học không gian ñòi hỏi sự tư duy khá cao, một khả năng hình tượng nhạy bén và nhiều khả năng khác. Vì vậy, không phải khó hiểu khi những bạn giỏi hình học không gian thường làm khá tốt trong các lĩnh vực khác. Xét về mặt thi cử, trong mỗi kì thi từ bậc THPT trở ñi, bài toán hình học không gian luôn có trong ñề thi toán và chiếm một số ñiểm khá lớn. Vì vậy, tìm ñược một phương pháp học hình học không gian ñúng ñắn luôn là mối quan tâm hàng ñầu của các bạn học sinh. Cũng như mọi phân môn toán học khác, hình học không gian ñược chia thành nhiều bộ phận. ðối với học sinh chúng ta thì có lẽ cách phân chia tốt nhất là theo phương pháp giải bài toán; vì khi ñó ta có thể tìm hiểu nhiều dạng toán khác nhau và thông qua ñó còn có thể so sánh và rút ra cho riêng mình những kinh nghiệm quý báu về ưu nhược ñiểm của các phương pháp ñể từ ñó có ñược cách giải tối ưu nhất. Từ những nhận xét trên, chúng tôi ñã lựa chọn chuyên ñề của mình là Phương pháp toạ ñộ và vector trong hình học không gian. ðây không phải là phương pháp quá mới ñến mức khó hiểu. Chắc chắn mỗi bạn ñều từng ít nhất một lần thực hiện phương pháp giải trên vì nó vốn ñược ñề cập khá nhiều trong chuơng trình học phổ thông. Tuy nhiên, nó cũng không quá cũ, chẳng có gì ñể nói như nhiều người thường nghĩ. Bởi vì tuy là tiếp xúc nhiều nhưng ta ñã cho rằng phương pháp này không ñược hiệu quả lắm bên cạnh những ñịnh lí, tiên ñề to lớn trong hình học không gian, cho những bài giải ngắn gọn, mà lãng quên nó. Do ñó, tìm hiểu về phương pháp này sẽ giúp ta có một hệ thống vững chắc giữa hình học không gian giải thuần tuý bằng ñịnh lí, tiên ñề, tính chất,… và hình học không gian giải bằng biến ñổi vector và toạ ñộ. Cố gắng thực hiện mục ñích ñó, nhóm chúng tôi ñã trình bày chuyên ñề của mình như sau: Chuyên ñề gồm hai phần lớn: Vector và Toạ ñộ. Trong mỗi phần lại ñược chia thành nhiều ñề mục nhỏ theo thứ tự nhất ñịnh, từ cơ bản ñến nâng cao, giúp xây dựng một hệ thống kiến thức vững chắc, ña dạng nhưg vẫn dễ tiếp thu. Từ lí thuyết nền tảng ñến lí thuyết cao hơn, ví dụ nhỏ ñến những bài toán ứng dụng lớn, ñó là sự cố gắng rất lơn của chúng tôi. Bên cạnh những kiến thức cần thiết cho việc học hành chính quy của các bạn, ñiều chúng tôi tâm ñắc nhất là có thể giúp các bạn nâng cao óc sáng tạo thông qua mảng kiến thức Sáng tạo nằm cuối quyển sách, về hệ toạ ñộ Afin. ðó tuy không phải là những gì các bạn sẽ gặp trong chương trình học cũng như trong thi cử, nhưng nó sẽ mang lại một cách suy nghĩ khá mới mẻ, mở rộng ñược tầm hiểu biết, mang ñến cho chúng ta cách nhìn nhận vấn ñề tốt hơn, và cho riêng các bạn chuyên toán, sẽ yêu môn toán hơn vì sự biến ñổi bất ngờ ñến thú vị của nó. Trên lí thuyết, hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc là tiêu chuẩn, không chỉ trong toán học mà còn nhiếu bộ môn khác. Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta vẫn cần biết ñến một hệ trục khác không vuông góc. ðiều ñó làm thay ñổi hoàn toàn cách ta ghi nhận một sự việc, hiện tượng nào ñó: hình tròn không còn tròn nữa, các ñường thẳng song song sẽ cắt nhau…! Nghe tuy thật mâu thuẫn nhưng thật ra giữa hai hệ trục có mối quan hệ rất chặt chẽ và dĩ nhiên, không hề mâu thuẫn với nhau. Mối liên hệ ñó như thế nào? Câu hỏi sẽ ñược giải ñáp trong phần Sáng tạo của cúng tôi. Hơn thế nữa, các bạn sẽ còn nhận ra rằng nhiều khi ta ñã nhìn vấn ñề theo một hệ trục “không trực chuẩn” như thế, cả trong học tập lẫn ñời sống, mà không nhận ra ñấy thôi. Chúng tôi ñã nêu lên một số vấn ñề như thế trong phần Chuyên ñề của mình. Tuy nhiên vẫn còn một số câu hỏi mà chúng tôi ñang giải quyết và rất mong ñợi sự hỗ trợ từ các bạn và quý thấy cô như: 1. Một cách nhìn tổng quát nhất về những trường hợp bài toán có thể giải bằng hai cách. 2. Còn những dạng toán nào có thể áp dụng phương pháp này ñể giải … Cuối cùng, tuy ñã cốgắng rất nhiều, chúng tôi khó tránh khỏi những sai sót, rất mong quý thầy cô và các bạn thông cảm và liên hệ giúp chúng tôi có thể làm tốt hơn trong những chuyên ñề sau. Nhóm chuyên ñề 4 LỜI CẢM TẠ Chuyên ñề này ra ñời, bên cạnh sự cố gắng của nhóm còn có phần giúp ñỡ vô cùng to lớn của quý thầy cô ñã và ñang trực tiếp giảng dạy về cả vật chất và tinh thần. ðó là nguồn lực to lớn giúp cho chúng tôi có thể hoàn thành tốt công việc. Nay chúng tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc, chân thành nhất ñến quý thầy cô: Cô Tạ Thanh Thuỷ Tiên Thầy Phan ðại Nhơn Thầy Huỳnh Bửu Tính Thấy Nguyễn Hồng ðức MỤC LỤC • Ch ương I VECTOR Lí thuyết ………………………………………………………………………… 5 1. ðịnh nghĩa vector, Quan hệ giữa các vector, Các phép toán ………………………… 5 2. ðiều kiện ñồng phẳng………………………………………………………………… 6 3. Góc giữa hai vector, Hình chiếu, Tích vô hướng………………………………………. 7 4. Hệ vector ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính………………………………………… … 8 Bài tập ………………………………………………………………………… 9 • Chương II TOẠ ðỘ Lí thuyết ………………………………………………………………… ……18 1. Toạ ñộ vector, Toạ ñộ ñiểm, ðiều kiện ñồng phẳng, ñồng phương và các phép toán………………………………………………………………………………….… 18 2. Ví dụ áp dụng……………………………………………………………………… … 19 3. Tích vô hướng, Tích hữu hướng và công thức tính thể tích…………………… …… 25 4. Ví dụ áp dụng ………………………………………………………………………… 26 5. Hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc………………………………………………… ………. 29 6. Ví dụ áp dụng………………………………………………………… ………………. 30 7. Tâm tỉ cự……………………………………………………………………… ……… 34 Bài tập ………………………………………………………………………… … 36 1. Hệ trục cho tam diện, hình chóp………………………………………………… …… 36 2. Hệ trục cho lăng trụ…………………………………………………………………… 56 3. Hình không mẫu mực……………………………………………………………… … 60 • Chương III GIẢI BÀI TOÁN BẰNG HAI CÁCH ………… … 66 • Ch ương IV MỘT SỐ ðỊNH LÍ NỔI TIẾNG ………………… … 76 • Ch ương V ỨNG DỤNG KHÁC …………………………………… …… 80 • Ch ương VI SÁNG TẠO - HỆ TRỤC AFIN …………………….…. 82 Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008 ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 5 CHƯƠNG I VECTOR TRONG KHÔNG GIAN 1. ðịnh nghĩa vector: - Vector là 1 ñoạn thẳng có quy ñịnh 1 chiều. Chiều của vector là thứ tự 2 ñầu mút là ñiểm ñầu (gốc) và ñiểm cuối (ngọn) của ñoạn thẳng. ðường thẳng ñi qua 2 ñầu mút là phương của vector - Kí hiệu vector: AB , ñộ dài của vector ñó là AB hay . Cách khác: u , ñộ dài của vector ñó là u hoặc u - Vector có ñiểm ñầu và ñiểm cuối trùng nhau ñược gọi là vector- không (kí hiệu là AA hoặc 0 ). 2. Quan hệ của các vector trong không gian: a) 2 vector ñồng phương hoặc không ñồng phương: - 2 vector vu , (khác 0 ) ñược gọi là ñồng phương (kí hiệu u // v ) nếu chúng nằm trên cùng 1 ñường thẳng hoặc nằm trên 2 ñường thẳng song song - 2 vector vu , (khác 0 ) ñược gọi là không ñồng phương (kí hiệu u / / v ) nếu chúng nằm trên cùng 2 ñường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau - Ta quy ước 1 vector 0 luôn cùng phương với 1 vector khác 0 b) 2 vector cùng chiều hoặc ngược chiều: Cho 2 vector vu , khác 0 và ñồng phương, khi ñó tồn tại mp(P) chứa vu , . - Nếu trong (P) 2 vector ñó cùng chiều, thì ta nói u và v cùng chiều trong không gian (kí hiệu u ↑↑ v ) - Nếu trong (P) 2 vector ñó ngược chiều, thì ta nói u và v ngược chiều trong không gian (kí hiệu u ↑↓ v ) - Ta quy ước 1 vector 0 luôn cùng chiều với 1 vector khác 0 c) 2 vector bằng nhau hoặc 2 vector ñối nhau: - 2 vector vu , bằng nhau ( u = v ) nếu chúng cùng chiều và cùng ñộ dài - 2 vector vu , ñối nhau ( u = - v ) nếu chúng ngược chiều và cùng ñộ dài d) 3 vector ñồng phẳng hoặc không ñồng phẳng: - 3 vector wvu ,, (khác 0 ) ñồng phẳng khi chúng cùng nằm trong 1 mp hoặc nằm trong các mặt phẳng song song. - Nếu 3 vector không có tính chất trên thì chúng không ñồng phẳng 3. Các phép toán vector: a) Phép cộng vector: B A v a C - ðịnh nghĩa: Cho 2 vector vu , , tổng của u và v là vector a ñược xác ñịnh theo quy tắc tam giác Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008 ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 6 Trường hợp tổng của nhiều vector: Cho n vector n uuu , ,, 21 . Tổng của n vector ñó ñược xác ñịnh theo quy tắc ñường gấp khúc: Từ 1 ñiểm A 0 bất kì ta dựng liên tiếp các vector nn AAAAAA 1210 , ,3, − . Vector n AA 0 là tổng của n vector ñã cho và ñược kí hiệu: n uuuu +++= ' 21 - Tính chất: i) u +0 = u ii) u +(- u ) = 0 iii) u + v = v + u iv) ( u + v )+ w = u + ( v + w ) b) Phép trừ 2 vector: B u v A w C Hiệu của u và v là 1 vector w và ñược kí hiệu u v w − = , nên w v u + = c) Nhân 1 vector với 1 số thực: - ðịnh nghĩa: Cho 0 ≠u và số thực k ≠ 0. Tích của u với k là 1 vector v có ñộ dài bằng uk . và cùng chiều với u khi k>0; ngược chiều với u khi k<0. Kí` hiệu: v = k. u - Tính chất: i) 1. u = u ii) m.(n. u ) = (m.n). u , (m,n ∈ R) ii) m.( u + v ) = m. u +m. v , (m,n ∈ R) iv) (m+n). u = m. u +m. u - Hệ quả: i) unuuu n =+++ ii) Nếu u // v thì tồn tại 1 số thực k sao cho v =k. u và k là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó. 4. ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector: - Cho 3 vector wvu ,, (khác0 ) và . ðể 3 vector ñó ñồng phẳng cần và ñủ là tồn tại 2 số thực m.n sao cho vnumw + = . Cặp số m,n là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó. - Hệ quả: i) Nếu wvu ,, không ñồng phẳng và . . . 0 m u n v k w + + = , thì m = n = k = 0 ii) Với mọi vector a tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực x,y,z sao cho wzvyuxa + + = Các vector wvu ,, ñược gọi là cơ sở của a . Bộ số (x,y,z) ñược gọi là toạ ñộ của a . Vector a có biểu diễn như vậy ñược gọi là phân tích của a theo 1 cơ sở. Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008 ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 7 5. Góc tạo bởi 2 vector trong không gian: a) ðịnh nghĩa: Cho 2 vector vu , khác 0 . Gọi P là 1 ñiểm bất kì trong không gian và từ ñó dựng , OA u OB v = = , khi ñó góc AOB là góc tạo bởi u và v . Ta kí hiệu ( , ) u v là góc tạo bởi 2 vector vu , . Góc tạo bởi 2 vector không phụ thuộc vào cách chọn ñiểm O Góc tạo bởi 1 vector 0 và 1 vector khác 0 không xác ñịnh. b) Tính chất: i) Nếu ' u u ↑↑ và ' v v ↑↑ thì ( ', ') u v = ( , ) u v ii) Nếu ( , ) u v = α , thì 0 ( ', ') ( ', ') 180 u v u v α − = − = − iii) Nếu u v ↑↑ thì ( , ) u v =0. Nếu AB , thì ( , ) u v =180 0 6. ðộ dài hình chiếu của 1 vector lên 1 trục tọa ñộ: B A O A’ B’ x Cho AB là trục tọa ñộ Ox. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên Ox. A’B’ là hình chiếu của AB lên Ox. Ta có hệ thức sau: ' ' cos A B AB α = ( α là góc tạo bởi AB và vector ñơn vị trên Ox) 7. Tích vô hướng của 2 vector trong không gian: a) ðịnh nghĩa: - Cho 2 vector vu , khác 0 tạo với nhau góc α .Ta kí hiệu tích vô hướng của 2 vector ñó là . . .cos u v u v α = - Nếu 1 trong 2 vector bằng 0 , thì tích vô hướng của chúng bằng 0 b) Tính chất: i) . . u v v u = ii) .( ) . . u v w u v u w + = + iii) ( . ). .( . ), k u v k u v k R = ∈ iv) 2 2 . ( ) u u u u = = v) . . u v u v ≤ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u // v c) Hệ quả: * 0 . 0 ( , ) 90 u v u v < ⇔ > * 0 . 0 ( , ) 90 u v u v > ⇔ < * 0 . 0 ( , ) 90 u v u v < ⇔ > Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008 ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 8 8. Hệ vector ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính: a) Hệ vector ñộc lập tuyến tính: Trong không gian vector V, hệ n vector 1 2 , , , n x x x ñược gọi là ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi từ biểu thức: 1 1 2 2 0 n n k x k x k x + + + = Ta suy ra: 1 2 n k k k = = = VD: Trong mặt phẳng hệ 2 vector (khác 0 ) không cùng phương gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính hoặc trong không gian hệ 3 vector không ñồng phẳng (khác 0 ) gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính b) Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: Nếu hệ n vector không ñộc lập tuyến tính thì gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính. Như vậy, hệ n vector 1 2 , , , n x x x phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có thể tìm ñược các số 1 2 , , , n k k k không ñồng thời bằng 0 sao cho: 1 1 2 2 0 n n k x k x k x + + + = c) Tính chất: - Nếu 1 hệ vector 1 2 , , , n x x x là ñộc lập tuyến tính thì mọi vector của hệ ñều khác 0 - Nếu hệ vector 1 2 , , , n x x x ñộc lập tuyến tính thì mọi vector con của nó cũng ñộc lập tuyến tính - Nếu hệ n vector 1 2 , , , n x x x phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ vector chứa hệ ñó ñều phụ thuộc tuyến tính - Hệ n vector 1 2 , , , n x x x ( 2 n ≥ ) phụ thuộc tuyến tính khi là chỉ khi 1 vector nào ñó của hệ biểu thị tuyến tính qua các vector còn lại VD: 1 1 1 2 2 1 1 1 0 n n i i n n n i x k x k x k x k x x − − − = = ⇔ + + + − = ∑ Ngược lại nếu hệ phụ thuộc tuyến tính thì có các số không ñồng thời bằng 0 sao cho 1 0 n i i i k x = = ∑ - N ế u 1 h ệ vector 1 2 , , , n x x x là ñộ c l ậ p tuy ế n tính thì h ệ 1 2 , , , n x x x , y ph ụ thu ộ c tuy ế n tính khi và ch ỉ khi y bi ể u th ị tuy ế n tính qua 1 2 , , , n x x x và cách bi ể u th ị ñ ó là duy nh ấ t > Vi ệ c ch ứ ng minh 1 h ệ vector ñộ c l ậ p tuy ế n tính hay ph ụ thu ộ c tuy ế n tính có liên quan m ậ t thi ế t ñế n các bài toán ch ứ ng minh 3 ñ i ể m th ẳ ng hàng, 4 ñ i ể m ñồ ng ph ẳ ng, 2 ñườ ng th ẳ ng chéo nhau trong hình h ọ c. Chuyên ñề l ớ p 11A1 – N ă m h ọ c 2007-2008 ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 9 MỘT SỐ BÀI TẬP Những kĩ năng biến ñổi bài toán theo kiểu vector nói chung không phức tạp, ta cần làm nhiều bài ñể nắm vững ñược nhiều dạng khác nhau. Khi ñó có thể nắm ñược mấu chốt vấn ñề khi gặp một bài mới. Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’ Chứng minh rằng: 3 ' ' ' ' SA SB SC SG SA SB SC SG + + = Gi ả i: A' C' S A B C B' G' G ðặ t , , , ' ' ' ' SA SB SC SG a b c d SA SB SC SG = = = = . ', . ', . ', . ' SA a SA SB b SB SC c SC SG d DG ⇔ = = = = Ta có : 3 SA SB SC SG + + = (G là tr ọ ng tâm c ủ a tam giác ABC) ' ' ' 3 ' aSA bSB cSC dSG ⇔ + + = M ặ t khác ta có A’, B’, C’, G’ ñồ ng ph ẳ ng nên ' ' ' ' SG mSA nSB pSC = + + v ớ i m + n + p = 1 ' ' ' 3 ( ' ' ') aSA bSB cSC d mSA nSB pSC ⇒ + + = + + Vì ' SA , ' SB , ' SC ñộc lập tuyến tính nên: 3 3 3 a dm b dn c dp = = = 3 ( ) 3 a b c d m n p d ⇒ + + = + + = ⇒ 3 ' ' ' ' SA SB SC SG SA SB SC SG + + = Trên các c ạ nh AB, BC, CD, DA c ủ a t ứ di ệ n ABCD, ng ườ i ta l ấ y theo th ứ t ự các ñ i ể m A’, B’, C’, D’ . Bi ế t r ằ ng trong không gian t ồ n t ạ i 1 ñ i ể m O sao cho: ' ' ' ' OA OB OC OD OA OB OC OD + + + = + + + Ch ứ ng minh r ằ ng: [...]... ng phân giác trong k t ñ nh B là BD = 2 74 3 TÂM T C C A H ðI M - T A ð 1 Khái ni m v tâm t c c a n h ñi m trong không gian: a) ð nh nghĩa: TR NG TÂM Trong không gian cho n ñi m A1,A2,…,An và n s th c t1, t2,…, tn trong ñó n ∑t i ≠ 0 (các ti không i =1 ñ ng th i b ng 0) Khi ñó t n t i 1 ñi m G duy nh t sao cho: n ∑ t GA = t GA + t GA i i 1 i 2 2 + + tn GAn = 0 i =1 Th t v y, trong không gian l y 1 ñi... 22 Chuyên ñ l p 11A1 – Năm h c 2007-2008 1 m = − T (1) và (2) ⇒ 2 n=2 Thay vào (3) ⇒ −1 + 6 = 1 (vô lí) V y AC , AB, AE không ñ ng ph ng Hay 4 ñi m A, B, C, E không cùng n m trên 1 m t ph ng Trong không gian Oxyz, cho các vector : a ( −2,3,1) , b ( 5, −7, 0 ) và c ( 3, −2, 4 ) a Ch ng t r ng a, b, c không ñ ng ph ng b Phân tích vector d ( 3,... nên M 3 ( −1, −2,3) Trong không gian Oxyz, cho các vector : a (1, 2,3) , b ( 2,3, −1) và c ( 3, −1, 2 ) u ( 5, −5,1) , v ( 9, −3, 7 ) và w (1,8,8 ) a Ch ng minh r ng ba vector a, b, c không ñ ng ph ng b Ch ng minh r ng ba vector u, v, w không ñ ng ph ng Gi i a Ta có th trình bày theo 2 cách sau : Cách 1 : Ta có : 2 3 3 1 1 2 3 + ( −1) + 2 = −42 3 -1 -3 2 2 3 ⇔ 3 vector a, b, c không ñ ng ph ng ... +1 i =1 Khi ñó tâm t c c a h 2 ñi m , là ñi m G g n v i b h s n m ∑t i =1 i và ∑t j j = m +1 2 T a ñ tr ng tâm c a h ñi m trong không gian: a) ð nh nghĩa: Trong không gian cho 4 ñi m A1,A2,A3,A4 không ñ ng ph ng Khi ñó ng v i m i ñi m M trong không gian ta có b 4 s (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) duy nh t sao cho λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 1 và M là tâm t c c a h 4 ñi m g n v i b h s λ1 , λ2 , λ3 , λ4 B 4 s λ1 , λ2... 25 Chuyên ñ l p 11A1 – Năm h c 2007-2008 a Trong không gian Oxyz, cho ba ñi m A (1,1,1) , B ( 5,1, −2 ) , C ( 7,9,1) Ch ng t r ng A,B,C không th ng hang b c Tính cosBAC và di n tích ∆ABC Tìm t a ñ chân ñư ng phân giác trong c a tam giác xu t phát t A a Ta có : AB ( 4, 0, −3) , AC ( 6,8,0 ) ⇒ AB và AC không cùng phương ⇒ A, B, C không th ng hàng... vuông góc Trong không gian Oxyz tìm vector ñơn v e vuông góc v i các vector a = (4, 0, −3) , b = (2,1, 0) và t o v i tr c Ox m t góc tù Gi i: ð t e = (4, 0, −3) Ta có: 3 x1 = − e⊥a 4 x1 − 3x3 = 0 61 2x + x = 0 6 e ⊥b ⇔ 2 1 2 2 2 ⇔ x2 = 61 e =1 x1 + x2 + x3 = 1 e.e < 0 4 x1 < 0 1 x3 = − 61 3 6 4 V y vector c n tìm là e = (− , ,− ) 61 61 61 Trong không gian Oxyz... sau 1 T a ñ c a 1 vector: Trong không gian t a ñ Oxyz cho vector u , khi ñó t n t i duy nh t b 3 s th c x,y,z sao cho u = x.i + y j + z.k (i , j , k là các vector ñơn v tương ng trên các tr c t a ñ Ox,Oy,Oz) B 3 s th c có th t (x,y,z) ñư c g i là t a ñ c a u Các s x,y,z tương ng là hoành ñ , tung ñ , cao ñ c a vector ñó Vector 0 có t a ñ (0,0,0) Kí hi u: u (x,y,z) Cho u (x1,y1,z1) và v ( x2 , y2 ,... u ] ii) w ⊥ u và w ⊥ v iii) k [u ; v ] =[ k u ; v ] iv) [ s;(u + v )] = [ s; u ] + [ s; v ] 8 Công th c ñ tính th tích hình t di n và hình h p: Cho 3 vector u , v , w (khác 0 ) không ñ ng ph ng v i nhau T 1 ñi m S trong không gian d ng ta d ng các vector SA = u , SB = v , SC = w Th tích V c a hình chóp SABC ñư c tính: 1 V = [u ; v ].w 6 Kí hi u V’ là th tích c a hình h p d ng trên 3 vector SA, SB,... = 2α + 3β ,vô nghi m 2 = 3α − β ⇔ 3 vector a, b, c không ñ ng ph ng b Ta có : -5 1 -3 7 + 1 5 7 9 8 + 5 -5 9 -3 8 = 32 − 8.26 + 8.30 = 0 21 Chuyên ñ l p 11A1 – Năm h c 2007-2008 ⇔ 3 vector u, v, w ñ ng ph ng Trong không gian Oxyz, cho các vector : a (1, t, 2 ) , b ( t + 1, 2,1) và c ( 0, t − 2, 2 ) Xác ñ nh t ñ a, b,... và v ( x2 , y2 , z2 ) Tích vô hư ng c a 2 vector ñã cho là 1 s th c b ng: u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 - ð dài vector u : u = x12 + y12 + z12 N u α là góc t o b i 2 vector u ( x1 , y1 , z1 ) và v ( x2 , y2 , z2 ) thì 7 Bi u th c t a ñ tính tích h u hư ng c a 2 vector: - Cho u ( x1 , y1 , z1 ) và v ( x2 , y2 , z2 ) Tích h u hư ng c a 2 vector ñã cho là 1 vector w( x3 , y3 , z3 ) mà t a ñ c a nó ñư . cùng chiều trong không gian (kí hiệu u ↑↑ v ) - Nếu trong (P) 2 vector ñó ngược chiều, thì ta nói u và v ngược chiều trong không gian (kí hiệu u ↑↓ v ) - Ta quy ước 1 vector 0 luôn. = = VD: Trong mặt phẳng hệ 2 vector (khác 0 ) không cùng phương gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính hoặc trong không gian hệ 3 vector không ñồng phẳng (khác 0 ) gọi là hệ vector ñộc. __________________________________________________________________________ 5 CHƯƠNG I VECTOR TRONG KHÔNG GIAN 1. ðịnh nghĩa vector: - Vector là 1 ñoạn thẳng có quy ñịnh 1 chiều. Chiều của vector là thứ tự 2 ñầu mút là ñiểm ñầu (gốc)