Về mở rộng bậc hữu hạn của các truờng số

Trờng đại học Vinh Khoa Toán ___________________________________________ Nguyễn Thị Anh Về mở rộng bậc hữu hạn của các trờng số Chuyên ngành: Đại số Khoá luận tốt nghiệp đại học 3 Ngành cử nhân khoa học toán Giáo viên hớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Anh Lớp 41E3 Khoa Toán - Đại học Vinh Vinh - 2005 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 4 Đ1. Các kiến thức cơ sở về trờng 3 Đ2. Mở rộng trờng . 9 Đ3. Mở rộng đơn . 13 Đ4. Kết nối nghiệm 16 Đ5. Mở rộng bậc hữu hạn của các trờng số 19 Đ6. Một số ví dụ về mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ 24 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Lời nói đầu C ho tới đầu thế kỷ 20, Đại số học chủ yếu nghiên cứu việc giải các phơng trình đại số. Một minh chứng rõ nhất đó là Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển khẳng định, mọi đa thức hệ số phức với bậc dơng đều có ít nhất một nghiệm phức. Về sau, Đại số học trở thành khoa học nghiên cứu cấu trúc đại số trừu tợng, mà trong đó cấu trúc trờng là một cấu trúc đại số cơ bản có nhiều ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Giải phơng trình đại số là một vấn đề cơ bản của toán học, đợc gắn liền với bài toán mở rộng trờng, đặc biệt là mở rộng bậc hữu hạn của các trờng số. 5 Với ý nghĩa trên, khoá luận tập trung nghiên cứu về lớp các mở rộng bậc hữu hạn trên các trờng số; tìm các tính chất đặc trng của các mở rộng này. Các kết quả chính thu đợc của khoá luận này là đa ra đợc một số chứng minh mới so với tài liệu hiện có, để khẳng định rằng: Mọi mở rộng hữu hạn của trờng R các số thực hoặc là trờng R hoặc là trờng C các số phức. Nếu F là một mở rộng bậc nguyên tố của trờng Q và u F, u Q thì F = Q(u). Nếu F là mở rộng bậc hai của trờng số hữu tỉ Q thì F = Q( d ), trong đó d là số nguyên khác 1 và không có ớc chính phơng. Trờng K là trờng đóng đại số nếu và chỉ nếu K không có mở rộng hữu hạn nào khác nó; từ đó thu đợc hệ quả rằng, trờng các số phức C chỉ có mở rộng hữu hạn duy nhất là chính nó. Nếu u là số đại số bậc lẻ thì các mở rộng đơn Q(u) và Q(u 2 ) trùng nhau. Ngoài ra, khoá luận còn đa ra một số ví dụ về các mở rộng bậc hữu hạn của tr- ờng các số hữu tỉ. Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, cho phép tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hớng dẫn vì sự giúp đỡ và chỉ dẫn hết sức nhiệt tình, nghiêm túc và chu đáo. Tác giả trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán và các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số và Khoa Toán, đã giảng dạy cho chúng tôi trong thời gian 5 năm học tập đại học vừa qua. Lần đầu tiên đợc tiếp cận với việc tập dợt nghiên cứu khoa học, nên không tránh khỏi sự bỡ ngỡ, và chắc không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tác giả kính mong nhận đợc sự chỉ bảo của các thầy cô giáo. 6 Vinh, 28 tháng 4 năm 2005 Sinh viên Nguyễn Thị Anh Đ1. Các kiến thức cơ sở về trờng 1.1. Nhắc lại khái niệm trờng. Trờng là một tập hợp K có nhiều hơn một phần tử, đợc trang bị hai phép toán cộng và nhân, ký hiệu bởi dấu (+) và dấu (.), thoả mãn các quy tắc sau đây: 1. Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) +c = a + (b +c). 2. Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a. 3. Phép cộng có phần tử đơn vị : 0 K: a + 0 = a. 4. Tồn tại phần tử đối: a K, -a K: a + (-a) = 0. 5. Phép nhân có tính chất kết hợp: (ab)c = a(bc). 6. Phép nhân có tính chất giao hoán: ab = ba. 7 7. Phép nhân có phần tử đơn vị 1: 1 K sao cho a1 = a. 8. Tồn tại nghịch đảo: a K, a 0, a -1 K: aa -1 = 1. 9. Phép cộng và phép nhân thỏa mãn luật phân phối: a(b+c) = ab + ac; a, b, c K. Ví dụ. 1) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trờng. 2) Trờng Q các số hữu tỉ; trờng R các số thực; trờng C các số phức; trờng Z p các số nguyên modp, với p là số nguyên tố. Nhận xét. 1) Trong trờng K, ta có 10 . Thật vậy, giả sử 10 = , khi đó với mọi x thuộc K, ta có xxx === 100 , hay K chỉ có duy nhất một phần tử 0 , vô lý. 2) Trong mỗi trờng K chỉ có hai ideal là {0} và K. 1.2. Trờng con. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử K là một trờng, A là một tập con của K ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong K, nghĩa là: KxyKyxKyx + ,, . Ta gọi A là một trờng con của trờng K nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A, là một trờng. 1.2.2. Định lý. Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trờng K. Khi đó, các điều kiện sau là tơng đơng: a) A là một trờng con của trờng K. b) ).0(;, 1 xAxAyxAyx Ví dụ. 1) Cho K là trờng. K là trờng con của trờng K. Bộ phận {0} gồm phần tử không của trờng K không phải là trờng con của K. 2) Trờng Q các số hữu tỉ là trờng con trờng R các số thực; trờng R các số thực là trờng con của trờng C các số phức. 8 1.3. Đồng cấu trờng. 1.3.1. Định nghĩa. Cho K và E là các trờng. ánh xạ f: K E đợc gọi là một đồng cấu trờng nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn với mọi phần tử a, b thuộc K: i) f(a + b) = f(a) + f(b), ii) f(ab) = f(a)f(b). 1.3.2. Các tính chất đơn giản của đồng cấu trờng. Cho f: K E là một đồng cấu trờng, ta có: 1) f là đồng cấu từ nhóm cộng của trờng K vào nhóm cộng của trờng E, và do đó f có mọi tính chất của một đồng cấu của nhóm cộng, chẳng hạn: f(0) = 0; f(a - b) = f(a) - f(b), ., Kba 2) f(1) = 0 hoặc f(1) = 1. 3) f là đơn cấu f(1) = 1. 4) f là đồng cấu không f(1) = 0. 5) f là đồng cấu không hoặc f là đơn cấu. 6) Nếu f khác đồng cấu khác không thì f là đồng cấu của nhóm nhân K * vào nhóm nhân E * , do đó trong trờng hợp này f có mọi tính chất của một đồng cấu nhóm nhân, chẳng hạn: 11 )()( = afaf , với 0, aKa . 1.4. Trờng các thơng. 9 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử X là một miền nguyên và X là một trờng. Ta gọi trờng X là trờng các thơng của miền nguyên X nếu tồn tại một đơn cấu miền nguyên f: X X sao cho mọi phần tử của X có dạng f(a)f(b) -1 với a,b .0, bX 1.4.2. Định lý về sự tồn tại của trờng các thơng ([8]). Giả sử X là miền nguyên. Khi đó, tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu một trờng X và một đơn cấu miền nguyên f: X X sao cho mọi phần tử của X có dạng f(a)f(b) -1 với a, b .0, bX Nói khác đi, tr- ờng các thơng của miền nguyên X là tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu. Trờng Q các số hữu tỉ đợc định nghĩa là trờng các thơng của miền nguyên Z các số nguyên. Trờng K(x) các phân thức f(x)/g(x) đợc định nghĩa là trờng các thơng của miền nguyên K[x] các đa thức của ẩn x trên trờng K. 1.5. Đặc số của trờng. Cho K là một trờng với đơn vị 1. Nếu ,01 n với mọi số tự nhiên 0 n , thì ta nói trờng K có đặc số 0. Trong trờng hợp ngợc lại, ta gọi số nguyên dơng p bé nhất sao cho 01 = p là đặc số của trờng K. Ví dụ. Các trờng Q, R, C có đặc số 0. Trờng Z p có đặc số p. Nhận xét. Nếu trờng K có đặc số 0 p thì p là số nguyên tố. Thật vậy, giả sử ngợc lại p là hợp số, tức ,1,2, = plkklp khi đó ta có 0)1)(1( = lk , hay 01 = k hoặc 01 = l , điều này mâu thuẫn với tính bé nhất của p . 1.6. Trờng nguyên tố. Một trờng K đợc gọi là trờng nguyên tố hay trờng đơn nếu K không có một trờng con thực sự nào cả. Trờng các số hữu tỉ Q và trờng Z p các lớp thặng d modp là các ví dụ về trờng nguyên tố. Nhận xét. Mỗi một trờng tuỳ ý đều chứa một trờng con nguyên tố duy nhất. Thật vậy, ta gọi P là giao của tất cả các trờng con của trờng K. Khi đó, P là trờng con bé nhất của K và do đó P là trờng con nguyên tố duy nhất của K. 10 1.7. Định lý về các kiểu trờng nguyên tố. Cho K là một trờng và P là trờng con nguyên tố của K. Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trờng Q các số hữu tỉ. Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trờng Z p các số nguyên modp. Chứng minh. Lập ánh xạ f: Z K từ vành số nguyên Z tới trờng K, xác định bởi f(m) = me, với e là phần tử đơn vị của trờng K. Ta chứng minh f là đồng cấu vành. Thật vậy, với mọi m,n Z, ta có * f(m + n)e = (m + n)e = me + ne = f(m) + f(n) * f(m.n) = (mn)e = (me)(ne) = f(m).f(n), (do e 2 = e). Do đó, ta suy ra f là một đồng cấu vành. Hạt nhân của đồng cấu vành f là: Ker(f) = { m Z; f(m) = 0}. a) Trong trờng hợp trờng K có đặc số 0, ta có m Ker(f) f(m) = 0 me = 0 m = 0 Vậy Ker(f) = 0, hay f là đơn cấu vành, do đó ta có một đẳng cấu vành: Z Im(f) = { me\ m Z }. Đẳng cấu vành này cảm sinh ra một đẳng cấu giữa trờng các thơng của vành số nguyên Z với trờng các thơng của Im(f). Do đó ta có đẳng cấu trờng Q P, bởi vì trờng các thơng của Z là Q, còn trờng các thơng của Im(f) chính là P. b) Trong trờng hợp K có đặc số nguyên tố p, ta có m Ker(f) f(m) = me = 0 K m p m pZ. Vì vậy, Ker(f) = pZ. Theo định lý đồng cấu vành, ta có: Z /Ker(f) Im(f), hay Z/pZ = Z p Im(f). Do Z p là trờng nên Im(f) cũng là trờng. Mặt khác, Im(f) là trờng con bé nhất của K nên Im(f) = P, và ta có Z p P. 1.8. Mệnh đề. Trong một trờng K với đặc số nguyên tố p, ta có: .,,)( Kbababa ppp +=+ Chứng minh. Theo công thức nhị thức Newton, ta có (a + b) p = = p k 0 k p a p - k b k . 11 Hơn nữa, do p là số nguyên tố, ta có k p 0 (modp), 1 k p -1 Vì thế, ta có k p 1 = 0 k . Do đó công thức nhị thức trên trở thành (a + b) p = a p + b p . 1.9. Định lý. Nếu K là trờng có đặc số nguyên tố p thì ánh xạ p aa là một tự đơn cấu của trờng K. Chứng minh. Với a,b K, ta có * f(a + b) = (a + b) p = a p + b p = f(a) + f(b) (theo mệnh đề 1.5) * f(ab) = (ab) p = a p b p = f(a)f(b). Ngoài ra, vì f(1) = 1 p = 1 0 k , nên f khác tự đồng cấu không của trờng K. Vì vậy, f là một tự đơn cấu của trờng K. 1.10. Hệ quả. Nếu K là trờng đặc số nguyên tố p thì ánh xạ n p aa là một tự đơn cấu của trờng K, với mọi số nguyên 1 n . Chứng minh. Vì trờng K có đặc số p, cho nên ánh xạ p aa là một tự đơn cấu của trờng K ( theo định lý 1.7). Vì vậy, ánh xạ tích n lần của f: n pn aaffff = : .ooo cũng là một tự đơn cấu của trờng K. 1.11. Mệnh đề. Mọi tự đồng cấu khác không của trờng Z p các số nguyên modp đều là tự đẳng cấu đồng nhất. Chứng minh. Giả sử f: Z p Z p là tự một đồng cấu bất kỳ của trờng Z p , ta có f( 1 ) = f( 1 ) f( 1 ), hay f( 1 ) = 0 hoặc f( 1 ) = 1 . Nếu f( 1 ) = 0 , thì f( k ) = 0 , với mọi lớp thặng d k thuộc trờng Z p , hay f là tự đồng cấu không. Vì vậy, f( 1 ) = 1 và do đó ta có: f( k ) = f( 1 + 1 + . + 1 ) = kf( 1 ) = k. 1 = k , (k = 0,1, . ,p-1). Nh vậy, f là tự đẳng cấu đồng nhất của trờng Z p . 12