Xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ cp từ trường số hữu tỉ q với chuẩn p ADIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN ______________________________ PHẠM QUỐC DŨNG XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẦY ĐỦ C p TỪ TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ Q VỚI CHUẨN P-ADIC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC VINH 2010  mục lục mở đầu Chơng 1 Trờng các số p-adic Q p Cỏc chun trờn trng s hu t Q Trng s p-adic Chơng 2 Trờng số phức p-adic C p úng i s ca Q p Trng cỏc s phc p-adic C p Kết luận Tài liệu tham khảo M U !"#$%&' !()!* "+,-!.%*!-,/0!"%"1223","!45!%!(678 5/""!9:02!$!!;%0"&6' !<! %=' !>2?@A!B8/%C%:@7"!2DB8"E2F % "!G!'2!"#6%E!BHI-JK"%0!(/"!%=A6 !2D#' !>2?@!-L4%47"!2DB8"E2F% " !G!'6!-L4%47"!2DM"7"B8/N 2# 8-%)O576!?)!"!/PN@!Q-!B8/%C%:)!!( !R!-' !S2Q!2N<6!!(!"!-' M"@ p 2!"#6' M"@ p B9"K!G%)%9" 6-%) B9"/PN)!8!'%)%9" %*!%=' p Q ' p Q /"!%=B9"K!G%C%:6-%)6B9"B8/%C%:)%*!%= ' !(M" p ' !(M" p 7%)%9" 67 %C%:678-%)S25!4!7"F'%)%9" 6%C %:' !>2?@7"!2DM"K&!;276#' p T)R!"122!U"!!*","S2&%= V","H!M")/L-!"128!-!W6!X!9!BY!2&  78BY!2&"*2"+678/LZ%0%="&%&RB26-7[T K!/"B9% "7""!7"# O"R,BH-#6!;G"B!W%18"3'%)%9" 6 %C%: p 7"!2DM"O5/\%H!!H!:K!-B2B82R/N "!5!F! 71S25!' !(M" p 6#K!- B2K!G%"278-!"#(2!""&'@ p 78 p ]75%* 278-/\%H!!H!%)#K&S2,^S2#BY!2&' 78K!G"%E!!2D!?#2%*\!(K!G!(/"! _!-B2%=!-8!8!"![:`Vaa$2+!8! @2$!E86","8UBTKH!W78"&42b%& !C"-![%08!!-",![5!6!2%-78 !"#/;-S25!!W6!"#(2 ", "c"B'",/4%& !CG"--K!--78R,!CG"-%0"&", 978";%d",-2 S25!!W:/5! eLZ%0!&( b-K!-B2K!G!*!K!U"!>!"&2 )",/-!%=!?,-78%)):!CG"-78 9 O"!68f!fg/ ",  `!9/@2 h]  CHƯƠNG 1 TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC Q p 1.1. Các chuẩn trên trường số hữu tỉ Q 1.1.1. Chuẩn trên một trường !-/N'i6/Nchuẩn trên trường FB8/N!96KH!"F2jjjj6i %& !K!G/-!-7"/W"6!2Ni)3 "k jjjjl ⇔ l6 ""k jjjjljjjjjjjj6 """kjjmjjnjjjjmjjjj !X!96"E2F% "!G!'jjB8/N!2D#' !>2? @6' !<78' !( !-B8/N 2#  o %4 p 7# o 26B2G!"# p 2B o /G q G r 2#G r !-4 r   1.1.2.Định nghĩa!-B8/N 2#K!RK56)"chỉ số p-adic của a6KH!"F2B8- p 6B8 !"#/B!R!-,/0st/- m k $&2l!5S27"&- p lu Chú ýVới a, b là các số nguyên ta có3 "kord p (ab) = ord p a + ord p b6 ""kord p (a + b) ≥ min ( ord p a, ord p b) Chứng minhV",c3- p l/78- p l)l m v78l n w67" tv6kl78tw6kl_!"%)3l nm + vw6/LK!tvw6kl#- p tkl/ml- p m- p  V",c/x6)3 ml m vm n wl n t nm − vmwk h-%)- p tmkxl/"t- p 6- p ky 1.1.3. Định nghĩa  !-    l  b a  B8    !>2  ?  R  K56    %E!  !.3 - p l- p z- p  h78-!;Y!R%E!!.8B8!=BH675- p !?!\!2N 78-!(K!G!\!2N78-78 1.1.4.Mệnh đềÁnh xạ | | p trên Q cho bởi3 jj p l      = ≠ − 6 6 xkhi xkhip xord p là một chuẩn trên Q Chứng minh<{8)jj p x67"/W" ∈ @78jj p l ⇔ l $&2l6!-Ll!5l6-%)jj p jj p ljj p l $&26|!5|6)3 jj p l kt xyord p − l yordxord pp −− l xord p −  yord p − ljj p jj p  w"'!(/"!H!!R"""k $&2l!-Ll!-Lml!5"""k%; V",c66m%12K!}Ll b a 6l d c 6K!"%))3 f - p tmkl- p tmkM- p M- p  x/"t- p 6- p kM- p M- p  l/"t- p m- p 6- p m- p kM- p M- p  l/"t- p z- p 6- p z- p k l/"t- p 6- p k h-%)6 jmj p l kt yxord p +− n/t xord p − 6 yord p − k l/tjj p 6jj p k njj p mjj p  Ojj p B8/N!2D#@y 1.1.5. Định nghĩaeN!2Djjjj#'_%=W"B8 chuẩn không- Acsimet&2jjmjjn/tjjjj6jjjjkB2G%;7"/W"6 ∈ _eN/#" #_%=W"B8mêtric không-Acsimet&2t6kn/tt6~k6t~6kk67" /W"66~ ∈ _•%L"F6/N!2DK!GMv"/Q!5,/"!/N/#" K!GMv"/Q eN!2Dt4(6/#"kK!G!,"B8K!GMv"/Q!5%=W"B8 Acsimet !2DM"6jj p 6B8/N!2DK!GMv"/Q#@•"E2F% "!G !'6jj6B8/N!2Dv"/Q#@ "# r !Q-#2!"H!!R%4",:!2DK!GMv"/Q!' %=\-K!-B2 1.1.6. Tính chất 3 Nếu || || là một chuẩn không-Acsimet trên trường F, thì  ≤ n với mọi số nguyên n, ở đây n = n. F  . 1.1.7.Tính chất 3!-iB8/N'7"!2DK!GMv"/Qjjjj66B8 !"!CcRK5:iV",cjjjj€jjjj6K!"%)jjzjjn/tjjjj6jjjkljjjj eLK!)jjjjljjmMjjn/tjjjj6jjzjjk675jjjj•jjjj#jjjjnjjM jjh-%))jjjjljjzjj }X!(jjzjjl/tjjjj6jjjjk,K!"jjjj|jjjj%=W"B8‚nguyên lí tam giác cân”.  1.1.8.Bổ đề3Cho  và  là hai chuẩn trên trường F. Khi đó  ~  khi và chỉ khi tồn tại một số thực dương α thoả mãn: ( ) α  xx = , với mọi x ∈ F W"!2D!-,/0jjjjl78jjjjl7"/W"|B8!2DC/!' V"E2F% "!G!'T%=KH!"F2B8jj ∞  -%E!!.:jj p 6&2! xord p p k  t P"ƒ xord p 7"ƒ ∈ t•k!5 %=/N!2DK!GMv"/Q4%4])/N!W!2D v"/Q4%47""E2F% "!G!'jj6B8jj α 7"€„n \!*)%E!BH23 1.1.9. Định lítI-JK"kMọi chuẩn không tầm thường || || trên Q thì tương đương với | | p với p là một số nguyên tố nào đó hoặc p = ∞. Chứng minh Trường hợp 3V",c…9"/N 2#4-!-  > n 678W"  B8 !U!R)H!!R%)O5   > n #…9"/N  !4 α -!- α  nn = 7"& 2#4RK5!Q-4   6(B83 s s nananaan     ++++= 6n i €  7"/W""l66678 s | _!"%)3 s s nananaan     ++++≤  ααα s s nananaa     ++++=  O5 i  €   7"/W""l66678-!!W   #   ≤ i a 7"/W" "l666-%)3 ααα s nnnn     ++++≤  ( ) αααα ss nnnn −−− +++=     6                  ≤ ∑ ∞ =    i i n n α α 6 75x s   w"*2!(--L72GB8/N!A !>2!96%LB86K!"%)3 α Cnn ≤ 67"/W"l66 !P" N 6)3  αα nCnCnn N NN ≤⇒≤   %E!78!-$"&7GZ%=3 α nn ≤  $!73 α nn ≤ 67"/W"l66 tk B9")3 ss nnn    ≥> + 6/LK!3 nnnnnnn sss −+≤−+= +++       6 -%)3 ( ) α α nnnnnnn ssss −−≥−−≥ ++++   kt      6 75     + + = s s nn 678c\R%X!(tk7!2%= O573 ( ) ( ) α α sss nnnn      −−≥ ++ 6t75x s  k  ( )                 −−= + α α      n n s  α nC† ≥ 6 7"!A †!?!\!2N78-  78 α /8K!G!\!2N78-‡8/ 4!6c\R%X!(87" N 6BRg$6…" !-$ˆu62 "Z!%=3 α nn ≥  $!73 α nn ≥ 67"/W"l66 tk tk78tk23 α α nnn == 67"/W"l66 tk h+8!(/"!Atk]%;7" !>2?RK56!.B83 α xx = 67"/W" ∈ @ ‰\^%1Š)!2Djjjj4%47""E2F% "!G !' Trường hợp3V",cA  ≤ n 7"/W" 2#4VW"  B8  ‹!R!-,/0  < n 6   …9"75%0",cAjjjjB8!2DK!G C/!' Š    !," B8 /N   2#  6 75  &2     l      7"   6   €    !5   == nn #   = n 6/2!2[O57KH!"F2!!-   %-A7"SB8 2# K!!5  = q $&2K!G!,"76 K!"%)  < q 6787" $%:B)3   <= N N qq 4!767"  e8-%))3   < M p h- M 78S N B82# Z!2#5/ %= 2#/78-!-/ M mS N l$!K!"%)3 NMNMNM qnpmnqmpnqmp +=+≤+==   $! 6 ≤ nm 6-%)3       =+<+≤ NM qp 6 /2!2[ O3  = q  O" 2#4RK5)!H!! 2# 3 r b r bb pppa    =  _!"%)3 r b r bb pppa    =  O5&2 pp i ≠ !5  = i p h-%)6&2%L  <= p ρ !5)3 aord p a ρ = tk h+8!(/"!tk]%;!- !>2?K!K!GRK56(B83 xord p x ρ = 67"/W" ∈ @ ‰\^%1Š)!2Djjjj4%47"!2DM" p  }E!BH%=!(/"!y  1.2. Trường số p-adic !'\!"^%123 Bổ đề 1Cho {a n } và {b n } là hai dãy số thực thoả mãn: a n → 0 và b n → 0 khi n→ ∞. Khi đó max(a n , b n )→ 0 khi n→∞. Chứng minh}L n l/t n 6 n k67"/W")3 O"/W"Œ•6…9"$  678$  -!-j n j€Œ67"/W"x$  78j n j€Œ6 7"/W"•$  h-%)3/tj n j6j n jk€Œ O5 n nj n jn/tj n j6j n jk78 n nj n jn/tj n j6j n jk6#/t n 6 n kn/tj n j6j n jkh-%)j n jlj/t n 6 n kjn/tj n j6j n jk€Œ67" /W"x/t$  6$  k O6/t n 6 n kˆK!"ˆuy Bổ đề 2Cho a n , b n ,c n là ba dãy số thực hội tụ thoả mãn: a n ≤ max(b n , c n ), với mọi n. Khi đó lim ∞→ n a n ≤ max( lim ∞→ n b n , lim ∞→ n c n ). Chứng minhV",cB"/ ∞→ n  n •/tB"/ ∞→ n  n 6B"/ ∞→ n  n k6K!"%))3 B"/ ∞→ n  n •B"/ ∞→ n  n 678B"/ ∞→ n  n •B"/ ∞→ n  n h-%)…9"  !"#$  78$  -!- n M n •67"/W"•$  678 n M n •67" /W"•$  _!"%) n • n 78 n • n 67"/W"•/t$  6$  k6/2 !2[y 1.2.1. Định líTrường số hữu tỉ Q là không đầy đủ với chuẩn | | p . Chứng minhZ!"K&S2,2%-","H!!8/3 }E!BHNếu không gian mêtric X thuộc phạm trù thứ hai và nếu X được biểu diễn dưới dạng:  ∞ = = n n MX , thì tồn tại một chỉ số n  sao cho tập hợp M  n chứa một hình cầu nào đó }E!BHNếu X là không gian mêtric đầy đủ thì X thuộc phạm trù thứ hai. 