Xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ cp từ trường số hữu tỉ q với chuẩn p adic

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN PHẠM QUỐC DŨNG XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẦY ĐỦ Cp TỪ TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ Q VỚI CHUẨN P-ADIC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC VINH 2010 mục lục Trang mở đầu Ch-ơng Tr-ờng sè p-adic Q p 1.1 Các chuẩn trường số hữu tỉ Q 1.2 Trường số p-adic Ch-¬ng Tr-êng sè phøc p-adic C p 27 2.1 Đóng đại số Q p 27 2.2 Trường số phức p-adic C p 36 KÕt luËn 39 Tµi liƯu tham kh¶o 40 MỞ ĐẦU Các bước xây dựng từ tập số tự nhiên N đến trường số phức C diễn tả nghĩa để thoả mãn hai điều sau: giải phương trình đa thức, tìm giới hạn dãy Cauchy Như biết, trường số thực R nhận từ trường số hữu tỉ Q cách làm đầy đủ Q với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường Tuy nhiên, định lí Ostrowski chứng minh rằng, chuẩn trường số hữu tỉ Q tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, tương đương với chuẩn p-adic với p số ngun tố Vì vậy, có hai cách mở rộng Q theo hướng làm đầy đủ Cách thứ cho ta trường số thực quen thuộc R, cách thứ hai cho ta trường số p-adic Q p Tuy nhiên, trường số p-adic Q p lại khơng đóng đại số, ta lại mở rộng thành trường đóng đại số để nhận trường Q p Trường Q p nhận lại khơng đầy đủ, đó, ta lại làm đầy đủ để nhận trường số phức p-adic C p Trường số phức p-adic C p vừa đóng đại số, vừa đầy đủ, q trình tương tự việc xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ C từ trường số hữu tỉ Q với chuẩn p-adic kết thúc Tuy vậy, trường C p cịn có nhiều câu hỏi chưa thể giải Giải tích p-adic có mặt nhiều ngành toán học, chẳng hạn lý thuyết số lý thuyết biểu diễn, biết đến từ lâu, song lạ sinh viên Với tất lí trên, lựa chọn đề tài: xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ C p với chuẩn p-adic Vì mục đích khố luận cung cấp nhìn hệ thống trình xây dựng trường số phức p-adic C p , nên khoá luận không sâu vào nghiên cứu chi tiết trường Q p C p Cũng để tập trung vào mục đích nên kết tổng quát lý thuyết trường không gian định chuẩn nêu để áp dụng không chứng minh Khố luận hồn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo khoa Tốn tất thầy giáo trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Mặc dù cố gắng song khố luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo đóng góp thầy giáo bạn Vinh, ngày 05 tháng năm 2010 Tác giả Phạm Quốc Dũng CHƯƠNG TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC Q p 1.1 Các chuẩn trường số hữu tỉ Q 1.1.1 Chuẩn trường Cho trường F, chuẩn trường F ánh xạ, kí hiệu || ||, từ F đến tập số thực không âm cho với x,y thuộc F ta có: i) ||x|| =  x = 0, ii) ||x.y|| = ||x||.||y||, iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối thông thường | | chuẩn trường số hữu tỉ Q, trường số thực R trường số phức C Cho p số nguyên tố Từ trở sau, ta hiểu p số nguyên tố cho trước 1.1.2 Định nghĩa Cho a số nguyên khác bất kì, ta nói số p-adic a, kí hiệu ord p a, số tự nhiên m lớn thoả mãn a ≡ (mod p m ) Nếu a = ta quy ước viết ord p = ∞ Chú ý Với a, b số nguyên ta có: i) ord p (ab) = ord p a + ord p b, ii) ord p (a + b) ≥ ( ord p a, ord p b) Chứng minh Giả sử: ord p a = m ord p b = n Ta có a = p m A b = p n B, với (A,p) = (B,p) = Khi đó: ab = p mn AB, mặt khác (AB,p) = nên ord p (ab) = m + n = ord p a + ord p b Giả sử m ≥ n, ta có: a + b = p m A + p n B = p n (p mn A + B) Do ord p (a + b) ≥ n = min(ord p a, ord p b).□ 1.1.3 Định nghĩa Cho x = a số hữu tỉ bất kì, ta định nghĩa: b ord p x = ord p a – ord p b Dựa vào ý ta thấy định nghĩa hợp lí, ord p x phụ thuộc vào x không phụ thuộc vào a b 1.1.4 Mệnh đề Ánh xạ | | p Q cho :  p  ord x , x  |x| p =  0, x  p chuẩn Q Chứng minh Rõ ràng ta có |x| p ≥ 0, với x  Q |x| p =  x = Nếu x = 0, y = xy = 0, |x| p |y| p = |xy| p = Nếu x, y ≠ xy ≠ 0, ta có: |xy| p = p  ord p ( xy ) = p  ord p x ord p y = p  ord x p  ord y = |x| p |y| p p p Bây ta chứng minh tính chất iii) Nếu x = y = x + y = iii) Giả sử x, y, x + y khác Đặt x = c a , y = , ta có: d b ord p (x + y) = ord p (ad + bc) - ord p b - ord p d ≥ min(ord p ad, ord p bc) - ord p b - ord p d = min(ord p a + ord p d, ord p b + ord p c) - ord p b - ord p d = min(ord p a – ord p b, ord p c – ord p d) = min(ord p x, ord p y) Do đó, |x + y| p = p  ord p ( x  y ) ≤ max(p  ord p x , p  ord y ) p = max(|x| p , |y| p ) ≤ |x| p + |y| p Vậy | | p chuẩn Q.□ 1.1.5 Định nghĩa Một chuẩn || || trường K gọi chuẩn khôngAcsimet ||x + y|| ≤ max(||x||, ||y||) với x, y  K Một mêtric d K gọi mêtric không-Acsimet d(x, y) ≤ max(d(x,z), d(z, y)), với x, y, z  K; đặc biệt, chuẩn không-Acsimet cảm sinh mêtric khơng-Acsimet Một chuẩn (tương ứng, mêtric) khơng phải khơng-Acsimet gọi Acsimet Chuẩn p-adic, | | p , chuẩn không-Acsimet Q; giá trị tuyệt đối thông thường, | |, chuẩn Acsimet Q Tiếp theo ta nêu hai tính chất đơn giản chuẩn khơng-Acsimet thường áp dụng khố luận 1.1.6 Tính chất 1: Nếu || || chuẩn không-Acsimet trường F, n  với số nguyên n, n = n.1F 1.1.7 Tính chất 2: Cho F trường với chuẩn không-Acsimet || ||, x,y hai phần tử F Giả sử ||x|| < ||y||, ||y – x|| ≤ max(||x||, |y||) = ||y|| Mặt khác ta có ||y|| = ||x + y - x|| ≤ max(||x||, ||y – x||), ||y|| > ||x|| nên ||y|| ≤ ||y x|| Do ta có ||y|| = ||y – x|| Đẳng thức ||x – y|| = max(||x||, ||y||) xảy ||x|| ≠ ||y|| gọi “nguyên lí tam giác cân” 1.1.8 Bổ đề: Cho hai chuẩn trường F Khi tồn số thực dương  thoả mãn: x   x   ~ , với x F Ta gọi chuẩn thoả mãn ||0|| = ||x|| = với x ≠ chuẩn tầm thường Giá trị tuyệt đối thơng thường cịn kí hiệu | |  ord Trong định nghĩa | | p , thay ( ) p px ρ ord p x với ρ (0; 1) ta chuẩn khơng-Acsimet tương đương Ta có họ chuẩn Acsimet tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường | |, | |  với < α ≤ Cụ thể ta có định lí sau: 1.1.9 Định lí (Ostrowski) Mọi chuẩn khơng tầm thường || || Q tương đương với | | p với p số nguyên tố p = ∞ Chứng minh Trường hợp 1: Giả sử tồn số nguyên dương n cho n  , ta gọi n số nhỏ có tính chất Vì n0  nên tồn số thực dương  cho n0  n0 Ta viết số nguyên dương n theo số n , tức là: n  a0  a1n0  a2 n02   as n0s , ≤ a i < n với i = 0, ,s, a s ≠ Khi đó: n  a0  a1n0  a2 n02   as n0s  a0  a1 n0  a2 n02   as n0s Vì a i < n với i = 0, ,s, cách chọn n nên  với i = 0, ,s, đó: n   n0  n02   n0s  n0s 1  n0  n02  n0 s ,   n     i 0  n0     ,   i n ≥ n 0s Biểu thức ngoặc vuông số hữu hạn, đặt C, đó: n  Cn , với n = 1, 2, Thay n n N , ta có: n N  CnN  n  N C n Cố định n cho N tiến vô ta được: n  n Như vậy: n  n , với n = 1, 2, (1) Ta lại có: n0s1  n  n0s , mặt khác: n0s 1  n  n0s 1  n  n  n0s 1  n , đó: n  n0s 1  n0s 1  n  n0( s 1)  n0s 1  n  ,  n0s 1  n0 s 1 , ta sử dụng bất đẳng thức (1) vừa thu Vì vậy: n  n0 s 1  n0s 1  n0s  , ( n ≥ n 0s )   s 1  n0    1  1  1      n0    C' n , với số C' phụ thuộc vào n  mà không phụ thuộc vào n Làm tương tự trước, ta sử dụng bất đẳng thức với n N , lấy bậc N, cho N→∞, cuối nhận được: n  n Như vậy: n  n , với n = 1, 2, (2) Từ (1) (2) ta suy ra:  n  n  n ,với n = 1, 2, (3) Dễ dàng chứng minh (3) với số hữu tỉ x bất kì, nghĩa  là: x  x , với x Q Áp dụng bổ đề 1.1.8 ta có chuẩn || || tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường Trường hợp 2: Giả sử n  với số nguyên dương n Gọi n số n bé thoả mãn n  , số n tồn ta giả sử || || chuẩn không tầm thường n phải số nguyên tố, n = n n với n , n < n n1  n2  nên n0  , mâu thuẫn Vì ta kí hiệu p thay cho n Ta dự đoán với q số nguyên tố khác p q  Nếu khơng phải vậy, q  , với số N đủ lớn ta có: q N  q N  Tương tự vậy, với số M ta có: p M  Do p M q N nguyên tố nên ta tìm số nguyên m n cho mp M + nq N = Nhưng đó:   mp M  nq N  mp M  nq N  m p M  n q N Nhưng m , n  1, đó: 1 pM  qN  mâu thuẫn 1   1, 2 10 Vậy: q  Với số nguyên dương a ta có phân tích thừa số ngun tố: a  p1b p2b prb r Khi đó: a  p1 b1 b2 p2 pr br Vì pi  p pi  Do đó, ta đặt   p  ta có: a  ord p a (4) Dễ dàng chứng minh (4) cho số hữu tỉ khác khơng x, tức là: x   ord p x , với x Q Áp dụng bổ đề 1.1.8 ta có chuẩn || || tương đương với chuẩn p-adic p Định lí chứng minh.□ 1.2 Trường số p-adic Ta thường áp dụng hai bổ đề sau: Bổ đề Cho {a n } {b n } hai dãy số thực thoả mãn: a n → b n → n→ ∞ Khi max(a n , b n )→ n→∞ Chứng minh Đặt c n = max(a n , b n ), với n Ta có: 27 Theo tính chất 1.3.15 tồn số nguyên b  {0, 1, , p-1} thoả mãn phương trình (**) Do a thoả mãn (1), (2), (3) tồn Giả sử ta có a , a , , a n1 , ta tìm a n sau: Vì a n thoả mãn (2) (3) nên a n phải có dạng: a n = a n1 + b n p n , với ≤ b ≤ p - Ta có: f(a n ) = f(a n1 + b n p n ) =  c a i  bn p n  i n 1   ci ani 1  ibn p n ani 11  (mod p n 1 )   ci ani 1   ici ani 11 bn p n (mod p n 1 )  f an1   f ' an1 bn p n (mod p n 1 ) Do đó: f(a n )  ( mod p n 1 )  f an1   f ' an1 bn p n  (mod p n 1 ) Mặt khác, f(a n1 )  (mod p n ) theo giả thiết quy nạp, nên tồn  Z p cho f(a n1 )   p n (mod p n 1 ), (chẳng hạn,  chữ số ứng với luỹ thừa p n khai triển p-adic f(a n1 )) Khi đó: f(a n )  ( mod p n 1 )  p n  f ' an1 bn p n  (mod p n 1 )    f ' an 1 bn  (mod p) (***) Vì a n1  Z nên f'(a n1 )  Z p Mặt khác, a  a n1 (mod p), mà f’( a ) nên f’(a n1 ) (mod p) (mod p) Do đó: f’(a n1 )  Z p Theo tính chất 1.3.15 tồn số nguyên b n  {0, 1, , p-1} thoả mãn phương trình (***) Do a n thoả mãn (1), (2), (3) tồn Vậy, tồn dãy số nguyên {a n } n 1, 2, thoả mãn (1), (2), (3) Đặt a = a0  a1 p  a2 p  đó: Vì a  a n (mod p n 1 ) nên f(a)  f(a n )  (mod p n 1 ), với n, đó: f(a) = Vậy, tồn số nguyên p-adic a cho f(a) = a  a (mod p) 28 Ngược lại, tồn số nguyên p-adic a thoả mãn f(a) = a  a (mod p), giả sử a có khai triển p-adic là: a = b0  b1 p  b2 p  n Đặt an   bi Khi đó: i 0 a  a  a (mod p) ≤ a n < p n 1 , với n ≥ a n  a n1 ( mod p n ), với n ≥ a n  a (mod p n 1 ) nên f(a n )  f(a) = (mod p n 1 ), với n ≥ Theo chứng minh phần a i ( i ≥ 0) Điều chứng minh tồn b i ( i ≥ 0), a Định lí chứng minh xong.□ CHƯƠNG TRƯỜNG SỐ PHỨC P-ADIC C p 2.1 Bao đóng đại số Q p Trong phần ta sử dụng số khái niệm kết lí thuyết mở rộng trường không gian định chuẩn Các kết tổng quát áp dụng vào trường hợp cụ thể Q p với chuẩn | | p 2.1.1 Định lí Q p trường khơng đóng đại số 29 Chứng minh Ta phương trình đại số Q p mà khơng có nghiệm Q p Chẳng hạn, xét phương trình: x p - p = Khi đó: xp p    xp p  p p  p 1  p 1 Vì x p  p n nZ  0 , nên x p = p m với m số nguyên Khi x  p p  p mp , p mp  p 1 nên mp = -1, mâu thuẫn Vậy, Q p không đóng đại số.□ Theo lý thuyết mở rộng trường ta mở rộng Q p thành bao đóng đại số nó, kí hiệu Q p , trường đóng đại số nhỏ chứa Q p 2.1.2 Định nghĩa Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều trường F Một chuẩn V ánh xạ, kí hiệu || || V , từ V đến tập số thực không âm thoả mãn: (1) ||x|| V = x = 0, với x  V (2) ||ax|| V = ||a||.||x|| V , với a  F, x  V, ||a|| chuẩn trường F (3) ||x+y|| V ≤ ||x|| V + ||y|| V , với x,y  V Rõ ràng K trường mở rộng hữu hạn F chuẩn trường K chuẩn F-không gian véctơ K Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, chuẩn F-không gian véctơ K chưa chuẩn trường K 2.1.3 Bổ đề Cho F trường với chuẩn || || Gọi V không gian véctơ hữu hạn chiều F với sở {v ,…,v n } Khi ||a v +…+a n v n || sup  max 0i n (||a i ||) def chuẩn V, gọi chuẩn-sup Nếu F compact địa phương V compact địa phương với chuẩn || || sup 30 2.1.4 Bổ đề Nếu không gian véctơ với chuẩn || || V compact địa phương hình cầu đơn vị {x | ||x|| V = 1} compact Sử dụng hai bổ đề ta chứng minh định lí sau 2.1.5 Định lí Nếu V không gian véctơ hữu hạn chiều trường compact địa phương F, chuẩn V tương đương 2.1.6 Hệ Nếu K mở rộng hữu hạn F, F compact địa phương có nhiều chuẩn trường || || K K mở rộng chuẩn || || F (nghĩa thoả mãn: ||a|| K = ||a||, với a  F) 2.1.7 Chuẩn phần tử Cho K = F(α) mở rộng hữu hạn trường F sinh phần tử α có đa thức tối tiểu F là: x n + a x n1 +…+ a n1 x + a n , a i  F Khi đó, định nghĩa “chuẩn α từ K đến F”, kí hiệu N K / F (α), sau tương đương: (1) Xét K không gian véctơ n chiều F, phép nhân với α ánh xạ F-tuyến tính từ K đến K có ma trận A  Ta định nghĩa: N K / F (α) = det(A  ) (2) N K / F (α) = (-1) n a n (3) N K / F (α) = n  i ,  i liên hợp α = α F i 1 Nếu β  K = F(α), ta có hai định nghĩa tương đương N K / F ( β) sau: (1) N K / F (β) định thức ma trận phép nhân với β K (2) N K / F (β) = (N F (  ) / F (β)) [ K :F (  )] Như vậy, N K / F (β) định nghĩa cho β  K định thức ma trận phép nhân với β K Dễ thấy ánh xạ N K / F từ K đến F nhân tính, nghĩa là: N K / F (αβ) = N K / F (α) N K / F (β) Điều giải thích ngắn gọn sau: hợp thành hai ánh xạ tuyến tính ánh xạ tuyến tính có ma trận tích ma trận ánh xạ 31 tuyến tính thành phần, định thức tích ma trận tích định thức ma trận 2.1.8 Bổ đề Q p với chuẩn p-adic không gian compact địa phương Chứng minh Với x  Q p , đặt: U = x + Z p = {x + z | z Z p } = {x + z | |z| p ≤ 1} = {y | |y-x| p ≤ 1} Rõ ràng U lân cận x Ta cần chứng minh U compact Gọi {y n } dãy nằm U, ta phải chứng minh y n hội tụ đến điểm thuộc U Theo định nghĩa U, tồn dãy {z n } nằm Z p cho: y n = x + z n Ta cần chứng minh Z p compact, hay {z n } có dãy hội tụ {z n } k k Vì z n  Z p , nên z n có khai triển p-adic dạng: z n = a 0,n + a 1,n p + a 2,n p +… Vì chữ số z n nhận hữu hạn giá trị từ đến p-1, tồn dãy vơ hạn {z k ,n } k {z n } mà phần tử có chữ số đầu tiên, kí hiệu a Tương tự, tồn dãy vô hạn {z 1k ,n } k {z k ,n } k mà phần tử có chữ số thứ hai, kí hiệu a ; tồn dãy vô hạn {z k ,n } k {z 1k ,n } k mà phần tử có chữ số thứ ba, kí hiệu a … Chọn dãy {z k ,n } k phần tử z n , chọn dãy {z 1k ,n } k phần tử z n khác z n , chọn dãy {z k ,n } k phần tử z n khác z n ,… Như vậy, ta chọn dãy {z n } k {z n } k Đặt: z = a + a p + a p +… z Z Ta chứng minh z n hội tụ đến z k 32 Rõ ràng z n z có k + chữ số đầu tiên, đó: k |z n - z| p ≡ (mod p k  ), hay k |z n - z| p ≤ k → 0, k →∞ p k 2 Vậy, z n hội tụ đến z ta có điều phải chứng minh.□ k Giả sử α  Q p có bậc n, nghĩa đa thức tối tiểu α Q p có bậc n Gọi K mở rộng Galois hữu hạn Q p chứa α, chẳng hạn, K trường nhận cách thêm α tất liên hợp vào Q p Giả sử ta tìm chuẩn || || mở rộng | | p đến K Theo hệ 2.1.6, || || chuẩn trường K mở rộng | | p Gọi α’ liên hợp α ζ Q p -tự đẳng cấu K cho ảnh α α’ Rõ ràng ánh xạ || ||’: K → R định nghĩa ||x||’ = || ζ(x)|| chuẩn trường K mở rộng | | p Do || ||’ = || ||, vậy: ||α|| = ||α||’ = ||ζ(α)|| = ||α’|| Ta kết luận chuẩn α chuẩn liên hợp Nhưng chuẩn N Q p ( ) / Q p (α)  Q p bằng: | NQ p ( ) / Q p (  )| p = || N Q p ( ) / Q p (  )|| = ||  ' ||,  ' liên hợp  ' = ||  '|| ,  ' liên hợp  = ||  ||n Do đó: ||  || = | N Q p ( ) / Q p (  )| 1p/ n Chú ý ta có định nghĩa tương đương ||  || sau: ||  || = | N K / Qp (  )| p /[ K :Q p ] , K trường có bậc hữu hạn Q p chứa  2.1.9 Định lí Cho K mở rộng hữu hạn Q p Khi có chuẩn trường K mở rộng chuẩn | | p Q p 33 Chứng minh Đặt n = [K:Q p ] Đầu tiên ta định nghĩa | | p K sau chứng minh chuẩn trường K mở rộng | | p Q p Với   K ta định nghĩa:|  | p  |N def K / Qp (  )| 1p/ n ,trong vế phải chuẩn cũ Q p Khi rõ ràng   Q p chuẩn | | p định nghĩa chuẩn cũ | | p Q p Ta có: |  | p = | N K / Q (  )| 1p/ n ≥ p |  | p =  | N K / Q (  )| 1p/ n = p  N K / Qp (  ) =   = Với  ,   K , N K / Q ánh xạ nhân tính nên: p |  | p = | N K / Q (  )| 1p/ n p = | N K / Q (  ) N K / Q (  ) | 1p/ n p p = | N K / Q (  )| 1p/ n | N K / Q (  )| 1p/ n p p = | | p |  | p Bây ta chứng minh tính chất cịn lại: |    | p ≤ max( |  | p , |  | p ) Giả sử |  | p   p Đặt    , ta có:   Khi đó:       max  p ,  p   p  1  p  2.1.10 Bổ đề Với | | p định nghĩa trên, ta có: 1  p  , với γ K,  p Chứng minh bổ đề Lưu ý ta định nghĩa   p   p cách sử dụng trường Q p (γ) = Q p (1+ γ) thay cho K:  p = | NQ p ( ) / Qp   | /[ Q p (  ):Q p ] p , 1  p = | NQ p ( ) / Qp 1    | /[ Q p (  ):Q p ] p 34 Vì khơng làm tính tổng qt, ta giả sử K = Q p (γ), nói cách khác, giả sử γ phần tử nguyên thuỷ K Khi {1, γ, γ ,…, γ n1 } sở không gian véctơ K Q p , [K:Q] = n n 1 Với phần tử     i  K , kí hiệu  chuẩn-sup với sở này, i 0 nghĩa là,  = max i (|a i | p ) Tương tự, A = {a ij } n n ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc Q p , kí hiệu ||A|| chuẩn-sup ||A|| = max i, j (|a ij | p ) Ánh xạ Q p -tuyến tính từ K đến K, viết theo sở {1,γ,γ ,…,γ n1 } cho ta ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc Q p Gọi A ma trận ánh xạ Q p -tuyến tính từ K vào K phép nhân với γ Khi ma trận A i ma trận tương ứng với phép nhân với γ i , ma trận I + A ma trận ứng với phép nhân với + γ (Tổng quát ta có kết sau: ma trận P(A) tương ứng với phép nhân với phần tử P(γ) với P đa thức thuộc Q p [X].) Ta chứng minh dãy số thực {||A i ||} i 0,1, bị chặn Nếu vậy, ta tìm dãy {i j } j 1, cho ||A i || > j j Đặt b j = ||A i || Gọi  j phần tử ma trận A i cho: |  j | p = ||A i || = b j j j j Ta định nghĩa ma trận B j = A i /  j , rõ ràng || B j || = Theo bổ đề 2.1.3 j bổ đề 2.1.4 hình cầu đơn vị với chuẩn-sup compact, ta tìm dãy {B j } k 1, 2, hội tụ đến ma trận B Ta có: k det B j p  det A  ij n j  det A p j n ij p  N K / Q ( ) p j n ij p   ni j p j n  jn Do det B = lim k  (det B j ) = k Vì det B = 0, nên tồn phần tử khác không l  K, vectơ viết theo sở {1, γ, γ ,…, γ n1 }, thoả mãn: Bl = 35 Ta chứng minh B = Vì {  i l } i 0,1, , n 1 sở Q p -không gian véctơ K, nên để chứng minh B = 0, ta cần chứng minh B  i l = 0, với i = 0, 1,…, n-1 Do phép nhân với γ i cho ta ma trận A i , ta có: B  i l = (B A i ) l = A i B l = 0, quan hệ B A i = A i B có B giới hạn dãy ma trận có dạng B j = A i /  j Như dãy {||A i ||} i 0,1, bị chặn số C j Chú ý với ma trận vuông cấp n, A = {a ij } ta có:  det A p  max i , j aij A n p n điều dễ dàng suy ta khai triển định thức sử dụng tính chất chuẩn khơng-Acsimet Với số tự nhiên N, xét:  I  A N N  N  N 1  A  A N  I    A    1   N  1 Ta có: 1  N p Do đó:    det I  A p ≤ N N 1/ n p   I  A N N  max 0i  N   Ai  max 0i n Ai  C i  C Cho N→ ∞ ta   p ≤ Như vậy, bổ đề chứng minh xong, định lí chứng minh sau bổ đề.□ 2.1.11 Định nghĩa Với phần tử α  Q p tồn mở rộng hữu hạn K Q p chứa α Theo Định lí 2.1.9, | | p Q p có mở rộng K Đó là: | |p = | NQ p ( ) / Q p (  )| 1p/ n , với n  [Q p   : Q p ] Chú ý |  | p không phụ thuộc vào trường K chứa α 36 Ta định nghĩa chuẩn α Q p Như rõ ràng có chuẩn mở rộng | | p Q p , (mà ta kí hiệu | | p ), Q p Nói cách cụ thể, α  Q p có đa thức tối tiểu Q p là: x n + a x n1 + …+ a n , đó: |  | p = |a n | 1p/ n Ta định nghĩa ord p α với α Q p \{0} sau: ord p  = - log p |  | p Rõ ràng với K mở rộng bậc n Q p chứa α, đó: ord p  = - log p |  | p = - log p | N K / Q (  )| 1p/ n p =- log p |N K / Q (  )| p n p Dễ thấy với   Q p định nghĩa phù hợp với định nghĩa ord p  mà ta biết 2.2 Trường số phức p-adic C p 2.2.1 Định lí Q p khơng đầy đủ Tham khảo chứng minh [5], tài liệu tham khảo Bây ta làm đầy đủ Q p để nhận trường C p Cách thức quy trình cho bước giống hệt trình ta làm đầy đủ trường số 37 hữu tỉ Q để nhận trường số p-adic Q p (hay cách làm đầy đủ cho không gian mêtric bất kì.) Điều có nghĩa trước hết ta định nghĩa quan hệ tương đương cho dãy Cauchy Q p , sau định nghĩa phép toán tập lớp tương đương với quan hệ tương đương định nghĩa, ta có trường C p , cuối dễ chứng minh C p đầy đủ Nói cách trực quan, trường nhận cách ta thêm vào Q p tất số giới hạn dãy Cauchy Q p Giống trình từ Q đến Q p , trình từ Q p đến C p ta mở rộng chuẩn | | p Q p thành chuẩn, kí hiệu | | p , C p sau: |x| p = lim i  |x i | p , {x i } dãy Cauchy Q p x  C p lớp tương đương Dễ dàng chứng minh x ≠ giới hạn thực tế |x i | p với i đủ lớn Việc chứng minh | | p định nghĩa trường C p chuẩn khơng-Acsimet dễ dàng hồn toàn tương tự ta làm với chuẩn | | p Q p Ta mở rộng ord p C p \{0} sau: ord p x = - log p |x| p Cuối cùng, ta chứng minh C p đóng đại số 2.2.2 Định lí C p trường đóng đại số Chứng minh Cho f(X) = X n + a n1 X n1 + …+ a X + a , a i  C p với i = 0, 1,…, n - Ta phải chứng minh f(X) có nghiệm thuộc C p Với i = 0, 1,…, n-1, gọi {a i, j } j dãy phần tử thuộc Q p hội tụ đến a i Đặt: g j (X) = X n + a n1, j X n1 + …+ a 1, j X + a 0, j 38 Gọi r i, j , i = 1, 2, …, n, nghiệm g j (X) Ta chọn i j , (1 ≤ i j ≤ n) với j = 1, 2,… cho dãy {r i , j } dãy Cauchy quy nạp j Giả sử chọn r i , j Đặt δ j = max i (|a i, j - a i , j 1 | p ) Vì {a i, j } j dãy hội tụ j với i = 1,…, n, nên: |a i, j - a i , j 1 | p → 0, j→∞, với i = 1,…, n Do đó: δ j = max i (|a i, j - a i , j 1 | p ) → 0, j→∞ 2.2.3 Bổ đề Cho K trường || || chuẩn không-Acsimet K f(X) = X n + a n1 X n1 + …+ a X + a  K[X] Khi với nghiệm α  K f(X) ta có: ||α|| ≤ max(1, max 0i n 1 ||a i ||) Chứng minh bổ đề Đặt C = max 0in1 ||a i ||, C = max(1, C ) Giả sử ||α|| > C Do α nghiệm f(X) nên:  n  an1 n1   a1  a0    n  an1 n1   a1  a0   =  a n 1    p p   an1  an2  an2  a1      n2 a1  a  max 0i  n 1  n 1ii    n2 p a0  n 1 a0  n1 p    p    C  max 0i n 1   mâu thuẫn Vậy, ||α|| ≤ max(1, max 0i n 1 ||a i ||).□ Như vậy, ri , j p ≤ max(1, max 0in1 |a i, j | p ) = A i , với j = 1, 2,… 39 Mặt khác, a i, j → a i , j→∞, , j p  p , j→∞ Vì vậy, dãy { , j p } j bị chặn Vì hợp hữu hạn dãy bị chặn bị chặn, nên tồn số A > max i (A), đó: ri , j p < A, với i = 1,…,n, j = 1,2,… n Đặt C = A n Khi đó: max i, j (1, ri , j ) ≤ C j p Ta có: n r i 1 i j, j  ri , j 1 p  g j 1 (ri j , j ) p  g j 1 (ri , j )  g j (ri , j ) j j = ( g j 1  g j )(ri j , j ) p p  (an 1, j 1  an 1, j )( ri , j ) n 1   (a1, j 1  a1, j )ri , j  (a0, j 1  a0, j ) j j  max an1, j 1  an1, j p ri , j  j n 1 p , , a1, j 1  a1, j p ri , j , a0, j 1  a0, j p  p  j p   jC Do tồn số i cho: ri , j  ri , j 1  n  j C j Đặt ri j 1 , j 1 p ri , j 1 Khi ta có: ri , j  ri j j 1 , j 1 p  n  j C  j→∞ Do {r i , j } dãy Cauchy Đặt r = lim j  r i , j  C p j j Bây ta sử dụng tính liên tục hàm đa thức, ta có: f(X) = lim j  g j (X) f(r) = f(lim j  r i , j ) = lim j  f(r i , j ) = lim j  g j (r i , j ) = j j Do r  C p nghiệm f(X) hay C p trường đóng đại số KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: j 40 Hệ thống lại trình xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ C p từ trường số hữu tỉ Q Trình bày cụ thể phần đưa chứng minh chi tiết Cung cấp tài liệu đơn giản ban đầu số p-adic giải tích p-adic Luận văn phát triển theo hướng sau: Nghiên cứu chi tiết trường số p-adic Q p trường số phức p-adic C p Tìm kiếm tương tự trường không-Acsimet trường Acsimet TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 41 Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội Nguyễn Thành Quang (2003), Chuyên đề số học đại, Đại học Vinh Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Ngô Việt Trung (2005), Lý thuyết Galois vấn đề giải phương trình thức dựng hình thước kẻ compa, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh Koblitz N I (1979), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and ZetaFunctions, Springer-Verlag ... Trường số phức p- adic C p vừa đóng đại số, vừa đầy đủ, q trình tương tự việc xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ C từ trường số hữu tỉ Q với chuẩn p- adic kết thúc Tuy vậy, trường C p cịn có nhiều... p- adic Q p lại khơng đóng đại số, ta lại mở rộng thành trường đóng đại số để nhận trường Q p Trường Q p nhận lại khơng đầy đủ, đó, ta lại làm đầy đủ để nhận trường số phức p- adic C p Trường số. .. Ch-ơng Tr-ờng c¸c sè p- adic Q p 1.1 Các chuẩn trường số hữu tỉ Q 1.2 Trường số p- adic Ch-¬ng Tr-êng sè phøc p- adic C p 27 2.1 Đóng đại số Q p 27 2.2 Trường số phức p- adic C p 36 KÕt luËn 39 Tài