Thống kê bose – einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt (2018)

Vì vậy, em xin cam đoan nội dung đề tài: “ Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” là kết quả nghiên cứu, học tập của riêng em.. Hiện nay, các phương pháp của vật lí

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn trân thành và sự tri ân sâu sắc tới các thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy cô trong khoa Vật Lý của trường đã tận tình giảng dạy, trang bị kiến thức cho em trong những năm học qua, tạo điều kiện có nhiều thời gian để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Nguyễn Thị Phương Lan và thầy giáo ThS Đỗ Chí Nghĩa đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Thầy cô là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm đam mê khoa học trong suốt quá trình làm việc

Trong quá trình ngiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp ngiên cứu nên đề tài khó tránh khỏi nhưng thiếu sót Em mong nhận được những

ý kiến đóng góp của các thầy cô để em họ thêm được nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành tốt bài báo cáo tốt nghiệp sắp tới

Em xin trân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Bùi Như Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận và những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, nghiêm khắc của cô ThS Nguyễn Thị Phương Lan và thầy ThS Đỗ Chí Nghĩa Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Vật Lý Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy, em xin cam đoan nội dung đề tài: “ Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” là kết quả nghiên cứu, học tập của riêng em Các kết

quả trong đề tài này là trung thực và hoàn toàn không trùng lặp với các đề tài khác

Sinh viên

Bùi Như Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do lựa chọn đề tài 1

1 Mục đích nghiên cứu 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 2

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN 3

1.1 Hệ nhiều hạt và phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt 3

1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt. 3

1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt. 4

1.2 Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson 4

1.2.1 Giới thiệu về hệ hạt Boson. 4

1.2.2 Đặc trưng của hệ hạt Boson. 5

1.3 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein 7 1.4 Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein 10

1.3.1 Thống kê Bose – Einsstein. 7

1.3.2 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein. 8

CHƯƠNG II MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN TRONG HỆ NHIỀUHẠT 11

2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng 11

2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng. 11

2.1.2 Các định luật bức xạ. 13

2.2 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein 18 2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein. 18

2.2.2 Đột phá mới trong vật lý với việc tạo ra siêu ánh sáng photon 22

2.2.3 Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium. 24

2.3 Lý thuyết nhiệt dung của vật rắn. 25 2.3.1 Lý thuyết nhiệt dung của Einstein. 26

2.3.2 Lý thuyết nhiệt dung Debye. 27

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Cùng với sự phát triển nhanh chóng của nền văn minh nhân loại vật lý học cũng phát triển một cách không ngừng, trải qua nhiều giai đoạn và đạt được rất nhiều thành tựu khoa học đáng kể.Vật lý thống kê là một bộ phận trong vật lý hiện đại Vật lý thống kê gồm vật lý thống kê cổ điển và vật lý thống kê lượng tử, vật lí thống kê lượng

tử tổng quát hơn, chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển

Nhắc đến vật lí hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến nhà bác học Anh-xtanh 1955) là nhà vật lý lý thuyết người Đức, người đã phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại

Vật lý thống kê là ngành vật lý ngiên cứu hệ nhiều hạt Từ việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của hạt vi mô tạo nên hệ bằng các phương pháp thống kê Hiện nay, các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện đại kể từ các vật ngưng tụ cho đến lý thuyết các hạt cơ bản.Thông qua việc tìm hiểu các thống kê lượng tử người ta áp dụng để ngiên cứu những tính chất và các ứng dụng

trong hệ nhiều hạt Trên đây là cơ sở để tôi lựa chọn đề tài: “ Thống kê Bose –

Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” để có cái nhìn tổng quan hơn, sâu sắc

hơn về tính chất của hệ nhiều hạt và sự hứng thú giải quyết các bài tập trọng tâm Từ

đó, vận dụng vào thực tiễn khơi dậy niềm đam mê đối với bộ môn Vật lý và nhận thấy được những ứng dụng to lớn của vật lý đối với các ngành khoa học khác

1 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu, hệ thống lí thuyết thống kê Bose – Einstein

- Tìm hiểu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt

- Áp dụng thống kê Bose – Einstein để nghiên cứu một số hiện tượng vật lí mới

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các hạt đồng nhất Boson

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ lượng tử

- Nghiên cứu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và nghiên cứu các tài liệu tham khảo

- Phương pháp vật lí lí thuyết

- Phương pháp thống kê

NỘI DUNG

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN

1.1 Hệ nhiều hạt và phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt

1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt

Hệ nhiều hạt là hệ gồm hai hạt trở lên Chúng ta khảo sát trong bài toán hệ nhiều hạt có thể là các nguyên tử, phân tử, ion, electron, photon, neutron trong các hạt nhân lớn… Hiểu nôm na là hệ có các bậc tự do lớn Việc gia tăng thêm số hạt trong hệ sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ nhiều hạt Bài toán hệ nhiều hạt thực chất là bài toán của hệ phương trình Hamilton (cho hệ cổ điển) hay phương trình Shrodinger (cho hệ lượng tử)

Khảo sát theo quan điểm cơ học cổ điển

Xét 1 hệ gồm có N hạt tự do, khảo sát không gian pha tức không gian 2Nf chiều đối với hệ có f bậc tự do

Trong trường hợp đơn giản f = 3, trạng thái của hệ được diễn tả bằng 3N tọa độ

và 3N vận tốc Ta cũng biết rằng trạng thái của hệ được diễn tả bằng 3N tọa độ suy rộng, 3N xung lượng suy rộng:

Với T(q,p) và U(q,p) lần lượt là động năng, thế năng của hệ

Để xác định được trạng thái của hệ N hạt ở thời điểm bất kì ta cần phải biết 6N điều kiện ban đầu

Khi t = 0, tọa độ suy rộng và xung lượng của hệ có dạng:

1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt

Đối với hệ nhiều hạt (N ≥ 2), một trong những khó khăn khi nghiên cứu đó là có biến

số lớn(3N) Vì vậy, ta dựa vào các đặc trưng khác nhau của hệ để có thể lựa chọn các phương pháp giải bài toán phù hợp Về nguyên tắc, ta chỉ cần giải một số phương trình nhất định, tìm 6N điều kiện ban đầu của hệ là bài toán sẽ được giải quyết Tuy nhiên, trong thực tế ta còn gặp phải rất nhiều khó khăn.Vì vậy,đơn giản nhất, căn bản nhất là

áp dụng các phương pháp thống kê

1.2 Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson

1.2.1 Giới thiệu về hệ hạt Boson

Boson được đặt theo tên nhà vật lý học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose Boson là tất cả các loại hạt có spin nguyên (0, ±1, ±2…) tất cả các hạt trong tự nhiên đều được chia làm hai loại: boson và fermion Boson có thể nằm cùng một trạng thái lượng tử, không tuân theo nguyên lý Pauli Theo lý thuyết thống kê spin, Boson lấy các giá trị nguyên Chúng là loại hạt duy nhất tuân theo thống kê Bose – Einstein

1.2.2 Đặc trưng của hệ hạt Boson

Trong tự nhiên, các hạt tạo nên từ các hạt cơ bản hơn như proton hay hạt nhân nguyên tử cũng thuộc nhóm Boson hoặc Fermion tùy thuộc vào tổng spin của chúng

Boson là nhóm các hạt sơ cấp có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein, bao gồm các hạt mang tương tác điện từ (Photon), tương tác yếu (Boson W và Z), tương tác mạnh (Gluon), tương tác hấp dẫn ( Graviton) và hạt Higgs

Tên Kí

hiệu

Phản hạt

Charge(e) spin Khối

lượng(GeV/c2

)

Trung gian tương tác

Hạt

từ

Xác nhận Boson

W

Tương tác yếu

Xác nhận

Tương tác yếu

Xác nhận

tương tác mạnh

Xác nhận

hấp dẫn

xác nhận

Boson W hay hạt W là một hạt cơ bản có khối lượng bằng 160.000 lần khối lượng của electron hay khoảng 80 lần khối lượng của proton hay neutron tương đương với khối lượng của nguyên tử Brôm

Boson W là hạt mang điện tích hoặc -1 hoặc +1 Chúng là phản hạt của nhau, nhưng cả hai đều không là hạt vật chất Boson W là hạt truyền tương tác trong tương tác yếu, và tồn tại ở một thời gian cực ngắn, chỉ khoảng 3.10-25 giây sau đó phân rã sang các dạng khác

Boson W phân rã tạo thành hoặc là một quark, hoặc là 1 phản quark có điện tích khác hoặc là một lepton điện tích hay phản neutrino

Hình1: Biểu đồ Feynman cho thấy sự trao đổi cặp Boson W Đây là một trong các ví

dụ về sự dao động của hạt trung hòa điện Kaon.[Ảnh Internet]

Boson Z hay hạt Z là một hạt cơ bản, có khối lượng khoảng 91 GeV/c2, tương đương với khối lượng của nguyên tử Zirconium Boson Z là hạt trung hòa và không có

sự khác biệt trong số lượng tử Vì vậy, phản hạt của boson Z chính là boson Z

Boson Z là hạt trung gian trong tương tác yếu và không làm ảnh hưởng đến điện tích, do khối lượng của boson Z là rất lớn so với khối lượng của photon; trong lớp năng lượng thấp các hiệu ứng trao đổi boson Z là bé nếu so sánh với sự trao đổi photon Boson Z được tạo ra bởi quá trình va chạm của electron và positron- phản hạt của electron Năng lượng của vụ va chạm này vừa đủ để sinh ra một boson Z và đã được nghiên cứu trong máy va chạm tuyến tính ở SLAC

Theo mô hình chuẩnmột lý thuyết Gauge, lực giữa các fermion được mô hình hóa bằng cách tạo ra các boson, có tác dụng như các thành phần trung gian Hệ Lagrange của mỗi tập hợp hạt boson trung gian không thay đổi dưới một dạng biến đối gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là Gauge boson Gauge boson là các hạt cơ bảnmang tương tác cơ bản Chúng là W boson của lực hạt nhân yếu, gluon của lực hạt nhân mạnh, photon của lực điện từ, và graviton của lực hấp dẫn.[5]

1.3 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein

1.3.1 Thống kê Bose – Einsstein

Albert Einstein (1879 – 1955) là nhà vật lý học người Đức Trong suốt cuộc đời, ông đã xuất bản rất nhiều sách và hàng trăm bài báo về vật lý, về chính trị

Trong vật lý,ông là người đã phát triển thuyết tương đối tổng quát một trụ cột của vật

lý hiện đại

Khi bắt đầu sự nghiệp ông đã nhận ra cơ học Newton không còn thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trường điện từ Từ đó, ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt thông qua các bài báo đăng năm 1905

Năm 1916, ông cho ra đời lý thuyết về hấp dẫn, xuất bản một bài báo về thuyết tương đối tổng quát

Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát miêu tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ

Năm 1921, ông được trao giả Nobel Vật Lý “Cho những cống hiến của ông đối

với vật lí lí thuyết, và đặc biệt cho sự khám phá ra định luật của hiệu ứng quang điện”.Ngoài những nghiên cứu của bản thân ông còn hợp tác với rất nhiều các nhà

khoa học khác để tạo ra các nghiên cứu mới như thống kê Bose – Einsstein, máy làm lạnh Einstein và nhiều ngiên cứu khác…

Năm 1924, Einstein nhận được một miêu tả về mô hình thống kê từ nhà vật lý học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose trên cơ sở một phương pháp đếm với giả sử ánh sáng có thể được hiểu là khí của các hạt không thể phân biệt được

Thống kê Bose – Einstein do Satyendra Nath Bose phát triển, Albert Einstein ủng hộ và mở rộng ra đối với các hạt có khối lượng và spin nguyên Thống kê này chỉ

áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái hay các hạt không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Những hạt này được các nhà vật lý gọi chung là Boson

1.3.2 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein

Chúng ta xét hệ có N hạt thay đổi, áp dụng công thức chính tắc lượng tử lớn[2]:

{ } (1.9) Trong đó:

là xác suất xác định trạng thái của hệ

là độ suy biến của hệ ở mức năng lượng ;

N là số hạt trong hệ; là nhiệt độ tuyệt đối;

Đối với hệ boson là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng nên các phép hoán vị về tọa độ không làm xuất hiện trạng thái vật lí mới nên khi đó:

Từ định lí xác suất ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình trên mức năng lƣợng bất kì:

̅̅̅ ∑ ∑ (1.14)

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có: ∑ { } (1.15)

Với Z = exp {∑ ) là tổng trạng thái

Chú ý đến sự suy biến năng lượng ở mức và ,

Thế hóa học theo (1.20) và (1.21) được xác định từ điều kiện ∑ ̅̅̅= N ta có:

̅̅̅

{

Công thức (1.22) được gọi là công thức của thống kê Bose – Einstein

1.4 Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein

Thống kê Bose – Einstein là lý thuyết thống kê miêu tả hệ lượng tử trong đó không giới hạn các hạt phân bố trên cùng một mức năng lượng, áp dụng khi hệ có hàm sóng đối xứng nhau hay nói cách khác là ứng với trường hợp khi hạt có spin nguyên

Thống kê Bose – Einstein chỉ áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái, hay các hạt không tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli

Thống kê Bose - Einstein miêu tả tập hợp các hạt không phân biệt được, không tương tác với nhau ở vào một lớp các trạng thái năng lượng rời rạc khác nhau ở cân bằng nhiệt động, một đặc trưng của các hạt tuân theo thống kê Bose - Einstein lý giải cho nguyên lý hoạt động của Laser và sự chảy không ma sát của heli siêu lỏng…

CHƯƠNG II MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN TRONG

HỆ NHIỀU HẠT 2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng

2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng

Bức xạ là hiện tượng một vật thể phát ra các sóng điện từ lan truyền trong không gian thực chất quá trình phát và lan truyền sóng điện từ là quá trình lan truyền năng lượng Con người có thể làm cho các vật chất phát sóng điện từ bằng cách truyền năng lượng cho nó bằng các tác dụng hóa học, cơ học…

Phương pháp đơn giản nhất để truyền năng lượng cho vật thể là truyền nhiệt trực tiếp cho vật

Bức xạ nhiệt là bức xạ điện từ được tạo ra bởi các chuyển động nhiệt của các hạt điện tích trong vật chất Mọi vật luôn bức xạ các sóng điện từ ra môi trường xung quanh

Khi nhiệt độ của vật lớn hơn độ không tuyệt đối thì sự va chạm giữa các nguyên

tử hoạt động làm thay đổi động năng của các nguyên tử hoặc phân tử Điều này làm tăng tốc độ điện tích hoặc gây ra các dao động lưỡng cực từ đó sản sinh ra bức xạ điện

từ

Ở nhiệt độ thấp sóng điện từ bức xạ có tần số nằm trong vùng hồng ngoại, nhiệt

độ của vật càng tăng thì tần số cũng tăng theo Nếu nhiệt độ của vật không đổi thì bức

xạ đó được gọi là bức xạ nhiệt cân bằng

Năng lượng truyền đi bằng bức xạ không cần thông qua một môi trường trung gian mặc dù bức xạ có thể chụp, chép lại khi nó đi qua nhiều môi trường khác nhau

Đặc trưng cho bức xạ là cường độ bức xạ (phụ thuộc vào tần số hoặc bước sóng) Bức

xạ phát ra thông qua vùng bước sóng mà bức xạ đó phát ra

Công suất bức xạ là năng lượng vật chất mất đi trong một đơn vị thời gian do vật bức xạ Nó phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ Nhiệt độ tuyệt đối của vật càng cao thì công suất bức xạ càng cao và ngược lại

Nếu một vật phát ra bức xạ đáp ứng các đặc tính vật lí của vật đen ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực học thì các bức xạ này được gọi là bức xạ vật đen với công thức nổi tiếng của Planck về mật độ năng lượng bức xạ Định luật Planck mô tả quang phổ của bức xạ vật đen chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật

Hình 2: Đường cong bức xạ Planck khi nhiệt độ tăng dần.(Ảnh Internet)

Vật đen là một vật có hệ số đặc trưng cho bức xạ hoặc hấp thụ bằng một

Vật đen được xem như là khí photon có spin S = do đó chúng là các hạt boson

Chúng ta sẽ đi tới công thức Planck bằng việc áp dụng thống kê Bose – Einstein cho khí photon

Ở trạng thái cân bằng nhiệt động các photon được bức xạ và hấp thụ không ngừng, đồng thời năng lượng của trường bức xạ không đổi Mỗi hạt photon mang năng lượng , tần số ( ) Vì vậy với khí photon thế hóa bằng không

Ta được hàm phân bố photon theo các trạng thái lượng tử:

ở đây thừa số 2 xuất hiện phía trước vì trạng thái lượng tử có 2 bội suy biến g =

2 ứng với 2 phân cực độc lập của photon Thay k = vào (2.2) ta có số trạng thái photon ứng với cả hai phân cực có tần số nằm trong khoảng ( :

d (2.3) Vậy ta có thể tính trung bình tổng số photon trong khoảng tần số khảo sát:

a, Định luật Stefan – Boltzmann về bức xạ

Năm 1879, Josef Stefan sau khi tiến hành nhiều thí nghiệm về bức xạ nhiệt dựa trên các đo đạc thực nghiệm của John Tyndall đồng thời kết hợp với những cơ sở lý thuyết do Ludwig Boltzmann suy luận ra bằng các tính toán lý thuyết vào năm 1884, sử dụng nhiệt động lực học, đã đúc kết thành định lý Stefan – Boltzman