Cho 0≤ V < L2loc(R2) trong vế phải của (3.2) là hữu hạn với a > 0. Thì dạng toàn phương (3.1) đóng và tồn tại hằng số C = C(B, a), độc lập
với V như sau N(HB −V,0)6 C Z R2 V(x) (1 +|log|x||)1+adx+ Z R2 V(x) log(1 +V(x))dx . (3.2) Để có kết quả tiếp theo, ta sẽ cần thêm giả thiết trên từ trường. Điều kiện sau đây được lấy từ [LW].
Giả thiết 3.2. Giả sử tồn tại ε ∈
0, 1
2
, A = A(ε) và một số hữu hạn hoặc vô hạn các khoảng mở Lj = (αj, βj), sao cho
r > 0 : min k∈Z |k −Φ(r)| < ε ⊂ ∪Nj=1Ij, βj−1 < αj < βj;j = 1,2, ..., N, |Ij| 6 A min 1≤j≤N{1 +αj, αj −βj−1, αj+1−βj}. Chú ý 3.1. Giả thiết 3.2 đòi hỏi điều kiện thông lượng Φ(r) không ổn định trên những khoảng số nguyên. Điều này thỏa mãn, chẳng hạn nếu thông lượng toàn phần của từ trường là hữu hạn và không nguyên. Định lý 3.2. Giả sử A ∈ L2loc(Rn) sinh bởi từ trường B và thỏa mãn giả thiết 3.2. Cho 0 6 V ∈ L1loc(R2)∩ L1+a(R2,(1 +|x|)2adx) với a > 0 bất kỳ. Khi đó dạng toàn phương (3.1) là đóng và tồn tại hằng số C(B, a)
không phụ thuộc vào V sao cho
N(HB −V,0) ≤C(B, a)
Z
R2
V(x)1+a(1 +|x|)2adx. (3.3) Từ Định lý 3.2 ta có hệ quả
Hệ quả 3.1. Giả sử rằng A ∈ L2loc(Rn) được sinh bởi từ trường B và thỏa mãn giả thiết 3.2. Khi đó với q ∈ [2,∞) tồn tại một hằng số Sq > 0
sao cho Z R2 |(iO+ A)u|2dx ≥ Sq( Z R2 |u(x)|q(1 +|x|)−2dx)2q (3.4) với mọi u ∈ C0∞(R2). Đặc biệt, nếu A ∈ L∞(R2), thì (3.4) đúng với mọi u ∈ H1(R2).
Bất đẳng thức (3.4) không đúng với q bất kỳ nếu nó không xảy ra trong từ trường.
Chú ý 3.2. Từ trường không tác động tới khối không gian cổ điển, một cách khái quát sự phân rã của V tăng theo hàm N(HB + αV,0) theo công thức tiệm cận Weyl
lim λ→∞λ−1N(HB −λV,0) = 1 4π Z R2 V(x)dx. (3.5)
Mặt khác, về sự liên hệ giữa hằng số λ và trường V ta dễ dàng thấy rằng khi λ → ∞, thì vế phải của (3.2) và (3.3) tương ứng tỉ lệ với λlogλ và λ1+a. Nói cách khác, chúng tăng nhanh cùng với λ. Nhược điểm là cận của (3.2) và (3.3) không thể tránh khỏi sử dụng phương pháp tiệm cận trong chứng minh.
Tuy nhiên, trong phần tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng có thể bỏ cách chứng minh đó, áp dụng phương pháp chứng minh khác trong điều kiện từ trường là trường xuyên tâm.