tâm
Với trường xuyên tâm có một dạng mạnh hơn của Định lý 3.1 và Định lý 3.2. Để phát biểu định lý này ta cần một vài chú ý. Ta nói hàm lực V phụ thuộc lớp L1(R+, L∞(S1)) nếu kVkL1(R+,L∞(S1)) = ∞ Z 0 ˜ V(r)dr < ∞ (3.6) với ˜ V(r) := ess sup 0≤θ≤2π |V(r, θ)|. (3.7) Hơn nữa, với s > 0 cho trước ta kí hiệu Bs := x ∈ R2 : |x| < s.
Giả thiết 3.7. Cho B ∈ L1(R+,(1 +r)dr) là hàm giá trị thực và giả sử rằng B(x) = B(|x|).
Định lý 3.3. Cho B thỏa mãn Giả thiết 3.7. Giả sử Φ ∈/ Z , và cũng giả sử rằng V ∈ L1loc R2,|log|x|dx|
và V ∈ L1 R+, L∞ S1. Khi đó dạng toàn phương (3.1) là đóng và tồn tại tồn tại hằng số C1 = C1(B), độc lập với V, sao cho
N (HB −V,0) 6 C1 kV log|x|kL1(B1)+kVkL1(R+,L∞(S1)) . (3.8) Đặc biệt, nếu V(x) =V(|x|), thì N (HB −V,0) 6 C1kV log|x|kL1(B1)+kVkL1(R2) . (3.9) Nếu thông lượng toàn phần là một số nguyên, thì ta thay thế giới hạn vế trái và vế phải của (3.8) tương ứng với chuẩn L1 của V(x) log(x) trên toàn R2.
Định lý 3.4. Cho B thỏa mãn Giả thiết 3.7. Giả sử rằng Φ ∈/ Z, và cũng giả sử rằngV ∈ L1loc R2,|log|x|dx| và V ∈ L1 R+, L∞ S1. Khi đó dạng toàn phương (3.1) là đóng và tồn tại một hằng số C2 = C2(B)
độc lập với V, sao cho
N(HB −V,0) 6 C2 kV log|x|kL1(R2) +kVkL1(R+,L∞(S1)) . (3.10) Đặc biệt, nếu V(x) =V(|x|), thì N (HB −V,0)6 C2 kV log|x|kL1(R2)+kVkL1(R2) . (3.11) Ngược lại với Định lý 3.1 và Định lý 3.2, cận trên đã cho trong Định lý 3.3 và Định lý 3.4 không tuân theo sự tăng tuyến tính củaN(HB+λV,0)
với λ trong công thức Weyl (3.5). Chú ý rằng trong (3.8) hàm logarit là hàm địa phương nhưng trong (3.10) nó hầu khắp nơi trên R2, hạn chế tăng hiệu điện thế trên V.
Chú ý 3.3. (Từ trường Aharonov-Bohm) Véctơ từ trường A(x) = Φ(− x2
|x|2,
x1
|x|2)trên R
2 \ {0}, (3.12) sinh bởi từ trường Aharonov - Bohm tương ứng với gốc delta Dirac. Từ trường này đặc trưng bởi thông lượng không đổi của nó Φ = Φ(r). Sự liên kết với từ trường Hamilton, kí hiệu là HΦ, thì nó thỏa mãn
N(HΦ−V,0) ≤ CΦkVkL1(R+,L∞(S1)) (3.13) với hằng số CΦ là hữu hạn nếu và chỉ nếu Φ ∈ Z. Đánh giá (3.13) thu được trong [BEL]. Với lớp điện thế xuyên tâm V một giá trị cụ thể của hằng số CΦ được Laptev [La2] tìm ra.
trường. N(H0 + λV,0) ≥ 1 với mọi λ > 0 với V là số nguyên không dương. Cụ thể hơn, ta so sánh các điện thế tổng quát sau:
Vσ(x) = r−2|lnr|−2|ln|lnr||−1σ, r < e−2 0, r ≥ e−2 r = |x| (3.14) và Wσ(x) = r−2|lnr|−2|ln|lnr||−σ1, r > e−2 0, r ≤ e−2 r = |x| (3.15)
được lấy từ [BL]. Theo đó, ta cũng đưa ra lớp điện thế
Wσ := 0 < V < L1 R2 : V (x) = V (|x|),Wσ(x) = ΘV (x),|x| → ∞
(3.16)
Vσ := 0 < V < L1 R2 : V (x) = V (|x|), Vσ(x) = ΘV (x),|x| → 0 . (3.17) Nó diễn tả sự phân rã chậm vô hạn và mạnh khi bắt đầu tương ứng của điện thế.
Một trong những lý do cho sự không đúng của bất đẳng thức Cwikel- Lieb-Rosenblum trong không gian hai chiều thực tế là với σ > 1 hàm đếm được N(−∆−λVσ,0) và N (−∆−λWσ,0) có sự tăng tuyến tính mạnh mẽ cùng hằng số ngẫu hợp
N (−∆−λVσ,0) ∼ N(−∆−λWσ,0) ∼ λσ khi λ → ∞, (3.18) xem chi tiết trong [BL, Sec 6]. Sau đây ta sẽ chỉ ra hiện tượng xảy ra đối với toán tử từ tính Schr¨odinger.
Mệnh đề 3.1. Cho B(x) = B(|x|) là giá compact và sao cho B ∈
Lq R2 với q > 1 bất kỳ. Khi đó
lim
λ→∞ infλ−σN(HB −V,0), ∀V ∈ υσ, σ > 1. (3.19) Hơn nữa nếu Φ ∈ Z, thì kết hợp với (3.19), ta có
lim
λ→∞ infλ−σN(HB −V,0), ∀V ∈ Wσ, σ > 1. (3.20) Phương trình (3.19) chỉ ra rằng ước lượng (3.13) là sai nếu từ trường thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 3.1.
Chú ý 3.4. Mệnh đề 3.1, cụ thể là phương trình (3.19) chỉ ra rằng
bất phương trình (3.3) sai nếu a = 0. Ngoài ra , phương trình (3.20)
bao hàm Giả thiết 3.2 không thể bỏ qua Định lý 3.2. Thật vậy, với
Wσ ∈ L1loc R2 TL1+a
R2,
1 +|x|2adx
với mọi a > 0, cho tâm và giá compact của từ trường với Φ ∈ Z phương trình (3.20) sẽ mâu thuẫn với bất đẳng thức (3.3). Như đã giải thích ở Chú ý 3.1, là từ trường được loại trừ ở Giả thiết 3.2.
Chú ý 3.5. Phương trình (3.20) cũng cho chúng ta biết trọng lượng
(1 +|log|x||)1+a trong số hạng đầu tiên của (3.2) không thể bỏ qua. Thật vậy, với một từ trường có thông lượng nguyên và V = λWσ bất đẳng thức (3.2) không có thừa số(1 +|log|x||)1+amâu thuẫn với phương trình (3.20).
Chú ý 3.6. Đối số của chú ý đã được áp dụng trước cũng giống như ở Định lý 3.3 và Định lý 3.4. Cụ thể, phương trình (3.19) chỉ ra hàm logarit trong giới hạn đầu tiên ở vế phải của (3.8) không thể bỏ qua, trong khi đó (3.20) lại cho rằng điều kiện Φ ∈/ Z ở Định lý 3.3 là cần
