Toán tử giả vi phân trên xuyến

Đ ịn h n g h ĩa 2 .4 . (T o á n t ử g iả v i p h â n h ìn h x u y ế n ). Nếu a G

S™s (Tn X z ằ ), ta ký hiệu a ( X : D ) = Op(a) là toỏn tử giả vi phõn hỡnh xuyến tương ứng xác định bởi

Op( a ) f ( x ) = a (X, D ) f ( x ) := eia:'f a (x , 0 / ( 0 - (2 -5)

hay cũng vậy

a( x, D) f ( x) Ị_ ei(x vHa(x >Of(y)dy- (2.6) -/tb

Chuỗi (2.5) hội tụ nếu, chẳng hạn, / £ C ^ T ”). Tập hợp các toán tử Op(a) có dạng (2.5) với a G 5^5 (Tn X z n) được ký hiệu bởi Op(/S^ố(Tn X z n)), hay bởi ịỊ/™ố(Tn X z n). Nếu toán tử A thỏa mãn A € OpS™ỗ(Tn X z n), ta sẽ viết biểu trưng hình xuyến của nó là ơA — ơ a ( x , £ ) , x € Tn, £ G z n. Tất nhiên là, ơa(x D){x : 0 — Ta ký hiệu

Op(S-°°(TnX zn)) := Pi Op(Sm(TnX zn)),

m£l

O pS“Ä e r X z n) := ỊJ OpS™ỗ(Tn X z n).

m£l

N h ậ n x é t 2 .4 . Do tính tương ứng song ánh giữa Op(S'Jỉổ(Tn X z n ) ) và

¿ ^ ( T71X zn), tô pô trên lớp các biểu trưng S™ỗ(Tn x Z n) cảm sinh tôpô trên lớp các toán tử Op(S'^ỉố(Tn X zn)). Tô pô này không khả định chuẩn.

V í d ụ 2 .1 . Cho a : Tn X z n —> c là hàm đo được và m £ M sao cho

|a(z,OI < C(£)mvới c > 0 là hằng số. Khi đó toán tử giả vi phân a ( x , D ) f xác định với / G ơ °°(T n).

M ệ n h đ ề 2 .1 . Cho f G ơ °°(T n). iíTú đó O p (a )/ trong (2.5) /¿ỡàn toàn xác định và O p( a ) f G ơ °°(T n). Ngoài ra, toán tử Op(a) : ơ °°(T n) —>

ơ °°(T n) liên tục.

Chứng minh. Vì / £ S ( z n), chuỗi (2.5) hội tụ tuyệt đối và O p (a )/ G

ơ °°(T n). Ta có thể viết

Op( a ) f ( x ) = eix'^a (x Ẩ ) ì ( 0

£ezn

= / ei{x- yHa( x, t ) f ( y) dy

•'T"

= / ei{x~vH ( ì - ỵ ộ ì f ( y ) d y ,

£eZ" T" ' '

trong đó Cy là Laplace thông thường theo y. Khi đó, nếu ta lấy q G z + đủ lớn, chuỗi hội tụ tuyệt đối. Do đó, nếu ta có sự hội tụ fj —> f trong QOO (TP1), ta có thể chuyển qua giới hạn qua chuỗi và qua tích phân dựa theo định lý hội tụ bị trội Lebesgue để thấy rằng Op(a)fj —> Op( a ) f

trong ơ 00^ ”). Mệnh đề được chứng minh. □

C h ú ý 2.1. Toán tử giả vi phân (Euclide) tương ứng với biểu trưng Euclide hình xuyến b(x,£) G S™ỗ(Tn X Mn) được cho bởi

b ( X , D ) f ( x ) = Ị I e ^ - ^ b i ^ O M d y d Ệ . JRn J Tn

C h ú ý 2 .2 . Nếu biểu trưng a G S™ÕN N ( P x l " ) hoặc a £ S™5N N (Tnx z n) thì lớp các to á n tử tương ứng sẽ được ký hiệu bởi OpS™ỖN N (Tn X R”) và O p S ^ NttN2(T" X Z").

Đ ịn h lý 2 .3 . (Đ ẳ n g th ứ c g iữ a cá c lớp to á n t ử ). Cho 0 < 5 < 1,0 <

p < 1 ta có

OpS™5( Tn X Rn) = OpS™s(Tn X zn).

Chứng minh. Để chứng minh Định lí ^ 3 ta đi chứng minh bổ đề sau:

BỔ đ ề 2 .2 . [Tính tuần hoàn của toán tử] Lấy a = a(x,Ệi) G c°° (Mn X Mn) tuần hoàn theo X với mọi £ £ Giả sử với mọi OL, 13 € Ng tồn tại hằng số Cap và M ( a , ị 3 ) sao cho ước lượng

< c a0(Ệ)M^

xảy ra với mọi x , € E Dặt ã = a|t "xZ " - Khi đó

V ° a ( X , D ) f = ã ( X , D ) ° V f (2.7) với mọi / G <S(Mn).

Chứng minh Bổ đề 2^2 Lấy / € <S(Rn). Khi đó ta có

V ( a ( X , D ) í ) ( x ) = Y í ( a ( X 1D ) f ) ( x + 2nk)

k € Z n

= E / ei(x+3’kH< z + 2 * k ,í)ự R ‘f m d í

k e z n Rn

= [ [ ' E e a A e ÌZH * , í ) ự R - f m d í

Rn \ k e z n /

= ỉ M f ) e " ' í a ( z , í ) ( - 7 W ) ( í R Jỵ.n

= Y i ei^ a ( x , O ự ^ f m

= Ê e“ 'ôa(z, -(p/)(ớ) = ó(X,D)(Vfm,

feZ"

trong đó òyn là hàm răng lược Dirac ổ. Như thông thường, các tính toán này có thể được căn chỉnh theo nghĩa hàm phân phối. Kết hợp Định lí 2 2 và Bổ đề 2 2 ta có được kết quả Định lí □

Ta cũng có thể thu được một dạng của Định lý 2J3 cho các biểu trưng có tính chính quy hữu hạn:

Đ ịn h lý 2 .4 . Với 0 < Ố < 1 , 0 < P < 1 ta có

OpS™ỗớNlớNỉ(T" X Rằ) = OpS™ANiớN2(T" X Z").

2.2. T ính ư bị chặn của to á n tử giả vi phân trên xu yến

Để thu được tính Lp(Tn) bị chặn ta sẽ nội suy giữa tính L 2 bị chặn và tính L°° — B M O bị chặn. Mệnh đề bên dưới (xem [12], Định lí 4.8.1) không yêu cầu bất kỳ điều kiện chính quy nào của biểu trưng so với kết quả tương tự trên tác giả đưa ra điều kiện đủ cho tính L2(Tn) bị chặn.

Đ ịn h lý 2 .5 . Cho k € N và k > Cho a : Tn X z n —> c là một biểu trưng thỏa mãn

\a>a(x,i)\<cò,\ò\<*. (2.8)

Khi đó

a ( x , D ) : L 2(Tn) Ư { T n).

Ngoài ra, tồn tại hằng số c sao cho

I\ a ( x , D ) f \ \ L2[Tn) < c max{ơ^ : \ò\ < kjWfWv^ny (2.9) Chứng minh. Theo Định nghĩa 2A

A ( x , D ) f ( x ) := / ei(x vHa(x, t ) f ( y ) d y ,

_ JT n

do đó A ( x , D ) f ( x ) = Op(a ) f (x ) . Lúc này

I l ° p ( a ) / II^ ( T " ) = Í \ Axf ( x ) \2d x < Ị sup \ A y f { x ) \2dx,

JT" JT" y eT"

và áp dụng định lý nhúng Sobolev ta được

sụp \Ayf(x)\2 < c Ị \dyAyf{x)\2dy.

y e i n | a | < f c

Do đó, sử dụng định lý Fubini để đảo thứ tự lấy tích phân, ta thu được l|Op(ô)/ll^(T") < c / / 19 y A y f { x ) \ 2dxdy

\ a \ < k J T n j Ỵ n

< c ^ 2 sụp [ \d°Ayf ( x) \ 2dx

|a |<*yeT- JT"

= c k ỵ 2 SUP \\9yAyf\\2L2{Tn)

\ a \ < k y ^ n

< c ^ 2 sup sup \ \ d° a { y, £ ) \ \ 2L2{Tn)\ \ f \ \ l 2{Tn), W < ^ ỄTỈẼZ

Suy ra định lí được chứng minh. □

Để thu được tính chất bị chặn trong Lp, ta cần một số kiến thức chuẩn bị.

B ổ đ ề 2 .3 . Cho c(£) là cắc biểu trưng trên Tn X z n. Khi đó tích b(x, D )c (D ) là một toán tử có biểu trưng là b(x,Ệ) • c(£).

Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa toán tử giả vi phân mà có

■Ft. (c( D ) /) ( Í ) = c ( í ) .7 V ( / ) ( í ) .

□

BỔ đề sau là một hệ quả của Định lý 2JÍ

B ổ đ ề 2 .4 . Cho k G N và k > Cho b : Tn X z n —> c là một biểu trưng và m G l , nếu tồn tại một hằng số Cò > 0 sao cho với 1/31 < k

|ỡfũ(x,ớ)| < cò( 0 ’ (2.10) thì

b(x, D ) J ~ m : Ư { T n) ->• L 2(Tn),

trong đó J m ký hiệu thế vị Bessel với biểu trưng (£)m. Ngoài ra tồn tại hằng số c sao cho

II b { x , D ) J - mf \ \ L2{Tn) < c max sup |ỡf& (x,£)(£)”m|ll/IU2(T")-

\ò\^k (x,0

Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3 ta thấy rằng biểu trưng của b(x, D ) J 171 là b(x,£)(£)~m, kết luận được suy ra từ Định lý 2.5 vi

l ạ ^ ớ X ớ r ”1)! < iạ?ỉ>(z,OKớ>“’” < c c ò( 0 m(i)-m,

với 1/31 < k. Bố đề được chứng minh. □

B ổ đ ề 2 .5 . Cho ậ là hàm thuộc C 00^ 71) và b : Tn X z n —> c ỉà một biểu trưng, khi đó giao hoán tử [ậ, b(x, D)] là một toán tử giả vi phân với biểu trưng

ỡ(x , 0 = ^ 2 eix'v0(rj)[b(x, £) - b(x, £ + rj)].

t)Ç.'Ln

Chứng minh. Ta đồng nhất ậ với toán tử nhân (bởi ậ) mà sẽ được ký hiệu bởi Mệ. Khi đó

M ệ f ( y ) = ệ ( y ) f ( y ) = ^ 2 eií‘V ( ỉ/ ) / ( 0 = [ e ^ iy- z)ệ ( y ) f ( z ) d z .

J T n

Bây giờ,

b ( x , D ) o M ệ f ( x )

= Ị ^ 2 e iỆ'{x v)b(x,ĩỊ)Tậf ( y ) d y

j R n T)eZn

= Ị 'Yh í_ y 1 ei/íix~y)eiay~z)b{x i ^ { y ) f ( z ) d z d y .

J T n _ J Tn _

1 £eZ" 1 íjeM"

Sử dụng đẳng thức

ei£-(x-y)ei£-(y-z) _ ei{x-y)-{ĩ)-ị)ei{x-z)-ị

ta thu được

b ( x ,D ) o M ệ f ( x )

= Ị 'Yh f_ y 1 ei[x~vHv~°ei{x~zHK x , v ) ệ ( y ) f { z )dzãy.

J Tn _ J Tn _

1 £eZ" 1 íjeM"

= Ị c(x,£)ei{x- zHẬ(r))b(x,£ + r)).

Do đó, c(x, £) là biểu trưng của b(x, D ) o Mệ. Mặt khác biểu trưng của Mệ o b(x, D) là ậ(x) ■ b(x, £). Bổ đề được chứng minh □

Bổ đề sau được áp dụng để phân tích tính L°°(Tn) — L°°(Tn) bị chặn địa phương.

B ổ đ ề 2 .6 . Cho ơ là một biểu trưng trên Tn X z n; nếu ĩ] : z —> c là một hàm giá trong R < \z\ < 3R với R > 1. Khỉ đó, với mọi a tồn tại hằng số A và Caò sao cho với mọi X e R, s e N và với mọi (x,Ê) G r X Z"

ta có

|A £(<t(z,£)í7(s|£ |))| < Ca m ã x \ A ^ ơ ( x ^ ) \ A ịxị(^)xs x. (2.11)

ò < a s

Chứng minh.

p<a \ p )

M s l£ + 7l)l-

Chú ý rằng r](sI • I) có giá trong R < I • |3R tồn tại hằng số A > 1 sao cho

Bổ đề tiếp theo là dạng tuần hoàn của dạng cổ điển của Charles Fefferman ([7], trang 415). Nó cung cấp tính L°°(Tn) —>■ L°°(Tn) bị chặn địa phương, tính bị chặn này cùng với ứng dụng của phép phân hoạch đơn vị thích hợp là rất cần thiết trong phân tích của chúng ta theo tinh thần của lý thuyết Littlewood-Paley.

B ổ đ ề 2 .7 . Cho 0 < £ < 1 và k E : N với k > cho a : p X z n 4 c là một biểu trưng giá trong |£| < 1 hay R < |£| < 3R với R > 0 và thỏa mẫn A£Ơ,(x,£) < với |dí| < k. Khi đó, a ( x , D ) bị chặn

□

từ L°°(Tn) vào L°°(Tn) ; ngoài ra tồn tại hằng số c độc lập với a và / sao cho

II a ( x , D ) f \ \ 00< C C ( a ) \ \ f \ \ L^

trong đó C(a) = m a x {ơ0, ơ a : |dí| = k}.

của B ổ đ ề \2. 71 Cho biểu trưng a(:r,£) có giá trong { ( x , Z ) e T n x Z n/ R < \ Z \ < 3 R } :

với R > 1 và thỏa mãn |A^a(:r,£)| < với Ịo;I < k. Áp dụng Hệ quả 2.1 vào biểu trưng a ta thu được ã € s~jk0(Tn X Mn) sao cho a và ã trùng với nhau trên r X zn. Khi đó ã có chung giá với a và ta thấy rằng

a( x, D) f ( x) = ã ( x , D ) f ( x ) = í ỉ ei{x~vHã(x,Ệ)f(y)dydỆ

JRn J T"

= / T^nã{x,y - x ) f { y ) ẫ y = {T Rnẵ{x, •) * f ) { x ) . Ta thu được

\ ã ( x , D ) f ( x ) \ < \\Tm nã(x, •)IU1(Rn)ll/IU00(Rn)’a' ^ ^

Ta chỉ cần chứng minh với mọi X € Kn

\T^nã{x, -)||L1 < CC (ã ).

Đặt b = Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có

I \TRnã(x,y)\dy < Cb* f I \TRnã(x,y)\2d y j

J\y\<b \J\y\<b /

< Cb* ^ [ \ ẫ( x, 2

< c c 0b*

<

c c 0b>( [

\ J \ Ệ \ < 3 R J CC„R(‘- l^ ( [ (i)-"cdt)

\ J \ Z \ < 3 R J

< CCq, với mọi R > 1.

Bây giờ, vì k > I ta có

í ị p R n ã i x ^ ^ d y < Cb* k(Ị \y\2k \ p Rnã i x , y ) \ 2d y

J\y\>b \J\y\>b >

<Cbì-k [ | A l ~a( x, y) \2d t )

\ô/R" /

< C m a x C aR {£- 1){>-k) ( í ư)-neữ2k{1-e)dỆ

M = * \ Jr<\xi\

< c max CaR {£- 1){>-k)0 ( R {1- £)i>-k)) I ã I = k

< C m a x C a .

\a\ = k Do đó

11 Jitằ ó (x, -) IIXI < CC(ó), với mọi X G T \

Việc chứng minh tương tự cho các biểu trưng với giá có kiểu khác. □ Bây giờ ta đã sẵn sàng thiết lập kết quả chính mà có thể coi như sự tổng quát hóa tính bị chặn Fefferman về tính chất bị chặn của toán tử giả vi phân Euclide từ L°° vào BMO (xem [7]), nhưng cải tiến ước lượng với chỉ số thích hợp trong trường hợp trên hình xuyến.

Đ ịn h lý 2 .6 . Cho ũ < Ê < 1 rà iợ Ê N với k > cho a : Tn X z n —> c là một biểu trưng sao cho |A |a ( x ,£ )| < (7a (£)- 2e - (1-e)lal, I d@a(x, Ê)| < C ò ( Ê ) iÊ với Ịo; Ị, \ò\ < k. Khi đú, a ( x , D ) bị chặn từ L°°(Tn) vào B M O ( Tn). Hơn nữa, tồn tại hằng số c độc lập với a và f sao cho

\\a {x ,D )f\\BM0 < Cp~ ỵe{a)ịịf\\LOo.

Ta cần sau cho các biểu trưng có giá trên m iền |£| > R.

B ổ đ ề 2 .8 . Cho 0 < £ < 1 và k e N với k > cho a : Tn X z n —>■ c là một biểu trưng có giá trong |£| > R với |i?| > 1 sao cho

|A “a (z ,Ê )| < và |ỡ fa (z ,Ê )| < Cò{Ê)*Ê với \a\,\ò\ < k.

Khi đó, a ( x , D ) bị chặn từ L°°(Tn) vào B M O ( Tn). Ngoài ra tồn tại hằng số c độc lập với a và f sao cho

\\a(x,D)f\\BM0 < ơ máximo!* (a), p“j £(a)} II/II

Chứng minh. Ta bắt đầu bằng việc xét hàm <fi trên Tn, với 0 < <fi <

10, ậ > 1 trên B ( x 0, r ) c T n và biến đổi Fourier ậ kiểm tra supp(0) c { ( e z n : |£| < ( ơ _1r ) ĩ^ } . Ta viết

ộ(x)a(x, D) f ( x) = a(x, D) ( ậf ) ( x) + [ậ, a(x, D)]f(x) = 1 + 11. (2.12)

Để giải I ta xét thế vị Bessel J m, khi đó J~ m : H ~ m(Tn) —>■ L2(Tn) là đẳng cấu. Ta tách

a(x, D ) W ) = (a(x, D ) ■ n ụ ~ m ■ W ) \ (2-13) Bây giờ, vì biểu trưng của a(x, D ) • J m thỏa mãn giả thiết của Bổ đề

với m = | £ , nên tồ n tạ i hằn g số c > 0

\\a(X, D ) ( ệ f ) \ \ l 2 < C M l • \\J -m( ậ f ) \ \ l , (2.14) 2.4

trong đó M a = max sup |ỡf a(x, £)(£)m I-

\p\<k {xJ) Bây giờ

\ \ j - mw ) \ \ h = \ m 2H - ,

vì thế vị Bessel J~m là toán tử dương (bảo toàn tính dương của hàm số) và một phép nhân với biểu trưng J(£) = (£)_m, ta thu được

\\J-mW)\\ỉ* < \\f\\U \J -m( m \ l < C M U m l - ™

< c m u c - ^ r < c \ \ f \ \ U B ( x 0,r)\.

Do đó

IIa ( x , D ) ( ậ f ) \ \ 2L2 < Ơ M “ | | / | | Ỉ . \B(Xũ,r)\. (2.15) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta có

| g / - ằ1 Ị \ a ( x , D ) ( ậ ớ ) ( x ) \ d x < J \ a ( x , D ) ( ệ f ) ( x ) \ 2d x Ỵ

< C M J / I U - (2.16)

Điều này chứng minh ước lượng của I.

Theo Bổ đề 2.5 giao hoán tử [ậ, a(x, D)] xuất hiện trong I I là toán tử giả vi phân ỡ ( x , D ) với dấu hiệu

D ) = ỵ 2 0 - a (x ’ t + v)]-

r]€ Z n

Ta viết

00

0 ( ^ , 0 = ' 5 2 ỡj ( x , 0 ;

3 = 0

với ỡj(x,Ệ) CÓ giá thuộc |£| ~ 2j r 1. Bây giờ

ỡ ( x , 0 = eix'ôị(rj)[a(x,£) - a(x ,£ + r))].

\ v \ < ( C - 1r ) 2^ - 1'>

Do đó theo Bổ đề 2/7 ta thu được

00 00

C2~^C(a

j= 0 j= 0

(2.17) trong đó C ( a ) như trong Bổ đề 2.7

Bởi vì ộ > 1 trên B ( x 0,r), sử dụng (2.16) và (2.17) trong (2.12) ta có - — yr Í \ a ( x , D ) f ( x ) \ d x < — —1— - [ \ệ(x) ■ a ( x , D ) f (x)\dx

X o ,r )\J B \B{xữ, r)\ JB

\B(x0,

□

Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.6). Lấy / G L 00 (Tn), Xq € Tn, và B = B ( x ữ, r) c Tn. Ta sẽ chứng minh tồn tại một số nguyên j và hằng số c > 0 độc lập với / và B sao cho

J W ( x , D ) f ( x ) - gB\dx < Ơ Ị H I ^ O l l / l l i - , (2.18) trong đó ta ký hiệu g = ơ ( x , D ) f .

Ta tách ct(:e,£) th à n h hai phần, ơ = cr° + ơ 1, với ơ° có giá trong

|£| < 2 r ~ 1, ơ 1 có giá tron g |£| > 2r _ 1 - Ta có th ể th u được phép tách này bằng cỏch sau. Đặt ò = 1a là hàm đặc trưng của A = { z G z : \z\ < 1}

và khi đó

ơ°(z,£) = ơ(:z,£)/3(r|£|), và đặt ơ 1 = ơ — ơ°.

Để thu được (2.18) ta chỉ cần xét cr°, ước lượng tương ứng cho ơ 1 là

hệ quả của Bổ đề 2Jị. Ta có thể viết

dXkơ ữ( x , D ) f ( x ) = ơ'x( x , D ) f ( x ) , trong đó ơ'x là biểu trưng

°'x(x , 0 = dXkơ ữ(x, 0 + i£kơ ũ(x, £).

Ta sẽ sử dụng phân hoạch của đơn vị để nghiên cứu ơ'x

00

ơ 'x(Xi£) = ^ 2 PÁX’ Oi

3 = 1

với P j có có giá trong \xỉ\ ~ 2 Phép phân hoạch của đơn vị như thế này thu được từ hàm ĩ) : M —> R xác định bởi

77(s) =

0, nếu |s| < 1 1, nếu ỊsỊ > 2.

Đặt p ( s ) = r](s) — 77(2 1s). Khi đó su p p p = {1 < |s| < 4}. Ta có thể kiểm tra rằng

1 = ĩ](s) + ^ 2 p(2Js), s e M.

3= 1

Bây giờ, đặt s = r|£| thì

00

1 = ằ(r|*|) + 5 > ( r 2m j= i

Giá của 77 là {|s| > 1} và r\€\ < 1, ta thu được

00

1 = x^(r2il£l)

j=l với {|£| < r 1}.

Vì supp ơ' = supp <T° ta có

= 5 I]p (r 2 j |£|) - < ( z , £ ) -

3 = 0 00

Khi đó ta có thể chọn

PÁXẦ ) = p ( r 2j |£|) • ơ'x(x,£).

Ta sẽ áp dụng Bổ đề 2.7 cho mỗi số hạng P j ( x , £) và đối với ước lượng đạo hàm của Bổ đề 2.6, vì ơ' = dx ơ° + i£cr° đầu tiên ta xét dx ơ° và chọn À = — 1 ta thu được

|A^(ai ,cr0(a:,ớ)p(r2J'|ớ|))| < Cô max |A ^ ,< 7 ° 0 r ,ớ) M |A|( ớ} A(ằ-2j )A

/3< a s

ị3<a

< C a m ax(£)_

ậ<a Do đó tồn tại một hằng số c thỏa mãn

00 00

IIdXkơ ° ( x , D ) f \ \ L~ < 5 ^ 1 1 pj ( x ì D ) f ị ị L~ < ơ r -1^ 2 - j | | / | | ^

j= 0 j= 0

Bây giờ, theo định lý giá trị trung bình ta có ơ ° ( x , D ) f ( x ) - gBI < C7II/IU-

Vì vậy

| £ ( - — Ỵ ị Ị \ơũ{ x , D ) f ( x ) - gB \dx < c \ \ ơ ỵ s \ \ f l Điều này chứng minh (2.18) cho ƠQ.

(2.19)

□

Phép nội suy giữa ước lượng L 2(Tn) và ước lượng B M O ( Tn) cho phép ta thu được tính ư { Tn) bị chặn sau.

Đ ịn h lý 2 .7 . Cho 0 < £ < l ? ; ồ f c e N với k > f , cho a : Tn X z r c là một biểu trưng thỏa mãn |A |a(rr,^)| < Ca { £ ) ~ |ỡfa(rr,^)| <

Cp(£)~2£, với Ịo;Ị, Ị/31 < k. Khi đó ơ ( x , D ) là toán tử bị chặn từ Ư { Tn) tới ư ( Y n) với 2 < p < 00.

Chứng minh. Tính bị chặn trên L2(Tn) là hệ quả của giả th iế t về đạo Tính bị chặn L°°(Tn) — B M O ( T n) là hệ hàm theo X và Định lý 2.5

quả của Định lý 2.6. Định lý được rút ra từ phép nội suy thực (Định lý

i m □

KẾT LUẬN

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về tính ư bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến. Cụ thể:

• Ngiên cứu một số không gian hàm như không gian các hàm thử D và không gian đối ngẫu D ’, không gian Schwartz và không gian các hàm suy rộng tăng chậm, không gian 1 < p < oo và không gian L°°, Không gian B M O , không gian Sobolev H s,2(M.n) và một số không gian các hàm trên xuyến.

• Nghiên cứu phép biến đổi Fourier, chuỗi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn và toán tử giả vi phân trong

• Nghiên cứu toán tử giả vi phân trên xuyến và từ việc nội suy giữa tính L2 bị chặn và tính L°° — B M O bị chặn để thu được tính ư { Tn) bị chặn.

Với phạm vi luận văn và thời gian, cũng như khả năng còn hạn chế nên tác giả chưa thể tìm hiểu nghiên cứu sâu hơn, phát triển thêm các kết quả đã đưa ra và luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý để luận văn được hoàn thiện. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Tài liêu tham khảo

[A] T iế n g V iệ t

[1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kì dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[B] T iế n g A n h

[3] M.S. Agranovich (1979),“Spectral properties of elliptic pseudodiffer­

ential operators on a closed curve”, Funct. Anal. Appl. 13, 279-281.

[4] R. Ashino, M. Nagase, and R. Vaillancourt (2004), “Pseudodifferen­

tial operators on Lp(Rn) spaces”, Cubo 6(3), 91-129.

[5] R. Beals (1979), ULP and Holder estim ates for pseudodifferential operators: necessary co n d itio n s”, in Harmonic Analysis in Euclidean Spaces, Proc. Symp. Pure Math. XXXV, Part 2., Amer. Math. Soc., 153-157.

[6] R. Beals (1979), ULP and Holder estimates for pseudodifferential op­

erators: sufficient condition”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 29(3), 239-260.

[7] c . Fefferman (1973), ULP bounds for pseudo-differential operators”, Israel J. Math.