Số phức và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ———–oOo———– ĐÀO THẾ NAM SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại Số Hà Nội – 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ———–oOo———– ĐÀO THẾ NAM SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại Số Người hướng dẫn khoa học Ths DƯƠNG THỊ LUYẾN Hà Nội – 2019 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, thầy tổ mơn Đại Số thầy cô tham gia giảng dạy trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em thực tốt khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ em suốt trình hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp “Số phức ứng dụng” hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu thân hướng dẫn tận tình Ths Dương Thị Luyến Trong q trình nghiên cứu khóa luận em có tham khảo số tài liệu có ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận khơng trùng lặp chép kết đề tài khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Đào Thế Nam Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Xây dựng trường số phức 1.2 Biểu diễn hình học số phức 1.3 Số phức liên hợp môđun số phức 1.3.1 Số phức liên hợp 1.3.2 Môđun số phức 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.5 Các phép toán trường số phức 1.6 Nâng lên lũy thừa 1.7 Khai 1.7.1 Khai bậc hai 1.7.2 Khai bậc n 11 Một số dạng toán số phức ứng dụng 2.1 2.2 12 Các dạng toán thường gặp số phức 12 2.1.1 Số phức biểu diễn hình học số phức 12 2.1.2 Tính tốn số phức 19 2.1.3 Phương trình với nghiệm phức 29 2.1.4 Các tập dạng lượng giác số phức 34 Ứng dụng số phức vào giải toán 39 2.2.1 Các toán liên quan đến tổ hợp nhị thức Newton 2.2.2 39 Ứng dụng số phức giải tốn tìm giới hạn dãy số 44 Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm 47 3.1 Hệ thống tập trắc nghiệm 48 3.2 Giải tốn số phức máy tính casio 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Đào Thế Nam Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời mở đầu Lý chọn đề tài Số phức nhánh mở rộng cuối hệ thống số, hình thành từ kỉ XIX nhu cầu phát triển Toán học Từ đời, số phức thúc đẩy phát triển khơng tốn học mà ngành khoa học khác Ngày nay, số phức thiếu ngành khoa học kĩ thuật giảng dạy chương trình tốn bậc trung học hầu giới Tuy nhiên, học sinh bậc THPT số phức nội dung mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức Các toán số phức trình bày sơ lược, chưa phân loại, hệ thống cách chi tiết Tài liệu toán ứng dụng số phức nên việc nghiên cứu gặp nhiều khó khăn Trước đây, tốn số phức dừng lại mức độ thông hiểu đề thi THPT Quốc gia Hiện nay, hình thức thi thay đổi chuyển sang thi trắc nghiệm nên toán số phức chiếm lượng không nhỏ mức độ yêu cầu tăng lên mức độ vận dụng vận dụng cao Để đáp ứng việc dạy học số phức, với mong muốn nghiên cứu sâu số phức, số dạng toán số phức, ứng dụng số phức để giải số toán, em chọn đề tài “Số phức ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Khóa luận trình bày cách xây dựng trường số phức, số dạng toán thường gặp số phức ứng dụng số phức vào giải số tốn Trên sở xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm số phức Đào Thế Nam Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán số phức ứng dụng số phức 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán số phức ứng dụng số phức vào giải toán chương trình Tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống sở lý thuyết số phức Nội dung dạy học số phức chương trình Tốn phổ thơng Hệ thống hóa phân loại tập số phức Hệ thống hóa số toán sử dụng số phức để giải Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, so sánh, tổng hợp khái quát vấn đề Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Xây dựng trường số phức Xét tích Descartes C = R ∗ R = {(a, b)|a, b ∈ R} Trên C ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad), với (a, b), (c, d) ∈ C Khi đó, tập C với hai phép toán xác định lập thành trường, gọi trường số phức Thật vậy, • C với phép cộng lập thành nhóm giao hốn với phần tử trung lập (0, 0) (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) • C∗ với phép nhân lập thành nhóm giao hốn với phần tử đơn vị (1,0) (a, b).(1, 0) = (a.1 − b.0, b.1 − a.0) = (a, b) • Phép nhân phân phối phép cộng, với (e, f ) ∈ C ta có [(a, b) + (c, d)] (e, f ) = (a, b).(e, f ) + (c, d).(e, f ) • Phần tử đối (a, b) (−a, −b) • Phần tử nghịch đảo (a, b) = (0, 0) a2 a −b , + b a + b2 Đào Thế Nam Khóa luận tốt nghiệp Đại học Xét ánh xạ Φ : R −→ C a −→ Φ(a) = (a, 0), với a, b ∈ R ta có Φ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = Φ(a) + Φ(b) Φ(a.b) = (a.b, 0) = (a, 0).(b, 0) = Φ(a).Φ(b) Nếu Φ(a) = Φ(b) (a, 0) = (b, 0) hay a = b Vậy Φ đơn cấu trường Do đó, đồng số thực a với ảnh Φ(a) ∈ C tức (a, 0) = a Ta trường số phức C mở rộng trường số thực R Dạng đại số số phức Trong C, đặt i = (0, 1), ta có i2 = (0, 1).(0, 1) = (0.0 − 0.1, 1.0 + 1.0) = (−1, 0) = −1 Khi đó, z = (a, b) ∈ C ta viết z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi Ta gọi z = a + bi dạng đại số số phức Trong đó: a gọi phần thực, b gọi phần ảo, i gọi đơn vị ảo 1.2 Biểu diễn hình học số phức Ta biết điểm biểu diễn hình học số thực điểm trục số Đối với số phức, ta xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z = a + bi với a, b ∈ R biểu diễn điểm M (a, b) Ngược lại, điểm M (a, b) biểu diễn số phức z = a+bi Ta viết M (a+bi) ... mức độ vận dụng vận dụng cao Để đáp ứng việc dạy học số phức, với mong muốn nghiên cứu sâu số phức, số dạng toán số phức, ứng dụng số phức để giải số toán, em chọn đề tài Số phức ứng dụng Mục... dạng toán số phức ứng dụng số phức 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán số phức ứng dụng số phức vào giải tốn chương trình Tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống sở lý thuyết số phức Nội dung... luận trình bày cách xây dựng trường số phức, số dạng toán thường gặp số phức ứng dụng số phức vào giải số toán Trên sở xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm số phức Đào Thế Nam Khóa luận tốt nghiệp