Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012... Nguyễn Thanh HảiSỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP Ch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thanh Hải

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

Nguyễn Thanh Hải

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Văn MậuTrường Đại học khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN

Hà Nội - 2012

Mục lục

1.1 Dạng đại số của số phức 4

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất của số phức 4

1.1.2 Dạng đại số của số phức 5

1.1.3 Số phức liên hợp và mô đun của số phức 7

1.2 Biểu diễn hình học của số phức 8

1.3 Dạng lượng giác của số phức 9

1.3.1 Tọa độ cực của số phức 9

1.3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức 10

1.3.3 Các phép toán trên dạng lượng giác của số phức 10

1.4 Căn bậc n của đơn vị 12

2 Ứng dụng số phức trong tính toán tổ hợp 17 2.1 Khai triển lũy thừa của nhị thức 17

2.2 Số phức với khai triển Newton 20

2.3 Các đẳng thức trong lượng giác 27 2.4 Ứng dung số phức trong logic hình thức liên quan đến tổ hợp 31 2.5 Sử dụng số phức giải các bài toán với phép đếm nâng cao 43

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưavào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Tabiết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức làcầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giảitích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ + 1 = 0) Số phức

là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải

có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nênkhi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triểnbài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp cáctính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác,giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiềudạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ

Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức đểhọc sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng nhưcác dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh

có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôntìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựngcác dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn

đề tôi xây dựng là dạng toán “số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp ”trên cơ sở khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thứcNewton

Chương 1 Là những kiến thức về số phức Trong chương này, chúngtôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về số phức Nội dung đượctrình bày gồm: dạng đại số của số phức, biểu diễn hình học của số phức,

dạng lượng giác của số phức, căn bậc n của đơn vị

Chương 2 Là những kiến thức về khai triển nhị thức và trình bày cácứng dụng của số phức trong toán tổ hợp

Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy,người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người

đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứucủa tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trongkhoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tụchành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tác giả cũng gửi lờicảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Phương pháp toán sơcấp lớp Cao học 08 - 10, đã động viên giúp đỡ tác giả về tài liệu thamkhảo và kỹ thuật biên soạn Latex

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tậntình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 12 năm 2012

Học viên

Nguyễn Thanh Hải

Số phức và các tính chất liên quan

Tổng z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2) ∈R2

Tích z1.z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) ∈R2

Tập R2 cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức C Phần tử

(x, y) ∈ C là một số phức.

Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng

Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân

Tính chất 1.1.2 Tính chât phép cộng:

1 Giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1, ∀z1, z2 ∈ C

x = Re(z): phần thực của z y = Im(z): phần ảo của z Đơn vị ảo là i

Khi thực hành cộng, trừ, nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính

đa thức chỉ cần lưu ý i2 = −1 là đủ Lũy thừa đơn vị ảo: i0 = 1, i1 = i,

i2 = −1, i3 = −i,i4 = 1, i5 = i Bằng quy nạp ta được:

−n

= (−i)n

1.1.3 Số phức liên hợp và mô đun của số phức

Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]-[2]) Cho z = x + yi Số phức z = x − yi gọi

1.2 Biểu diễn hình học của số phức

Định nghĩa 1.2.1 (xem [1]-[2]) Điểm M (x, y) trên mặt phẳng Oxy gọi

là điểm biểu diễn hình học của số phức z = x + yi Số phức z = x + yi

gọi là tọa độ phức của điểm M (x, y)

Ta dùng ký hiệu M (z) để chỉ tọa độ phức của M là z

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳngphức

Các điểm M, M0 (tương ứng với z, z) đối xứng nhau qua Ox

Các điểm M, M00 (tương ứng với z, −z) đối xứng nhau qua gốc tọa độO

2 Các số phức z, |z| < r là các điểm nằm trong đường tròn (O, r) Các

số phức z, |z| > r là các điểm nằm ngoài đường tròn (O, r)

Khoảng cách hai điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2) bằng môđun của số phức

Điểm gốc O là điểm duy nhất có r = 0, θ không xác định

với đường tròn đơn vị tâm O

Rõ ràng

(

x = r cos θ

y = r sin θ

1.3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức

Cho số phức z = x + yi ta có thể viết z dạng cực :z = r(cos θ + i sin θ)

r = |z| ∈ [0, ∞), θ là một argument của z và θ ∈ [0, ∞)

Với z 6= 0, r và θ xác định duy nhất Xét z = r(cosθ + isinθ) đặt α =

θ + 2kπ, k ∈Z thì

z = r [cos (α − 2kπ) + i sin (α − 2kπ)] = r (cos α + i sin α)

Tức là, với số phức bất kỳz có thể viết z = r (cos t + i sin t) , r ≥ 0, t ∈ R.

khi đó ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác

Tập Argz = {t, t = θ + 2kπ, k ∈ Z} gọi là argument mở rộng của z

Do đó hai số phức z1, z2 6= 0 biểu diễn dạng lượng giác

z1 = r1(cost1 + isint1), z2 = r2(cost2 + isint2) bằng nhau ⇔

(

r1 = r2

t1 = t21.3.3 Các phép toán trên dạng lượng giác của số

z1.z2 = r1.r2 = (cos t1 + i sin t1).(cos t2 + i sin t2)

= r1.r2 [(cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2) + i (sin t1cos t2 + sin t2cos t1)]

= r1.r2[cos (t1 + t2) + i sin (t1 + t2)]

Lưu ý

1 |z1z2| = |z1| |z2|

2 arg (z1z2) = arg z1 + arg z2 − 2kπ với k =

(

0, arg z1 + arg z2 < 2π

1, arg z1 + arg z2 ≥ 2π

3 có thể viết arg (z1z2) = {arg z1 + arg z2 + 2kπ, k ∈ Z}

4 Mở rộng với n ≥ 2 số phức Nếu zk = rk(cos tk + i sin tk) , k =

Chứng minh Dùng công thức nhân với z = z1 = z2 = · · · = zn được

zn = r.r r [cos (t + t + · · · + t) + i sin (t + t + · · · + t)] = rn(cos nt + i sin nt)

Lưu ý:

1 |zn| = |z|n

2 Nếu r = 1 thì (cost + isint)n = cos nt + i sin nt

3 Ta có thể viết Argzn = {n arg z + 2kπ, k ∈ Z}

Định lý 1.3.3 Giả sử z1 = r1(cost1 + isint1), z2 = r2(cost2 + isint2)

Biểu diễn hình học của tích hai số phức: Xét số phứcz1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) ,

z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) Gọi P1, P2 là giao điểm của đường tròn (O, 1)

với tia OM1, OM2

Dựng P3 thuộc đường tròn và có argument cực θ1+ θ2, chọn M3 thuộc tia

OP3, OM3 = OM1.OM2

Gọiz3 là tọa độ phức của M3 Điểm M3(r1.r2, θ1+ θ2) biểu diễn tíchz1.z2

Gọi A là điểm biểu diễn của z = 1

và M\2OM3 = AOM\1

Suy ra hai tam giác OAM1, OM2M3 đồng dạng

1.4 Căn bậc n của đơn vị

Xét số nguyên n ≥ 2 và số phức w 6= 0 Như vậy trong trường số thức R,

phương trình zn − w = 0 được dùng định nghĩa căn bậc n của số w Ta

gọi nghiệm z của phương trình là một căn bậc n của w

Định lý 1.4.1 Cho w = r (cos θ + i sin θ) là số phức với r > 0 và θ ∈



, k = 0, 1, , n − 1

Chứng minh Biểu diễn số phứczdạng lượng giác, tức làz = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)

Theo định nghĩa, ta có zn = w, nên

ρn(cos nϕ + i sin nϕ) = r (cosθ+isinθ)

Vậy nghiệm của phương trình có dạng

zk = √n

r (cos ϕk + i sin ϕk) , k ∈ Z

Với 0 ≤ ϕ0 < ϕ1 < · · · < ϕn−1 < 2π Do đó ϕk, k ∈ 0, 1, , n − 1 làargument cực Bởi tính duy nhất của tọa độ cực, ta cón nghiệm phân biệtcủa phương trình là

z0, z1, , zn−1

Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt

Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q và số dư r, tức là

Như vậy phương trình có đúng n nghiệm

Biểu diễn hình học căn bậc n của w 6= 0, (n ≥ 3) là đỉnh của một n

giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính √n

r, r = |w|

Một nghiệm phương trình zn − 1 gọi là một căn bậc n của đơn vị

Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác, 1 = cos0 + isin0, từ công thức tìm cănbậc n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là:

ωk = cos2kπ

n + i sin

2kπ

n , k ∈ {0, 1, , n − 1}

ω0 = cos 0 + i sin 0

ω1 = cos2π

n + i sin

2πn

Đặt

ω = cos 2π

n + i sin

2πn

2 Xét ωp = cos2pπm + i sin2pπm là một nghiệm của zm− 1 = 0 và

ωp0 = cos2qπm + i sin2qπm là một nghiệm của zn− 1 = 0 Bởi vì

Ta có km0pd0d = km0p0 Bởi vì k0 và m0 nguyên tố cùng nhau, ta có m0|p Do

đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn ωpk = 1 là p = m0 kết hợpvới hệ thức m = m0d suy ra p = md, d = U CLN (k, m) Nếu ωk là cănnguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức ωkp = 1, p = U CLN (k,m)m

Ta chỉ cần chứng minh ωr, ωr+1, , ω(r + n − 1) phân biệt

Giả sử không phân biệt, tức là tồn tại r + h1 6= r + h2, h1 > h2 mà ωr+h1 =

ωr+h2 Khi đó ωr+h2.(ωh1 −h 2 − 1) = 0 Nhưng ωr+h2 6= 0 ⇒ ωh1−h 2 = 1.Đối chiếu với0 < h1− h2 < n và ω là một căn nguyên thủy bậc n của đơn

vị, ta có mâu thuẫn

Xét căn bậc 3 của đơn vị

Giải phương trình x3 − 1 = 0 ta được các nghiệm là

x1 = 1, x2 = −1

2 +

√3

2 i, x3 = −

1

2 −

√3

2 i

Các nghiệm đó chính là căn bậc ba của 1.

Đặt ε = −12 −

√ 3

2 i ⇒ ε2 = −12 +

√ 3

Ứng dụng số phức trong tính toán tổ hợp

2.1 Khai triển lũy thừa của nhị thức

Ta nhắc lại những công thức khai triển nhị thức sau:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Ta có công thức tổng quát tính hệ số của (x + y)n, còn gọi là công thứcnhị thức Newton như sau:

Định lý 2.1.1 Cho mỗi số tự nhiên n ≥ 1 ta có

Như vậy ta có biểu diễn hình thức

lại với nhau Với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta tính số các dãy n phần tử, trong đó x

lặp k lần còn y lặp n − k lần Do đó số các dãy có lặp theo tần số này là

2 Tổng các số mũ của x và y trong mỗi số hạng bằng n.

3 Các hệ số của khai triển lần lượt là Cn0, Cn1, , Cnn

Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Kiểm tra công thức trên thấy đúng với n = 2

Giả sử công thức trên đúng với n, ta chứng minh đúng với n + 1 Ta có:

có điều cần chứng minh.

2.2 Số phức với khai triển Newton

Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

Xét khai triển

(1 + x)2012 = C20120 +x C20121 + · · · + x2012C20122012

2 −

√ 2

2 i

19

2 −

√ 2

2 i + 15.27

= −27 − 27i + 15.27

20ε2 1 + ε2
19 = ε2C201 + 2εC202 + 3C203 + 4ε2C204 · · · + 18C18

20 + 19ε2C2019+20εC2020

Cộng theo vế ba biểu thức trên ta được:

2.3 Các đẳng thức trong lượng giác

Ví dụ 2.3.1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:

1 cos nα = cosnα−Cn2cosn−1α sin2α+Cn4cosn−4α sin4α−Cn6cosn−6α sin6α+

2 sin nα = Cn1cosn−1α − Cn3cosn−3α sin3α + Cn5cosn−5α sin5α −

Giải

Theo công thức Moivre, ta có:

(cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα

Mặt khác, sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

cos nα = cosnα − Cn2cosn−2α sin2α + Cn4cosn−4α sin4α −

sin nα = Cn1cosn−1α sin1α − Cn3cosn−3α sin3α +

Áp dụng với n = 3 ta có:

1 cos 3α = 4 cos3α − 3 cos α

2 sin 3α = 3 sin α − 4 sin3α

Thay x = cos α + i sin α, ta có:

(cos α + i sin α) (1 + cos α + i sin α)n

(cos α + i sin α) (1 + cos α + i sin α)n

= (cos α + i sin α) 2 cos2 α2 + i2 sinα2 cos α2
n

= 2ncosn α2 (cos α + i sin α) cosα2 + i sin α2
n

= 2ncosn α2 (cos α + i sin α) cosnα2 + i sin nα2

= 2ncosn α2 cosn+22 α + i sin n+22 α

So sánh hai biểu thức trên ta rút ra:

i

√2

n

cosnπ

4 +

√2

n

sinnπ4

n

= cosnπ

3 + i sin

nπ3

Theo công thức khai triển Newton:

Gọi α là một nghiệm bất kỳ của phương trình xp−1 + xp−2 + · · · + x +

1 = 0, trong đó p là một số nguyên tố lẻ Khi đó, tập nghiệm củaphương trình xp−1+ xp−2+ · · · + x + 1 = 0 là α, α2, , αp−1
Ngoài ra

αn, α2n, , α(p−1)n
là một hoán vị của α, α2, , αp−1
, trong đónlà sốnguyên dương nguyên tố cùng nhau vớip Giả sửf (x) =

n

P

k=0

akxklà một đathức với hệ số thực và m là một số nguyên dương, đặtz = cos 2πm + i sin2πm.Khi đó:

Gọi Alà tập con của {0, 1, , n} gồm các số chia hết cho m Từ 1 + zk+

· · · + z(m−1)k = m nếu k chia hết cho m

1 + zk + · · · + z(m−1)k = 0 nếu k không chia hết cho m

e−2πkijm = −1 nếu k không không chia hết cho m

Trong đó eti = cos t + i sin t với mọi số thực t Thật vậy, sử dụng định lýMoivre, nếu n là một số hữu tỉ thì ezi
n = enzi

Nếu k chia hết cho m thì:

e−2πkijm = cos−2πkij

nghiệm phức phân biệt α, α2, , αp−1, nên ta có thể viết:

|A0| − 2 = |A1| + |A2| + · · · + |Ap−1| + |A0| − 2

|A| − 2p

Do đó:

|A0| = C

p 2p−2

p + 2

Vậy số tập con X có p phẩn tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hếtcho p của tập {1, 2, , 2p} là C

p 2p −2

p + 2

Ví dụ 2.4.2 Cho p là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương k khôngvượt quá p − 1 Tìm số tập con X của tập {1, 2, , p}, biết rằng X chứađúng k phần tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hết cho P

Đa thức này có p − 1 nghiệm phức phân biệt Giả sử α là một nghiệm bất

kì của P (x) thì tập nghiệm của P (x) là α, α2, , αp−1 và αp = 1 Dophương trình xp = 1 có p nghiệm phức phân biệt α, α2, , αp−1, nên ta

Ví dụ 2.4.3 Cho p là một số nguyên tố lẻ Tìm số tập con X của tập

{1, 2, , p}, biết rằng tổng tất cả các phần tử của X chia hết cho p.Giải

Số tập con của X có k phần tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hếtcho p của tập {1, 2, , p} là C

k

p với k = 1, 2, , p − 1 Mặt khác chỉ cómột tập con có p phần tử của {1, 2, , p} là tập {1, 2, , p} và tổng tất

cả các phần tử của tập{1, 2, , p}là1+2+· · ·+p = p(p+1)2 chia hết chop

vì p là số nguyên tố lẻ Do đó, số tập con X có p phẩn tử của {1, 2, , p}

thỏa mãn điều kiện tổng tất cả các phẩn tử của X chia hết cho p là 1

Từ khai triển nhị thức Newton thì

Ví dụ 2.4.4 Cho plà một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n lớn hơn

2p Tìm số tập con X của tập {1, 2, , n}, biết rằng X chứa đúng 2p

phần tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hết cho p

Đa thức này có p − 1 nghiệm phức phân biệt Giả sử α là một nghiệm bất

kỳ của P (x) thì tập nghiệm của P (x) là α, α2, , αp−1 và αp = 1 Dophương trình xp = 1 có p nghiệm phức phân biệt α, α2, , αp−1, nên ta

So sánh hệ số của xn−2p hai vế của

Ví dụ 2.4.5 Cho p là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n nguyên

tố cùng nhau với p Tìm số các bộ (x1, x2, , xp−1) gồm p − 1 số tự nhiênsao cho tổng x1+ 2x2+ · · · + (p − 1) xp−1 chia hết cho p, trong đó mỗi số

x1, x2, , xp−1 đều không lớn hơn n − 1

Giải

Xét đa thức P (x) = xp−1+ xp−2+ · · · + 1 Đa thức này có p − 1 nghiệmphức phân biệt Giả sử α là một nghiệm bất kỳ của P (x) thì tập nghiệmcủa P (x) là α, α2, , αp−1 và αp = 1 Do n nguyên tố cùng nhau với

p cho nên:



αn, α2n, , α(p−1)n

Vậy |A0| = np−1−1

p + 1 Vậy số các bộ (x1, x2, , xp−1) gồm p − 1 số tựnhiên sao cho tổng x1 + 2x2 + · · · + (p − 1) xp−1 chia hết cho p, trong đómỗi số x1, x2, , xp−1 đều không lớn hơn n − 1 là np−1p−1 + 1

Ví dụ 2.4.6 Cho hai số nguyên dương m và n, trong đó n + 2 chia hếtcho m Hãy tính số các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn điềukiện tổng x + y + z chia hết cho m, trong đó mỗi số x, y, z đều không lớnhơn n

x, y, z dều không lớn hơn n Vậy số các bộ ba nguyên dương (x, y, z) thỏamãn điều kiện tổngx + y + z chia hết cho m, trong đó mỗi số x, y, z

đều không lớn hơn n bằng tổng của các ak với k chia hết cho m Tabiết rằng tổng của các ak với k chia hết cho m bằng m1