2 Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau
2.8.3 Biến đổi Fourier của hàm G-suy rộng tăng chậm
Vậy suy ra (G)R Rnf(x)dx ` R Rn f(x)dx.
2.8.3 Biến đổi Fourier của hàm G-suy rộng tăng chậm
Định nghĩa 2.8.3. Cho F = R+ Iτ ∈ Gτ(Rn), với R ∈ EM, τ [Rn]. Ta đặt b R(φ, x) = Z Rn e−ixyR(φ)φb(y)dy, (2.9)
với N nguyên không âm, > 0 đủ nhỏ, ngược lại Rb(φ, x) = 0. Biến đổi Fourier của hàm G-suy rộng tăng chậm F là một hàm G-suy rộng tăng chậm, ký hiệu FF hoặc Fb được xác định bởi
FF = Rb+Iτ ∈ Gτ(Rn).
Với định nghĩa về biến đổi Fourier của hàm G-suy rộng ta cũng có thể định nghĩa biến đổi Fourier ngược
F−1F = F−1R+Iτ ∈ Gτ(Rn) Với (F−1R)(φ, x) = (2π)−n Z Rn eixyR(φ, y)φb(y)dy.
Như vậy chúng ta đã nêu một số tính chất cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Các kết quả trong chương được tham khảo chủ yếu trong [2], [17]. Trong chương tiếp theo ta sẽ xem xét các hàm thuộc không gian Lp(Rn) như một hàm G-suy rộng và tìm mối liên hệ giữa các tính chất đã biết với các định nghĩa mới.
Các Lp-hàm,(1 ≤ p < ∞) xét theo nghĩa G-suy rộng
3.1 Biểu diễn của các Lp-hàm trong G(Rn) và Gτ(Rn)
Một trong những lớp hàm quan trọng trong giải tích là cácLp-hàm. Vậy xét trong lý thuyết hàm suy rộng Colombeau thì chúng có biểu diễn như thế nào. Về vấn đề này, trong [17], chương 3 tác giả đã giải quyết với trường hợp p= 1. Chương này chúng ta xét cho trường hợp khái quát với 1≤ p < ∞.
Chúng ta biết rằng trong lý thuyết hàm suy rộng, với 1 ≤ p < ∞ thì Lp(Rn) ⊂ D0(Rn) và các hàm thuộc Lp(Rn) cũng là các hàm suy rộng tăng chậm. Hơn nữa theo Định lý 2.2.5 ta có D0(Rn) ⊂ G(Rn). Do đó, với mọi f ∈ Lp(Rn), thì f ∈ G(Rn) theo nghĩa là có một hàm G-suy rộng tương ứng với f. Áp dụng kết quả của Định lý 2.2.5 ta có thể xác định phần tử tương ứng của f ∈ Lp(Rn) là F = f +I, trong đó
f(φ, x) =hf(y), φ(y −x)i =
Z Rn
f(y)φ(y −x)dy. (3.1)
Việc xác định hàm G-suy rộng tương ứng theo (3.1) là có thể được vì ta có: Z Rn f(y)φ(y−x)dy = Z Rn f(x+y)φ(y)dy = Z suppφ f(x+y)φ(y)dy < ∞. Ngoài ra, ta biết rằng với G∈ Gτ(Rn) là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại hàm liên tục f ∈ Cτ(Rn) sao cho G = ∂αf, với mọi α. Từ đó suy ra Lp(Rn) ⊂ S0(Rn) ⊂ Gτ(Rn).
Bây giờ chúng ta sẽ xét sự liên hệ giữa tích phân của f ∈ Lp(Rn)
thông thường và tích phân theo nghĩa G-suy rộng .