2 Hàm suy rộng
2.1.5 Tích chập
Cho f(x) vàg(x)là hàm khả tích địa phương trongRn. Hàm(f ?g)(x), xác định bởi (f ?g)(x) = Z Rn f(y)g(x−y)dy = Z Rn g(y)f(x−y)dy = (g ?f)(x), (2.1.27)
được gọi là tích chập của hàm f và g ký hiệu bởi f ? g. Tích chập f ? g và |f|?|g| = h(x) =
Z
Rn
|g(y)f(x−y)|dy tồn tại đồng thời, cả hai cùng khả tích địa phương trên Rn và thỏa mãn bất đẳng thức |(f ? g)(x)| ≤ h(x)
với hầu hết x.
Tích chập f ? g là một phép toán từ D0 vào D0 đối với hàm f và g, là hàm suy rộng, xác định bởi:
hf ? g, φi = hf(x).g(y), φ(x+ y)i, φ ∈ D(Rn). (2.1.28) Tích chập của một phân bố với hàm Delta tồn tại và f ? δ = δ ? f = f. Điều đó có nghĩa là bất kỳ phân bố f nào cũng có thể biểu diễn qua δ một cách hình thức bởi f(x) = R
Rn
f(ξ)δ(x, ξ)dξ. Sự biểu diễn này có ý nghĩa Vật lý là: Mỗi vật thể đều cấu tạo từ các điểm khối lượng, mỗi nguồn đều cấu tạo từ các điểm nguồn ... .Tuy nhiên, nói chung f ? g không liên tục từ D0 vào D0 theo f và g; chẳng hạn, δ(x −n) → 0 khi
24
n → ∞ trong D0(R2) nhưng 1? δ(x − n) = 1 9 0 khi n → ∞ trong D0(R1). Chú ý rằng tích chập tồn tại nếu f là một hàm tùy ý và g là một hàm suy rộng hữu hạn.
Một số tính chất của tích chập:
(i) Tính chất tuyến tính: (λf1+µf2)? g = λ(f1? g) +µ(f2? g), f1,2 ∈ D0, nếu các tích chập f1 ? g và f2 ? g tồn tại.
(ii) Tính chất giao hoán: Nếu tích chập f ? g tồn tại, thì g ? f cũng tồn tại và f ? g = g ? f.
(iii) Phép lấy vi phân: Nếu tích chập f ? g tồn tại, thì Dkf ? g và f ? Dkg cũng tồn tại và Dkf ? g = Dk(f ? g) =f ? Dkg.
(iv) Phép tịnh tiến: Nếu tích chập f ? g tồn tại, thì f(x+a)? g(x) cũng tồn tại và f(x+a)? g(x) = (f ? g)(x+a), a ∈ Rn.