Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 71 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
71
Dung lượng
535,31 KB
Nội dung
2 LỜI CẢM ƠN LuậnvănđượchoànthànhtạitrườngĐạihọcsưphạmHàNội2dướisựhướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lòngbiếtơn chân thành,sâusắctớiPGS.TS.GVCCNguyễnPhụHy,ngườiđãluônquantâm, độngviênvàtậntìnhhướngdẫntôitrongquátrìnhthựchiệnluậnvănnày. Tôi cũngxin trântrọngcảmơn BanGiámhiệu, Phòng Sauđại học, cácthầy giáo,côgiáocủatrườngĐạihọcSưphạmHàNội2đãgiúpđỡvàtạođiềukiện thuậnlợichotôitrongsuốtquátrìnhhọctập,nghiêncứuvàhoànthànhluậnvăn này. Nhânđâytôixinbàytỏlòngbiếtơnsâusắctớigiađình,Bangiámhiệutrường ĐH Công Nghệ Giao Thông Vận Tải – cơ sở Vĩnh Phúc cùng bạn bè, đồng nghiệpđãtạođiềukiện,độngviênvàgiúpđỡtôirấtnhiềutrongsuốtquátrình họctập,nghiêncứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Lý 3 LỜI CAM ĐOAN Tôixincamđoanluậnvănlàcôngtrìnhnghiêncứucủariêngtôidướisựhướng dẫncủaPGS.TS.GVCCNguyễnPhụHy.Tôicũngxincamđoanrằngmọisự giúpđỡchoviệcthựchiệnluậnvănnàyđãđượccảmơnvàcácthôngtintrích dẫntrongluậnvănđãđượcchỉrõnguồngốc. Tác giả Nguyễn Thị Lý 4 MỤC LỤC Trang Mở đầu ………………………………………………………………5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị …………………………………….8 1.1.Khônggianđịnhchuẩnthực………………………………….8 1.2.KhônggianBanachthựcnửasắpthứtựvớimộtnón………… 9 1.3.Khônggian 0 u E ……………………………………………….12 1.4.MộtsốkhônggianBanachthựcnửasắpthứtự……………22 Chương 2. Toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy…………………… 48 2.1.Cácđịnhnghĩa…………………………………………… 48 2.2. Toántử 0 ( , )K u - lõmchínhquy………………………… 49 2.3. Toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy trong một số không gian Banachthựcnửasắpthứtự……………………………….52 Chương 3. Sự tồn tại vecto riêng của toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón………………63 Mộtsốđịnhlý…………………………………………………….63 Kết luận ………………………………………………………….71 Tài liệu tham khảo ………………………………………………72 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài . Nhiềuvấnđềcủatoánhọc,vậtlývàkĩthuậtdẫnđếnviệcxétbàitoán tìmvectơriêngcủatoántử 0 ,K u -lõmchínhquytrongkhônggianBanach thựcvớihainón.Chínhvìvậymàbàitoánnàyđãđượcnhiềunhàtoánhọc lớntrênthếgiớiquantâmnghiêncứu. NhàtoánhọcNganổitiếngM.A.Kraxnôxelxkiđãnghiêncứulớptoán tửphituyến:Toántửlõm(1956).SauđóGS-TSKHI.A.Bakhtinmởrộngkết quảcholớptoántửphituyến 0 ,K u -lõm(1984).Cáclớptoántửđócóchung tínhchất 0 u -đođượckhiếnchoviệcứngdụngtrởnênkhókhănvàđượcxét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón. Nhà toán học M.A.Kraxnôxelxkimởrộngcáckếtquảđạtđược chocáclớptoántử trêntác dụngtrongkhônggianBanachthựcnửasắpthứtựvớihainón,trongđómột nónlàtậpconcủanóncònlại. Năm1987,PGS.TSNguyễnPhụHyđãmởrộngcáckếtquảđốivớilớp toántửlõmcholớptoántửphituyếnmớitácdụngtrongkhônggianBanach thựcvớimộtnón:Toántửlõmchínhquy,trongđókhôngyêucầutoántửcótính chất 0 u -đođược. Vớimongmuốntìmhiểusâuhơnvềlớptoántửphituyếnnày,nhờsự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi đã mạnhdạnchọnnghiêncứuđềtài:“Véctơ riêng của toán tử 0 ,K u – lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón”. 6 2. Mục đích nghiên cứu. Đềtàinàynhằmnghiêncứu,trìnhbàyvềvéctơriêngcủatoántử 0 ,K u -lõmchínhquytácdụngtrongkhônggianBanachthựcnửasắpthứ tựvớihainóngiaonhaukhácrỗng,trongđókhôngyêucầutoántửcótính chất 0 u -đođược. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. -TìmhiểuvềkhônggianBanachthựcnửasắpthứtự. -Tìmhiểuvềtoántử 0 ,K u -lõmchínhquy. -Tìmhiểuvềsựtồntạivectơriêngcủatoántử 0 ,K u -lõmchínhquy trongkhônggianBanachthựcvớihainón. 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu. Đốitượngnghiêncứu:Cáckiếnthứccơsởcầnthiết,cáckếtquảvềtoán tử 0 ,K u -lõmchínhquy,sựtồntạivectơriêngcủatoántử 0 ,K u -lõmchính quytrongkhônggianBanachthựcvớihainón. Phạmvi nghiêncứu:Cáctàiliệu,cácbàibáotrongvàngoài nướcliên quan đến vectơ riêng của toán tử 0 ,K u - lõm chính quy trong không gian Banachthựcvớihainón. 5. Phương pháp nghiên cứu. -Thuthậptàiliệuvàcácbàibáovềvectơriêngcủatoántử 0 ,K u -lõm chínhquytrongkhônggianBanachthựcvớihainón. -Tổnghợp,phântích,hệthốngcáckháiniệm,tínhchất. -Thamkhảoýkiếncủagiáoviênhướngdẫn. 7 6. Đóng góp của luận văn. Luậnvăntrìnhbàymộtcáchcóhệthốngvềkhônggianđịnhchuẩnnửa sắpthứtự,mộtsốtínhchấtvềvectơriêngvàsựtồntạivectơriêngcủatoántử 0 ,K u –lõmchínhquytrongkhônggianđịnhchuẩnvớihainón.Cáckếtquả thuđượccóthểmởrộngchomộtsốlớptoántửkhác.Luậnvăncóthểsửdụng làmtàiliệuchonhữngvấnđềtoánhọctươngtựkhác. 8 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1.1 Tagọikhônggianđịnhchuẩnthực(haykhônggiantuyếntínhđịnh chuẩnthực)làkhônggiantuyếntính X trêntrườngsốthực cùngvớimột ánhxạtừ X vàotập ,kíhiệulà . (đọclàchuẩn),thỏamãncácđiều kiệnsauđây: C 1. , 0, 0x X x x x (Phầntửkhôngcủakhônggian X ); C 2. , , ; x x X x C 3 , , x y X x y x y . Số x đượcgọilàchuẩncủavéctơ x . Tacũngkíhiệukhônggianđịnhchuẩntươngứnglà X . CáctiênđềC 1 ,C 2, C 3 gọilàcáchệtiênđềchuẩn. Định nghĩa 1.1.2 Dãyđiểm n x củakhônggianđịnhchuẩn X đượcgọilàhộitụtớiđiểm x X ,nếu: lim 0 n n x x . Định nghĩa 1.1.3 Dãyđiểm 1 n n x trongkhônggianđịnhchuẩn X gọilàdãycơbản, nếu , lim 0 n m m n x x . Định nghĩa 1.1.4 Khônggianđịnhchuẩn X gọilàkhônggianBanachnếumọidãycơ bảntrong X đềuhộitụ. 9 Định nghĩa 1.1.5 KhônggianBanach X gọi làkhônggianBanachthực nếu X là không gianconđịnhchuẩnthực.Kíhiệu E . 1.2.Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón. 1.2.1.Nón trong không gian định chuẩn . Định nghĩa 1.2.1 ChokhônggianBanachthực E .Tậpcáctậpconkhácrỗng K E gọi làmộtnón,nếu K thỏamãncácđiềukiệnsauđây: N 1 . K làmộttậpđóngtrongkhônggian E ; N 2 . ,x K y K x y K ; N 3 . , 0x K t tx K ; N 4 . ,x K x x K . 1.2.2.Quan hệ sắp thự thự trong không gian Banach thực. Giảsử E làkhônggianBanachthực, K làmộtnóntrongkhônggian E . Tađưaquanhệsắpthứtựvàokhônggian E nhưsau: Với ,x y E ,taviết ,x y nếu y x K .Khiđóquanhệ “ ”làmột quanhệsắpthựtrên E .Thậtvậy: +) ( ) ,vìx E x x x x K . Quanhệ“≤”cótínhchấtphảnxạ. +) ( , , : ,y ) ,x y z E x y z y x K z y K . Tacó: ( ) ( )z x z y y x K x z Quanhệ“≤”cótínhchấtbắccầu. +) ( , : ,y ) ,vìx y E x y x x y nếu thìx y y x . Do y x K nên x y K ,mâuthuẫnvớigiảthiết y x . 10 Quanhệ“≤”cótínhchấtphảnđốixứng. Dođó,quanhệ“≤”làquanhệsắpthứtựtrênkhônggian E vớinón K . Lúcnày,tanóikhônggian E cùngvớinón K trởthànhkhônggianBanach sắpthứtựbộphậnhaykhôngkhônggianBanachnửasắpthứtựtheonón K . Từđịnhnghĩa,dễdàngsuyracáctíchchấtđơngiảnsau(ngoàicáctínhchất vàkháiniệmđãbiếttronglíthuyếttậphợp): Tính chất 1.2.1. Nếu 1 1 , , , 1,2, n n n n n n x E y E x y n E và lim , lim n n n n x x y y trongkhônggian E thì x y . Thậtvậy,vì , 1,2, ,lim n n n n n y x K n y x y x và K làtậpđóngnên y x K x y . Tính chất 1.2.2. Giảsử 0 , u K x E .Khiđó,nếu 0 , t x tu thì 0 , , .x u t Thậtvậy: , , 0 ( ) o o tu x K t t t u K ( ) ( ) o o o u x t u tu x K , , . o x u t Tính chất 1.2.3. Giảsử 0 ,u K 0 x K saocho 0 t , 0 0 0 x t u .Khiđó,tồntạisốthực nhỏnhất t saocho 0 0 0 x t u . Thậtvậy:Xétánhxạ :f K 0 0 ( ) t f t tu x . Dotínhchấtliêntụccủahaiphéptoáncộnghaiphầntửvànhânmột sốvớimộtphầntửtrongkhônggianBanach E ,nên f liêntục.Từđóvàtừ 11 tính đóng của nón K trong không gian E suy ra 1 ( )f K là tập đóng trong khônggian .Hiểnnhiên, 1 0 ( )t f K . Giảsử inf 1 ( )f K .Khiđó 1 1 : ( ) n n t f K , lim n n t và 0 0 0 0 1 ( ) ( 1,2, ) n n n n x u signt t u x K n t t . Choquagiớihạntrongbiểuthức 0 0 n n x u signt t khi n tađược 0 u K . Suyra 0 u K và 0 u ,nên 0 u K mâuthuẫnvớitínhchấtcủanón K . Dođó inf 1 1 ( )f K t . Do 1 ( )f K làtậpđóng,nên 1 1 ( )t f K ,nghĩalà 1 1 min ( )t f K . Vìvậy, 1 t nhỏnhấtsaocho 1 0 0 .t u x K Tính chất 1.2.4. Giảsử 0 0 , u K x E saocho 0 0 0 0 0, t x t u .Khiđó,tồntạisốthực nhỏnhất t saocho 0 0 x tu . Thậtvậy,vì 0 0 x E x E .Khiđó,với : o u K 0 0 0 0, o o o o t x t u x t u . Theotínhchất3,tồntạisốthực t nhỏnhấtsaocho 0 0 x tu haytồntạisốthựcnhỏnhất t saocho 0 0 x tu . [...]... - đo được , nên x Eu 0 Từ đó suy ra Eu Ex và u0 - chuẩn tương đương với x* - chuẩn. 0 * 1.3.2.Một số định lí về nón Định nghĩa 1.3.1 15 Cho không gian Banach thực E với nón K Nón K được gọi là nón chuẩn nếu : ( 0)(e1 , e2 K : e1 e2 1) thì e1 e2 Định lí 1.3.1 Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực ... là một dãy không giảm các phần tử thuộc K và bị n chặn trên bởi phần tử h x1 nên theo định lí 1.3.1, dãy ( xn x1 )1 bị chặn n theo chuẩn nhờ tính chất chuẩn của nón K Từ đó và từ tính chất đều hoàn 22 toàn của nón K , suy ra dãy ( xn x1 )1 hội tụ trong không gian E nên dãy ( xn )1 n n cũng hội tụ trong không gian E 1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.4.1 n Không gian n...12 1.3 .Không gian Eu 0 1.3.1 Định nghĩa không gian Eu và một số tính chất đơn giản 0 Cho không gian Banach thực E với nón K , giả sử u0 K \ Phần tử x E gọi là u0 - đo được nếu tìm được hai số không âm t1 , t2 sao cho t1u0 x t2u0 Ta kí hiệu cận dưới đúng của t1 là ( x) , của t2 là ( x) Theo tính chất 1.2.3; 1.2.4 của mục 1.2.2 thì ... 1.4.1.1 Không gian định chuẩn thực n Dễ kiểm tra n x x1 , x2 , , xn ; xi , i 1,2, , n n * với hai phép toán thông thường n x y ( x1 y1 , x2 y2 , , xn yn ) n x ( x1 , x2 , , xn ) trong đó , x x1 , x2 , , xn n , y ( y1 , y2 , , yn ) n , là một không gian tuyến tính thực với phần tử không là (0,0, ,0) Ta đưa vào không gian tuyến tính ... x x k i 2 i , k k0 hay x k x i 1 Do đó dãy điểm x k hội tụ tới x trong n 1.4.1.2 Không gian Banach thực dãy cơ bản tùy ý trong n m 1 n với một nón n Không gian định chuẩn thực Thật vậy, giả sử dãy x m n là không gian Banach. với x m x1 m , x2m , , xnm , m N * là một Khi đó theo định nghĩa 1.1.7 ta có ... Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, ta có 0, n0 * : n n0 , xn s x s , s a; b , suy ra max xn s x s hay xn x với xn xn s và x x s a s b Do đó dãy xn hội tụ tới x trong không gian Ca ;b 1.4.2.2 Không gian Banach thực Ca ;b với một nón Ta chứng minh được Ca ;b là không gian Banach với chuẩn (1.10). Thật vậy, giả sử ... Từ đó và từ định nghĩa chuẩn trong không gian Ey n - xn yn y n £ x n £ x n yn y n Suy ra xn - E n yn yn £ x n £ E xn E n yn y n E Điều đó tương đương với - yn n yn £ E xn xn £ E yn n yn E 16 Đặt xn gn = xn yn + n yn E - xn , hn = xn E yn + n yn E E Khi đó, với mọi n ³ 2 ta có gn E xn = xn + E yn n yn xn ³ xn E E E yn n yn = 1- 1 > 0, n = 1- 1 > 0 n E E và hn E - xn = xn + E yn n yn - xn ³ xn E E - E... xác định như trên là một quan hệ sắp thứ tự bộ phận.Thật vậy, với hai phần tử x, y bất kì thuộc n có thể không có quan hệ thứ tự theo nón K Ví dụ với x (1,0, ,0), y (0,1,0, ,0) Vì vậy n n không có quan hệ x y và y x là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K K là nón chuẩn trong n Thật vậy x, y K , x ( x1 , x2 , , xn ), y ... x tu0 với t 0 Do đó x Eu 0 Vậy công thức (1.9) được chứng minh. Ta xét trong trường hợp đặc biệt : Với n 1 ta có không gian Banach 1 Khi đó, nón K x : x 0 o; Với u0 K \ thì K (u0 ) x : x 0 0; , Eu x 0 Với n 2 ta có không gian Banach 2 Khi đó, nón K x ( x1 , x2 ) 2 : x1 0, x2 0 Với u0 ... 1.3.2 Cho không gian Banach thực E với nón K Chuẩn trên không gian E gọi là nửa đơn điệu, nếu (N 0)(x, y K : x y ) x E N y E Chuẩn trên không gian E gọi là đơn điệu, nếu (x, y K : x y ) x E y E Định lí 1.3.2 Chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu khi và chỉ khi K là nón chuẩn. Chứng minh. 19 Giả sử K là nón chuẩn, theo định lí 1.3.1, . - Tìmhiểuvề không gian Banach thực nửasắpthứtự. - Tìmhiểuvề toán tử 0 ,K u - lõm chính quy. - Tìmhiểuvềsựtồntại vectơ riêng của toán tử 0 ,K u - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 4 Nhiềuvấnđề của toán học,vậtlývàkĩthuậtdẫnđếnviệcxétbài toán tìm vectơ riêng của toán tử 0 ,K u - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. Chính vìvậymàbài toán nàyđãđượcnhiềunhà toán học lớntrênthếgiớiquantâmnghiêncứu. Nhà toán họcNganổitiếngM.A.Kraxnôxelxkiđãnghiêncứulớp toán tử phituyến: Toán tử lõm (1956).SauđóGS-TSKHI.A.Bakhtinmởrộngkết quảcholớp toán tử phituyến . quy trong một số không gian Banach thực nửasắpthứtự……………………………….52 Chương 3. Sự tồn tại vecto riêng của toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón ……………63 Mộtsốđịnhlý…………………………………………………….63 Kết