Giới Thiệu Phép Tính Vi Tích Phân Trong Mặt Phẳng Và Trong Không Gian Thông Qua Cuốn Sách Calculus Của Mr. Paul Allan Foerster

1 LỜI NÓI ĐẦU Ở chương 8, bạn sẽ hiểu thuộc tính tích phân xác định giúp bạn tìm chính xác diện tích, thể tích và độ dài bằng cách tách lớp đối tượng thành những phần nhỏ, rồi cộng lại và lấy giới hạn. Bạn sẽ sử dụng đạo hàm để tìm cực đại, cực tiểu và quan tâm đến đường hình dáng hình học bằng 4 cách:  Bằng đồ thị: Biểu tượng ở đỉnh của mỗi trang số chẵn của chương này biểu diễn một đối tượng mà bạn có thể tìm độ dài, diện tích, thể tích và điểm của sự uốn.  Bằng số liệu: x f’ (x) f (x) 1.8 0.72 13.931 1.9 0.33 13.984 2.0 0 14 _ max 2.1 -0.27 13.987 2.2 -0.48 13.949 . . . . . . . . .  Bằng phương pháp đại số: = ∫ ( − ) ,tính thể tích bằng cách tách lớp thành vùng.  Bằng lời nói: Tôi nghĩ điều quan trọng nhất tôi học được là tôi có thể sử dụng các phương pháp giống nhau để tìm độ dài và diện tích bề mặt và tôi cũng tìm được thể tích và diện tích mặt phẳng. Cách làm là tôi vẽ hình vẽ biểu diễn từng phần của đối tượng, rồi chọn ra một điểm mẫu của từng phần, tìm vi phân của chúng. Tôi cố gắng tìm rồi cộng các kết quả đó lại và lấy giới hạn, đây là phương pháp làm tròn. 8.1 Hàm số bậc ba và đạo hàm của chúng. - Nhớ lại đồ thị của hàm số bậc 2, f(x) = ax 2 + bx + c , luôn luôn là một parabola. Đồ thị của một hàm số bậc 3, f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , được gọi là một đường parabola bậc 3. Để bắt đầu ứng dụng của bạn cho việc tính toán biểu đồ hình học, bạn sẽ học về đạo hàm cấp 2, ở đây nói về tỉ lệ đạo hàm đầu tiên thay đổi. Từ đạo hàm cấp 2 bạn có thể tìm hiểu về độ cong của một đồ thị và đường cong đồ thị đó đi lên hoặc đi xuống. - Phương trình 8.1a biểu diễn đồ thị của các parabola bậc 3. Chúng có hình dạng khác nhau phụ thuộc vào mối quan hệ của các hệ số a, b và c ( Hệ số d chỉ ảnh hưởng vị trí thẳng đứng của đồ thị ) một số đồ thị có 2 đỉnh phân biệt, một số lại không. Khám phá vấn đề phần 8.1, bạn sẽ hình thành các mục tiêu của phần này. Khám phá phần 8.1 2 1. Trong hình 8.1a, ( ) = −6 + 9 −3 ( ) = −6 +15 −9 ( ) = −6 +12 −9 Hình 8-1a Cho các hàm số, tìm một phương trình ứng với đạo hàm đó. Phác hoạ hàm số và đạo hàm của nó trên một trục toạ độ. Rồi tìm danh sách mối liên hệ mà bạn có thể tìm thấy giữa đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm. Phác thảo sẽ giúp bạn. 2. Mối liên hệ bạn có thể tìm thấy giữa đồ thị đạo hàm của một hàm số và hàm số có 2 điểm đỉnh phân biệt ( điểm trên hoặc điểm dưới) là gì ? 3. Đạo hàm cấp 2 của một hàm số là đạo hàm của đạo hàm cấp 1. Ví dụ: f ”(x)= 6x - 12 . Tìm phương trình cho đạo hàm cấp 2 của g”(x) và h”(x). Bạn phải chú ý điều gì ? 4. Hình 8.1a minh hoạ đường cong có bề lõm hướng lên và bề lõm hướng xuống. Bạn có chú ý gì về dấu hiệu của đạo hàm cấp 2 và hướng lõm của đồ thị ? 5. Một đồ thị có một điểm uốn thì tại đó nó sẽ thay đổi từ lõm xuống đến lõm lên hoặc ngược lại. Đó là 2 cách bạn có thể sử dụng đạo hàm để xác định đúng điểm uốn. 8.2 Điểm tới hạn và điểm uốn Nếu một đối tượng di chuyển đến một điểm dừng, một vài thứ có thể xảy ra. Nó có thể vẫn còn dừng, bắt đầu lần nữa với hướng đó, hoặc bắt đầu lần nữa với hướng khác. Khi một chiếc xe dừng lại hoặc đi hướng ngược lại, tốc độ đi bằng 0. Khi một quả bóng chày được đánh bởi một vận động viên, tốc độ của nó được thay đổi một cách đột ngột và không xác định được ngay lập tức của sự tiếp xúc. Hình 8.2a biểu diễn sự đổi chỗ d, và tốc độ v ( đạo hàm), thay đổi với thời gian x. 3 Hình 8-2a Một điểm tại đó đạo hàm bằng 0 không xác định thì được gọi là một điểm tới hạn, một giới hạn đến từ “ khủng hoảng” ( Khi đạt được một khủng hoảng, mọi thứ dừng lại và có thể đi theo các hướng khác nhau). Điểm tới hạn thường được sử dụng cho điểm trên trục x và thường cho điểm trên đồ thị của nó. Bạn phải quyết định ngữ cảnh mà ở đó là giá trị trung bình. Giá trị y của một điểm tới hạn có thể là cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương ( Hình 8.2a, ở giữa và bên phải). Từ địa phương chỉ ra rằng f(c) là cực đại hoặc cực tiểu của f(x) khi x được giữ trong một lân cận của c. Cực đại tổng thể và cực tiểu tổng thể là lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng của cực đại địa phương và cực tiểu địa phương ( Cực đại và cực tiểu có nhiều dạng). Một điểm tới hạn với đạo hàm bằng 0 nhưng không phải là cực đại hoặc cực tiểu ( Hình 8.2a, trái) được gọi là một điểm bằng (Mối quan hệ và hình tuyệt đối thường được sử dụng thay thế cho địa phương và tổng thể khi biểu diễn cực đại và cực tiểu) Có tính liên thông giữa một đạo hàm của một hàm số và dáng điệu của một đồ thị tại một điểm tới hạn. Cho ví dụ, nếu đạo hàm thay đổi từ dương sang âm ( Hình 8.2a, ở giữa), có một điểm cực đại trong đồ thị của hàm số. Bạn xem ở phần 8.1, đạo hàm cấp 2 của một hàm số cho ta biết hướng mặt lõm của đồ thị. Một điểm của sự uốn hoặc điểm uốn, xảy ra ở những chỗ mà mặt lõm thay đổi hướng. Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số ở hình 8.2b, kéo dãn một đường đẳng số của đồ thị hàm f ’ và một đường đẳng số của đồ thị hàm f ” biểu diễn dấu hiệu của mỗi đạo hàm trong một lân cận của điểm tới hạn tại x = 2. Trên đồ thị đường đẳng số, chứng 4 tỏ rằng f(2) là một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương và ở đó đồ thị có một điểm uốn tại x = 2. Hình 8-2b Lời giải: Kéo dãn đường đẳng số đồ thị hàm f ’và một đường khác của f’’.Mỗi đồ thị đường đẳng số cần 3 vùng: 1 cho x, 1 cho đạo hàm và 1 cho f(x). Hình 8.2c chỉ ra một cách thích hợp để kéo dãn chúng. Chữ viết tắt “ ep” có nghĩa là một điểm đầu nút của định ngĩa. Đồ thị dọc đứng tại x=2, vì f’(2) là vô tận. Chèn kí hiệu vô cùng, trong vùng f’(x), ở trên x=2,và vẽ một mũi tên thẳng đứng trên nó ở trong vùng f(x). Đồ thị của f nghiêng cả hai phía tại x=2. Đạo hàm dương khi hàm số tăng lên, đặt một dấu cộng trong vùng f’(x) về hai phía đối với x=2. Biễu diễn mũi tên chỉ hướng nghiêng dưới lên ở vùng ở vùng f(x) có biễu tượng dấu cộng. Không có giá trị cực đại và cực tiểu của f(x) tại x=2, vì thế bạn không cần phải viết ở những vùng đó. Đồ thị có bề lõm hướng lên ở vùng x<2 và bề lõm hướng xuống ở vùng x>2. Vì thế một đạo hàm cấp 2 dương chứng tỏ rằng bề lõm hướng lên và đạo hàm cấp hai âm chứng tỏ rằng bề lõm hướng xuống, đặt một dấu cộng ở vùng f’’(x), bên trái x=2 và một dấu trừ ở bên phải. Vẽ cung ở vùng f(x) chứng tỏ rằng hướng của mặt lõm đồ thị f. Mặt lõm thay đổi (từ đi lên đến đi xuống ) tại x=2, vì thế đồ thị có một điểm uốn tại đó. Viết “p.i” ở vùng f(x) tại x=2. Chú ý về mặt lõm và độ cong Hình 8-2d Hình 8-2e Từ mặt lõm đến từ Latin, nghĩa là “chỗ hõm vào”. Nếu đạo hàm cấp hai dương, đạo hàm cấp một tăng.Hình 8-2d biễu diễn tại sao mặt lõm hướng xuống trong 5 trường này và ngược lạiHình 8-2d. Hinh 8-2eNhư biễu diễn ở hình 8-2e, giá trị tuyệt đối của f’’(x), nhận thấy rõ ràng hơn độ cong của đồ thị. Tuy nhiên bạn sẽ học trong bài 10-6, độ cong cũng phụ thuộc vào độ nghiêng của đồ thị. Được cho bởi giá trị f’’(x), độ nghiêng càng dốc,độ cong càng ít.Ở ví dụ 2, bạn sẽ làm ngược lại phương pháp của ví dụ 1 và dựng hình đồ thị của hàm số từ đường đẳng số của đạo hàm cấp 1 và cấp 2. Ví dụ 2: Hình 8-2f biễu diễn đồ thị đường đẳng số cho đạo hàm cấp một và cấp hai của một hàm liên tục. Dùng thông tin này để kéo dãn đồ thị của f nếu f(4)=0. Mô tả dáng điệu của hàm số ở điểm tới hạn. Hình 8-2f Lời giải: Kéo dãn đồ thị đường đẳng số. Cộng mũi tên và cung ở vùng f(x), biễu diễn độ nghiêng và mặt lõm trong các khoảng giữa các điểm tới hạn (Hình 8- 2g). Cộng với thông tin đã có mô tả chức năng của đồ thị sẽ có ở điểm tới hạn của f và f’. Kéo dãn một hàm số liên tục (không phải là đường tiệm cận )có đường bao đã cho và cắt trục x tại x=4 (Hình 8-2h). Đồ thị mà bạn vẽ phải hơi khác, nhưng nó phải có chức năng biễu diễn trên đường đẳng số đồ thị ở hình 8-2g Hình 8-2h Hình 8-2g Ví dụ 3 biễu diễn cách mà bạn kéo dãn đồ thị của một hàm số nếu thực tế đồ thị của đạo hàm hàm số được cho không phải là đường đẳng số. Ví dụ 3: ở hình 8-2i biểu diễn đồ thị của đạo hàm một hàm liên tục, từng phần hàm số f xác định trên khoảng đóng x thuộc [ 0,8 ]. Trên trang giấy vẽ hình, kéo 6 dãn đồ thị của hàm f, điều kiện ban đầu là f(1)=5. Đặt dấu chấm ở phần vị trí của mỗi điểm tới hạn và mỗi điểm uốn. Hình 8-2i Lời giải: Hình 8-2j cho ta thấy rằng . f(1)=5, điều kiện ban đầu là một cực đại địa phương vì f’(x) thay đổi từ dương sang âm như x tăng từ 1. . f(0) là một điểm cuối của cực tiểu địa phương vì f(x) tăng lên giữa 0 và 1. Bằng cách tính bình phương, f(0) ≈5 - 1.3=3.7. Nó xác định vì tập xác định la [0,8].Hình 8-2j . f(2) ≈5 - 0.7=4.3 là một điểm uốn vì f’(x)có một cực tiểu địa phương tại x=2. . f(3) ≈4.3 - 0.7 = 3.6 là một cực tiểu địa phương f’(x) thay đổi từ dương sang âm tại x=3. . f(4) ≈ 3.6 + 1.3 = 4.9 tồn tại vì f là liên tục và là một cực đại địa phương vì f’(x) thay đổi từ dương sang âm tại x = 4. Tại x = 4 vì vì đạo hàm của đồ thị thay đổi gián đoạn (đạo hàm không liên tục ). . f(6) ≈ 4.9 - 2.0 = 2.9 là một cực tiểu địa phương vì f’(x) thay đổi từ âm sang dương tại x = 6. . f(8) ≈2.9 + 2.0 = 4.9 là một điểm cuối cực đại địa phương vì f(x) tăng từ x = 6 đến x = 8. Ở ví dụ 4 bạn được cho cả phương trình của hàm số và đồ thị chính xác. Bạn sẽ được hỏi để tìm chức năng đại số, và có thể gặp một số khó khăn để nhận ra. Ví dụ 4: Hình 8-2k biểu diễn đồ thị của ( ) = ⁄ + 4 ⁄ a. Kéo dãn đồ thị đường đẳng số của f’ và f’’ để biểu diễn chức năng xuất hiệ rõ trên đồ thị. b. Tìm phương trình của f’(x) và f’’(x). Biểu diễn đại số điểm tới hạn bạn sẽ vẽ ở phần a cho đúng. 7 c. Viết toạ độ x và y của tất cả các điểm cực đại, cực tiểu và điểm uốn. Hình 8-2k Hinh 8-2l Lời giải: a. Hình 8-21 biểu diễn đồ thị hai đường đẳng số. Chú ý rằng f’’(x) = 0 tại x = -1 và xác định tại x = 0. Đồ thị có bề lõm hướng lên đối với x < 0 và có bề lõm hướng xuống đối với x > 0. b. ′ ( ) = ⁄ + ⁄ = ⁄ ( +1) ′′ ( ) = 4 9 ⁄ − 8 9 ⁄ = 4 9 ⁄ ( −2) Điểm tới hạn xảy ra tại f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định. f’(x)=0  ⁄ ( +1 ) = 0x -2/3 = 0 hoặc x +1 = 0 Một tích số bằng không nếu và chỉ nếu một trong các thừa số của nó bằng không. x -2/3 = 1/x 2/3 không thể bằng không, vì vậy thừa số khác phải bằng không o -2/3 = 1/0 2/3 , giá trị này không vô hạn . x=-1 f’’(x) không xác định khi và chỉ khi x=0. . Điểm tới hạn xảy ra tại x=0 và x=-1, được khảo sát ở phần a. Điểm uốn có thể xảy ra mà tại đó f’ có điểm tới hạn;f’’(x)=0 hoặc không xác định . f’’(x)=0  ⁄ ( −2 ) = 0 x -5/3 = 0 hoặc x - 2 = 0 ∴x=2 f’’(x) không xác định khi và chỉ khi x=0. Tại một điểm của sự uốn, f’’(x) phải thay đổi dấu. Tại x=2, thừa số (x-2) trong f’’(x) phải thay đổi dấu. Tại x=0, thừa số (4/9)x -5/3 phải thay đổi dấu.(Luỹ thừa của một số dương là dương. Nếu x là âm thì x -5/3 là âm. Căn bậc ba của một số âm là âm, luỹ thừa bậc 5 của số âm cũng là âm, và nghịch đảo của số âm cũng là số âm.) Vì thế điểm uốn là tại x=0 và x=2. Điểm x=2 không biểu diễn điểm gốc cho đường đẳng số của đồ thị của f’’(x) ở phần a, vì thế cộng các dấu hiệu phác hoạ biểu diễn ở hình 8-2m. 8 Hình 8-2m c. Tìm độ y của cực đại và cực tiểu, thấy được từ giá trị x ở phần b thành phương trình f(x). f(-1) = (-1) 4/3 +4(-1) 1/3 = 1- 4 = -3 f(0) = 0 f(2) = (2) 4/3 + 4(2) 1/3 = 7.559… Cực tiểu địa phương và tổng thể của f(x) đều bằng -3 tại x= -1. Điểm của sự uốn tại (0,0) và tại (2,7.599 ) Không có cực đại địa phương hoặc tổng thể vì f(x) xấp xỉ vô cùng như x xấp xỉ cộng trừ vô cùng. Thỉnh thoảng bạn sẽ tìm điểm tới hạn từ phương trình của một hàm số. Ví dụ 5 cho thấy cách làm này bằng đồ thị và bằng số liệu và cách khẳng định kết quả bằng phương pháp đại số. Ví dụ 5: Cho f(x)= -x 3 + 4x 2 + 5x + 20, với miền xác định [-2.5, 5]. a. Phác hoạ đồ thị. Dự đoán toạ độ x và y của tất cả cực đại hoặc cực tiểu địa phương và tất cả điểm uốn, vị trí của cực đại và cực tiểu tổng thể. b. Viết phương trình f’(x) và f’’(x). Sử dụng chúng để tìm cả về số liệu lãn phương pháp đại số, giá trị chính xác của toạ độ x ở phần a. c. Biễu diễn đạo hàm cấp hai âm tại điểm cực đại địa phương và dương tại điểm cực tiểu địa phương. Giải thích đồ hoạ trên cơ sở lập luận. d. Giải thích tại sao không có điểm tới hạn khác hoặc điểm uốn khác. Lời giải: a. Hình 8-2n biểu diễn đồ thị trên miền xác định. Sử dụng phác hoạ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị để tìm điểm trên và điểm dưới, và xác định để tìm điểm của sự uốn. Cực tiểu địa phương của 20 tại điểm cuối x=5, và về 18.625 tại x xáp xỉ - 0.5. Hình 8-2n Cưc tiểu tổng thể tại khoảng 18.625. Cực đại địa phương của 48.125 tại điểm cuối x = -2.5, và khoảng 44.192 tại x xấp xỉ 3.2. Cực đại tổng thể tại khoảng 48.125. Điểm của sự uốn xấp xỉ (1.3, 31) b. f’(x) = -3x 2 + 8x +5 f’’(x) = -6x + 8 9 Đồ thị của f’ biểu diễn trên cùng một mặt như f ở hình 8-2n. Đặt chính xác điểm tới hạn, sử dụng giải pháp là phác hoạ đồ thị để tìm số lượng tại đó f’(x)=0, hoặc sử dụng phương trình bậc hai. Vì vậy, = ± ( ) ( ) ( ) = -0.5225… hoặc 3.1892… Điều này khẳng định dự đoán ở phần a. Tìm chính xác điểm uốn, đặt f’’(x)=0 và giải quyết. Vì thế, -6x + 8 = 0 khi x= 4/3 tại đó khẳng định dự đoán của x xấp xỉ 1.3 ở phần a. c. f’’(-0.5225 ) = 11.1355 ,là dương. f’’(3.1892 ) = -11.1355 , là âm. Đồ thị có bề lõm hướng lên tại điểm dưới và có bề lõm hướng xuống tại điểm trên. d. Vì f’(x) là phương trình bậc hai, nó có thể có hai nghiệm bằng không, đều được tìm ở phần b. Kể từ f’’(x) là tuyến tính, nó có chính xác một điểm bằng không, cũng được tìm ra ở phần b. Vì thế không có nhiều điểm tơí hạn hoặc điểm của sự uốn. Chú ý về đạo hàm cấp hai Từ ví dụ 5, bạn thấy điểm uốn xảy ra ở đó đạo hàm ngừng tăng và bắt đầu giảm, và ngược lại. Bạn có thể kết luận rằng điểm uốn xảy ra ở đó đạo hàm của hàm số có một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương. Vì thế đạo hàm của đạo hàm (đạo hàm cấp hai), nếu nó được xác định, và sẽ bằng không tại điểm uốn. Cũng từ ví dụ 5 bạn có thể tìm ra phương pháp đại số bầng cách xác định điểm tới là một điểm trên hoặc điểm dưới. Nếu đồ thị có triệt tiêu đạo hàm cấp một (đường thẳng nằm ngang), rồi có một điểm trên nếu đạo hàm cấp hai là âm(bề lõm hướng xuống) hoặc một điểm dưới nếu đạo hàm cấp hai là dương( bề lõm hướng lên). Cơ sở này được gọi là kiểm tra đạo hàm cấp hai cho cực đại và cực tiểu. Nó được mimh hoạ trong hình 8-2o và tổng kết ở bảng trang 380. Hình dáng được biểu diễn ở những phép thử cũng chưa đủ để phân biệt giữa cực đại, cực tiểu và điểm bằng nếu đạo hàm cấp hai bằng không thì tại đó đạo hàm cấp một cũng bằng không. Hình 8-2p và các bảng đi kèm trình bày các định nghĩa và tính chất của phần này. 10 Hình 8-2p Chú ý hình dáng biểu diễn cực đại và cực tiểu địa phương. Tìm cực đại và cực tiểu tổng thể, bạn phải kiểm tra mỗi điểm địa phương đó và tìm ra điểm lớn nhất và điểm nhỏ nhất. Chú ý về điểm lùi và điểm góc đỉnh Điểm lùi tại x=5 ở hình 8-2p có tính chất rằng độ dốc trở nên vô hạn tại x xấp xỉ bằng 5 từ các hướng, và vì thế đô thị có một tiếp tuyến thẳng đứng. Tại x=3, có một bước thay đổi trong đạo hàm cấp một (một hướng thay đổi đột ngột ở hướng của đồ thị ) nhưng độ dốc xấp xỉ giá trị khác từ mặt dương và âm. Cái tên điểm góc đỉnh thường được sử dụng như một điểm. ĐỊNH NGHĨA: Điểm tới hạn và mối liên hệ các chức năng. . Một điểm tới hạn trên một đồ thị xảy ra tại x=c nếu và chỉ nếu f(c) xác định và f’(c)=0 hoặc không xác định. . f(c) là cực đại địa phương (hoặc cực đại tương đối) của f(x) nếu và chỉ nếu f(c)>f(x) hoặc tất cả x là một lân cận của c (là một khoảng mở chứa c). . f(c) là một cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu tương đối ) của f(x) nếu và chỉ nếu f(c)≤f(x) cho tất cả x là một lân cận của c. . f(c) là một cực đại tổng thể (hoặc cực đại tuyệt đối )của f(x) nếu và chỉ nếu f(c)≥f(x) cho tất cả x ở trong miền xác định của f. . f(c) là một cực tiểu tổng thể (cực tiểu tuyệt đối) của f(x) nếu và chỉ nếu f(c)≤f(x) cho tất cả x ở trong miền xác định của f. . Đồ thị f có bề lõm hướng lên tại x=c nếu và chỉ nếu tất cả x ở trong lân cận của c, đồ thị nằm trên đường tiếp tuyến tại điểm (c, f(c)). Đồ thị của f có bề lõm hướng xuống tại x=c nếu và chỉ nếu tất cả x ở trong lân cận của c, đồ thị nằm dưới đường tiếp tuyến . Điểm (c, f(c)) là điểm của sự uốn, nếu và chỉ nếu f’’(x) thay đổi dấu tại x=c. tại x=c. Giá trị của f’’(c) là mặt lõm của đồ thị f tại x=c. [...]... chu vi của vỏ tại điểm mẫu (2 , trong trường hợp này) Chiều rộng: chiều cao của vỏ tại điểm mẫu (y, trong trương hợp này) Độ dày: chiều rộng của dải ( , trong trường hợp này) Thể tích của khối sẽ bằng tổng của vỏ được đưa bởi tính chất này TÍNH CHẤT: thể tích khối sẽ bằng khoảng tổng của thể tích vỏ = ∗ ề ∗ độ à Thể tích khối sẽ gần bằng tổng thể tích của vỏ ( hình 8-4c) thể tích chính xác sẽ bằng giới. .. đáy và chóp trên của hình trụ tiếp xúc với bề mặt của hình cầu thể tích của hình trụ sẽ phu thuộc măc dù nó cao và hẹp hoặc ngắn và rộng 31 Hình 8-3z a Cho (x, y) là tọa độ của 1 điểm trên đường tròn, như hình vẽ vi t phương trình cho thể tích hình trụ theo x và y b Bán kính và chiều cao của hình trụ nào sẽ cho thể tích tối đa? Thể tích tối đa đó là bao nhiêu? Giải thích? c Bán kính và chiều cao của. .. bán kính của hình trụ có diện tích bên lớn nhất (chỉ bên) 32 b Tìm bán kính hình trụ có toonhgr diện tích lớn nhất (bao gồm cả mặt trên và dưới) biện luận cau trả lời của bạn 28 Bài toán hình trụ tổng quát trong hình nón: 1 hình nón có 1 hình trụ nọi tiếp trong nó, với cơ sở của nó chứa trong cơ sở của hình nón a Bán kính của hình nón và hình trụ lien quan đến các mặt bên của hình trụ có diện tích lớn... thể tích , tìm một phương trình cho thể tích V trong điều kiện của x và y V= = (4 − ), ∈ [0, 2] 21 = (4 − V’ = (8 − 4 (2− ) ) ) V’ = 0 ⇔ x= 0 hoặc 2=0 x= 0 hoặc x= ± √2 Chọn điểm ví dụ (x, y) Để có được V theo x và y , sử dụng V = ( diện tích đáy ) ( chiều cao) Đưa V về một biến, và chỉ định một miền Phép cộng dễ hơn phép lấy vi phân hơn phép nhân Phép nhân dễ hơn đặt phương trình bằng không hơn phép. .. f(c) là cực đại địa phương của f trên (a, b) và f khả vi tại x= c trong (a, b) thì f’(c)= 0 (xem xét các dấu hiệu thowowngsoos khi x nằm bên phải và bên trái của c, sau đó tìm giới hạn trái và phải ) b Giải thích tại sao tính chất trong phần a là sai nếu không có giả thiết f khả vi tại x= c? c Giải thích tại sao this chất ngược lại trong phần a là sai? 32 Tính chất của baiix quay súc vật với tường thấp:... thể tích lớn nhất lien quan với nhau như thế nào?thể tích lớn nhất của hình trụ có liên quan thế nào với thể tích hình cầu? 26 Bài toán hình nón mũi hình nón: trong thiết kế của 1 tên lửa mũi hình nón, điều quan trọng là giảm thiểu được diện tích bề mặt tiếp xúc với không khí Theo khí động học, hình nón phải dài và mảnh Giả sử 1 hình nón tròn mũi nón chứa 1 thể tích 5 Tìm bán kính và chiều cao của. .. trả lời của bạn b Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có chu vi lớn nhất biện luận cho câu trả lồi của bạn c Có phải hình chữ nhật có diện tích lớn nhất thì có chu vi lớn nhất hay không? 30 24 Bài toán hình trụ trong parabol: trong hình 8-3w, parabol y= 9 được quay quanh trục y để tạo thành 1 parabol 1 hình trụ đồng trục nội tiếp trong parabol Hình 8-3w a Tìm bán kính và chiều cao của hình... rộng mảnh hình chữ nhật, thì giới hạn của x là gì? a Vẽ đồ thị của tổng diện tích chứa trong 2 cánh đồng như 1 hàm của x b Diện tích lớn nhất có thể đạt được trong 2 cánh đồng? 4 bài toán hai đảo san hô: bạn làm vi c trên trang trại của Bill Spender Bill nói với bạn xây dựng một hang rào tròn xung quanh hồ và sử dụng phần còn lại của 1000 yards của bạn để xây hàng rào quanh hồ hình vuông (hình 8-3i)... được dựng và sử dụng tổng cộng 120 bìa các- tong 24 Hình 8-3j a Tìm kích thước của hộp để có thể tích lớn nhất b Mô phỏng độ sâu của hộp khi thể tích lớn nhất đó trong quan hệ với chiều dài đáy của hộp nếu hộp có diện tích bề mặt cố định 6 Mở hộp II (dự án ): đối với dự án này, bạn sẽ điều tra thể tích của 1 hộp hình thành các hộp, sẽ không có mặt trên, bằng cách cắt ra hình vuông từ 4 góc của 1 đoạn... nhật 25 Hình 8-3l a Giữ độ sâu không đổi, cho thấy thể tích tối đa của hộp cho bởi 1 định lương vật liệu xảy ra khi x= y b Đặt y= x, nhưng hãy để cả 2 độ sâu làm biến tìm giá trị của x và z cho thể tích tối đa được cho bởi 1 dịnh lượng … c Tỉ lệ giá trị của x và z trong trường hợp thể tích lớn nhất trong phần b? thể tích hộp lớn nhất trong trường hợp hộp cao và hẹp hay ngắn và rộng? dựa trên cơ sở hình