Ta bắt đầu một chương mà ở đó giới thiệu các hình dạng hình học của các phần, các hình khối, như là hình quả chuông được thể hiện trong hình 8-5a. Bây giờbạn có thể tìm thểtích của hình khối tạo bới các miếng phẳng hoặc vỏhình trụvà diện tích của các hình khối đó. Trong 2 phần tiếp theo bạn sẽ
tìm chiều dài các đường cong và diện tích mặt ngoài của các đường cong trong không gian.
Hình 8-5a
VÍ DỤ1: Tìm chiều dài xấp xỉcủa parabol y = x2từ x =-1 đến x= 2 ( hình 8-5b, bên trái) bằng việc chia nó thành 3 dây cung khác nhau.
MỤC TIÊU: Chỉ ra được các phương trình của các đường cong, tìm chiều dài xấp xỉ bằng các phép tính và tổng chiều dài các dây cung hoặc bằng các phép tính chính xác.
GIẢI: Biểu đồ bên phải của hình 8-5b thể hiện 3 dây cung được vẽ trên đồ thị. Tổng chiều dài các dây cung đó xấp xỉ bằng chiều dài của đồ thị. Dùng định lý Pytago,
≈ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 5.990704 … ≈ 5.99đơ ị
Một cách tổng quát, chiều dài của một dây cung sẽlà:
= ∆ + ∆ ∆ + ∆ ĩ à (∆ ) + (∆ )
Dùng giá trịnhỏnhất của ∆ ( hay sốn lớn nhất của dây cung ) như sau là đúng: n=30: ≈ 6.124117269 …
n=100: ≈ 6.12558677 … n=1000: ≈ 6.12572522 …
Giới hạn của tổng chiều dài các dây cung bằng chiều dài chính xác của đường cong đó.
Bạn có thể tìm chiều dài của các dây cung một cách chính xác bằng việc thay đổi tổng Riemann.
( )∆
Điều đầu tiên cần làm là làm cho nhân tử ∆ hiện ra. Mặc dầu∆ Không phải là nhân tử của cả hai giới hạn của biểu thức ∆ + ∆ , nhưng bạn có thể đưa ra một nhân tử bất động khác:
∆ + ∆ = 1 + ∆∆ ∆ = 1 + (∆∆ ) ∆ Vì vậy bạn có thểviết được tổng chiều dài các dây cung:
1 + (∆∆ ) ∆ = 1 + (∆∆ ) ∆
Còn lại biểu thức dưới căn chứa ∆ /∆ , bạn sẽ nhận ra tỉsố đó xấp xỉ f’(x) khi ∆ dần về 0 ( hay xấp xỉ bằng 0). Trên thực tế, nếu f là hàm vi phân thì theo định lý giá trị trung bình bạn biết được là số x = c với khoảng mà tại đó f’(c) đúng bằng ∆ /∆ ( hình 8-5c). Vì vậy bạn có thể viết được tổng chiều dài các dây cung
1 + ′( ) ∆
TÍNHCHẤT: Chiều dài đường cong – Độdài cung: Cung giữa hai điểm trên phẳng xy có độdài
hình 8-5c
Tại điểm mẫu x = c , chọn điểm trong mỗi khoảng con mà tại đó kết luận của định lý giá trị trung bình là đúng. Chiều dài L của đường cong là giới hạn của tổng Riemann và do đó có định nghĩa về tích phân: = ∫ 1 + ′( )
Chiều dài chính xác của đường cong .
Bạn có thể viết được dL = 1 + ′( ) lấy vi phân của chiều dài đường cong ( còn gọi là độ dài cung) trong dạng trên là rất dễ dàng để nhớ và sử dụng. Nhắc lại rằng f’(x) = dy/ dx, và vi phân dy và dx có thể được viết rời nhau, bạn có thể viết :
dL = 1 + (∆∆ ) hoăc đơn giản hơn là
dL = +
Vi phân của độ dài cung thật dễ dàng để ghi nhớ dL trong công thức trên vì nó giống với định lý Pytago.
Có một vài thuận lợi cho đại sốhọc từ công thức trên , bạn sẽ gặp lại nó trong ví dụsau:
VÍ DỤ2: Viết tích phân tìm chiều dài chính xác của đường cong trong ví dụ1 và đánh giá nó.
GIẢI: = = 2
∴ = + (2 ) = √1 + 4 =
∴ = 1 + 4
Khi bạn học lượng giác học thay thế trong chương 9 bạn sẽ đánh giá được tích phân đó giống với việc dùng các định lý cơ bản. Phép lấy tích phân bằng sốcho
ta: L =6.1257266…
Bạn có thể viết được phương trình cho nhiều đường cong phức tạp với dạng tham số. Ví dụ 3 sau đây thểhiện cách làmđó.
VÍ DỤ3: Cho ellip trong hình 8-5d có phương trình tham sốlà x = 6 + 5cost và y = 4 + 3sint.
Viết phương trình tích phân chođộdài của đồthị đó và đánh giá nó bằng sdoos. Kiểm tra rằng câu trảlời của bạn là hợp lý.
hình 8-5d GIẢI. = 6 + 5 cos = −5 sin = 4 + 3 sin = 3 cos = + = (−5 sin ) + (3 cos ) = 25 sin + 9 cos L = ∫ √25 sin + 9 cos dt ≈25.52699…
Kiểm tra :Đường tròn có bán kính là 4 có chiều dài 2 ∙ 4 = 25.13274 …
Tích phân không giới hạn trong ví dụ 3 không thể đánh giá được khi chỉ dùng một vài hàm sơ cấp, nó được gọi là tích phân elliptic, điều đó bạn sẽ được học sau này.
Đôi khi bài toán tìm chiều dài các đường cong đòi hỏi phải lấy tích phân mà bạn có thể đánh giá được bởi các định lý cơ bản , ví dụ4 thểhiện trường hợp đó:
VÍ DỤ 4: Vẽ đồthịhàm y = 2/3x3/2. Tìm chiều dài chính xác từ x = 0 đến x = 9.
GIẢI: Đồ thị đó được thể hiện trong hình 8-5e. Nó bắt đầu từ gốc và tăng đều đến điểm (9,18).
hình 8-5e
= + = + ( ⁄ ) = √1 + = ∫ √1 + = ∫ (1 + ) ⁄ dx = 23(1 + ) ⁄ = 23 (10 ⁄ ) – 23 (1 ⁄ ) = 23 10 ⁄ − 1 = 20.415118 … KIỂM TRA NHANH 5 PHÚT: Q1: Phác họa đồthịy = x2.
Q2: Thểhiện miền dưới đồthịy = x2từ x = 1 đến x = 4. Q3: Viết tích phân cho diện tích của miền trong bài Q2. Q4: Tìm nguyên hàm trong bài Q3.
Q5: Đánh giá tích phân trong bài Q4.
Q6: Phác họa hình khối sinh ra bởi việc quay miền trong bài Q2 quanh trục y. Q7: Viết tích phân cho thểtích của hình khối trong bài Q6.
Q8: Tìm nguyên hàm trong bài Q7. Q9: Đánh giá nguyên hàm trong bài Q8.
Q10: Hình 8-5f minh họa cho …..?... định lý: A. cơ bản B. sựsong song. C. Dốc trung bình. D. Đạo hàm. E. Giá trịtrung bình. Hình 8-5f
Cho bài 1-4.
A. Phác họa đồ thịcủa x cho bởi tích phân trên.
B. Tính chiền dài xấp xỉbằng việc dùng 5 dây cung đúng bằng giá trị của … C. Tìm chiều dài chính xác bằng việc dùng định nghĩa tích phân đánh giá bằng số 1. = x [0, 2] 2. y = 22 x [0, 3] 3. y = tanx [0, 1.5] 4. y = secx [ , 1.5] Cho bài 5-16.
A. Vẽ đồthịcủa x trong tích phân choởtrên. Phác họa kết quả.
B. Tìm chiều dài xấp xỉ bằng việc dùng định nghĩa tích phân để đánh giá bằng số.
C. Chứng minh rằng câu trả lời của bạn là hợp lý. 5. y = x2–5x + 3 x [1, 6] 6. y = 4x–x2 x [0, 4] 7. y = 16–x4 x [–1, 2] 8. y = x3–9x2 + 5x + 50 x [–1, 9] 9. y = (ln x)2 x [0.1, e] 10. y = x sin x x [0, 4 ] 11. y = tan x x [0, 1.5] 12. y = sec x x [0, 1.5] 13: Đường hình sao: [0, 2 ] x = 5 cos3 t y = 5 sin3 t 14.Đường hình tim: [ , 2 ] x = 5(2 cos t–cos 2t) y = 5(2 sin t–sin 2t) 15. Epicycloid: : [ , 2 ] x = 5 cos t–cos 5t y = 5 sin t–sin 5t 16.Các đường tròn phức tạp: [ , 4 ] x = cos t + t sin t y = sin t–t cos t Cho bài 17-20.
b. Tìm chiều dài chính xác , sử dụng định nghĩa tích phân đánh giá bằng các định lý cơ bản.
c. Chứng minh rằng câu trả lời của bạn là hợp lý.(Cho bài 19: Tìm mẫu số chung dưới dấu căn)
17. y = 4x3/2 x [0, 4] 18. y = + . x [1, 2] 19. y = 3x + 5 x [1, 8] 20. (x2+ 2)3/2 x [0, 3]
21. Bài toán Cầu cổng vàng: Bức ảnh dưới đây thể hiện cây cầu cổng vàng bắc qua vịnh San Fran xicco ở California. Khoảng cách giữa các nhịp cầu của cây cầu là 4200ft. Hệ thống cáp treo có dạng Parabol hình tháp cao 750ft so với mặt nước biển. Các dây cáp đó cao 220ft từ mặt nước đến giữa các nhip cầu. Dùng các thông tin trên đểviết các phương trình liên quan đến hàm bậc 2 để biểu diển khoảng cách của các dây cáp từ mặt nước so với đường nằm ngang bằng hàm thay thế cho các nhịp cầu ở giữa. Dùng phương trình đó để có được các phép tính chiều dài của các Parabol.
22. Bài toán dây xích:
Khi treo dưới dây xích một vật nặng, ta được một hình dạng là một dây nối tiếp nhau( dạng Latin, trung bình của dây xích) hình 8-5g thể hiện dây xích với đỉnh
nằm trên trục y. Nó có phương trình là y = 0.2( + ). Khi x và y là các điểm cuối. Tìm chiều dài của dây xích từ x = -4 đến x = 4. So sánh chiều dài đó với chiều dài của Parabol y = ax2 + c khi chúng có cùng đỉnh và điểm cuối.
hình 8-5g
23. Bài toán sân vận động: Hình 8-5h thể hiện diện tích chỗ ngồi trong sân vận động. Đó là một ellip có phương trình tham số:
Bên ngoài ellip: x = 120 cos t y = 100 sin t Bên trong ellip:
x = 100 cos t y = 50 sin t
Cả x và y đều đo bằng mét. Tìm chiều dài của đường ranh giới bên ngoài hình Ellip và bãiđỗxe, và giữa bên trong hình elip và phần sân chơi bóng.
Hình 8-5h
24: Bài toán Parabol nối tiếp nhau: Là parabol có phương trình tham số: x = 8 cos 2t
y = 5 sin t
Tìm chiều dài từ t =0 đến t =2 , Tại sao câu trả lời của bạn có vẻvô lí?
25: Bài toán về mối tương quan 1: Dùng các định lý cơ bản để tìm chiều dài chính xác của đồ thị hàm 9x2 = 4y3 giữa điểm (0, 0) và (2√3, 3). Coi y như một biến số độc lập.
26. Bài toán về mối tương quan 2: Dùng các định lý cơ bản để tìm chiều dài chính xác của bán kính Parabol có phương trình x2 = y3 giữa điểm (-1,1) và (8,4). Coi y như một biến số độc lập.Ban sẽ thấy được sự gián đoạn của đồ thị thành 2 nhánh.( Phác họa đồthị).
27. Bài toán đường xoắn ốc: Hình 8-5i thể hiện hình xoắn ốc với phương trình tham sốlà
x = cos t y = sin t
Tìm phạm vi của t sinh ra phần xoắn ốc thể hiện trong hình bên. Tìm chiều dài của đường xoắn ốc bằng các định lý cơ bản nếu bạn có thể hoặc băng phương pháp sốhọc.
Hình 8-5i
28. Bài toán tìm chiều dài của đường tròn: Viết phương trình tham sốcủa đường tròn bán kính r, tâm nằm ở gốc tọa độ. Khi sử dụng một cách phù hợp đại số học, lượng giác học và các phép tính để chứng minh tương tự cho công thức tính chu vi C =2
29. Bài toán nghiên cứu về chiều dài dường hình sin: Viết phương trình tích phân cho chiều dài của một chu kỳ của đường hình sin với biên độ góc A bất
biến y = Asinx.
Tìm chiều dài của đường hình sin với các giá trị khác nhau của A.Từ các kết quảlàm việc khác nhau của bạn, hãy cốgắng đi đến tận cùng chiêu dài khi A biến thiên. Trong trường hợp A tăng gấp đôi thì chiều dài có tăng gấp đôi không?
30. Bài toán nghiên cứu chiều dài Elip:
Viết tích phân cho chiều dài của elip có phương trình x = cos t
y = A sin t
Tìm chiều dài của elip khi giá trị của A biến thiên . Từ kết quả làm việc của bạn hãy cốgắng đi đến tận cùng việc tìm chiều dài khi A biến thiên. Trong trường hợp A tăng gấp đôi thì chiều dài có tăng gấp đôi không?
31. Bài toán về sự sai lầm tai hại: Mae muốn tìm chiều dài của y = (x -2)-1 từ x = 1 đến x = 3. Cô ấy chia đoạn [1,3] thành 5 đoạn con bằng nhau và nhận được 18.2774…là chiều dài. Giair thích cho Mae biết tại sao cô áy lại tiến gần đến với bài toán vềsự sai lầm tai hại.
32. Bài toán nhầm lẫn: Amos tìm chiều dài của đường cong y = sin2 . từ x =0 đến x = 10 bằng cách chia đoạn [5,10] thành 5 khoảng con có chiều dài bằng nhau .
Anh ấy nhận được 10 câu trả lời chính xác.Cám thấy mình làm chưa đúng lắm, nên đã thử lại với 20 khoảng con và cũng nhận được các câu trả lời như 10 câu trên. Chứng ming rằng anh ấy có thể nhận được câu trả lời đúng đắn khi chỉ sủ dụng 5 khoảng con.
33. Bài toán về độ dài cung bởi Brute Force: Viết bài toán mà các phép tính chiều dài xấp xỉ của đường cong bởi tổng chiều dài các dây cung. Cho phương trình của hàm y = menu . Bài toán của bạn nên cho phép bạn được nhập vào các giới hạn thấp hơn hoặc cao hơn các lĩnh vực và các số gia được sử dụng. Nên đưa ra chiều dài xấp xỉ của các đường cong đó. Để làm cho bài toán trở nên thú vịkhi chạy chương trình, bạn phaior cho hienr thịcacvs sốgia và tổng hiện hành của chiều dài khi vượt qua mỗi chu trình.Bạn có thể thừa nhận rằng bài toán của bạn là đúng đắn nếu kết quả là 6.12417269…cho chiều dài của y = x2 từ x = -1 đến x = 2 ( Ví dụ1) với sốgia n = 30.
8.6. Diện tích các mặt tròn xoay
Gỉa sửrằng đồthịcủa hàm y = f(x) được quay quanh trục x . Kết quảthu
được sẽ là một mặt trong không gian (hình 8-6a, bên trái). Bạn hãy tìm diện tích của hìnhđó.
hình 8-6a
Đò thịcủa đường cong theo một hướng mà khi quay nó theo hương đó ta được một dang hình cong lớn gấp đôi. Giống đồthịcủa trái đất, mặt cong gấp đôi đó không thể trải phẳng ra được.Nhưng nếu bạn kéo dây cung trên đồthịthì bạn sẽ
tìmđược độ dài cung đó, khi quay dây cung thì sinh ra từng mặt cong một có hình nón cụt, nó được thểhiện rất đúng trong biểu đồhình 8-6a. Làm phẳng hình cụt (hình 8-6b) cho phép bạn tìmđược diên tích theo phương diện hình
học. hình 8-6b
.
Diện tích của mặt nón là S = , trong đó R là bán kính đáy, L là đường sinh( hình 8-6c). Diện tích của hình cụt chính là diện tích của hình nón to trừ di diện tích của hình nón nhỏ, nghĩa là
S = −
hình 8-6c
Trong đó R, L là của hình nón lớn, và r,l là của hình nón nhỏ. Bằng đại sốthông minh (bạn sẽ được yêu cầu sử dụng trong bài 26) bạn có thể thay đổi được phương trình:
S =2 ( – )
Con số (R+r)/2 là trung bình của 2 bán kính. Con số (L-l) là độ dài đường sinh của hình cụt. Nó có cùng dL trong độdài cung của phần 8-5. Vì vậy vi phân của diện tích mặt đó là dS.
dS =
2 ( ì á í )(độ ê ) = 2 ( ì á í )
Nhớ rằng 2 ( bán kính trung bình) bằng khoảng cách từ nơi này đến nơi khác bởi điểm giữa của dây cung và cung quay.
VÍ DỤ 1: Cho đồ thị của hàm y = sinx từ x = 1 đến x = 3 khi quay các mặt quanh các trục khác nhau.
a. Trục y.
b. Đường thẳng y = 2.
Chứng minh rằng câu trả lời của bạn là hợp lý.
GIẢI: a. Hình 8-6d thể hiện hình dạng của đồthịkhi quay nó quanh trục y . Dy = cos x dx √ + cos = √1 + cos dx Hình 8-6d Bán kính bằng x, vì vậy; = 2 √1 + cos dx ∴ = 2 ∫ √1 + cos dx Phép lấy tích phân bằng sốcho ta: S= 9.5111282… = 29.88009…
Kiểm tra lại câu trả lời , coi diện tích của cái phẳng đó có bán kính 1 và 3 ( hình 8-6e). Nó có diện tích là:
(3 − 1 ) = 25.132 Vì vậy 29.88… là câu trảlời hợp lý.
hình 8-6e
b. Hình 8-6f thể hiện cái mặt khi quay quanh đường thẳng y = 2 . Nhớ rằng mỗi phần của đồ thị khi quay quanh trục nằm ngang thay cho truc thẳng đứng ( vì
TÍNH CHẤT: Diện tích của mặt qua phép xoayNếu y là hàm khả vi tại x thì diện tích của mặt
được dạng bởi phép xoay đồ thị của hàm quanh một trục là = ∫ ( đườ ò ) = ∫ ( á í ) với dL = + và a và b là tọa độx hoặc y của điểm kết thúc trên đồthị. Bán kính phải tìm từthông tin vềmặt.
vậy phải sử dụng các bán kính khác nhau), dL có thể biểu diển theo giới hạn của dx. Bán kính bằng 2–y = 2–sinx. Vì vậy diện tích mặt đó là: = 2 ∫ (2 − sin )√1 + cos dx Phép lấy tích phân bằng số: S≈ 5.836945 … = 18.337304 … Hình 8-6f hình 8.6g .
Là hợp lí khi câu trả lới nên là những miền của hình trụ có độ cao 2 và bán kính