Trong chương 5, bạn đã học cách đểtìm thể tích của khối tròn xoay vuông góc với trục xoay. Hình 8-4a cho thấy miền thuộc đồ thịy= 4 − từ x= 0 đến x= 3 xoay quanh trục y tạo thành 1 hình khối. cắt vuông góc với trục quay làm cho chiều dài của hàm y (đường-đường cog) từ y= 0 đến y= 3 và (đường cong- đường cong) lập từ đó. Cắt song song với trục xoay này rất khó.
Hình 8-4a
Như khu vực quay, mỗi dải song song với trục quay tạo ra 1 vỏhình trụ, như trong hình 8-4b. trong phần này bạn sẽtìm thấy thể tích của khối bằng cách tích hợp , thể ích của 1 vỏ điển hình.
Hình 8-4b
Vỏ tron hình 8-4b going như chiếc lon thiếc mà không có phần kết thúc. Từ 1 cái vỏ mỏng, bạn có thể thấy thể tích của bằng cách cắt giảm bên và lăn ra phẳng (hình 8-4b, bên phải). kết quả là hình chữ nhật đặc có kích thước gần đúng.
Chiều dài: chu vi của vỏ tại điểm mẫu (2 , trong trường hợp này). Chiều rộng: chiều cao của vỏ tại điểm mẫu (y, trong trương hợp này). Độ dày: chiều rộng của dải ( ,trong trường hợp này).
Thể tích của khối sẽ bằng tổng của vỏ được đưa bởi tính chất này. TÍNH CHẤT:thể tích khối sẽ bằng khoảng tổng của thể tích vỏ.
= ∗ ề ∗độ à
Thể tích khối sẽ gần bằng tổng thể tích của vỏ ( hình 8-4c). thể tích chính xác sẽ bằng giới hạn của tổng- đó là số nguyên không xác định. Các vỏ trong cùng là
tại x= 0 và ngoài cùng là tại x= 3. Do đó những giới hạn của tích phân sẽ từ 0 đến 3 (phần của khối từ x=-3 đến x= 0 đơn giản là hình ảnh của khu vực luân chuyển, không phải củ khu vực riêng mình). ví dụ 1 cho thấy các chi tiết của thể
tích khối rắn này
. Hình 8-4c
Ví dụ 1: miền dưới đồ thị y=4 − từ x= 0 đến x= 3 quay quanh trục y để tạo thành 1 khối. tìm thể tích của khối bằng cách cắt hình thành vỏ hình trụ. Sử dụng định lý cơ bản để có được câu trả lời chính xác. Cho thấy câu trả lời của bạn là
Đáp án: thể tích của của vỏ hình trụ là
= ∗ ề ∗độ à
= 2 Thế 4 − cho y ta có
= 2 (4 − ) = 2 (4 − )
Thể tích được tìm thấy bằng cách them tất cả cua dV và lấy giới hạn ( tích hợp) = 2 (4 − ) = 2 (43 −14
= 2 36 − − 0 + 0 = 31.5 = 98.96 … Kiểm tra: thể tích của hình trụ ngoại tiếp: π*3 *4= 36 >31.5
Trong trường hợp bạn đang tự hỏi liệu sự biến dạng của vỏ như khi bạn cuộn nó ra phẳng gây ra câu trả lời cuối cùng 31.5 không chính xác, câu trả lời là không. như∆ dần tiến đến không, do đó không chính xác trong xấp xỉ vỏ> trong vấn đề C4 mục 11-7, bạn sẽ biết rằng nếu giá trị gần đúng của dV khác với giá trị chính xác bằng vô cùng bé bậc cao hơn, ví dụ (dx)(dy), thì tích phân sẽ cho giá trị thể tích chính xác. Bạn có thể dùng cỏ trụ để tìm thể tích khi gặp phải những điềukiện này.
Kết quả không phải là xung quanh trục y.
Các trục quay không phải là rang buộc của tích phân. Cả hai đầu của chiều cao vỏ là biến.
Ví dụ 2 cho tấy cách này có thể được thực hiện.
Ví dụ 2: cho R là miền giới hạn dưới của đồ thị y= , trên đồ thị y= 2, và bên trái đồ thị y= x. tìm thể tích khối tạo ra khi R thay đổi theo đường y=-1. Giả sử x và y là chân. Cho thấy âu trả lời của bạn là hợp lí.
Đáp án: đầu tiên vẽ miền, như trong hình bên trái của hình 8-4d. tìm thấy các giao điểm của đồ thị. Cắt song song với trục quay. Đánh dấu 2 kết quả điểm mẫu như (x1, y) và (x2, y). sau đó xoay miền về đường y=-1. Như thể hiện trong sơ đồ giữa của hinhf8-4d, nó giúp để vẽ nửa sau của hình khối. (nếu không, sơ đồ lộn xộn khó thấy được các dòng). Cuộn ra khỏi vỏ và tìm dV.
dV= chi vi*chiều cao*độ dày = 2 ( + 1)( − )
Cho đường cong = , chứng minh x1= Cho đường thẳng y=x, chứng minh x2=y dV=2 ( + 1)( − )
V= ∫ 2 ( + 1)( − ) = 4.5 = 14.1371. . ≈ 14.1
Hình 8-4d
Kiểm tra: hình trụ bên ngoài - hình trụ bên trong = ∗ 9 ∗ 3 − ∗ 4 ∗ 3 = 15 > 4.5 . Đặt bài toán 8-4: Q1. Phác thảo đồ thị: = Q2. Phác thảo đồ thị: = − Q3. Phác thảo đồ thị: = Q4. Phác thảo đồ thị: = 2 Q5. Phác thảo đồ thị: = 2 Q6. Phác thảo đồ thị: = 2 Q7. Phác thảo đồ thị: =
Q8. Phác thảo đồ thị hàm liên tục có đạo hàm được thể hiện trong hình 8-4e. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 8-4e Q9.∫ sec = ?
Q10. = − 3 có cực tiểu địa phương tại x=?
A. 0 C. 1
1. h 8-4f thể hiện hình khối tạo thành từ việc quay quanh trục y phần dây cung I của đồ thịhàm y = 4–x2.
Hình 8-4f
a. Tìm thể tích dV của vỏhình trụ. Khi dV thay đổi thì giớ hạn của nó cũng biến thiên.
b. Ta tìmđược thể tích chính xác của hình khối bằng việc sử dụng các định lý cơ bản.
c. Tìm thể tích bằng việc lập lại các miếng phẳng. Sử dụng mặt phẳng vuông góc với trục y từ một thanh dày đặc dy. Chứng minh rằng bạn cũng có câu trảlời tương tự như câu b.
2. Hình 8-4g thể hiện một hình khối được tạo thành từ việc quay quanh trục x phần dưới đồthịcủa hàm y = x2/3 từ x = 0 đến x = 8.
Hình 8-4g
a. Chiều cao của vỏhình trụtrong giớ hạn của điểm mẩu (x, y) là bao nhiêu? b. Tìm thể tích dV của vỏhình trụ. Khi dV thay đổi thì giớ hạn của nó cũng biến thiên.
c. Tìm thể tích chính xác của hình khối bởi việc sửdụng các định lý cơ bản. d. Tìm thể tích bằng việc lập lại các miếng phẳng. Câu trả lời đó có tương tự như câu trảlời
ởphần c không?
Cho bài 3–18. Tìm thể tích của hình khối tạo bởi các miếng vỏhình trụ. Bạn có thể dùng phép lấy tích phân bằng số. Dùng các hệ thức quen thuộc trong hình học đểthểhiện rằng câu trả lời của bạn là hợp lý.
3. Quay quanh trục y phần dưới đồ thịhàm y = -x2 + 4x +3 từ x = 1 đến x = 4.
4. Quay quanh trục y phần dưới đồ thị hàm y = x2 – 8x +17 từ x = 2 đến x =5.
5. Quay quanh trục x phần bịchặn bởi trục y và hàm x = -y2+ 6y -5. 6. Quay quanh trục x phần bịchặn bởi trục y và hàm x = y2–10y + 24. 7. Quay quanh trục y phần trên của đồ thịhàm y = x3 mà bị chặn bởi đường thẳng x = 1 và y = 8 ( hình 8-4h).
Hình 8-4h
8. Quay quanh trục y phần dây cung I trên đồthị hàm y = 1/x mà bịchặn bởi đường thẳng x = 3 và y = 4.
9. Quay quanh trục x phần dây cung I trên đồ thị hàm y = 1/x2 mà bị chặn bởi đường thẳng x = 5 và y = 4( hình 8-4i).
Hình 8-4i
10. Quay quanh trục x phần dây cung I dưới đồ thị hàm y = x2/3 trên đường thẳng y = 1 và bịchặn bởi đường thẳng x = 8.
11. Quay quanh trục y phần bị chặn bởi đồ thị hàm y = x2 –6x +7 và đương thẳng x–y = -1(hình 8-4j).
Hình 8-4j
12. Quay quanh trục x phần dây cung I bị chặn bởi đồthịcủa hàm y = x1/3 và đường thẳng y =0.5x -2.
13. Quay quanh đường thẳng x = 5 phàn dưới của đồ thị hàm số y = x3/2 từ x = 1 đến x=4 (hình 8-4k).
hình 8-4k
14. Quay quanh đường thẳng x = 3 phàn dưới của đồ thị hàm số y = x-2 từ x = 1 đến x = 2.
15. Quay quanh đường thẳng x = 3 phần dưới của đồthị hàm y = x4 và đường thẳng y = 5x +6.
16. Quay quanh đường thẳng x = -1 phần bị chặn bởi đồ thị hàm √ và đường thẳng x + y=6 và x=1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
17. Quay quanh đường thảng x= -2 phần bị chặn bởi đồ thị của hàm y = -x2 +4x +1 và y = 1.4x(hình 8-4l). Bạn cần phải tìm một giao điểm bằng số.
hình 8-4l
18. Quay quanh đường thẳng y = -1 phần trong của hình 8-4l từ bài 17. Giair thích tại sao nó lại không thích hợp đểtìm thểtích của vỏhình trụ.
Cho bài 19 và 20. Tìm thể tích của hình khối tạo bởi các miếng phẳng, thử lại câu trả lời thu được khi thay đổi vỏhình trụ.
19. Dùng hình khối cho trong bài 7. 20. Dùng hình khối cho trong bài 8.
chính xác của vỏ hình trụ bằng các định lý cơ bản.Tìm thấy 3 điểm giửa của tông Riemann là các sốnguyên , ta dùng các sốn = 8, n = 100, n = 1000 làm các số gia. Chứng tỏ rằng tổng Riemann gần đúng với câu trả lời chính xác khi n tăng.
22. Bài toán số nguyên chưa biết: Hình 8-4m thể hiện phần dưới của đồ thị y = sinx từ x = 0 đến x =2 khi quay quanh trục y tạo thành hình khối.
Hình 8-4m
a. Viết dạng tích phân cho thể tích của hình khối dùng bề ngoài của hình trụ. Đánh giá việc lấy tích phân bằng số.
b. Giải thích tại sao bạn không thể đánh giá tích phân đó bằng các định lý cơ bản mà phải dùng các kỹthuật bạn sẽ được học sau này.
23. Bài toán đường cong phụthuộc tham số: Hình 8-4n thể hiện một ellip với phương trình tham sốlà: x = 5cost và y = 3sint.
Hình 8-4n
a. Lấy phần nằm ngang khi quay nó quanh trục x tà dạng của một ellip. Tìm thể tích của ellip bởi giá trị dV đầu tiên bịgiớhạn theo tham sốt.
b. Lấy phần thẳng đứng khi quay nó quang trục x từdạng ellip như trên. Hãy chỉra rằng bạn cũng có một thể tích như trên.
c. Tìm thể tích của hình sinh ra bởi việc quay ellip quanh đường thẳng x = 7. 24. Bài toán nhật ký: Bạn cập nhật vào nhật ký mọi điều mà bạn học được kể từlần cuối bạn nhập vào. Bao gồm nhiều điều như:
- Một điều rất quan trọng bạn học được vềthiết diện.
- Cơ sở các khái niệm về hình học mà các phép tính đó dùng để tính thể tích.
- Sự tương tựcủa các miếng hình tròn, hìnhđĩa và các miếng phẳng. - Sự khác nhau cơ bản giữa các miếng phẳng và vỏngoài của hình trụ. - Một vài công thức hoặc ý tưởng cho việc tìm thểtích mà bạn khó hiểu.