Trong chương này bạn đã từng thấy sự ứng dụng của đạo hàm và tích phân vào các vấn đềthuộc hình học. Tỷlệ thay đỏi của diện tích hoặc thể tích của hình mô tả chắc chắn những con số thay đổi bằng thứ nguyên thay đổi. Diện tích cực
đại hoặc cực tiểu hoặc thể tích xảy ra nơi tỷ suất thay đổi bằng không. Diện tích, thể tích và độ dài đường cong có thể tính được phân hình vào trong phần nhỏ, cộng tất cả các hình nhỏvà tính giới hạn. Kết quảgiới hạn của tổng Riemann là bằng với tích phân xác định. Bạn đánh giá được những trịsốtích phân hoặc bởi định lý cơ bản nếu bạn có thể tìm tích phân bất định.
Xem xét lại vấn đề
1. Cập nhật nhật ký của bạn với gì bạn đã từng nghiên cứu từ lúc sư tiếp nhận của bạn cuối cùng. Bao gồm công việc sau
Thứ nhất điều quan trọng nhất bạn đã học được khi nghiên cứu chương 8 Cách tìm thể tích, độdài, diện tích mặt của hình thuộc hình họcđược tìm ra
Cách tìm thể tích, độdài, diện tích mặt được tìm trên tọa độ cực hoặc với hàm tham số
a. Cho phương trình ba hàm bậc ba f(x) = x3–9x2+ 30x -10
f(x) = x3–9x2+ 27x–10 f(x) = x3–9x2+24x -10
b. Vẽ các đồthị trên cùng mặt. Phác họa kết quả .
c. Viết phương trình chođạo hàm cấp một và cấp hai của mỗi hàm.
d. Hàm nào có hai giá trịphân biệt của x tại nơi đạo hàm cấp một là không? Đó là những giá trịnào của x? Đặc điểm nào xảy ra tại những điểm đó?
e. Hàm nào có đường tiếp tuyến nằm ngang tại một số điểm nhưng có điểm cực đại và cực tiểu địa phương?
f. Mỗi hàm có điểm uốn. Thể hiện rằng đạo hàm cấp hai của nó bằng không tại điểm của hàm uốn.
2. Cho hàm trong hình 8-8 a, phác họa đồthị đường cho f’ và cho f’’thể hiệndấu hiệu của mỗi đạo hàm trong lân cận của điểm tới hạn tại x = 2. Chứng tỏrằng trên đường đây là cực đại địa phương, cực tiểu địa phương, hoặc điểm
a. Phác họa đồ thịcủa hàm mà đạo hàm có đặc điểm được cho bởi hình 8-8b
b. Hình 8-8c biểu diễn đồthịcủa f(x) = x2/3–x I. Viết phương trình cho f’(x) và f’’(x).
II. Đồthị có dáng điệu và độdốc đi xuống với mọi x. f(x) có cực đại hay cực tiểu địa phương hay không? Nếu không, lý giải dựa vào đâu bạn có thể nói như vậy
III.
Đồthịhiện ra có bềlõm xuống với mọi x. Chúng có phải là những điểm uốn hay không? Nếu đúng ở đâu? Nếu sai, giải thích.
IV. Viết toàn bộgiá trị cực đại và cực tiểu cua f(x) cho x trong khoảng đóng [0,5]
c. Cho f(x) = x2e-x tìm cực đại, cực tiểu và điểm uốn và phác họa đồthị. A. Vấn đề bộnhớ pin: Pin ôtô thông thường có 6 ô bịchia bởi các vách. Cho pin đặc biệt, mỗi ô phải có diện tích 10 in2, nhìn từtrên xuống,biểu diễn trên hình 8-8d. Kích cỡcủa pin là bao nhiêu khi cho tổng độ dài vách ngăn nhỏ nhất?
Điển hình pin 9 in, 6.7 in. (rằng là, 1.5 in ô chiều rộng). Độdài vách nhỏnhất
được xem là sự chú ý trong thiết kếpin phải không?
B. Vấn đề hình trụtrong paraboloid bậc ba: Hình chữ nhật nội tiếp trong miềnởgóc phần tư thứ I dưới parabol bậc ba y = 8–x3. Hai độdài của hình chữ nhật là trên trục x và y, và đỉnh đối của hình chữnhật chạm đồthị. Hìnhđược quay quanh trục y. Đường cong tạo thành paraboloid bậc ba, và hình chữ nhật tạo thành hình trụ. Kích thước hình chữnhật là bao nhiêu để thể tích hình trụlà lớn nhất?
3. Miềnở góc phần tư thứ I bịchặn bởi đồthịy = x1/3 và y = x2quay quanh trục x tạo dạng khối. Tìm thểtích của khối bởi bao thuộc mặt trụ.
a. Tìm thể tích của khối trong phần a bởi phẳng phiến. Thểhiện rằng câu trả lời là tương đương.
b. Vấn đề trục khác nhau: Miền bịchặn bởi parabol y = x2và đường thẳng y =4 được quay đến dạng khối khác nhau. Tìm thể tích của khối cho các trục của phép quay như sau:
i. Trục y
ii. Trục x
iii. Đường thẳng y = 5 iv. Đường thẳng x = 3
a.
Viết tích phân bằng độ dài của parabol y = x2giữa x = - 1 và x = 2. Đánh giá trị sốtích phân.
a. Tìmđộdài một cách chính xác của đồ thịcủa y = x3/2 từ x = 0 đến x = 9 dùng định lý cơ bản. Tìm phép xấp xỉthập phân cho đáp số. Chọn đáp sốbởi chiếm hình học thích hợp
4. Tìmđộdài của đường xoắnốc sau từ t = 0 đến t = 4. x = t cosπt
y = t sinπt
5. Tính một cách chính xác, bởi định lý cơ bản, diện tích mặt có dạng bởi phép quay quanh trục y và đồthịy = x1/3từ x = 0 đến x = 8. Tìm xấp xỉsốthập phân cho đáp số
b. Đường hìnhốc trong vấnđề R5c được quay quanh trục y đến dạng vỏsò. Tìm diện tích mặt của nó
6. Hình 8-8e biểu diễn đường hìnhốcr =θ từ θ = 0 đến θ = 5π/2
Tìmđộdài của phần bên của đường hìnhốc.
Tìm diện tích của miền trong góc phần tư thứI rằng là bên ngoài của đường tròn thứ nhất và bên trong của đường tròn thứ hai của đường hìnhốc.
Vấn đềkhái niệm
1. Vấn đề tính nhớt của dầu: Tính nhớt (độ cản của dòng) của môtô bình thường dầu giảm khi khởi động. “Mọi thời tiết” độnhớt dầu môtô giữlại khoảng bằng nhau xuyên suốt miền biến thiên. Giảsửrằng tính nhớt của 100W–40 oil được cho bởi
y = 130–12T + 15T2–4T3
Với là độ nhớt tính bằng centipoises và T là nhiệt độ trong khoảng hàng trăm độ.
Nhiệt độ trong miền này như thếnào sẽxảy ra độnhớt cực đại? Độnhớt nhỏnhất trong miền nào?
2. Vấn đề “điểm thẳng”: Sựbiểu diễn của f(x) = (x–1)4+ x có đạo hàm cấp hai bằng 0 tại x = 1 nhưng không có điểm uốn tại đây. Phác họa đồthịsẽ giống trong lân cận của x = 1. Mô tả gì làđúng về đồthị tại x = 1
3. Vấn đề đạo hàm vô hạn:Hàm f(x) = x2/3và g(x) = x-2/3cả hai có đọa hàm cấp 2 vô hạn tại x = 0, nhưng dáng điệu của mỗi hàm khác nhau toàn bộ. Phác họa đồ thị đểthấy sựkhác biệt.
4. Vấn đề biểu tượng chương: Biểu tượngởtrên ngay sốtrang của mỗi chương thểhiện dạng khối quay quanh đường thẳng x = 4 phần của đồthị
Y=3+5[0.5+0.5 ((3)( −5))2
từ x = 5 đến x = 7.5. Mặt trụlổ 1 đơn vị bán kính đồng trục với khối. Hình 8-8f biểu diễn hệthống tọa độ sơ đồ trên được vẽ.
a. Tìmđộdài của đoạn của đồthị rằng được quay b. Tìm tọa độx của điểm uốn
c. Tìm diện tích của hai lần mặt đường cong của khối d. Tìm thể tích của khối
Diện tích bởi máy đo diện tích chiếu: Bạn đã từng học làm thế nào đểtính diện tích của miền một cách đại số dùng định lý cơ bản và trịsố hóa.Đây là máy móc thiết bịgọi là máy đo diện tích tìm diện tích về mặt hình học từhình vẽ của miền. Trong vấn đềnày bạn sẽ mượn máy đo diện tích và dùng nó đểtìm diện tích Brazil từ bản đồ.
a. Tiến hành sao chép bản đồcủa Brazil trên hình 8-8g. Phải chắc rằng thang đo chứa trong vì một sốthiết bịsao chép co rút lại bức hình.
b. Bố trí máy đo diện tich với điểm dò tìm tại điểm bắt đầu thuận lợi trên bản đồ. Cố định thiết bịtại 0. Đánh dấu vịtrí biến cho đến khi bạn trở lại điểm bắt đầu
c.
Xem xét lại cài đặt cuối cùng trên mặt máy đo diện tích.Máy đo có thể có thước tỷlệ mười đơn vị.
d.
Thang chia độtrên bản đồ để tìm ra bao nhiêu mét tương đương với 1cm. Sau đó tìm ra bao nhiêu m2tương đươngvới 1 cm2.Cuối cùng, tính diện tích của Brazil bằng vài con sốcó ý nghĩa
chứng minh dữ liệu là đúng.Tìm ngoài từ sự chỉdẫn bằng tay của máy đo thuộc cơ sởlý thuyết trên nơi phương tiện làm việc. Viết một đoạn hoặc hai diễn tả bạn học được gì.
e.
Chọn niên giám hoặc từ điển bách khoa đểnhìn thấy chính xác phép đo của bạn như thếnào.
1. Lỗtrong phép chiếu hình trụ: Hình trụcủa uranium đường kính 10 cm có lỗ 6 cm đường kính xuyên qua nó (hình 8-8h). Trục của lỗgiao nhau với trục hình trụtại góc vuông. Tìm thể tích uranium được khoan ngoài. Tìm giá trịcủa uranium được khoan ngoài cho rằng uranium phí tổn 200 một gram. Cần tháo
vát đểtìm mật đọcủa uranium
2. Chiếu ba–lỗ: Hình lập phương mỗi cạnh 2 cm có ba tương hỗtrực giao với lỗkhoan qua mặt nó (hình 8-8i). Mỗi lỗ có đường kình 2 cm và mởrộng cạnh của mặt lập phương đến nơi nó làsong song. Tìm thểtích còn lại sau khi
ba lỗbịkhoan.
Bài tập
Phần 1: Không chấp nhận sửdụng máy tính
1. Hình 8-8j biểu diễn các giá trịtới hạn của f’(x) và f’’(x) với hàm f liên tục, cũng như dấu hiệu của đạo hàm trong khoảng giữa nhưng điểm này. Phác họa đồ thịcó thể của f dùng điều kiện ban đầu f(0) = 3
2. Hình 8-8k biểu diễn đồ thịcủa y = f’’(x), đạo hàm của hàm liên tục.Phác
họa đồ thịcủa y = f(x) nếu f(0) = 4. Chấm tại vị trí xấp xỉcó mỗi điểm thuộc đường tròn và mỗi điểm của sựuốn.
3. Hình 8-8l biểu diễn miền chữnhật với một cạnh là con sông. Rào chắn có tổng độdài 1000 ft khép kín với ba cạnh còn lại. Tìm giá trịcủa x và y để diện tích của miền là lớn nhất
4. Hình 8-8m biểu diễn khối được dạng bởi quay quanh trục y miềnởgóc phàn tư thứI bịchặn bởi đồ thịcủa hai hàm y1và y2. Viết tích phân cho thểtích
của khối nếu miền là mảng song song với trục quay. 5. Viết vi phân:
a. Diện tích, dA, trong tọa độ cực
b. Độ dài, dL, cho đường cong phẳng trong tọa độ cực
c. Độ dài, dL, cho đường cong phẳng trong tọa độ Descart trên cấc sốhạng của dx hoặc dy
d. Diện tích, dS, mặt của phếp quay quanh đường thẳng x = 1 trên các số hạng x hoặc y, và dL
Phần 2: Chấp nhận thiết bịmáy móc vẽ đồthị
A. Hình 8-8n biểu diễn đồ thịcủa f(x) = x3–7.8x2+ 20.25x–13
Thiết lậpđồthịcó cực đại tương đối và cực tiểu tương đối, tiếp tuyến nằm ngang tại điểm uốn, hoặc chỉ đơn thuần một điểm với không tiếp tuyến nằm
ngang. Lý giải đáp án của bạn.
Vấn đềT7 – T11 được liên quan với miền R biểu diễn trên hình 8-8o. Miền R bị chặn bởi đồthịcủa y = x3từ x = 0 đến x = 2, trục y, đường thẳng y = 8.
B. Viết tích phân xác định đểtìmđộdài của đồthị của y = x3từ x = 0 đến x = 2. Đánh giá tích phân đểtìmđộ dài.
C. Viết tích phân xác định bằng diện tích của mặt được sinh ra bởi phần của đồthịtrong vấn đềT7 quay quanh trục y. Đánh giá tích phân.
D. Miền thuộc hình chữnhật là nội tiếp miền R qua biểu diễn trên hình 8-8o. R quay quanh trục y, miền thuộc hình chữ nhật sinh ra hình trụ. Tìm một cách đúng thểtích lớn nhất của hình trụnếu có. Lý giải đáp số.
E. Dùng phiến của R song song trục y, viết tích phân bằng thểtích của khối được dạng bởi quay R quanh trục y. Đánh giá tích phân một cách đại sốdùng định lý cơ bản.Giả sửhình trụngoại tiếp khối trong vấn đềT10. Tỷlệcủa thể tích hình trụ đó là bao nhiêu đểlà thểtích của khối? Cho ellip với phương trình tham số
x = 5 cost y = 2 sint
c. Biết rằng thể tích ellipsoid được dạng bởi quay ellip quanh trục x là V = (4/3)(bán kính x)(bán kính y)2.
Cho vấn đề T13 và T14, dùng đường xoắnốc r = e0.1θ biểu diễn hình 8-8p.
F. Tìmđộdài của phần của đường xoắnốc được biểu diễn.
G. Tìm diện tích của miền trong góc phần tư thứI rằng là bên ngoài phép xoay thứ hai của đường xoắnốc và bên trong phép xoay thứ ba.
H. Bạn đã học được gì qua kết quả của việc làm bài tập đó rằng bạn không biết trước đó?
MỤC LỤC Trang
8.1 Hàm số bậc ba và đạo hàm của chúng. ... 1
8.2 Điểm tới hạn và điểm uốn... 2
8.3 Những trịsốcực đại và cực tiểu trong mặt phẳng và hình khối. ... 20
8.4. Thểtích của 1 khối tròn xoay bởi vỏhình trụ... 35
8.5. Độ dài đường cong- độdài cung... 44
Ta bắt đầu một chương màở đó giới thiệu các hình dạng hình học của các phần, các hình khối, như là hình quả chuông được thể hiện trong hình 8-5a. Bây giờ bạn có thểtìm thểtích của hình khối tạo bới các miếng phẳng hoặc vỏhình trụ và diện tích của các hình khối đó. Trong 2 phần tiếp theo bạn sẽtìm chiều dài các đường cong và diện tích mặt ngoài của các đường cong trong không gian. 44 8.6. Diện tích các mặt tròn xoay ... 53
Gỉa sửrằng đồthịcủa hàm y = f(x) được quay quanh trục x . Kết quả thu được sẽlà một mặt trong không gian (hình 8-6a, bên trái). Bạn hãy tìm diện tích của hìnhđó... 53
8.7. Độdài và diện tích với tọa độ cực ... 62