phương trình tích phân trong không gian trừu tượng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒ THỊ MỴ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN TRỪU TƯỢNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số chuyên ngành: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS LÊ HOÀN HÓA Tp. Hồ Chí Minh, Năm 2012 1 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa, người đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi tối đa để tôi hoàn thành tốt luận văn này. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian và công sức để đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành tốt luận văn. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Quý Thầy Cô Phòng Sau đại học, Quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán- Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên TP.Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp chúng tôi hoàn thành chương trình học. Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm, kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý Thầy Cô khi đọc và chấm luận văn. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, và bạn bè đã hỗ trợ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2011 Hồ Thị Mỵ 2 TỔNG QUAN Lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian trừu tượng hiện đại hơn lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian hữu hạn chiều. Thực tế, lý thuyết về phương trình vi tích phân trong không gian vô hạn chiều, không đòi hỏi toán tử bị chặn, được biết đến vào những năm 1970, 1980, và đã có nhiều ứng dụng khác nhau nhất là trong khoa học ứng dụng. Trong luận văn này, phương trình tích phân được tiếp cận bằng một số phương pháp như • Phương pháp điểm bất động trong các không gian hàm khác nhau, liên quan đến bài toán về sự tồn tại và tính chất nghiệm; • Lý thuyết nửa nhóm; • Xây dựng hạch giải thức và ứng dụng của nó. Các loại phương trình Volterra cổ điển, các dạng khác nhau của phương trình vi tích phân, và phương trình Volterra trừu tượng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Những nghiên cứu này minh họa cho vai trò ngày càng quan trọng của phương trình Volterra cũng như sự phát triển của toán học hiện đại. Mục tiêu của luận văn là chúng tôi đưa ra kết quả liên quan đến hướng nghiên cứu được đề cập ở trên, và minh họa các phương pháp đã được áp dụng thành công để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này. Nội dung luận văn được chia làm 5 chương - Chương 1: trình bày nội dung về phương trình với toán tử bị chặn. - Chương 2: phương trình với toán tử không bị chặn trong không gian Hilbert. 3 - Chương 3: phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi tích phân. - Chương 4: phương trình Volterra không tuyến tính và liên kết nửa nhóm toán tử. - Chương 5: sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân trong không gian Hilbert. 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn 1 TỔNG QUAN 2 Mục lục 4 Danh mục các kí hiệu 6 Chương 1- PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN TRỪU TƯỢNG 7 1.1. Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach 7 1.2. Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch 10 Chương 2- PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 26 2.1. Bổ đề 2.1 26 2.2. Bổ đề 2.2 27 2.3. Định lý 2.3 28 2.4. Ứng dụng định lý 2.3 31 Chương 3- PHƯƠNG PHÁP NỬA NHÓM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN 34 3.1. Định nghĩa 3.1 35 3.2. Định nghĩa 3.2 36 3.3. Mối liên hệ giữa nửa nhóm toán tử và toán tử giải thức 36 3.4. Xây dựng toán tử giải thức cho phương trình vi tích phân 39 5 Chương 4- PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA KHÔNG TUYẾN TÍNH VÀ LIÊN KẾT NỬA NHÓM TOÁN TỬ 40 4.1. Bổ đề 4.1 44 4.2. Bổ đề 4.2 46 4.3. Bổ đề 4.3 47 4.4. Định lý 4.4 49 4.5. Định lý 4.5 53 4.6. Định đề 4.6 53 4.7. Định đề 4.7 54 Chương 5- SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 55 5.1. Một số định nghĩa cơ bản 55 5.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân trong không gian Hilbert 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 6 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ● { } N=0,1,2, K ; { } N=1,2, ∗ K . ● [ ) R0,. + =∞ ● ( ) R,. =−∞+∞ ● [ ] ( ) 2 0, nn coKnPQ  ××  : là bao lồi đóng của [ ] ( ) 2 0, nn KnPQ ×× . Giả sử X là không gian Banach với chuẩn ⋅ và Y là không gian Banach, ta kí hiệu ● ( ) , LXY là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . ● [ ] ( ) 0,, CTX : là tập các ánh xạ liên tục từ [ ] 0, T vào X . ● ( ) ( ) 1 R, CX + : không gian các hàm khả vi liên tục từ R + vào X . ● [ ] ( ) 0,, p LTX : không gian các hàm ( ) xt đo được theo độ đo Lebesgue trên [ ] 0, T sao cho ( ) 0 T p xtdt <+∞ ∫ , với chuẩn ( ) 1 0 p T p p L xxtdt  =   ∫ , 1 p ≥ . ● ( ) ( ) ( ) { } 1,111 R,R,:R,,1 WXfLXDfLX α α +++ =∈∈≤ với Df α là đạo hàm suy rộng thứ α của f . ● [ ] ( ) 0,, LTX ∞ : không gian gồm các hàm [ ] :0, xTX → đo được và tồn tại hằng số C sao cho ( ) xtC ≤ h.k.n trên [ ] 0, T . ● ( ) { R,:R p loc LXfX ++ =→ đo được sao cho ( ) p fL ω ∈ với mọi R ω + ⊆ thỏa ω là tập compact chứa trong } R + ( 1 p ≤≤∞ ). 7 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ BỊ CHẶN 1.1. Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach Định lý 1.1.1. Cho X là một không gian Banach với chuẩn ⋅ , xét phương trình tích phân ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 ,,,0,, t xtftktsxsdstT =+∈ ∫ (1.1) với , xf là các ánh xạ từ [ ] 0, T vào X , ánh xạ [ ] [ ] :0,0, kTtXX ××→ . Giả sử rằng (1) ( )  ∈  0,,; fCTX (2) ( ) ,, ktsx liên tục mạnh theo ( ) ,, tsx trên tập ( ) 0;0;, tTstxftr ≤≤≤≤−≤ ( ) D trong đó r là một số dương; (3) k thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên D ( ) ( ) ,,,,. ktsxktsyLxy −≤− (1.2) Khi đó, phương trình (1.1) tồn tại nghiệm ( ) xxt = xác định trên 8 { } 1 0,min, tTMr δδ − ≤≤= , trong đó ( ) = sup,, D Mktsx . Chứng minh. Đặt { } [ ] ( ) ,0,, rr SxXxfrSCX δ=∈−≤⊂ , ( ) [ ] { } 1 sup;0, Lt xxtet δ − =∈ . Trên r S ta định nghĩa toán tử T như sau ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 ,,,0,. t Txtftktsxsdst δ =+∈ ∫ Từ (1.2) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) −≤−,,,, ktsxktsftLxft ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,, ktsxLxftktsft ≤−+ mà ( ) ( ) ( ) ,, Lxftktsft −+ bị chặn trên D nên M <+∞ . Với mọi , ∈ r xyS ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 ,,,, t TxtTytktsxsktsysds −=− ∫ . Ta suy ra ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 ,,,, t TxtTytktsxsktsysds −=− ∫ 9 ( ) ( ) 0 t Lxsysds ≤− ∫ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 t LtLtLsLs eTxtTyteLeexsysds −−− −≤− ∫ 11 0 t Ls TxTyxyLeds − −≤− ∫ ( ) 11 1 Lt TxTyexy − −≤−− ( ) [ ] 11 1,0,. L TxTyexyt δ δ − −≤−−∈ Vì 11 δ− −< L e nên T là ánh xạ co trên r S hay ( ) ( ) ( ) Txtxt = . ■ Định lý 1.1.2. (Krasnoselskii-Perov) Cho X là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn và : TDX → là ánh xạ compact. Giả sử T thỏa các điều kiện sau i) Với 0 ε > tồn tại ánh xạ compact T ε sao cho ( ) ( ) , TxTxxD ε ε −<∀∈ và phương trình ( ) xTxh ε =+ có nhiều nhất một nghiệm trên D nếu h ε ≤ ; ii) T không có điểm bất động trên D ∂ và ( ) deg,,00 ITD −≠ . Khi đó tập các điểm bất động của T là tập compact liên thông. Ta kí hiệu [ ] ( ) 0,, ECTX = là một không gian hàm. Toán tử : VEE → được gọi là toán tử Volterra trừu tượng nếu với bất kì , xyE ∈ sao cho ( ) ( ) xsys = với [ ] 0 ,, stttT ∈≤ thì ( ) ( ) ( ) ( ) VxtVyt = . Xét phương trình Volterra trừu tượng như sau [...]... nghiệm duy nhất trong DA 33 (2.12) (2.13) Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NỬA NHÓM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN Xét phương trình vi tích phân dạng t x′ ( t ) = Ax ( t ) + ∫ B ( t − s ) x ( s ) ds + f ( t ) , t ∈ R + , (3.1) 0 với điều kiện đầu x (0 ) = x0 ∈ DA ⊂ X , trong đó X là không gian Banach (thực hay phức) với chuẩn ⋅ (3.2) X A là , toán tử không bị chặn trên X và A sinh ra nửa nhóm trong X Khi đó,... CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Giả sử H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng , và chuẩn x = x, x , với mọi x ∈ H Giả sử k ( t , s ) là hàm thực đo được trên [ a , b ] × [ a , b ], sao cho k ( t , s ) = k ( s , t ) b ∫ hầu hết, và k ( t , s ) ds < ∞ , 2 (2.1) a thì toán tử tích phân b ( Kx )( t ) = ∫ k ( t , s ) x ( s ) ds, (2.2) a có miền xác định trù mật trong L 2 ([ a, b], R) , và không bị... tương đối trong X 0 ⇔ ( ∀n ∈ N ∗ , An đẳng liên tục trong X n và với bất kỳ s ∈ [ 0, n ] tập hợp An ( s ) = { x ( s ) : x ∈ An } compact tương đối trong E ) ⇔ ( ∀n ∈ N ∗ , An đẳng liên tục trong X n và tập hợp { x ( t ) : x ∈ A , t ∈ [ 0, n ]} compact tương đối trong n E ) Cho r > 0 Ta kí hiệu Cr = C ([ −r ,0] , E ) với chuẩn x Cr { } = sup x ( t ) : t ∈ [ −r ,0] , và X 0 = C ( R + , E ) là không gian. .. ∈ X ⊂ C , và bán kính r ; x0 là giá trị đầu cố định của toán tử V (c) Khi đó, tồn tại δ > 0, δ ≤ T để (1.3) có ít nhất một nghiệm trên [ 0, δ ] 1.2 Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X , D là một tập con của X và U : D → X Với bất kì a ∈ X , ta định nghĩa Ua : D → X bởi U a ( x ) = U ( x ) + a Toán tử U... tử tích phân K cho bởi (2.2) với giả sử ở (2.1) được gọi là toán tử Carleman 2.1 Bổ đề 2.1 Giả sử H là không gian Hilbert thực và T là toán tử tuyến tính liên tục và song ánh từ H lên H Khi đó T −1 là liên tục từ H vào H Một song ánh T : H → H được gọi là một đẳng cấu từ H lên H khi T và T −1 đều là các ánh xạ liên tục 26 2.2 Bổ đề 2.2 Giả sử không gian Hilbert thực H là tổng trực tiếp của hai không. .. Xét phương trình vi tích phân tuyến tính có dạng d  dx  −  p ( t )  + q ( t ) x = ∫ k ( t , s ) x ( s ) ds + f ( t ) , dt  dt  a b (2.8) trong đó p ( t ) , p ′ ( t ) , q ( t ) là các hàm liên tục trên a, b , nhận giá trị trong   () ( ) R và p t > 0 Hàm k t, s đối xứng và đo được trên [ a , b ] × [ a , b ] và thỏa b b điều kiện Hilbert-Schmidt ∫ ∫ k (t, s ) 2 () dt ds < +∞ Hàm f t thuộc không. .. với A ⊂ X , p ( A ) < ∞ , trong đó p ( A ) = sup { p ( x ) : x ∈ A } ; v) lim p ( x )→∞ p (C ( x )) p(x) = 0; ∀x ∈ X , ∀p ∈ P Khi đó U + C có điểm bất động trên X Định lý 1.2.2 Cho E là không gian Banach với chuẩn , giả sử X 0 = C ( R + , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ R + vào E và A là tập con của X 0 Với mỗi n ∈ N∗ , giả sử X n = C ([ 0, n ] , E ) là không gian Banach gồm các { }... v < λm+i , (2.11) ta định nghĩa H1 là không gian con hữu hạn chiều được sinh bởi ψ 1 , ψ 2 , , ψ m , và H2 là phần bù trực giao của nó trong L 2 ([ a, b ] , R ) Hay H2 là không gian con của L 2 ([ a, b] , R ) sinh ra bởi các phần tử ψ j , j ≥ m + 1 Toán tử K cho bởi (2.2) thỏa mãn điều kiện 32 µ x ≤ Kx, x , ∀x ∈ H1 ∩ DA , 2 Kx, x ≤ v x , ∀x ∈ H2 ∩ DA 2 Số γ trong (2.6) là số dương tùy ý sao cho γ... chặn trong X n Khi đó H (Wn ) bị chặn trong X n Vậy tồn tại hn > 0 sao cho H x n ≤ hn , ∀ x ∈ W Ta có ∀ x ∈ W , ∀t ∈ [ 0, n ] thì t C ( x )( t ) ≤ ∫ Hx ( s ) ds + ϕ ( 0 ) ≤ Hx n t + ϕ ( 0 ) ≤ n.hn + ϕ ( 0 ) 0 Vậy C ( x ) n ≤ n.hn + ϕ ( 0) , ∀x ∈W Do đó C (W ) n < ∞ Do đó U , C thỏa các điều kiện của định lý 1.2.1 nên U + C có điểm bất động.■ 25 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN TRONG. .. và (3.4), lấy tùy ý x 0 ∈ D A , f ∈ F (với F là một không gian hàm) thì S ( t ) ≡ R ( t ) , t ∈ R + Vì thế, việc tìm kiếm nửa nhóm toán tử liên tục (mô tả họ nghiệm của (3.1)) và đi tìm toán tử giải thức biểu diễn cho (3.1) là như nhau 3.1 Định nghĩa 3.1 Cho X là một không gian Banach và A trong L ( X , X ) Với mọi số nguyên dương n và số thực không âm t đặt A n = A oLo A ( n lần) và n 1 m ( tA ) . 1- PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN TRỪU TƯỢNG 7 1.1. Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach 7 1.2. Nghiệm mạnh của phương trình vi tích. hiện đại hơn lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian hữu hạn chiều. Thực tế, lý thuyết về phương trình vi tích phân trong không gian vô hạn chiều, không đòi hỏi toán tử bị chặn,. TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 55 5.1. Một số định nghĩa cơ bản 55 5.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân trong không gian Hilbert 56