chuyên đề mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gọi hệ trục toạ độ vng góc Oxyz khơng gian z r k r i r j O y x • • • • • • • O ( 0;0;0) gọi góc toạ độ Các trục tọa độ: Ox : trục hoành Oy : trục tung Oz : trục cao Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi vuông góc với rr r i, j , k • véctơ đơn vị nằm trục Ox, Oy, Oz • • • • ∈ r j r i = (1;0;0), r k = (0;1;0), r r r i = j = k =1 = (0;0;1) r2 r2 r2 i = j = k =1 r r r r rvà r i⊥ j j⊥k k ⊥i rr , r r , rr i j = j.k = k i = , , rr r r r r rr r i , j  = k  j , k  = i  k , i  = j       • , , CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ ⇔ • M • M • M • Tọa độ điểm: • ∈ Oy Oz ⇔ ⇔ M(x;0;0) • M M(0;y;0) • M ∈ ⇔ Tọa độ vectơ: ∈ Ox ∈ ∈ (Oxy) (Oyz) uuuuu r r r r • M (Oxz) O M = x.i + y j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) M(0;0;z) ⇔ ⇔ M(x;y;0) M(0;y;z) M(x;0;z) r r r r r a = a1.i + a2 j + a3 k ⇔ a = (a1; a2 ; a3 ) LƯU Ý: • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục Ox là: M1(x0;0;0),trên trục Oy là: M2(0;y0;0), trục Oz là: M(0;0;z0) • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) (Oxy) là: M(x0;y0;0), (Oyz) là: M(0;y0;z0), (Oxz) là: M(x0;0;z0) CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÉC-TƠ r r a = ( x1 ; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) Cho số k tuỳ ý, ta có: r r a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) • r r • • a − b = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 ) r k a = k ( x1 ; y1 ; z1 ) = ( kx1 ; ky1; kz1 ) r a = x12 + y12 + z12 • r • = ( 0;0;0 )  x = x2 r r  a = b ⇔  y1 = y2 z = z  • rr • r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = a.b = x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 rr rr a.b cos a, b = r r = a.b ( ) • x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 2 x12 + y12 + z12 x2 + y2 + z2 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho uuuxA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đó: A(r 1) Tọa độ vectơ uuu r AB AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) là: 2) Độ dài đoạn thẳng AB đồ dài uuu r AB = AB = ( xB − x A ) uuu r AB : + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2 Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay gọi khoảng cách hai điểm A B 3) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: 4) Tọa độ trọng tâm tam giác: Cho ∆ x A + xB   xI =  y A + yB   yI =  z A + zB   zI =  ABC với A(xA; yA; zA), B( xB; yB; zB), C( xC; yC; zC) Khi toạ độ trọng tâm G ∆ ABC là:  xG = ( x A + xB + xC ) /   yG = ( y A + yB + yC ) / ⇒ G ( xG ; yG ; z G ) z = (z + z + z ) / A B C  G 5) Tích có hướng tính chất tích có hướng: r r a = ( x1 ; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) Cho • Khi đó: rr y z z x x y   a, b  =  1 ; 1 ; 1 ÷    y2 z2 z2 x2 x2 y2  • Hai vectơ • Hai vectơ • Ba vectơ • Ba vectơ r r a b , r r a b , rrr a , b, c rrr a , b, c phương rr r ⇔  a, b  =   không phương đồng phẳng rr r ⇔  a, b  c =   không đồng phẳng 6) Chứng minh hai vectơ phương r a Cách r b phương r a r b ( x2 , y2 , z3 ≠ ) , với ⇔ r b Cách x y z ⇔ = = x2 y2 z2 phương r a r r ⇔ a = k b r b Cách rr r ⇔  a, b  c ≠   phương r a rr r ⇔  a, b  ≠   x2 y2 z2 = = x1 y1 z1 , với rr r ⇔  a, b  =   phương ( x1 , y1 , z1 ≠ ) CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: A B C Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ uuu uuu r r AB , AC hai vectơ phương Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: uuu uuu r r r ⇔  AB , AC  =   Ba điểm A, B, C không thẳng hàng uuu uuu r r ⇔ AB , AC uuu uuu r r r ⇔  AB , AC  ≠   không phương Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng uuu uuu uuu r r r Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ uuu uuu uuu r r r  AB , AC  AD =   ⇔ AB , AC , AD đồng phẳng Chú ý: • A, B, C, D khơng đồng phẳng A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện ABCD • Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện ta chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 4: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng uuu uuu uuu r r r AB , AC , AD ⇔ đồng phẳng uuu uuu uuu r r r  AB , AC  AD =  ⇔ S ∆ABC = uuu uuu r r  AB , AC    Dạng 5: Diện tích tam giác Diện tích tam giác ABC: Dạng 6: Thể tích khối tứ diện Thể tích khối tứ diện ABCD V= uuu uuu uuu r r r  AB, AC AD   MẶT PHẲNG 1) Định nghĩa // • r r n Vectơ pháp tuyến mpα : ≠ • Cặp véctơ phương mpα : hoặc // α, r r r a b n Lưu ý: Có thể chọn = [ , ] véctơ pháp tuyến α r a r b cặp vtcp α 2) Phương trình mặt phẳng a) Phương trình tổng quát (α) : Ax + By + Cz + D = (A2+B2+C2>0), có VTPT r n = (A; B; C) Lưu ý: Phương trình mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = b) Mặt phẳng qua một điểm và có VTPT cho trước r n Ta có (α) qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm véctơ pháp tuyến c) Phương trình đoạn chắn ⇔ ⇔ r n r r a b , ⊥α nằm Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) : x y z + + =1 a b c d) Chùm mặt phẳng : Giả sử α1 ∩ α2 = d (α1): A1x + B1y + C1z + D1 = (α2): A2x + B2y + C2z + D2 = PT mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình mp (P) qua điểm M song song với mp(Q) Phương pháp: M ( x0 ; y0 ; z0 ) • Mặt phẳng (P) qua điểm • Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) uu uu r r nP = nQ có VTPT • (P): r a r b r rr n =  a, b    A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • M uu r ud d P) • Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua M • Mặt phẳng (P) có VTPT: • (P): uu uu r r nP = ud = ( a1 ; a2 ; a3 ) A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Ví dụ 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) vng góc với đường thẳng (d): {x = + 2t , y = −3t , z = 2} uu uu r r nP = ad = ( 2; −3;0 ) HD: Ta có 2x − − 3y + = ⇔ 2x − 3y + = (P): uu r ad Cần nhớ:(P) vng góc đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến Ví dụ 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) vng góc với đường thẳng x −1 y + z = = −2 x + y − 2z − = d: Đáp số: Ví dụ 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vng góc với AC Đáp sớ: Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua A • Mặt phẳng (P) có VTPT: r uuu uuu r r n =  AB, AC    −2x + 2z = ⇔ − x+z=0 • (P): A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Ví dụ 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) HD: uu r uuu uuu r r uuu r uuu r ⇒ nP =  AB, AC  = ( 1;1;1) AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1)   x −1 + y + z = ⇔ x + y + z −1 = (P): Ví dụ 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN) uu r uuuu uuu r r uuuu r uuu r OM = ( 1;1;1) , ON = ( 1; −1;1) ⇒ nP = OM , ON  = ( 2;0; −2 )   2x − 2z = HD: Ta có: , (P): Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B vng góc với mp(Q) B uu r nQ P Q A Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm A • Hai vectơ có giá song song nằm (P) là: uuu r uu r AB = .nQ = • Nên mp(P) có VTPT: • (P): r uuu uu r r n =  AB, nQ    A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Ví dụ1: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) vng góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0 HD: uuu r uu r - Ta có AB = ( −1; −2;5 ) , nQ = ( 2; −1;3) - Mặt phẳng (P) có VTPT uu r uuu uu r r : nP =  AB, nQ  = ( −1;13;5 )   −1( x − 3) + 13 ( y − 1) + ( z + 1) = ⇔ x-13y-5z+5=0 - (P): Ví dụ 2: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) vng góc với mp(Oxy) uu r uuu r r uuu r r AB = ( −1; −2;5 ) , k = ( 0;0;1) nP =  AB, k    −2x+y+5=0 HD: , =(-2;1;0) (P): Dạng 5:  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d d’  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’ Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm M ∈d • Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: • (P) có VTPT: • (P): uu r uu r ad = .ad ' = r uu uu r r n =  a d , ad '    A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A đường thẳng d Phương pháp: • Chọn điểm M thuộc đt d • Mặt phẳng (P) qua điểm A • Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: • (P) có VTPT: • (P): r uuuu uu r r n =  AM , ad    uuuu r uu r AM = .ad = A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) mp trung trực đoạn thẳng AB P) • • • A I B Phương pháp: ⇒ I = ( .) • Gọi I trung điểm AB • Mặt phẳng (P) qua điểm I • Mặt phẳng (P) có VTPT r uuu r n = AB A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • (P): Ví dụ: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB HD: ⇒ I ( 2;2;2 ) - Gọi I trung điểm AB uu uuu r r - Mặt phẳng (P) có VTPT - (P): nP = AB = ( 2;2;2 ) −2 y+4+2z=0 ⇔ −2 y+2z+4=0 Cần nhớ: Mp trung trực đoạn thẳng AB mp vng góc với đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn thẳng AB Dạng 8: Viết phương trình mp (P) qua điểm M vng góc với hai mp (Q) (R) Phương pháp: • Mặt phẳng (P) qua điểm M • Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: • Nên mp(P) có VTPT: • (P): r uu uu r r n =  nQ , nR    uu r uu r nQ = ., nR = A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;1) vng góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0 và (R): 2x-3y-2z-1=0 Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(1;0;1) vng góc với mặt phẳng (Q): 2x- y + z -1= 0, (R): x-y-z = ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN x − y + z +1 = = −1 Bài Cho d: mặt phẳng (P): x + y + z + = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng cách từ M tới ∆ 42 ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc với d và khoảng GIẢI - Tìm tọa độ điểm M giao d với (P) , tọa độ M nghiệm hệ :  x = + 2t  y = −2 + t  ⇔ ⇔ 2t + = ⇒ t = −1; ⇔ M = ( 1; −3;0 ) z = −1 − t  x + y + z + =  ∆ P d M H - Đường thẳng Do : uu uu r r uu uu r r uu r uu uu r r ∆ ∈ ( P ) ⇒ u∆ ⊥ nP ; ∆ ⊥ d ⇒ u∆ ⊥ ud ⇔ u∆ =  nP , ud    uu r uu uu r r  −1 −1 2  u∆ =  nP , ud  =  ; ; ÷ = ( 2; −3;1)   1 1 1 1 -Gọi H (x;y;z) hình chiếu vng góc M Hr uuuu : x+y+z+2=0 (1) uuthuộc (P) r ∆ ta có : u∆ ⊥ MH ⇔ ( x − 1) − ( y + 3) + z = ⇔ 2x − y + z − 11 = MH = ( x − 1) + ( y + 3) + z = Mặt khác theo giả thiết : ( 42 ) ( 2) = 42 ( 3)  x = 13 − y  x = 13 − y  x = 13 − y      ⇒  z = y − 15 ⇔  z = y − 15 ⇔  z = y − 15    y2 + y + = 2 2 2  ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 ( 12 − y ) + ( y + ) + ( y − 15 ) = 42   Vậy : H=(29;-4;-27) H=(21;-2;-21) Do có hai đường thẳng ∆ có véc tơ  x = 29 + 2t  ∆1 :  y = −4 − 3t ;  z = −27 + t  uu r u∆ = ( 2; −3;1)  x = 21 + 2t  ∆ :  y = −2 − 3t  z = −21 + t  phương qua hai điểm H tìm : Bài (KB-08 ) Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC GIẢI - Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến Với : r uuu uuu r r n =  AB, AC    uuu r uuu r uuu uuu r r  −3 −1 −1 2 −3  AB = ( 2; −3; −1) , AC = ( −2; −1; −1) ⇒  AB, AC  =  ; ; ÷ = ( 2;4; −8 )   −1 −1 −1 −2 −2 −1   Do (ABC) có phương trình : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 - Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có : uuu r 2 ⇔ MA = ( x; y − 1; z − ) ⇔ MA2 = x + ( y − 1) + ( z − ) = x + y + z − y − 4z + uuu r 2 ⇔ MB = ( x − 2; y + 2; z − 1) ⇔ MB = ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = x + y + z − 4x+4y − 2z + uuur u 2 ⇔ MC = ( x + 2; y; z − 1) ⇔ MC = ( x + ) + ( y ) + ( z − 1) = x + y + z + 4x − z + - Theo giả thiết , MA=MB=MC ta có hệ :  MA2 = MB −2 y − 4z = −4x + y − 2z + 2x-3y − z =    ⇔ −2 y − 4z = 4x − 2z ⇔ 2x + y + z =  MA = MC 2x + y + z − =   2x + y + z − = 2x + y + z =  ⇔ M ( 2;3; −7 ) Bi Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) đờng thẳng x y + z = = −1 Nếu M thuc Tìm toạ độ điểm M cho: GIẢI M=(1-t;t-2;2t ) Khi ta có : MA2 + MB = 28 ∆ : uuu r 2 ⇔ MA = ( −t ; t − 6;2t − ) ⇔ MA2 = t + ( t − ) + ( t − ) = 6t − 20t + 40 uuu r 2 ⇔ MB = ( − t ; t − 4;2t − ) ⇔ MB = ( t − ) + ( t − ) + ( 2t − ) = 6t − 28t + 36 MA2 + MB = 28 Theo giả thiết cho : ⇔ 12t − 48t + 76 = 28, ⇔ ( t − ) = ⇒ t = ⇔ M = ( −1;0;4 ) 2 Góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương r ur a.a ' ru r cosα = cos a, a ' = r ur a a ' 00 ≤ α ≤ 900 ( ) , Góc hai mặt phẳng góc hai vectơ pháp tuyến ru r n.n ' ru r cosα = cos n, n ' = r u r n n ' 00 ≤ α ≤ 900 ( ) , Góc đường thẳng mặt phẳng góc vectơ phương vectơ pháp tuyến rr a.n rr sinα = cos a, n = r r a n 00 ≤ α ≤ 900 ( ) , Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) mp(P): x + 2y + z −3= Viết phương trình mp(Q) chứa AB tạo với mp(P) góc α thỏa cos α = mãn: GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0 (Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) r n = ( 1; 2;1) - Mặt phẳng (P) có Suy uu r r nP n Q cosα = uu r = r nP n Q a + 2b + c a + b2 + c2 + + = ⇔ ( a + 2b + c ) = ( a + b + c ) (3) - Từ (1) (2) ta có : −a + 2b − 3c + d = c = a + b ⇔  2a − b − 6c + d =  d = 4a + b  a = −4b → c = −3b, d = −15b ⇒  a = −b → c = 0, d = −3b - Thay vào (3) : - Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 (Q’): -x+y-3=0 Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1: −2) đường thẳng x y − z +1 = = −1 (d): Viết phương trình đường thẳng (∆) qua giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc α cos α = cho GIẢI - Ta có : uuu r uuu r uuu uuu r r  −1 1 2 −1  r OA = ( 2; −1;1) , OB = ( 0;1; −2 ) ⇒ OA, OB  =  ; ; = ( 1;4;2 ) = n ÷    −2 −2 0  - Do : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M giao d với (OAB) tọa độ M nghiệm hệ :  x + y + 2z x = t  ⇔ t + 4(3 − t ) + 2(2t − 1) = ↔ t = −10 ⇔ M = ( −10;13; −21)  y = 3−t   z = −1 + 2t  uu r ruu ∆ ∈ ( OAB ) ⇒ α = ( d , ∆ ) , nP u∆ = ⇔ a + 4b + 2c = - Vì ( r u = ( a; b; c ) ) uu uu r r ud nP uu uu r r a − b + 2c a − b + 2c cos ud , nP = uu uu = = = ( 4) r r 2 2 2 ud nP a + b + c 1+1+ a +b +c ( - Do : ( 2) ) ⇔ ( −5b ) - Suy :  b = 11 c = 25 ( 4b − 2c ) + b + c  ⇔ 11b − 16bc + 5c = ⇔    b = c 2 2  x = −10 + 2t uu  r   r b = c → a = − c ⇒ ud =  − c; c; c ÷ / / u = ( 2; −5; −11) ⇔ ∆ :  y = 13 − 5t 11 11  11 11   z = −21 − 11t  - Với - Vớirb=c, thay vào (2) r có a=-6c uu uta ⇒ u∆ = ( −6c; c; c ) / / u ' = ( 6; −1; −1) ⇔ ∆ :{ x = −10 + 6t , y = 13 − t, z = −21 − t} Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm (d ) : A(0;1;−2), vng góc với đường thẳng y − z +5 = góc 300 x+3 y −2 z = = −1 GIẢI r u = ( 1; −1;1) * Đường thẳng d có véc tơ phương uu r u∆ = ( a; b; c ) , đường thẳng ∆ có véc tơ phương uu uu r r α = ( d ; P ) = u∆ , u d ( r n = ( 2;1; −1) Mặt phẳng (P) có tạo với mặt phẳng (P): 2x + Gọi ) uu r r u∆ , n 2a + b − c 2a + b − c cosα = uu r = = = cos300 = r u∆ n a + b2 + c2 + + a + b2 + c2 - Do : ⇔ 2a + b − c = a + b + c ⇔ ( 2a + b − c ) = ( a + b + c ) uu uu r r d ⊥ ∆ ⇒ ud u∆ = ⇔ a − b + c = ⇔ b = a + c ( 2) ( 3) - Vì : - Thay (3) vào (2) ta : c = ⇔ 18a =  a + c + ( a + c )  ⇔ 2a = 2a + c + 2ac ⇔ c ( c + 2a ) = ⇒     c = −2a - Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy x = t uu r r  u∆ = ( b; b;0 ) / / u = ( 1;1;0 ) ⇔ ∆ :  y = + t  z = −2  - Vớir: c=-2a , thay vịa (3) ta có b=-a uu u r ⇒ u∆ = ( a; − a; −2a ) / / u ' = ( 1; −1; −2 ) ⇔ ∆ :{ x = t , y = − t , z = −2 − 2t} Ví dụ Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng : x −1 y + z −1 = = −1 x y z = = −2 ∆1 : , ∆2 : a/Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo nhau: * Đường thẳng ∆1 có véc tơ phương Có véc tơ phương u r u1 = ( 1; −2;1) ∆2 qua O(0;0;0), ur u u ur  −2 1 1 −2  r u u2 = ( 1; −1;3) ⇒ u1 , u2  =  ; ; ÷ = ( −5; −2; −1)    −1 3 1 −3  ur ur uuu u r u1 , u  OB = ( ) − 1( −2 ) + ( −1) = ≠   Mặt khác : thẳng ∆1 ∆2 chéo b/ Viết phương trình (P) Đường thẳng qua B(1;-1;1)  x −1  =  ∆2 :   x −1 =   Kết hợp với (1) suy hai đường y +1 −1 ⇔  x + y =  z −1 3x − z − = ∆2 ⇒ ( P ) * Vì (P) chứa thuộc chùm : m ( x + y ) + n ( 3x − z − ) = ⇔ ( m + 3n ) x + my − nz − 2n = Mặt khác (P) tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 (m + n2 ≠ 0) : ru r n, u1 ru r ru r ⇒ 300 = 900 − n, u1  ⇔ n, u1 = 600 ↔ cos60o = r u r   n u1 ( ⇔ = (1) ) ( ) m + 3n − 2m − n ( m + 3n ) + m2 + n2 + + ⇔ ( 2m + 10n + 6mn ) = ( 2n − m ) ( *) 11  m = − n ⇔ 2m + 13mn + 11n = ⇔   m = −n 2 m=− ( 3) Thay (3) vào (*) ta có : 11 11 n ⇒ ( P ) : − x − y − z − = ⇔ ( P ) : 5x + 11 y + 2z + = 2 - Với - Với m=-n (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0 Ví du Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d d lần lợt có phơng trình x= : d: y2 =z d : x−2 z+5 = y −3 = −1 300 Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua d tạo với d góc GII Tng t nh 4, ta chuyển d sang dạng giao hai mặt phẳng : x-z=0 x+y-2=0 Do (P) thuộc chùm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1) r u = ( 2;1; −1) Đường thẳng d’ có Vì (P) tạo với d’ góc ru r n, u ' ru r ru r ⇒ 300 = 900 − n, u1  ⇔ n, u1 = 600 ⇔ cos60o = r u r   n u' ( ⇔ ) ( 300 ) 2( m + n) + n + m = ( m + n) + n2 + m + + ⇔ ( m + n + mn ) = ( m + n ) 2  m = −2n  m = −2n ⇔ 2m + 5mn + 2n = ⇔  n ⇔ m = −  n = −2m  2 ( 3) - Với m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0 Bài tập vận dụng Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (): x −1 y z = = −1 −2 2x − y − z + = góc 600 Tìm tọa độ giao tạo với mặt phẳng (P) : điểm M mặt phẳng (α) với trục Oz u r u = (1; −1; −2) HD: () qua điểm A(1;0;0) có VTCP r n′ = (2; −2; −1) (P) có VTPT uuuu r AM = (−1;0; m) Giao điểm M(0;0;m) cho (α) có VTPT 2x − y − z + = u r uuuu u r r n =  AM , u  = (m; m − 2;1)   tạo thành góc 600 nên : (α) (P): rr cos ( n , n′ ) = ⇔ 1 = ⇔ m − 4m + = 2m − 4m + M (0;0;2 − 2) Kết luận : ⇔ m = −  m = +  M (0;0;2 + 2) hay Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I( 0;0;1) K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua I, K tạo với mặt phẳng (xOy) góc 300 x y z x y z + + = ( a, b, c ≠ 0) Do I ∈ (α ) ⇒ c = K ∈ (α ) ⇒ a = ⇒ (α ) : + + = a b c b r r r r 1 n (α ) n ( xOy ) ⇒ n(α ) = ( ; ;1) n ( xOy ) = (0;0;1) ⇒ cos300 = r ⇒b=± r b n (α ) n( xOy ) (α ) : ⇒ (α ) : x y z ± + =1 3 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ A-MẶT PHẲNG Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với (Q) : y + z − 11 = mặt phẳng (P) Đs: Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3), B (1; −2;1) song song với Đs: trục ( P ) : −2 x + z + = Oy Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − 2x + y − 4z − = 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc r v = (1;6;2) tơ (α ) : x + y + z − 11 = , vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S) 2x − y + 2z + = x − y + z − 21 = Đs: (P): (P): x + y + z + 2x − y − = 2 Câu 4: a/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): M (3;1; −1) x + z −3 = mặt phẳng (P): vng góc với Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu mặt 2x + y − 2z − = Đs: (Q): (S) 4x − y − 4z − = (Q): ( S ) : x + y + z − x + y − z + = ( P) : x + y − z + = 0, M (1;1;2) b/ Tương tự: Với , (Q) : x + y + z − = Đs: Câu 5: Trong không (Q ) :11x − 10 y + z − = gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z – 2x + y + 2z – = 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r =3 Đs: (P): y – 2z = x2 + y + z + 2x − y + 2z – = Câu 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): M (2;0; −2), N (3;1;0) điểm Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r =1 x+ y−z−4=0 x − 17 y + z − = Đs: (P): (P): Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc x+ y+z =0 với mặt phẳng (Q): (P): x−z =0 (P): cách điểm M(1; 2; –1) khoảng 5x − y + 3z = Đs: x −1 y − z = = 1 Câu 8: a/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : điểm M(0; –2; 0)Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) x − y + z − 16 = Đs: (P): ∆: b/ Câu hỏi t/tự: Với x y z −1 = = ; M (0;3; −2), d = 1 2x + y − z + = ( P) : x + y − z − = Đs: ( P ) : x − y + z + 26 = M (−1;1;0), N (0;0; −2), I (1;1;1) Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) x− y+z+2=0 Đs: (P): 7x + 5y + z + = ; (P): A(1; −1;2) B(1;3;0) Câu 10: a/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , C (−3;4;1) D(1;2;1) , , Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) x + y + 4z − = Đs: (P): x + y + 2z − = ; (P): A(1;2;1), B ( −2;1;3), C (2; −1;1), D(0;3;1) b/ Câu hỏi t/ tự:Với ( P ) : x + y + z − 15 = Đs: ( P) : x + 3z − = A(1;2;3) B(0; −1;2) Oxyz Câu 11: a/ Trong không gian với hệ trục tọa độ C (1;1;1) ( P) Viết phương trình mặt phẳng B qua , cho điểm A gốc tọa độ ( P) đến khoảng cách từ ( P) : 3x − z = Đs: O , , cho khoảng cách từ C ( P) : x − y = ( P) đến ; A(1;2;0), B (0;4;0), C (0;0;3) b/ Câu hỏi tương tự:Với −6 x + y + z = Đs: 6x − y + 4z = Oxyz A(1;1; −1) B(1;1;2) Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , C (−1;2; −2) x − y + 2z +1 = (α ) mặt phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng IB = IC qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho (α ) x − y − z − = (α ) x + y + z − = Đs: : : Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; −1;2) ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = B(1;0;3) , tiếp xúc với mặt cầu (S): x − y −1 = 8x − y − 5z + = Đs: (P): ; (P): A(2; −1;1) Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ 2x − y + z − = Đs: (P): Viết phương trình mặt khoảng lớn O M (0; −1;2) Câu 15: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm N (−1;1;3) Viết phương K (0;0;2) trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) x+ y – z +3= lớn Đs: (P): B-ĐƯỜNG THẲNG x −1 y + z x −1 y − z = = ; d2 : = = 1 Bài Cho d1: Viết pt mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + y – 2z + = (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ * Giải: - (P) // (Q) => (P): x + y – 2z + d =  x + y − 2z + d =   x −1 y +1 z  = = =t  - Tọa độ giao điểm M cùa (P) với d1 nghiệm cùa hệ: => t = - d => M (-2d+1; -d-1; -d ) - Tương tự: giao điểm (P) với (d2) N(-d-2; -2d-4; -d-3) 2d + 27 ≥ 3 - Ta có: MN = => MNmin = d = Lúc đó: M (-1; 1; 0) , N (-2; -4 ;3 ) * Vậy pt mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y – 2z = Bài Cho (S): x2 + y2 +z2 + 2x + 4y + 6z + = 0; A(2; 1; 0) , B(-1; -1; 2) Lập pt mặt phẳng (P) qua hai điểm A B cắt (S) theo đường trịn có chu vi * Giải: π 10 - Mặt cầu (S) có tâm I (-1; -2; -3), bán kính R = - (P) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r = => d (I,(P)) = -pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = Ta có hệ pt:  2a + b + d =  −a − b + 2c + d =  d ( I ,( P)) =  R2 − r = Từ hai pt đầu ta suy ra: d = -2a – b; c = 3a + 2b −15a − 12b = 13a + 8b + 12ab ⇔ 212a + 136b + 348ab = ⇔ - Với a = - b , chọn b = -1 => a = , c = , ta có a a 34 = −1 ∨ = − b b 53 => (P): 2x – 2y + z – = 34 53 - Với a = b, chọn b = - 53 => a = 34 , c = - => (P): 34x – 53y – 2z – 15 = Bài Cho (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 2z + = mp (P): x – 2y – 2z – = Tìm điểm M thuộc (S) N thuộc (P) cho MN có độ dài nhỏ *Giải: - Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính R = - Do d(I,(P)) = > R => (S) không cắt (P) - Gọi N hình chiếu vng góc I (P), IN cắt (P) M, với M1, N1 thuộc ≥ IN1 ≥ IN = IM + MN ⇒ M N1 ≥ MN (vì IM1 = IM = R = 1) (S) (P) IM1 + M1N1 ≡ M ; N1 ≡ N => MN đạt giá trị nhỏ M1 - Gọi d đường thẳng qua I, d vng góc (P) => ptts d là: { x = −1 − t, y = − 2t, z = + 2t} N(-1 + t ; - 2t; + 2t) ∈ (P) => t = 2/3 => N( -1/3; 2/3; 7/3 ), ∈ M(-1 + s; – 2s; + 2s) (S) => s = 1/3 s = -1/3 - Với s = -1/3 => M(-4/3; 8/3; 1/3) => MN = - Với s = 1/3 => M(-2/3; 4/3; 5/3) => MN = * Vậy MN có độ dài nhỏ 1, lúc M(-2/3; 4/3; 5/3) N( -1/3; 2/3; 7/3 ) Bài Cho (P): 2x – y + 2z – = (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z – = Xét vị trí tương đối (S) (P) Viết pt mặt cầu (S/) đối xứng mặt cầu (S) qua mp (P) * Giải: - Mặt cầu (S) có tâm I (1; -2; ), bán kính R = - Do d (I, (P)) = < R = => (P) (S) cắt {x = + 2t , y = −2 − t , z = + 2t} - Gọi J điểm đối xứng I qua (P) Ptts IJ là: - Tọa độ giao điểm H IJ (P) thỏa hệ pt: {x = + 2ty = −2 − t , z = + 2t x − y + z − = 0} => t = -1 => H (-1; -1; 2) - Vì H trung điểm IJ nên suy J(-3; 0; 0) Mặt cầu (S/) có tâm J, bán kính R/ = nên có pt là: (x + 3)2 + y2 + z2 = 25 Bài Cho hình thang cân ABCD ( AB đáy lớn; CD đáy nhỏ) Với A (3; - 1; - 2), B (1; 5; 1), C (2; 3; 3) Tìm tọa độ điểm D * Giải: - ABCD hình thang cân, nên AD = BC = AB // CD - Gọi d đường thẳng qua C d // AB, (S) mặt cầu tâm A, bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểmr d (S) uuucủa AB = ( −2;6;3) {x = − 2t , y = + 6t , z = + 3t} Do d có vtcp , nên có pt: Pt mặt cầu (S): ( x – 3) + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 =  x = − 2t , y = + 6t , z = + 3t   2 ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + ) =  Tọa độ điểm D thỏa hpt: => t = - t = - 33/49 * Với t = -1 D (4; -3; 0) khơng thỏa lúc AB = CD = * Với t = -33/49 D ( 164/49; -51/49; 48/49) (nhận) x −1 y − z = = 1 Bài Cho d: và điểm M (0; - 2; ) Viết pt mặt phẳng (P) qua M, song song với d và khoảng cách giữa d và (P) bằng * Giải: - Do (P) qua M nên pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = - Từ giả thiết ta có: uu r ruu  n p ud = a + b + 4c =  a + 3b + 2b  =4 (d ,( P )) = a + b2 + c2  a + ( −a − 4c ) = a + ( a + 4c ) + c 2 - Thay b = - a – 4c vào: −4a − 20c = 2a + 17b + 18ac ⇔ a − 2ac − 8c = ⇔ a = −2c U a = 4c - Với a = - 2c: chọn c = -1 =.> a = 2, b = => (P1): 2x + 2y – z + = - Với a = 4c: chọn c = => a = 4, b = - => (P2): 4x – 8y + z – 16 = * Vậy có hai pt mặt phẳng (P) cần tìm là: (P1): 2x + 2y – z + = (P2): 4x – 8y + z – 16 = Bài Cho A ( 2; 0; ), H ( 1; 1; ) Viết pt mặt phẳng (P) qua A và H cho (P) cắt hai trục Oy và Oz lần lượt tại B và C thỏa điều kiện SABC = * Giải: - pt mặt phẳng (P): x y z + + = 1( bc ≠ ) b c , Do (P) qua H nên: r r r uuu r 1 1 uuu uuu uuu + = − = ( 1) , S ABC =  AB, AC  , AB = ( −2; b;0 ) , AC = ( −2; o; c )  b c 2 2 uuu uuu r r 2 ⇒  AB, AC  = ( bc;2c;2b ) ⇒ b c + 4c + 4b = ( )   c Đặt t = bc, từ (1) suy b + c = , thay vào (2) ta được: t2 + 4( = - 12 - Với bc = 16 và b + c = => b = c =4 - Với bc = - 12 và b + c = -6 => t2 - 2t ) = 384 t = 16 hoặc t b = −3 − 21; c = −3 + 21 U b = −3 + 21; c = −3 − 21 * Vậy có ba mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài: (P1): 2x + y + z – = ( ) ( ) ( ) ( ) x + + 21 y + − 21 z − 12 = (P2): x + − 21 y + + 21 z − 12 = (P1): Bài Cho C ( 0; 0; ), K ( 6; -3; ) Viết pt mặt phẳng (P) qua C, K cho (P) cắt hai trục Ox, Oy tại A, B thỏa điều kiện VOABC = * Giải: - Ta có pt mặt phẳng (P): K ∈ (P) ⇒ x y z + + = 1( ab ≠ ) a b ab − = ⇔ 6b − 3a = ab,VOABC = a b = = ⇔ ab = ±9 a b   a = 3; b =  ab = ⇔   a = −6; b = − 6b − 3a =    - Xét hệ: Ta được hai mặt phẳng : (P1): 2x + 2y + 3z – = 0, (P2): x + 4y – 3z + =  ab = −9  6b − 3a = −9 - Xét hệ: (hệ này vô nghiệm) * Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán: (P1): 2x + 2y +3z – = và (P2): x + 4y – 3z + = Bài Cho hình chóp O.ABC, đó A ( 1; 2; ), B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy Mặt phẳng ( ABC ) vuông góc mặt phẳng ( OBC ), *Giải: Do tan c · OBC = ⇒ = ⇒ c = 2b b uuuu r nOBC = ( 0;0;1) Mặt phẳng (OBC) có · tan OBC = Viết pt tham số đường thẳng BC => B ( b; 0; ), C ( 0; 2b; ) uuuu r nABC = ( 8b;4b;2b − 4b ) , r t phẳ mặ r uuuu uuuu ng (ABC) có nOBC n ABC = ⇒ 2b ( b − ) = ⇒ b = Hai mặt phẳng này vuông góc => {x = + t , y = −2t , z = 0} Ta có: B( 2; 0; ), C( 0; 4; ) => ptts của BC là: Bài 10 Cho (P): x – 2y + 2z – = và d1: ∈ Tìm điểm M d1 và điểm N Giảr: M ( + 2t; – 3t; 2t ) i uuuu ∈ ∈ x −1 y − z = = −3 , d2: (Vì b > ) x −5 y z +5 = = −5 d2 cho MN // (P) và MN cách (P) khoảng bằng d1 , N ( + 6s - 2t; -3 + 4s +3t; -5 -5s -2t ) MN = ( + s − 2t; −3 + s + 3t; −5 − s − 2t ) ∈ d2 uu r nP = ( 1; −2; ) , MN / /( P) ⇒ t = − s d ( MN ,( P)) = d ( M ,( P )) = + 2t − + 6t + 4t − 1+ + t = = ⇔ 12t − = ⇔  t = • Với t = => s = - => M1 ( 3; 0; 2), N1 ( -1; -4; ) • Với t = => s = => M2 ( 1; 3; 0), N2 ( 5; 0; -5) ... = 52 − = ⇔ −20 − + d 52 + 2 * Vậy có hai mặt phẳng (Q) là: 5y + 2z +22 = ⇔ d = 22 ± 29 ±3 29 = MẶT CẦ TRONG KHÔNG GIAN U Phương trình mặt cầu a) PT tổng quát: (S): x + y2 + z2 − 2ax-2by-2cz+d=0... ý: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu cũng được xây dựng tương tự thông qua việc xét khoảng cách BÀI TẬP TỞNG HỢP Bài 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz,... Đs: Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3), B (1; −2;1) song song với Đs: trục ( P ) : −2 x + z + = Oy Câu 3: Trong không gian với hệ