KHƠNG GIAN HILBERT
2.4. Ứng dụng định lý 2.3.
Xét phương trình vi tích phân tuyến tính cĩ dạng
( ) ( ) ( ) ( ), ( ), b a d dx p t q t x k t s x s ds f t dt dt − + = + ∫ (2.8)
trong đĩ p t( ) ( ) ( ), p t′ ,q t là các hàm liên tục trên a b, , nhận giá trị trong R và p t( )>0. Hàm k t s( ), đối xứng và đo được trên [ ] [ ]a b, × a b, và thỏa điều kiện Hilbert-Schmidt ( )2
, b b a a k t s dt ds< +∞ ∫∫ . Hàm f t( ) thuộc khơng gian 2([ ] ) , , R . L a b
(2.8) cĩ điều kiện biên
α1x a( )+α2x a&( )=0, β1x b( )+β2x b&( )=0, (2.9) trong đĩ α1 + α2 >0, β1 + β2 >0.
Đầu tiên, chọn khơng gian Hilbert 2([ ] ) , , R
H =L a b . Thứ hai, tốn tử A D: A⊂ →H H được cho bởi ( )( )= − ( ) + ( ) , d dx Ax t p t q t x dt dt (2.10) trong đĩ DA là tập tất cả các 2([ ] ) , , R x∈L a b khả vi liên tục, cĩ đạo hàm cấp 2 thuộc 2([ ] ) , , R
32 Ta cĩ DA trù mật trong 2([ ] )
, , R
L a b , A là tốn tử tự liên hợp và cĩ nghịch đảo compact. Hơn nữa, tốn tử nghịch đảo này là một tốn tử tích phân mà hạch của nĩ- hàm Green- đối xứng liên tục trên [ ] [ ]a b, × a b, . A và A−1
cĩ hàm riêng trùng nhau và chúng sinh ra dãy { }ψj ≥1
j trực giao từng đơi một trong 2([ ] ) , , L a b R tức là , 0, ψ ψj k = j≠k. Dãy giá trị riêng { }λj j≥1 của A và A−1 xác định bởi
1
, 1
j jA j jψ =λ −ψ ≥ . ψ =λ −ψ ≥ . Ta gán λj <λj+1.
Do đĩ λj → ∞ khi j→ ∞, và chỉ cĩ một số hữu hạn các số λjs âm.
Vì đạo hàm Gateaux ở vế phải của (2.8) là tốn tử đối xứng sinh bởi hạch
( ), ,
k t s tức tốn tử K cho bởi (2.2), ta giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn
Ứng với số tự nhiên m tồn tại hai số thực µ ν, sao cho
λm < < <µ v λm i+, (2.11) ta định nghĩa H1 là khơng gian con hữu hạn chiều được sinh bởi
1, 2, ..., ,
ψ ψ ψm và H2 là phần bù trực giao của nĩ trong 2([ ] ) , , R .
L a b Hay
2
H là khơng gian con của 2([ ] ) , , R
L a b sinh ra bởi các phần tử ψj, j≥ +m 1. Tốn tử K cho bởi (2.2) thỏa mãn điều kiện
33 2 1 , , , µ x ≤ Kx x ∀ ∈ ∩x H DA (2.12) Kx x, ≤v x2, ∀ ∈x H2∩DA. (2.13) Số γ trong (2.6) là số dương tùy ý sao cho γ <min{µ λ λ− m, m+1−v}.
Theo định lý 2.2, (2.8) cĩ nghiệm duy nhất trong DA.
34
Chương 3