Bổ đề schwarz và các giả khoảng cách bất biến

Bégi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh ====== TrÇn §øc Liªn Bæ ®Ò Schwarz vµ c¸c gi¶ kho¶ng c¸ch bÊt biÕn Chuyªn ngµnh: H×nh häc T«p« M· sè: 1.01.05 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS-TS TrÇn Ngäc Giao Vinh, 11/2002 =  = Môc lôc Më ®Çu Trang 1 Ch¬ng I: Gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory trªn ®Üa ®¬n vÞ 2 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 2 2 H×nh häc hyperbolic cña ®Üa ®¬n vÞ 6 Ch¬ng II: Gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory vµ gi¶ mªtric Caratheodory- 14 Reiffen trªn Cn 1 Bæ ®Ò Schwarz-Pick tæng qu¸t 14 2 MiÒn c©n 18 3 TÝnh Caratheodory hyperbolic 25 4 T«p« Caratheodory 27 5 TÝnh chÊt cña  vµ C* §é dµi cña ®êng cong gi¶ 28 kho¶ng c¸ch Caratheodory Ch¬ng III: Gi¶ kho¶ng c¸ch Kobayashi trªn ®a t¹p 36 1 Hµm ®é dµi trªn ®a t¹p 36 2 Gi¶ kho¶ng c¸ch Kobayashi 39 KÕt luËn 44 Tµi liÖu tham kh¶o 45  1 Më ®Çu XuÊt ph¸t tõ bæ ®Ò Schwarz cæ ®iÓn, vµo cuèi nh÷ng n¨m 60, S.Kobayashi vµ mét sè nhµ to¸n häc kh¸c ®· x©y dùng c¸c gi¶ kho¶ng c¸ch bÊt biÕn qua c¸c ¸nh x¹ song chØnh h×nh Nh÷ng c«ng tr×nh tiÕp theo cña nhiÒu nhµ to¸n häc ®· h×nh thµnh nªn mét híng nghiªn cøu míi, ®ã lµ gi¶i tÝch hyperbolic NhiÒu c«ng tr×nh gÇn ®©y cña Lang, Vojta, Falltings, Noguchi, ®· chøng tá c¸c gi¶ kho¶ng c¸ch bÊt biÕn ngµy cµng ®ãng vai trß kh¸ c¬ b¶n cña gi¶i tÝch phøc, h×nh häc vi ph©n, sè häc Môc tiªu cña luËn v¨n lµ bíc ®Çu t×m hiÓu gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory vµ gi¶ kho¶ng c¸ch Kobayashi theo lîc ®å: XuÊt ph¸t tõ bæ ®Ò Schwarz x©y dùng kh¸i niÖm vµ xÐt mét sè tÝnh chÊt cña c¸c gi¶ kho¶ng c¸ch nãi trªn, chøng minh chi tiÕt c¸c tÝnh chÊt Êy LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng: Ch¬ng I, sau phÇn më ®Çu, chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory vµ dùa trªn bæ ®Ò Schwarz chØ ra tÝnh bÊt biÕn vµ mét sè tÝnh chÊt cña gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory, gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory - Reiffel trªn ®Üa ®¬n vÞ Ch¬ng II: Tr×nh bµy sù tæng qu¸t ho¸ c¸c kÕt qu¶ cña ch¬ng I trªn Cn Ch¬ng III: Tr×nh bµy sù x©y dùng gi¶ kho¶ng c¸ch bÊt biÕn Kobayashi, ®ã lµ gi¶ kho¶ng c¸ch bÊt biÕn lín nhÊt trong c¸c gi¶ kho¶ng c¸ch bÊt biÕn bÞ gi¶m qua ¸nh x¹ chØnh h×nh, vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña chóng LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn nhiÖt t×nh vµ tËn tôy cña PGS-TS TrÇn Ngäc Giao T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ThÇy T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy: TS NguyÔn H÷u Quang; TS NguyÔn Ngäc Béi; TS NguyÔn Duy B×nh ®· ®äc luËn v¨n vµ gãp nhiÒu ý kiÕn quý b¸u cho t¸c gi¶ T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c ThÇy C« gi¸o khoa To¸n trêng §¹i häc Vinh, khoa Sau ®¹i häc, trêng PTTH Phan §¨ng Lu cïng c¸c b¹n bÌ ®ång nghiÖp ®· gióp ®ì vµ t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t¸c gi¶ suèt trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi Ch¬ng I: gi¶ kho¶ng c¸ch Caratheodory trªn ®Üa ®¬n vÞ 2 Trong ch¬ng nµy, tríc hÕt chóng ta nh¾c l¹i c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi, nh lµ: Kh¸i niÖm hµm chØnh h×nh, ¸nh x¹ chØnh h×nh, ®a t¹p, ®a t¹p phøc; hµm ®iÒu hoµ díi, hµm ®a ®iÒu hoµ díi, kh«ng gian tiÕp xóc, TiÕp theo, chóng t«i ®a ra c¸c ®Þnh nghÜa: Kho¶ng c¸ch Mebiuss (m), kho¶ng c¸ch Poincare (kho¶ng c¸ch hyperbolic Poincare (p)), c¸c hµm L(), ; kh¸i niÖm m- ®é dµi cña cung , kh¸i niÖm p- ®é dµi cña cung , kh¸i niÖm cÇu trêng ®- îc Tõ ®ã chóng t«i nªu lªn vµ chøng minh chi tiÕt c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m, , p trªn ®Üa ®¬n vÞ 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1.1 §Þnh nghÜa: Hµm gi¸ trÞ phøc f gäi lµ chØnh h×nh t¹i z  Cn nÕu nã cã C- kh¶ vi trong mét l©n cËn cña z  f ( z = 0 j = 1, n ) j 1.1.2 §Þnh nghÜa: f:   Cm,  më trong Cn gäi lµ chØnh h×nh t¹i z nÕu fj chØnh h×nh t¹i z víi j = 1, m , ë ®©y f = (f1, f2, , fm)  f Trêng hîp hµm mét biÕn phøc nÕu f chØnh h×nh t¹i z th× z chÝnh lµ ®¹o j hµm riªng cña z theo biÕn zj Ngêi ta chøng minh ®îc ®Þnh nghÜa 1.1.2 t¬ng ®¬ng víi ®Þnh nghÜa sau: 1.1.3 §Þnh nghÜa:  më trong Cn, f lµ hµm biÕn phøc trong , f gäi lµ chØnh h×nh nÕu ®èi víi mäi ®iÓm a   tån t¹i chuçi lòy thõa C(z-a) héi tô ®Õn f(z) ®èi víi tÊt c¶ z trong mäi l©n cËn cña a 1.1.4 §Þnh nghÜa (§a t¹p): Gi¶ sö V lµ kh«ng gian t«p« Hausdorff Ta nãi r»ng V lµ ®a t¹p (hay Co- ®a t¹p hay ¥clÝt ®Þa ph¬ng) cã sè chiÒu n nÕu ë mçi ®iÓm a  V t×m ®îc l©n cËn më ®ång ph«i víi tËp më trong Rn 1.1.5 §Þnh nghÜa (Ck- ®a t¹p): Gi¶ sö V lµ kh«ng gian t«p« Hausdorff vµ 0  k   Ta nãi r»ng V lµ Ck- ®a t¹p hay ®a t¹p (kh¶ vi) líp Ck vµ cã sè chiÒu n nÕu cã mét hä c¸c cÆp (Ui, i) trong ®ã i ch¹y qua c¸c tËp chØ sè J, Ui lµ tËp con më cña V vµ i lµ nh÷ng ¸nh x¹ ®ång ph«i cña Ui lªn tËp më trong Rn tháa m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn sau: a) Ui V iJ b) §èi víi c¸c i, j tïy ý thuéc J sao cho Uj  Ui   ¸nh x¹: j o i-1 = i(Ui  Uj)  j(Ui  Uj) thuéc líp Ck 3 CÆp (Ui, i) ®îc gäi lµ mét b¶n ®å ®Þa ph¬ng {(Ui, i)}iJ ®îc gäi lµ tËp b¶n ®å trªn V NÕu cã thÓ chän (Ui, i)iJ sao cho: khi Ui  Uj   nh÷ng ¸nh x¹ j o i-1 : j(Ui  Uj)  Rn lµ R- gi¶i tÝch th× ta nãi r»ng V lµ ®a t¹p R- gi¶i tÝch Ta chØ sè chiÒu cña ®a t¹p b»ng ký hiÖu: dimV = dimRV 1.1.6 §Þnh nghÜa: (§a t¹p phøc) Kh«ng gian t«p« Hausdoocf¬ V ®îc gäi lµ ®a t¹p phøc cã sè chiÒu n nÕu cã mét hä (Ui, i)iJ trong ®ã i lµ nh÷ng ¸nh x¹ ®ång ph«i cña Ui lªn tËp më trong Cn, Ui tËp con më cña V, vµ j  i-1 chØnh h×nh trong i(Ui  Uj) ®èi víi tÊt c¶ i, j Ta ký hiÖu sè chiÒu (phøc) cña V lµ n = dimV = dimCV 1.1.7 §Þnh nghÜa: (Vect¬ tiÕp xóc, kh«ng gian tiÕp xóc) Cho V lµ mét ®a t¹p kh¶ vi, ¸nh x¹ : [-1, 1]  V, (0) = a  V ®îc gäi lµ ®êng cong kh¶ vi ®i qua a Ký hiÖu La = tÊt c¶ c¸c ®êng cong kh¶ vi trªn V ®i qua a Gäi (U, ) lµ b¶n ®å ®Þa ph¬ng t¹i a Trªn La xÐt quan hÖ t¬ng ®¬ng: "~"  ~   (  )'(0) = (  )'(0) VËy  ~   c¸c ®êng cong  vµ  cã cïng tiÕp tuyÕn t¹i (a) (trong Rn) Mçi líp t¬ng ®¬ng a c¸c ®êng cong (La) theo quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn gäi lµ mét vect¬ tiÕp xóc víi ®a t¹p V t¹i a Ta gäi tËp Ta(V) lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c vect¬ tiÕp xóc t¹i a cña V th× Ta(V) gäi lµ kh«ng gian tiÕp xóc víi V t¹i a Ký hiÖu: TX = Ta (X) ; p : TX  X aX a  a Khi ®ã (TX, p, X) lµ mét ph©n thí vect¬, mçi thí lµ p-1(a) = Ta(X) 1.1.8 §Þnh nghÜa: Mét hµm thùc thuéc C2 ®îc gäi lµ hµm ®iÒu hoµ trong miÒn   Cn nÕu nã tháa m·n ph¬ng tr×nh Laplacce: 2u 2u z = x + yi    2 0 x 2 y 1.1.9 §Þnh nghÜa: Hµm thùc u, -  u < + x¸c ®Þnh trong l©n cËn cña ®iÓm z0  C ®îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn z0 nÕu víi  > 0 bÊt kú, t×m ®îc  > 0 sao cho nÕu z - z0 <  th×: u(z) - u(z0) <  nÕu u(z0)  - 4 u(z) < --1 nÕu u(z0) =- hay hÖ thøc t¬ng ®¬ng: lim Sup u(z) u(z z 0 )  z0 hay u-1([-, a)) lµ më víi a mµ - < a < + NÕu u lµ nöa liªn tôc trªn t¹i z   th× u ®îc gäi lµ hµm nöa liªn tôc trªn trong miÒn ®ã 1.1.10 §Þnh nghÜa: Hµm u nöa liªn tôc trªn trong miÒn   C ®îc gäi lµ ®iÒu hoµ díi trong miÒn  nÕu víi mäi h×nh trßn U ®ñ bÐ bÊt kú vµ hµm h bÊt kú ®iÒu hoµ trong U, liªn tôc trong U mµ h > u trªn  U th× h  u trong C NÕu thay kh«ng gian mét chiÒu phøc C bëi Cn(n > 1) trong §Þnh nghÜa 1.1.9 ta cã kh¸i niÖm hµm nöa liªn tôc trªn trong miÒn   Cn 1.1.11 §Þnh nghÜa: Hµm  nöa liªn tôc trªn trong miÒn   Cn ®îc gäi lµ ®a ®iÒu hoµ díi trong miÒn ®ã nÕu ®èi víi mçi ®iÓm z0   vµ ®êng th¼ng gi¶i tÝch z = l() = z0 +  tïy ý, trong ®ã   Cn,   C th× h¹n chÕ cña  lªn ®êng th¼ng nµy, tøc lµ hµm l() lµ ®iÒu hoµ díi trong tËp më   C : l()   1.1.12 §Þnh nghÜa: Cho u  C2(G), G më trong Cn Ta gäi (Lu): G  Cn  C lµ d¹ng Lªvi cña u ë ®©y (Lu) (a; x) =  (a) x j xk n 2u j,k 1 z jz k Chó ý r»ng (Lu) (a; x) = 2ua,x (0) , ë ®ã: ua, x() = a(a + x)  §Æc biÖt khi n = 1 th× (Lu)(a; x) = 1 (a)x2 4 2 2 2 ë ®©y  lµ to¸n tö Laplacce:  = 2  2   2 x 1 x 2 x n 5 2 h×nh häc hyperbolic cña ®Üa ®¬n vÞ Ký hiÖu: E =  z  C, z < 1  1.2.1 §Þnh nghÜa: m: E  E  [0, 1] m(', ") =  '  " , ', 1  ' " "  E : E  [0, +] 1.2.2 §Þnh nghÜa: () = 2 1 1  1.2.3 §Þnh nghÜa: 1 L() = (t) '(t) dt 0 : [0, 1]  E lµ ®êng cong tr¬n tõng khóc 1.2.4 §Þnh nghÜa: p: E  E  R+ p(', ") = infL(): :[0, 1]  E : ®êng cong tr¬n tõng khóc; ' = (0); " = (1); ', "  E (p = tanh-1(m) = 1 log 1  m ) 2 1 m m- ®îc gäi lµ kho¶ng c¸ch Mebius p- ®îc gäi lµ kho¶ng c¸ch PoincarÐ (kho¶ng c¸ch hyperbolic PoincarÐ) 1.2.5 MÖnh ®Ò: Cho f  H(E, E) khi ®ã ta cã: a) m(f('), f("))  m(', "); ', "  E b) (f()) f'()  ();   E c) C¸c mÖnh ®Ò sau t¬ng ®¬ng: i) f  Aut(E)- tËp tÊt c¶ c¸c tù ®¼ng cÊu cña E  Cn ii) m(f('), f(")) = m(', "); ', "  E iii) m(f(0'), f(0")) = m(0', 0") víi mét vµi 0', 0"  E iv) (f()) f'() = ();   E v) (f(0)) f'(0) = (0) víi mét vµi 0  E Chøng minh: 6 a) Theo bæ ®Ò Schwarz-Pick cæ ®iÓn, ta cã: f (' )  f (" )   '  " 1 f ( ' ) f (" ) 1  ' " ', "  E  m(f('), f("))  m(', ") ', "  E  b) Còng theo bæ ®Ò Schwarz-Pick cæ ®iÓn, ta cã: f' ()  1   E 1  f () 2 1  2  (f())f'()  ()   E  c) Theo bæ ®Ò Schwarz-Pick cæ ®iÓn: f  Aut(E)  f (' )  f (" )   '  " 1 f ( ' ) f (" ) 1  ' " vµ f'() 1  f () 2  1 1   2 nªn (i)  (ii); (i)  (v)  (ii)  (v) Râ rµng (ii)  (iii); (iv)  (v) Ta chøng minh (iii)  (ii) vµ (v)  (iv) §iÒu nµy ®îc kh¼ng ®Þnh nhê ®Þnh lý duy nhÊt  1.2.6 MÖnh ®Ò: a) NÕu p: E  E  R+ f: E  E; f  H(E, E) th×: p(f('), f("))  p(', "); ', "  E §Æc biÖt p bÊt biÕn qua Aut(E) b) Cho f  H(E, E) NÕu p(f(0', f(0")) = p(0', 0") víi 0', 0"  E, 0'  0" th× f  Aut(E) Chøng minh: a) V× p(f('), f(")) = tanh-1m(f('), f("))  tanh-1m(' ") = p(', ")  p(f('), f("))  p(', ") ', "  E  b) V× p(f(0'), f(0")) = tanh-1m(f(0'), f(0")) (1) vµ tanh-1m(0', 0") = p(0', 0") (2) Theo gi¶ thiÕt p(f(0'), f(0")) = p(0', 0"), nªn tõ (1), (2) suy ra m(f(0'), f(0")) = m(0', 0")  f  Aut(E)  1.2.7 MÖnh ®Ò: Topm = Topp = TopE vµ (E, m); (E, p) ®Çy ®ñ 7 (Topm: lµ t«p« x¸c ®Þnh bëi m trªn E Topp: lµ t«p« x¸c ®Þnh bëi p trªn E) Chøng minh: * Ta cã: Bm(a; r) = h-a(B(0, r))   a   víi ha ()    1  a  V× z  Bm(a, r)  z  a  r  z  a  B(0; r)  1  za 1  za  z a     h-a  1  za  = z  h-a(B(0, r)) Ngîc l¹i: z  h-a(B(0, r)   z  B(0, r) tøc z< r vµ z' = h-a(z)  z< r vµ z' =  za   = h-a(z)  1  za  z' a Ta chøng minh z'  Bm(a, r), tøc chøng minh: 1  z' a < r z' a h -a (z)  a h a h -a (z) z ThËt vËy: 1  z' a = 1  h -a (z)a = = < r VËy Topm = TopE (1) V× (E, || ||) ®Çy ®ñ  (E, m) ®Çy ®ñ  * Ta cã BP(a, r) = Bm(a, tanh(r)); a  E, r > 0 V× z  BP(a, r)  p(z, a) < r  tanh-1m(z, a) < r  m(z, a) < tanh(r)  z  Bm(a, tanh(r)) Ngîc l¹i: z  Bm(a, tanh(r))  m(z, a) < tanh(r)  tanh-1m(z, a) < r  z  BP(a, r)  T«p« x¸c ®Þnh bëi p vµ m trïng nhau: Topm = Topp (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: Topm = Topp = TopE Vµ v× (E, m) ®Çy ®ñ  (E, p) ®Çy ®ñ  1.2.8 MÖnh ®Ò: lim a m(  ' , " )  lim  '  "  ', "  ', "  '   "  '   " , aE Chøng minh: li m a m(' , " )  li m a ' '  " 1   ', "  ', "  '   "  '   " ' (1) 8 MÆt kh¸c ta còng cã: lim p(' , " )  tanh-1  '  a,b (t)  1  t 2 1 a ' " ', " a a  ' " (2) Tõ (1) vµ (2) cã ®iÒu ph¶i chøng minh  1.2.9 §Þnh nghÜa: Gi¶ sö : [0, 1]  E ®êng cong tr¬n  N §Æt: LP() = Sup  p(t j 1), (t j) , N  N,  j1  0 = t0 < < tN = 1   Sè LP()  [0, +) gäi lµ p- ®é dµi cña cung  NÕu LP() < + th× ta nãi p cÇu trêng ®îc 1.2.10 §Þnh nghÜa:  N §Æt: Lm() = Sup  m(t j 1), (t j) , N  N,  j1  0 = t0 < < tN = 1   Sè Lm()- gäi lµ m ®é dµi cña cung  NÕu Lm() < + th× ta nãi m cÇu trêng ®îc 1.2.11 TÝnh chÊt: a) Kh¸i niÖm m, p- cÇu trêng ®îc cña ®êng cong trïng víi kh¸i niÖm ¥clÝt- cÇu trêng ®îc, vµ ngoµi ra: Lm = LP; Lm = LP = L cña cung tr¬n tõng khóc b) mi = pi = p = infL(); : [0, 1]  E  tr¬n tõng khóc, ' = (0); " = (1)' ', "  E Chøng minh: * a) K compact  E, ', "  K : [0, 1]  K; mçi ', ": (0) = ', (1) = "  1  L() = (t) '(t) dt h÷a h¹n 0 Nhng L((',")) = p(', ") h÷a h¹n  LP() h÷a h¹n    M > 0 (M  R) sao cho: 1'"m(',")p(',")M('")  M  1M L|| || ()  Lm ()  LP ()  ML|| || () 9 ... hoá kết chơng I Cn Chơng III: Trình bày xây dựng giả khoảng cách bất biến Kobayashi, giả khoảng cách bất biến lớn giả khoảng cách bất biến bị giảm qua ánh xạ chỉnh hình, số tính chất chúng Luận... I, sau phần mở đầu, trình bày khái niệm giả khoảng cách Caratheodory dựa bổ đề Schwarz tính bất biến số tính chất giả khoảng cách Caratheodory, giả khoảng cách Caratheodory - Reiffel đĩa đơn vị... luận văn bớc đầu tìm hiểu giả khoảng cách Caratheodory giả khoảng cách Kobayashi theo lợc đồ: Xuất phát từ bổ đề Schwarz xây dựng khái niệm xét số tính chất giả khoảng cách nói trên, chứng minh