Vài vấn đề xung quanh các giả thuyết số học về số nguyên tố luận văn thạc sỹ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ NGỌC THÀNH VÀI VẤN ĐỀ XUNG QUANH CÁC GIẢ THUYẾT SỐ HỌC VỀ SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2011 2 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết số có thể được cắt nghĩa ngắn gọn như là sự nghiên cứu các tính chất của các số nguyên, trong đó có các số nguyên tố. Các số nguyên tố đóng một vai trò rất quan trọng trong Lý thuyết số. Dù khái niệm về số nguyên tố rất đơn giản nhưng các vấn đề liên quan đến chúng lại là rất khó. Thật ngạc nhiên khi định lý đầu tiên quan trọng liên quan đến các số nguyên tố lại được chứng minh một cách dễ dàng. Điều này liên quan đến câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên tố trong tập hợp vô hạn các số nguyên dương? Một định lý nổi tiếng của Euclid khẳng định rằng có vô hạn các số nguyên tố. Chứng minh của Euclid đơn giản một cách đáng ngạc nhiên mà không cần một sự trợ giúp nào ngoài định nghĩa số nguyên tố. Đó là một chứng minh tuyệt đẹp, dù rằng cho đến ngày nay nhân loại đã tìm được rất nhiều cách chứng minh khác. Bài toán xác định các tập hợp con vô hạn của tập hợp các số nguyên tố là những bài toán khó, thậm chí đã trở thành những giả thuyết lớn của Số học mà hiện nay vẫn chưa có lời giải và được nhiều người trong và ngoài ngành toán quan tâm. Câu hỏi tiếp theo là: Các số nguyên tố phân bố như thế nào giữa tập hợp các số nguyên dương? Sự phân bố của các số này tỏ ra rất phức tạp và không có quy luật, tài liệu [10] ở trang 86 có viết: "Nobody has been able to put forward any reason which will account for this extreme irregularity in the distribution of primes". "Chưa ai có khả năng đưa ra lý do phân tích được sự phân bố không quy luật của các số nguyên tố". Trong thực tế tồn tại rất nhiều giả thuyết số học liên quan đến số nguyên tố. Chẳng hạn giả thuyết Golbach; Giả thuyết tồn tại vô hạn cặp số nguyên tố sinh đôi, các số nguyên tố sinh ba, sinh tư; Giả thuyết tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng k 2 + 1; Tiên đề Bertrand … 3 Nhân được đọc và dịch một phần của cuốn sách về số học bằng tiếng Anh được viết bởi của S.G.Telang – do Giáo sư M.G.Nadkarni thuộc Trường Đại học Bombay, Ấn độ viết lời tựa, với mục đích tìm hiểu sâu hơn về số nguyên tố, luận văn này tập trung tìm hiểu các vấn đề xung quanh các giả thuyết, một số hệ quả của chúng và một số định lý có liên quan đến số nguyên tố (xem [10]). Nội dung của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày các định lý cơ bản về tính chia hết của các số nguyên; một số vấn đề về biểu diễn các số nguyên bằng hệ cơ số; thuật toán Euclid và thuật toán tối tiểu; các định lý về bội chung nhỏ nhất; phương trình tuyến tính Diophantine và cách giải; một số các định lý có liên quan đến số nguyên tố. Chương 2: Giới thiệu một số các giả thuyết số học có liên quan tới số nguyên tố như Định lý Euclid; giả thuyết tồn tại vô hạn các số nguyên tố sinh đôi, sinh ba, sinh tư; giả thuyết tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng k 2 + 1; tiên đề Bertrand; các số Mersenne và các số Fermat; giả thuyết Goldbach. Chương 3: Trình bày có chứng minh và làm rõ ba vấn đề có liên quan tới số nguyên tố, đó là: định lý Dirichlet; định lý Brun; một hệ quả của giả thuyết Goldbach. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, tôi cũng đã cố gắng nhiều, song chắc chắn vẫn còn thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chỉ bảo chân thành của các thày cô, và của bạn đọc để luận văn này thêm hoàn chỉnh, giúp tôi tiếp tục nghiên cứu tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư, Tiến sỹ Nguyễn Thành Quang đã tận tình chỉ bảo; cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số, Khoa toán học, Khoa Đào tạo Sau Đại học và thư viện trường Đại học Vinh đã giúp đỡ, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả 4 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH CHIA HẾT 1.1.1. Định nghĩa. Cho a và q là hai số nguyên bất kỳ. Khi đó số aq được gọi là bội của a. 1.1.2. Định nghĩa. Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) nếu a = bq với q là số nguyên. 1.1.3. Định lý. Nếu b chia hết a thì các ước của b cũng chia hết a. 1.1.4. Định lý. Cho a là số nguyên dương. Nếu số nguyên b chia hết a thì giá trị tuyệt đối của b không thể lớn hơn a. 1.1.5. Định lý. Nếu b chia hết a và a chia hết b thì hoặc a = b hoặc a = - b 1.1.6. Định lý. Nếu b chia hết a 1 và a 2 , thì b chia hết c 1 a 1 + c 2 a 2 trong đó c 1 và c 2 là hai số nguyên tùy ý. 1.1.7. Hệ quả. Nếu b chia hết a 1 , .,a k , thì b chia hết c 1 a 1 + c 2 a 2 + . + c k a k trong đó c 1 , . c k là các số nguyên tùy ý. 1.1.8. Định lý. Cho a và b là hai số nguyên bất kỳ, b > 0. Khi đó tồn tại duy nhất số nguyên q và r sao cho a = bq + r; 0 ≤ r < b. 1.1.9. Hệ quả. bq là bội lớn nhất của b mà không lớn hơn a. 1.1.10. Định lý. Cho r là số dư của a đối với b, và k là số nguyên dương tùy ý. Khi đó số dư của ka đối với kb là kr. 1.1.11. Định lý. Cho a và b là hai số nguyên bất kỳ, b > 0. Khi đó tồn tại các số nguyên Q và R sao cho a = bQ + eR, 0 ≤ R < 2 b ; trong đó e = +1 hoặc -1 1.1.12. Định lý. Bất cứ số nguyên nào cũng có một trong các dạng sau: (i) 3q, hoặc (3q ± 1) (ii) 4q, hoặc (4q ± 1), hoặc (4q ± 2) (iii) 5q, hoặc (5q ± 1), hoặc (5q ± 2) 1.1.13. Định lý. Bất kỳ số lẻ nào cũng có một trong các dạng sau: 5 (i) 2q + 1 (ii) 2q -1 (iii) 4q ± 1 (iv) ± (4q + 1) 1.1.14. Định lý. Cho a và b là hai số nguyên lẻ. Khi đó một trong hai số 2 a b+ và 2 a b− là lẻ còn số kia là chẵn. 1.1.15. Định lý. Bình phương của một số nguyên lẻ có dạng 8q + 1. 1.1.16. Định lý. Một trong ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3. 1.1.17. Định lý. Tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! 1.2. HỆ CƠ SỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HỆ CƠ SỐ 1.2.1. Định lý. Mỗi số nguyên dương N có thể biểu diễn duy nhất trong hệ cơ số có cơ sở b bất kỳ: N = a k b k + a k-1 b k-1 + . + a 1 b + a 0 trong đó 0 ≤ a 0 ,a 1 , .,a k ≤ b - 1 và a k ≠ 0 1.2.2. Định lý. Mỗi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 2 n - 1 có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hoặc nhiều số nguyên sau: 1, 2, 2 2 , ., 2 n-1 . 1.2.3. Định lý. Nếu ta có một tập hợp n khối lượng chuẩn (quả cân) như sau: 1,2,2 2 , .,2 n-1 kg, thì ta có thể cân bất cứ vật nào có khối lượng là một số nguyên từ 1 đến (2 n - 1) kg một cách duy nhất. 1.2.4. Định lý. Tổng số của các khối lượng khác nhau, có thể biểu diễn bởi bất kỳ tập hợp n khối lượng chuẩn (quả cân) phân biệt, là (2 n - 1) 1.2.5. Hệ quả. Không thể có tập hợp nào nhỏ hơn n khối lượng chuẩn (quả cân) mà có thể cân được tất cả các khối lượng khác nhau từ 1 đến (2 n - 1) kg 6 1.2.6. Hệ quả. Nếu tập hợp n khối lượng chuẩn (quả cân), mà có hai khối lượng chuẩn (quả cân) trùng nhau, thì nó không thể cân được tất cả các khối lượng khác nhau từ 1 đến (2 n - 1) kg. 1.2.7. Định lý. Nếu tập hợp n khối lượng chuẩn (quả cân) có thể cân được tất cả các khối lượng khác nhau từ 1 đến (2 n - 1) kg , thì tập hợp đó chứa các khối lượng chuẩn (quả cân) là 1, 2, 2 2 , ., 2 n-1 kg. 1.3. THUẬT TOÁN EUCLID 1.3.1. Định lý. Nếu a = bq + r, thì mỗi ước chung của a và b đều là ước chung của b và r, và ngược lại. 1.3.2. Định nghĩa. Cho a 1 , a 2 , ., a k là các số nguyên tùy ý không đồng thời bằng không. Khi đó một số nguyên dương d thỏa mãn các tính chất sau đây sẽ gọi là ước chung lớn nhất của chúng: (A) d chia hết tất cả a 1 , a 2 , ., a k . (B) Nếu có số c chia hết tất cả a 1 , a 2 , ., a k thì c chia hết d. 1.3.3. Định lý. Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là duy nhất. 1.3.4. Định lý. Cho a 1 , a 2 , ., a n là các số nguyên khác không, d là g.c.d. của chúng. Khi đó, tồn tại các số nguyên x 1 , x 2 , ., x n sao cho x 1 a 1 + x 2 a 2 + . + x n a n = d. Chứng minh. Định nghĩa tập hợp S như sau: S = { a 1 u 1 + a 2 u 2 + . + a n u n ; u i ∈ I }. Nếu a 1 là số dương a 1 1 + a 2 0 + . + a n 0 = a 1 thuộc tập S Nếu a 1 là số âm a 1 (-1) + a 2 0 + . + a n 0 = - a 1 thuộc tập S Như vậy trong cả hai trường hợp ta thấy đều có số dương trong S. Điều đó suy ra phải tồn tại số dương nhỏ nhất trong S, giả sử là t. Khi đó : t = a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n Ta cần chứng minh t = d. Chia a 1 cho t ta có: 7 a 1 = tq + r ; 0 ≤ r < t (1) Khi đó r = a 1 - tq. Cho nên r = a 1 - (a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n )q = = a 1 (1 - x 1 q) + a 2 (-x 2 q) + . + a n (-x n q) Điều này dẫn đến r thuộc vào S. Nhưng theo (1) thì chỉ xảy ra trường hợp r = 0 vì 0 ≤ r < t và t là số dương nhỏ nhất trong S. Suy ra a 1 - tq = 0 dẫn đến t chia hết a 1 . Chứng minh hoàn toàn tương tự thì t chia hết a 2 , ., a n . Theo tính chất (B) của g.c.d (mục 1.3.2) thì t chia hết d. (2) Mặt khác d chia hết a 1 , .,a n nên nó chia hết a 1 x 1 + a 2 x 2 + . + a n x n = t. Vậy d chia hết t. (3) Từ (2) và (3) suy ra t = d. ■ 1.3.5. Hệ quả. Cho (a, b) = d. Khi đó tồn tại các số nguyên x và y sao cho: ax + by = d. 1.3.6. Định lý. (Định lý Euclid thứ nhất) Nếu c chia hết ab; (a, c) = 1, thì c chia hết b. 1.3.7. Bài toán. Tìm g.c.d. của 1106 và 497. Áp dụng định lý 1.1.8., chia 1106 cho 497 ta có: 1106 = 497 × 2 + 112 (1) Tiếp tục lấy 497 chia 112 ta có: 497 = 112 × 4 + 49 (2) Lặp lại các bước như trên ta có: 112 = 49 × 2 + 14 (3) 49 = 14 × 3 + 7 (4) 14 = 7 × 2 + 0 (5) Quy trình kết thúc khi số dư bằng 0. Tập hợp các đẳng thức từ (1) đến (5) được gọi là thuật toán Euclid cho 1106 và 497. Ước cuối cùng là 7 chính là g.c.d. của hai số nguyên nói trên. Quy trình tìm g.c.d. có thể trình bày tốt nhất như sau: 497 1106 2 994 112 497 2 8 448 49 112 2 98 14 49 3 42 7 14 2 14 00 Thuật toán Euclid tổng quát có chứa một tập hợp các đẳng thức. Cho a > b, và cả hai đều dương. Áp dụng định lý 1.1.8. thực hiện các bước giống như 1.3.7. ta nhận được: a = ba 1 + r 1 ; 0 < r 1 < b (1) b = r 1 a 2 + r 2 ; 0 < r 2 < r 1 (2) r 1 = r 2 a 3 + r 3 ; 0 < r 3 < r 2 (3) . r n-4 = r n-3 a n-2 + r n-2 ; 0 < r n-2 < r n-3 (n-2) r n-3 = r n-2 a n-1 + r n-1 ; 0 < r n-1 < r n-2 (n-1) r n-2 = r n-1 a n + r n ; 0 = r n (n) Trong đó a n ≥ 2. Ta thấy rằng a > b > r 1 > r 2 > r 3 > . Do đó đây là dãy giảm các số nguyên không âm, như vậy đến một lúc nào đó thì r n phải bằng 0, và thuật toán kết thúc. Tập hợp các đẳng thức từ (1) đến (n) gọi là thuật toán Euclid (ký hiệu bởi EA) đối với a và b,. 1.3.8. Định lý. Cho a > b, cả hai đều dương, và cho r n = 0 trong EA đối với a và b. Khi đó r n-1 là g.c.d của a và b (r n-1 là số dư cuối cùng khác 0 trong EA). Chứng minh. Chúng ta quay lại các đẳng thức từ (1) đến (n) của mục 1.3.7. r n-2 = r n-1 a n + 0 do đó r n-1 | r n-2 (1) Tiếp theo ta có: r n-3 = r n-2 a n-1 + r n-1 (2) Từ (1) và (2) ta có r n-1 | r n-3 (3) 9 Tiếp theo r n-4 = r n-3 a n-2 + r n-2 (4) Từ (1) ; (2) ; (3) ta có r n-1 | r n-4 Cứ tiếp tục như vậy , cuối cùng ta nhận được: r n-1 chia hết a và b Như vậy r n-1 thỏa mãn điều kiện (A) của g.c.d. (1.3.2.) Giả sử c chia hết a và b. Xuất phát từ a = ba 1 + r 1 suy ra c chia hết b và r 1 (5). Tiếp theo b = r 1 a 2 + r 2 (6) . Từ (5), (6) suy ra c chia hết r 1 và r 2 . Cứ tiếp tục như vậy, cuối cùng suy ra c chia hết r n-1 . Vậy r n-1 thỏa mãn tính chất (B) của g.c.d. Vậy (a, b) = r n-1 . ■ 1.3.9. Định nghĩa. Thuật toán tối tiểu (thuật toán số dư trị tuyệt đối bé nhất) đối với a và b là tập hợp gồm n đẳng thức sau: a = bQ 1 + e 1 R 1 ; 0 < R 1 ≤ 2 b (1) b = R 1 Q 2 + e 2 R 2 ; 0 < R 2 ≤ 1 2 R (2) R 1 = R 2 Q 3 + e 3 R 3 ; 0 < R 3 ≤ 2 2 R (3) . R n-4 = R n-3 Q n-2 + e n-2 R n-2 ; 0 < R n-2 ≤ 3 2 n R − (n-2) R n-3 = R n-2 Q n-1 + e n-1 R n-1 ; 0 < R n-1 ≤ 2 2 n R − (n-1) R n-2 = R n-1 Q n + e n R n ; 0 = r n (n) Trong đó các e i bằng +1 hoặc -1 tùy trường hợp. Ta thấy: a > b > R 1 > R 2 > R 3 > . là dãy giảm các số nguyên không âm. Do đó đến một lúc nào đó R n phải bằng 0 và thuật toán dừng tại đây. 1.3.10. Định lý. Cho (a 1 , a 2 , ., a n ) = d và với bất kỳ h > 0, ta có (ha 1 , ha 2 , ., ha n ) = hd. 1.3.11. Định lý. Cho (a 1 ,a 2 , .,a n ) = d và với bất kỳ h > 0 và h chia hết d, có: ( 1 a h , 2 a h , ., n a h ) = d h . 10 1.3.12. Định lý. Cho (a, b) = d. Nếu a = a 1 d và b = b 1 d thì (a 1 , b 1 ) = 1. 1.3.13. Định lý. Nếu c chia hết ab và (a, c) = 1 thì c chia hết b. 1.3.14. Định lý. Cho (a, b) = 1 khi đó với c bất kỳ: (ac, b) = (c, b). 1.3.15. Định lý. Nếu (a, b) = 1, thì (a + bq, b) = 1 với bất kỳ số nguyên q. 1.3.16. Định lý. Nếu (a + bq, b) = 1 thì (a, b) = 1. 1.3.17. Định lý. Cho (a, b) = 1. Nếu cả a và b chia hết n thì ab chia hết n. 1.3.18. Định lý. Cho a và b là hai số nguyên lẻ sao cho (a, b) = 1. Khi đó 2 a b+ và 2 a b− là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh. Do a và b lẻ nên 2 a b+ và 2 a b− là hai số nguyên. Giả sử tồn tại số nguyên k > 1 mà chia hết 2 a b+ và 2 a b− . Khi đó k chia hết 2 a b+ + 2 a b− = a và chia hết 2 a b+ - 2 a b− = b. Mâu thuẫn với (a, b) = 1. ■ 1.3.19. Định lý. Nếu (a, b) = 1, một trong hai số a và b lẻ, số kia chẵn thì a + b và a - b nguyên tố cùng nhau. 1.3.20. Định lý. Nếu tất cả các số a 1 ,a 2 , .,a n nguyên tố cùng nhau với b thì tích của chúng: a 1 a 2 .a n cũng nguyên tố cùng nhau với b. 1.3.21. Hệ quả. Nếu (a, b) = 1 thì (a n , b) = 1 ; (a n , b m ) = 1; trong đó m, n là các số nguyên dương. 1.3.22. Định lý. Nếu tất cả các số a 1 , a 2 , ., a n nguyên tố cùng nhau với tất cả các số nguyên b 1 , b 2 , ., b m thì khi đó a 1 a 2 .a n nguyên tố cùng nhau với b 1 b 2 .b m . 1.3.23. Định lý. Cho ab = c n ; (a, b) = 1. Khi đó cả a và b là lũy thừa thứ n của một số nguyên. 1.3.24. Định lý. Cho (m 1 , m 2 ) = 1; (a, m 1 ) = 1; (b, m 2 ) = 1. Khi đó (am 2 + bm 1 ) nguyên tố với m 1 m 2 . . ĐẠI HỌC VINH LÊ NGỌC THÀNH VÀI VẤN ĐỀ XUNG QUANH CÁC GIẢ THUYẾT SỐ HỌC VỀ SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2011 2 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết số. hơn về số nguyên tố, luận văn này tập trung tìm hiểu các vấn đề xung quanh các giả thuyết, một số hệ quả của chúng và một số định lý có liên quan đến số nguyên