Công thức baker campbell hausdorff trong lý thuyết lie luận văn thạc sỹ toán học

Luận văn, khóa luận, đề tài

1 Bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh Hoàng đức việt Công thức Baker Campbell Hausdorff Trong lý thuyết lie Luận văn Thạc sĩ Ngời híng dÉn: PGS TS Ngun ViƯt H¶i Vinh – 2011 Môc Lôc MôC Lôc Lêi nói đầu Chơng I Đại số Lie - Toán tử ad Đ1 Nhóm Lie ma trận .5 Đ2 Đại số Lie ma trận. 11 Đ3 Đại số Lie tổng quát Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad 14 Chơng II Công thức BCH - Các trờng hợp đặc biệt Đ1 Công thức BCH - Chuỗi Hausdorff log(e x e y ) 18 Đ2 Công thức BCH cho số đại số Lie cụ thể 20 Đ3 Một số tính chất chuỗi Hausdorff 25 Chơng III Công thức BCH tổng quát Đ1 Công thức BCH dạng tích phân .30 Đ2 Công thức BCH dạng chuỗi 32 Đ3 Công thức BCH ẩn phơng trình vi phân 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời nói đầu I Lí chọn đề tài Công thức Baker Campbell Hausdorff (BCH) công thức quan trọng Đại số Lie nhóm Lie hình học không giao hoán Công thức BCH cho mối quan hệ tự nhiên nhóm Lie đại số Lie, công thức ba nhà toán học Baker, Campbell, Hausdorff tìm cách đồng thời Công thức BCH gọi tắt chuỗi Hausdorff Về mặt lịch sử chuỗi Hausdorff H = log ( e X eY ) đợc sử dụng để xác định quy tắc nhân nhóm Lie ứng với đại số Lie cho trớc, công thức thể đặc trng hình học không giao hoán, muốn nghiên cứu nhóm Lie Đại số Lie phải biết công thức BCH Tất sách lý thuyết Lie viết công thức BCH nhng chứng minh chứng minh công thức BCH phức tạp, ta thờng chứng minh công thức cho số trờng hợp cụ thể, sử dụng tính chất số Phức Điểm luận văn xem chuỗi nghiệm phơng trình vi phân Với thân em học học phần ban đầu cảm thấy khó khăn Qua giúp đỡ thầy cô, bạn bè qua tài liệu, giáo trình em đà hiểu kĩ thấy say mê tìm hiểu công thức BCH Đại số Lie Công thức BCH số tính chất chuỗi Hausdorff đà đợc trình bày giáo trình nhiên trình học tập em cha đợc học sâu phần Vừa để thoả mÃn niềm say mê thân nh giúp bạn sinh viên trờng Đại học có nhìn sâu sắc Nhóm Lie Đại số Lie, em đà chọn đề tài: Công thức Baker – Campbell – Hausdorff lý thuyÕt Lie” lµm luận văn tốt nghiệp mình, đa dạng công thức BCH, phát biểu số tính chất liên quan, đặc biệt xác định phơng trình vi phân nhận chuỗi làm nghiệm II Mục đích, yêu cầu: Đề tài sâu nghiên cứu vấn đề sau: - Giới thiệu công thức BCH nhóm Lie Đại số Lie, đa cách chứng minh công thức BCH dựa vào số phức X Y - Phát biểu chứng minh tính chất chuỗi Hausdorff log ( e e ) - Tìm công thức BCH nhóm Lie đặc biệt - Chứng minh công thức BCH ẩn phơng trình vi phân Mục đích đề tài tạo tài liệu tơng đối hoàn chỉnh công thức BCH đại số Lie, phơng pháp chứng minhvà tính chất chuỗi Hausdorff giúp bạn Sinh viên, Học viên chuyên ngành Toán làm tài liệu học tập nghiên cứu III Bố cục, nội dung đề tài Đề tài gồm chơng, chơng lại đợc chia thành phần nhỏ với bố cục nh sau: Chơng I Đại số Lie Toán tử ad Đ1 Nhóm Lie ma trận Đ2 Đại số Lie ma trận Đ3 Đại số Lie tổng quát Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad Chơng II Công thức BCH Các trờng hợp đặc biệt Đ1 Công thức BCH Chuỗi Hausdorff log(e x e y ) Đ2 Công thức BCH cho số đại số Lie cụ thể Đ3 Một số tính chất chuỗi Hausdorff Chơng III Công thức BCH tổng quát Đ1 Công thức BCH dạng tích phân Đ2 Công thức BCH dạng chuỗi Đ3 Công thức BCH ẩn phơng trình vi phân Trong giáo trình Đại số Lie đà đa cách chứng minh công thức BCH tính chất chuỗi Hausdorff nhng tính chất cha chứng minh cặn kẽ Trong luận văn em đà su tầm bổ sung tính chất chứng minh chi tiết, luận văn nêu lên Công thức BCH dới dạng đợc nén phơng trình vi phân số ứng dụng Thực đề tài này, tác giả luận văn đà nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp quan tâm giúp đỡ từ thầy cô, gia đình, bạn bè Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán-Tin trờng Đại học Vinh Đại học Hải Phòng đà truyền đạt cho em kiến thức quý báu, đặc biệt xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành Thầy giáo, Phó giáo s, Tiến Sĩ Nguyễn Việt Hải ngời đà tận tình hớng dẫn, bảo, dẫn dắt em đờng nghiên cứu khoa học Trong trình thực đề tài em đà cố gắng học tập nghiên cứu song chắn không tránh khỏi thiếu sót, em mong đợc bảo giúp đỡ thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả Hoàng Đức Việt Chơng I đại số Lie - Toán tử ad Đ1 Nhóm Lie ma trận 1.1 Nhóm Lie 1.1.1 Định nghĩa: Nhóm Lie G đa tạp ( khả vi lớp C k ) đồng thời nhóm cho ánh x¹ tÝch ( x, y ) a x ∗ y ánh xạ lấy phần tử ngịch đảo x a x khả vi lớp C k 1.1.2 Định lý: Cho GL(n, Ă ) tập ma trận khả nghịch cấp n, phần tử thực Khi GL(n, ¡ ) lµ mét nhãm Lie Chøng minh - Ta chøng minh GL(n, ¡ ) cã cÊu tróc ®a tạp khả vi Thật vậy: Với (aij ) ẻ GL( n, Ă ) , đặt xi + n ( j- 1) = aij ánh xạ (aij ) a ( xk ) đơn ánh từ GL(n, Ă ) vào Ă Ta đà nhúng GL(n, Ă ) vào Ă n2 n2 nghÜa lµ GL(n, ¡ ) lµ mét tËp Ă Xét hàm định thức det : GL( n, Ă ) è Ă n2 n2 đ Ă hàm đa thức nhiều biến khả vi vô hạn lần Suy GL(n, ¡ ) @det - ( ¡ * ) víi ¡ * = ¡ \ { 0} VËy GL(n, ¡ ) lµ tËp më cđa ¡ n2 nên GL(n, Ă ) đa tạp khả vi - Kiểm tra hai phép toán GL(n, Ă ) Giả sử (aij ),(bij ) ẻ GL(n, Ă ) ta cã: n PhÐp nh©n: (aij ).(bij ) = (å aik bkj ) ma trận với phần tử đa thức k =1 nên phép nhân khả vi - Phép lấy nghịch đảo: (aij ) = (cij ) víi cij = (- 1)i+ j det Aij đa det( aij ) thức nên phép lấy nghịch đảo khả vi Vậy GL(n, Ă ) nhóm Lie 1.1.3 Định lý GL(n, Ê ) cịng lµ mét nhãm Lie 1.2 Nhãm Lie ma trËn 1.2.1 Định nghĩa Cho G tập GL(n, Ê ) Khi G nhóm Lie cđa GL(n, £ ) nÕu d·y c¸c ma trËn A1 , A2 , , An , G héi tụ A A ẻ G Đây trờng hợp riêng, đợc gọi nhóm Lie ma trận Định nghĩa (thực hệ định nghĩa nhóm Lie) cho ta cách kiểm tra nhóm Lie đơn giản Ví dụ: ỡ ù ù ï Cho tËp H = ï í ï ï ù ù ợ ỹ ổ a bử ù ữ ù ỗ1 ữ ỗ ù ỗ0 cữa, b, c ẻ Ă ù ữ | ý ỗ ữ ỗ ù ỗ0 1ữ ữ ù ữ ỗ ù ố ứ ù þ TËp H gäi lµ nhãm Heisenberg H lµ mét nhãm Lie ma trËn, thËt vËy: ỉ a bữ ỗ1 ữ ỗ ữ = + Có H è GL(3, Ê ) det ỗ0 cữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ0 1ữ ữ ỗ ố ứ ổ a1 b1 ổ a2 ữ ỗ1 ỗ1 ữ ỗ ữ B = ỗ0 ç , Gia sư A = ç0 c1 ÷ ç ç ÷ ç ç ÷ ç0 ÷ ç0 ÷ ç ç è ø è b2 ÷ ÷ ÷ c2 ÷ H Ỵ ÷ ÷ ÷ ÷ 1ø Khi ®ã: ỉ a1 + a2 b1 + a1c2 + b2 ữ ỗ1 ữ ỗ ỗ0 ữ A.B =ỗ c1 + c2 ữ H ẻ ữ ỗ ữ ỗ0 ữ ữ ỗ è ø ỉ - a1 a1c1 - b1 ÷ ç1 ÷ ç - ç0 ÷ A =ç - c1 ữ H ẻ ữ ỗ ữ ỗ0 ữ ữ ỗ ứ ố Nên H lµ mét nhãm cđa GL(n, £ ) ổ ỗ1 ỗ + Lấy Ai =ỗ0 ỗ ç ç0 ç è æ ç1 ç Khi lim Ai = ilim ỗ0 ỗ i đƠ đƠ ỗ ỗ0 ỗ ố bi ữ ữ ÷ ci ÷ H víi i = 1,2, n, ẻ ữ ữ ữ ữ 1ứ bi ổ a bử ữ ỗ1 ữ ữỗ ữ ỗ0 gữ H ữ ữ ci ữ ỗ = ẻ ữỗ ữ ữỗ ữ ữ ỗ0 ữ ữ ữ ứ è 1ø víi lim = a , ilim bi = b, ilim ci = g i đƠ đƠ đƠ Vậy H nhóm Lie ma trận 1.2.2 Mét sè nhãm Lie ma trËn 1.2.2.1 Nhãm tuyÕn tính đặc biệt SL(n, Ă ) SL(n, Ê ) SL(n, ¡ ) ={ A Ỵ GL(n, ¡ ) | det A = 1} SL(n, £ ) ={ A Ỵ GL(n, £ ) | det A = 1} Nhãm SL(n, ¡ ) lµ nhãm Lie ma trËn, thËt vËy: + Cã SL(n, ¡ ) Ì GL ( n, £ ) víi mäi A Ỵ SL ( n, ¡ ) det A = Giả sử A, B ẻ SL ( n, Ă ) , det A = det B = vµ det A.B = det A.det B = ịẻ A.B SL ( n, ¡ ) det A- = ( Do det A A- = det I = Û det A.det A- = Û det A- = ) ị A- ẻ SL ( n, Ă ) Nên SL(n, Ă ) nhóm cña GL ( n, £ ) + LÊy d·y A1 , A2 , A3 An Ỵ SL ( n, ¡ ) , ta cã det Ai = víi i = 1,2, , n lim Gi¶ sư nđƠ An = A , ta chứng minh det A = Do hàm det hàm liên tục, khả vi ( ) lim lim lim1 nên det A = det nđƠ An = nđƠ det An = nđƠ = ịẻ A SL ( n, Ă ) Vậy SL(n, ¡ ) lµ mét nhãm Lie ma trËn Ta cịng cã SL(n, £ ) lµ nhãm Lie ma trËn 1.2.2.2 Nhóm trực giao O(n) trực giao đặc biệt SO(n) Một ma trận thực cấp n A đợc gọi ma trận trực giao vectơ cột cđa A lµ trùc giao, nghÜa lµ n ∑a a ij ik i =1 0 , k ≠ j = δ jk =  1, k = j A lµ ma trận trực giao A bảo toàn tích vô híng Ax, Ay = x, y ⇔ At A = I ⇔ At = A−1 VËy nÕu A trùc giao th× det A = ±1 SO ( n ) = { A ∈ O ( n ) det A = 1} Ta cã O ( n ) vµ SO ( n ) nhóm Lie ma trận 1.2.2.3 Nhóm Unita nhóm Unita đặc biệt, U ( n ) vµ SU ( n ) A lµ ma trËn phøc cấp n, A - Unita vectơ cột A trùc giao theo nghÜa n ∑a a i =1 ij ik = δ kj A lµ Uni ta Ax, Ay = x, y " x, y Ỵ £ n Û A* A = I Û A* = A- * ( Lu ý: x, y = ∑ xi yi A* liên hợp A , ( a ) ij = a ji ) n i =1 Vì định thức A* det A det ( A* A ) = ( det A ) = det I = ⇒ NÕu A ∈U ( n ) th× det A = ±1 SU ( n ) = { A ∈U ( n ) det A = 1} Ta cã U ( n ) vµ SU ( n ) nhóm Lie ma trận 1.2.2.4 Nhãm Symplectic Sp ( n, ¡ ) , Sp ( n, £ ) vµ Sp ( n ) 10 -XÐt dạng song tuyến tính phản xứng B Ă 2n , xác định nh sau: n B [ x, y ] = ∑ xi yn+1 − xn +i yi i =1 Tập hợp ma trận A đợc bảo toàn qua B , nghÜa lµ: B [ Ax, Ay ] = B [ x, y ] " x, y Ỵ Ă 2n Tạo thành nhóm, nhóm symplectic (thùc)  Gäi J =   −I I ma trận kích thớc 2n ì 2n , với I ma trận đơn vị 0ữ Khi B [ x, y ] = x, Jy A Ỵ Sp ( n, ¡ ) Û At JA = J , suy ( det A ) det J = det J ⇔ det A = ±1 t VËy Sp ( n, ¡ ) = { A Ỵ GL ( n, ¡ ) A JA = J } - Xác định dạng song tuyến tính B [ x, y ] trªn £ ta cã Sp ( n, £ ) = { A Ỵ GL ( n, £ ) At JA = J } , det A = ±1 " A Ỵ Sp ( n, £ ) Sp ( n) = Sp ( n, £ ) Ç U ( 2n) đợc gọi nhóm Symplectic compact Các nhóm Sp ( n, ¡ ) , Sp ( n, £ ) vµ Sp ( n ) nhóm Lie ma trận 1.2.2.5 Nhóm biến đổi affin đờng thẳng thực: Aff ( ¡ ) = { x a ax + b a, b ẻạ Ă , a 0} ỡ ổ bử ü ï a ÷ ï Aff ( ¡ ) @ï ỗ ữ a, b ẻ Ă , a 0ù ớỗ ý ữ ù ỗ0 1ữ ù ứ ùố ù ợ ỵ Nhóm biến đổi Affin đờng thẳng thực lµ nhãm Lie ma trËn, thËt vËy: ỉ bư a ÷ Aff ( ¡ ) Ì GL ( 2, ¡ ) det ỗ = ữ aạ + Có ç ÷ ç0 1ø ÷ è ỉ1 b1 a ữB = ổ2 ỗa , ữ Giả sử A = ç ç ç ÷ ç0 ø ç ÷ è ố0 ổa a A.B = ỗ ỗ ỗ è b2 ÷ Aff ( ¡ ) Khi đó: ẻ ữ ữ ữ 1ứ a1b2 + b1 ữ ẻ ữ Aff ( Ă ) ữ ÷ ø 25 φ ( AB ) = eφ '( X ) eφ '( Y ) = φ ( A ) φ ( B ) Nh vËy, φ lµ đồng cấu nhóm Dễ kiểm tra đợc ánh xạ liên tục (bằng cách kiểm tra log, exp ' ánh xạ liên tục), đồng cấu nhóm Lie Hơn nữa, theo định nghĩa có quan hệ phải với ' Vì ánh xạ mũ song ánh nên có nhiều ánh xạ thoả mÃn φ ( e X ) =e φ '( X ) Do tính đợc chứng minh 2.2.4 Nhận xét Kết định lý 2.2.3 quan trọng kéo theo G liên thông đơn liên tồn tơng ứng 1-1 tự nhiên biểu diễn nhóm G biểu diễn đại số Lie g = LieG Trong thực hành đặc biệt dễ xác định biểu diễn đại số Lie xác định trùc tiÕp biĨu diƠn cđa nhãm Lie t¬ng øng 2.3 Công thức BCH chuỗi Hausdorff nhóm Tuyến tính đặc biệt SL ( 2, Ă ) Đại số Lie cđa SL ( 2, ¡ ) lµ sl ( 2, ¡ ) = { X Ỵ Mat ( 2, ¡ ) | traceX = 0} sl ( 2, ¡ ) 0 1 0 0 cã hai phÇn tư sinh X = ữ Y = ÷  0   1 0 0 Ta tính đợc [ X , Y ] = XY − YX =  ÷−  ÷=  ÷,  0     −1  −2   0  X ,[ X ,Y ]  =  = −2 X , Y , [ X , Y ]  =  ÷ = 2Y ,   0÷      0  X , Y , [ X , Y ]   = [ X ,2Y ] = [ X , Y ] ,    Tõ ®ã ta nhận đợc chuỗi Hausdorff log ( e X eY ) = X + Y + 1 [ X ,Y ] − ( X + Y ) − [ X ,Y ] + 24 Với chuỗi Hausdorff tổng quát ta xét tính chất sau 26 Đ3 Một số tính chất chuỗi Hausdorff 3.1 Định nghĩa ^ ^ Đạo hàm đại số Lie L hàm tuyến tính D : L L thoả mÃn quy tắc Leibnitz D ( [ A, B ] ) =  D ( A ) , B  +  A, D ( B )  , víi mäi A, B ∈ L     ^ Víi A ∈ L , toán tử phụ hợp ad A : L L, ad A ( B ) = [ A, B ] đạo hàm Quy tắc Leibnitz đạo hàm ad A trùng với đồng nhât thức Jacobi: ad A ( [ B, C ] ) =  ad A ( B ) , C  +  B, ad A ( C )      3.2 Tính chất Giả sử L đại số Lie tù sinh bëi X , Y Víi mäi phÇn tư H −H ad H H ∈ L , ta cã e Ye = e ( Y ) ^ Chøng minh Ta biÕn ®ỉi nh sau: H e Ye −H H kYH l ∞ n l n = ∑ ( −1) = ∑ ∑ ( −1)  ÷H n−lYH l k !l ! k ,l ≥0 n =0 n ! l = l  l ∞ = ∑ ( ad H ) ( Y ) = e ad H ( Y ) n n =0 X Y 3.3 TÝnh chÊt Gi¶ sư H ( X , Y ) = log ( e e ) chuỗi Hausdorff đại số Lie tự sinh bëi X , Y KÝ hiÖu ∂ r H s H đạo hàm hình thức chuỗi H ( rX , sY ) theo tham số r , s giao hoán đợc với X , Y Khi ®ã ( ∂ r H ) e− H = X vµ ( ∂ s H ) e − H = e ad H ( Y ) Chøng minh ( ) −H rX sY −H H −H Ta lÊy vi ph©n: ( ∂ r H ( rX , sY ) ) e = ∂ r ( e e ) e = Xe e = X , 27 ( ∂ H ( rX , sY ) ) e −H s ( ) = ∂ s ( e rX e sY ) e − H = e H Ye − H = e ad H ( Y ) , theo tÝnh chÊt Chó ý r»ng ∂ r , s thoả mÃn quy tắc Leibnitz xét nh đạo hàm [ đại số Lie tù sinh bëi X , Y trªn trêng £ ér , s ] ù ë û X Y 3.4 TÝnh chÊt Gi¶ sư H = log ( e e ) chuỗi Hausdorff đại số Lie tù ^ ^ L sinh bëi X , Y Với đạo hàm D : L L ta ®Ịu cã ( De ) e H −H ead H − = ( DH ) ad H Chứng minh: Các tính toán hiển nhiên: ( De ) e H −H  ∞ ( −1) k k   ∞ m  =  ∑ D ( H ) ÷ ∑ H ÷ ÷  m=1 m!   k =1 k !   ∞   n−1 n−m  n  = ∑  ∑ ( −1)  ÷D ( H m ) H n−m ÷ n =1 n !  k = m  Ta cã n −1 ∑ ( −1) k =0 n−m n m −1 n  n− m  n  m n− m = ∑ ( −1)  ÷∑ H k ( DH ) H n−k −1  m ÷D ( H ) H m =1    m  k =0 n −1 n n−m  n  = ∑ ∑ ( −1)  ÷H k ( DH ) H n−k −1 k = m = k +1 m Công thức sau đợc chứng minh b»ng quy n¹p theo q : q ∑ ( −1) r =0 r n q  n − 1  r ÷ = ( −1)  q ÷ víi ≤ q ≤ n −    Bớc tính từ q sang q + đợc lµm nh sau: n q   n − 1  r n q +1  n q +1   n  ∑ ( −1)  r ÷= ∑ ( −1)  r ÷+ ( −1)  q + 1÷= ( −1)   q + 1÷−  q ÷÷ r =0   r =0         q +1 r = ( −1) q +1  n! ( n − 1) !  = −1 q+1  n −  −  ÷ ( )  ÷  q + 1  ( q + 1) !( n − q − 1) ! q !( n − q − 1) ! Theo công thức ta có: 28 n ∑ ( −1) n−m m =k +1  n  n−k −1 r n n − k −1  n − 1 = ∑ ( −1)  ÷ = ( −1)  m÷  k ÷   r =0 r    Do ®ã n −1 ∑ ( −1) n−m k =0 n −1 n n  n− m  n  D ( H m ) H n−m = ∑ ∑ ( −1)  ÷H k ( DH ) H n−k −1  m÷ k =0 m =k +1   m n −1 n − k −1  n −  k n − k −1 = ∑ ( −1)  k ÷H ( DH ) H k =0   = ( ad H ) Cuèi cïng ( De H )e −H n −1 ( DH ) e ad H − n −1 =∑ ( ad H ) ( DH ) = ( DH ) n!ad ad H n =1 Điều phải chứng minh tX tY 3.5 Tính chất Chuỗi Hausdorff H ( tX , tY ) = log ( e e ) thoả mÃn phơng trình vi ph©n ∂ t H = ad H ( X + Y ) + ad H ( Y ) e ad H Chứng minh Bằng cách đặt r = s = t tÝnh chÊt 2, ta cã (∂e )e H t −H = X + e adH ( Y ) chuỗi H ( tX , tY ) Theo tính chất với đạo hàm D = ∂ t cho ta ∂ t ( e Tõ ®ã X + e ad H ∂t ( H ) = H )e −H ead H − = ∂t ( H ) ad H ead H − ∂ t ( H ) Cuèi cïng ta thu đợc (Y) = ad H ad H ad ( X + eadH ( Y ) ) = eadH H− ( X + Y ) + ad H ( Y ) e −1 ad H 29 Ch¬ng III Công thức BCH tổng quát Công thức BCH tổng quát có hai dạng dạng tích phân dạng chuỗi Trớc chứng minh công thức BCH hai dạng ta có định lý sau: Định lý Cho X vµ Y lµ hai ma trËn phøc cÊp n Khi ®ã ì I - e- adX ü ï ï e X + tY = e X ï Y )ï ( ý í ï adX ï t =0 ï ï ỵ þ ì ï X [ X , Y ] é ,[ X , Y ] ù ü ï û- ï = eX ï Y + ë í ý ï ï 2! 3! ù ù ợ ỵ d dt Tổng quát hơn, với hàm ma trận X ( t ) ta cã d dt e X ( t) =e X ( 0) t =0 ì I - e- adX ( 0) ổ ù ù ỗdX ỗ ù adX ( 0) ỗ dt ố ù ợ ỹ ù ữ ù ữ ý ữ ữ ù t =0 ứ ù ỵ Chøng minh Ta cã e- X d dt e X + tY = e- X = e- X lim nđƠ t =0 - X =e n d ( e X / netY / n ) dt t =0 n- lim å ( e X / n etY / n ) nđƠ k =0 n- lim ( e X / n ) nđƠ nđƠ Mặt khác n- k - ( e X / netY / nY / n) ( e X / netY / n ) t=0 ( e X / nY / n) ( e X / n ) k =0 n- = lim n- k - - k k ( eX /n ) Y ( eX / n ) å n k =0 k 30 ( eX / n ) - k k Y ( e X / n ) = é ( eAd ê ë X /n k ) ù( Y ) ú û k = ( e- adX / n ) ( Y ) Tõ ®ã suy e- X d dt e X + tY = lim t =0 nđƠ n- - adX / n k ( e ) (Y) n k =0 - adX / n n ) I- (e = lim (Y) nđƠ n I - e- adX / n I - e- adX = lim (Y) nđƠ ộ ổ ự adX ( adX ) ữ ỗ ỳ n - çI I + - ÷ ÷ ê ç ú ữ n n 2! ữ ỗ ỳ ứ è û I - e- adX = lim (Y) nđƠ ( adX ) adX + n2! I - e- adX = (Y) adX Định lý đợc chứng minh 31 Đ1 Công thức BCH dạng tích phân Định lý Giả sử X Y ma trận phức n ì n với X , Y đủ nhỏ, ®ã ta cã log ( e e X Y ( víi hµm g ( z) = ) = X + ∫g( e ad X etadY ) ( Y ) dt log z 1) 1− z Chøng minh X tY Ta đặt Z ( t ) = log ( e e ) Do X Y đủ nhỏ nên Z ( t ) đợc định nghĩa với t Mục đích ta tính Z ( 1) Từ cách đặt ta có e Z ( t ) = e X etY Suy e Z( t) Mặt khác d Z( t) e = ( e X etY ) e X etY Y = Y dt e −Z( t) − ad d Z ( t )  I − e Z ( t)  e = dt  ad z ( t )   I − e − ad z ( t )  Tõ ®ã ta cã   ad z ( t )   dZ    ÷  dt     dZ    ÷= Y  dt    − ad dZ  I − e z ( t )  ⇔ = dt  ad z ( t )       −1 (Y) (*) Tõ e Z ( t ) = e X etY , áp dụng toán tử ' Ad ' vào hai vế ta đợc ( Ad e Z( t) ) = Ad ( e ) Ad ( e ) X tY 32 Bàng mối quan hệ hai toán tử ' Ad ' ' ad ' , đẳng thức trë thµnh e ad Z ( t ) = ead X etadY Hay ad Z ( t ) = log ( ead X etadY ) Thay vµo (*) ta ®ỵc  I − ( e ad X etadY ) −1  dZ   =  ad X tadY dt  log ( e e )    −1 (Y) = g ( ead X etadY ) ( Y ) Do Z ( ) = X nªn Z ( 1) = X + ∫ g ( e ad X etadY ) ( Y ) dt Điều phải chứng minh 33 Đ2 Công thức BCH dạng chuỗi Định lý Giả sử X Y ma trận phức n ì n với X , Y ®đ nhá, ®ã ta cã log ( e X eY ) = X + Y + 1 [ X ,Y ] +  X ,[ X ,Y ]  − Y ,[ X ,Y ]  +   12   12 Chøng minh Ta cã hµm sè g ( z) = z log z z −1  ( z − 1) + ( z − 1) +  1 + ( z − 1)  ( z − 1) −        = ( z − 1)  z − ( z − 1)  = 1 + ( z − 1)  1 − + +        1 = + ( z − 1) − ( z − 1) + Do ®ã g ( z ) cã d¹ng ( −1) z − n g ( z) =1+ ∑ ( ) n =1 n ( n + 1) ∞ n +1 §ång thêi ead X etadY − I = 2  ( ad X ) +  I + tad + t ( adY ) +  − I =  I + ad X + ÷ ÷ Y  ÷ ÷ 2    = ad X + tadY + tad X adY ( ad X ) + 2 t ( adY ) + + 2 34 Tõ ®ã ta cã g ( e ad X etadY ) = ad X tadY ( e e − I ) − ( ead X etadY − I ) + 2 1 ( ad X ) + t ( adY ) +  = I +  ad X + tadY + tad X adY +  2 2    − [ ad X + tadY + ] =I+ t t ( ad X ) + t ( adY ) = I + ad X + adY + ad X adY + 2 4 2 − ( ad X ) + t ( adY ) + tad X adY + tad X adY  +  6 ⇒ g( e t t ( ad X ) + t ( adY ) ) ( Y ) = ( I + ad X + adY + ad X adY + 4 2 − ( ad X ) + t ( adY ) + tad X adY + tadY ad X  + ) ( Y )  6 1 t = Y + [ X , Y ] +  X , [ X , Y ]  −  X , [ X , Y ]  − Y , [ X , Y ]  +  6  6  4 ad X e tadY ¸p dụng công thức BCH dạng tích phân log ( e e X Y ) = X + ∫g( e ad X etadY ) ( Y ) dt 1 1 t   = X + ∫ Y + [ X , Y ] +  X , [ X , Y ]  −  X , [ X , Y ]  − Y , [ X ,Y ]  + dt   6  6   0 1 1 1 = X + Y + [ X , Y ] +  − ÷ X , [ X , Y ]  − ∫ tdt Y , [ X ,Y ]  +     4 6 VËy log ( e X eY ) = X + Y + 1 [ X ,Y ] +  X ,[ X ,Y ]  − Y ,[ X ,Y ]  + 12 12 Đây công thức BCH dạng chuỗi cần tính, Hay gọi chuỗi Hausdorff 35 Đ3 Công thức BCH ẩn phơng trình vi phân 3.1 Không gian thơng theo hoán tử bậc k 3.1.1 Định nghĩa Cho đại số Lie L ta xét đại số hoán tư cđa nã L( ) = [ L, L ] , sinh bëi c¸c ho¸n tư [ A, B ] trªn mäi A, B ∈ L Mét d·y dẫn xuất ( gồm đại số đợc xác định theo quy nạp: L k +1) k k =  L( ) , L( )  , k ≥   − Ký hiÖu: L = L / L( 2) = L /  L( 1) , L( 1) (gọi không gian thơng theo hoán   tư bËc 2) − Trong th¬ng L víi mäi tõ W , ®ång nhÊt thøc Jacobi kÐo theo  X , Y , [ W ]   − Y ,  X , [ W ]   = [ XY ] , [ W ]  = Do ®ã ta cã thĨ ®ỉi trËt tù c¸c         k l chữ X , Y biểu diễn hoán tử dài theo phần tử X Y XY  víi k , l ≥  3.1.2 Hệ Giả sử L đại số Lie tù sinh bëi X , Y Th¬ng − k l 1 L = L /  L( ) , L( )  cã c¬ së tuyÕn tÝnh X , Y ,  X Y XY  , k , l ≥     3.2 Công thức BCH ẩn phơng trình vi phân 3.2.1 Định lý Giả sử H chuỗi Hausdorff đại số Lie sinh X ,Y (i) PhÐp chiÕu L → L = L /  L( 1) , L( 1) , biến chuỗi H thành chuỗi H = X + Y + h ( x, y ) [ XY ] , hàm h ( x, y ) chuỗi giao hoán theo hoán tử phụ hợp x = ad x , y = ad y , t¸c ®éng lªn [ XY ] (ii) NÕu t giao hoán với X , Y hàm h ( tx, ty ) thoả mÃn phơng trình vi phân bậc nhất: x+ y  1 ∂ t h ( tx, ty ) +  + y + tx +ty ÷h ( tx, ty ) = , h e −1 t t t =0 = (*) 36 Chøng minh (i) BiĨu diƠn H = X + Y + h ( x, y ) [ XY ] chuỗi giao ho¸n h ( x, y ) − − k l k l đợc suy từ hệ 3.1.2 x y [ X , Y ] =  X Y XY  L   − (ii) Thay H ( tX , tY ) vào phơng trình ∂ t H ( tX , tY ) = ad H ( X + Y ) + ad H ( Y ) e −1 ad H tÝnh chÊt (Chơng II, Đ3) nhận đợc: ad H ( X + Y ) + tX + tY + t 2h [ XY ] ,Y  ad H   e −1  ad  ⇔ X + Y + ( 2th + t 2∂ t ) h [ XY ] = X + Y +  ad H H − 1÷( X + Y ) + t [ X ,Y ] − t yh [ XY ]  e −1  ∂ t ( tX + tY + t h [ XY ] ) =  1 ⇔ ( 2h + t∂ t h ) [ XY ] =  ad H −  e − ad H  ÷ad H ( X + Y ) + ( − tyh ) [ XY ]  V× ad H ( X + Y ) = tX + tY + t h [ XY ] , X + Y  = −t ( x + y ) h [ XY ] chØ chøa   c¸c ho¸n tử dài nên hoán tử e ad H 1 − vµ tx+ty b»ng − ad H e − tx + ty − tác động lên t ( x + y ) h [ XY ] :  ( 2h + t∂ t h ) [ XY ] = −  e tx +ty  t ( x + y ) h [ XY ] + ( − tyh ) [ XY ] − tx + ty ÷ Theo hệ 3.1.2 hoán tử tác động lên [ XY ] phải nhau, tức là: tx + ty  tx + ty    2h + t ∂ t h = 1 − tx+ty ÷h + − tyh , hay t ∂ t h + 1 + ty + tx +ty ÷h = 1, −1 e −1  e  §iỊu kiƯn h t =0 = 1 suy tõ H = X + Y + [ X , Y ] + Vậy (*) đà đợc 2 chứng minh 3.2.2 Định lý Giả sử L đại số Lie tù sinh bëi X , Y Ký hiÖu x = ad X , y = adY Khi đó, chuỗi Hausdorff H ( X ,Y ) = log ( e X eY ) qua ánh xạ 37 L → L / L( 2) thµnh  ex − x + y  H = X + Y + 1 − ÷[ XY ] , y x e x+ y −  − Trong ®ã h ( x, y ) =  ex − x + y ữ hoán tử tác động lên [ XY ] đợc xét y x e x+ y nh chuỗi giao hoán theo x, y Chứng minh Xét phơng trình vi phân tuyến tính bậc theo t x+ y  1 ∂ t h ( tx, ty ) +  + y + tx +ty ÷h ( tx, ty ) = , h e −1 t t t =0 = (*) Víi ®iỊu kiƯn ®Çu t = 0, h = - B»ng phơng pháp lấy tích phân cổ điển sử dụng ®ỉi biÕn etx+ ty , hiĨn nhiªn ta cã: ỉ ổổ x+ y ử ữ ữ exp ỗln t + yt + P ( t ) = exp çịç + y + tx+ ty dt ÷ = ç ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ỗt e - 1ứ ứ ố ố ố ổ = exp ỗln t + yt + ỗ ỗ ỗ ố du ữ te yt exp ổ u ỗln ữ ỗ ữ ũ u ( u - 1) ứ= ỗ u ữ ố d ( tx + ty ) ÷ ÷ ÷ ị etx+ ty - ø ÷ 1ư ÷ te yt ( - e- tx- ty ) = ÷ ữ ứ - Ta có nghiệm tổng quát phơng trình (*) h ( tx, ty ) = K + P( t ) P( t ) ò P( t ) dt t = K + yt - tx- ty te ( - e ) te ( 1- e- tx- ty ) = Ketx+ ty x+ y + + te yt ( etx+ ty - 1) ty txy ( etx+ ty - 1) yt Ketx x+ y = tx+ ty + + t( e - 1) ty txy ( etx+ ty - 1) Kxyetx + x + y = + ty txy ( etx+ ty - 1) òe ( 1ty e- tx- ty ) dt 38 - Chän h»ng sè K = - x+ y dẫn đến kết cuối xy x + y etx - h ( tx, ty ) = ty txy etx+ ty - Suy víi t = ta cã x + y ex - 1 æ ex - x + y ữ h ( x, y ) = = ỗ1 ữ ỗ x+ y x+ y ữ ỗ ữ y xy e - y è x e - 1ø Mặt khác x + y etx - h ( tx, ty ) = ty txy etx+ ty - 1 - ( tx + ty ) + O ( t ) x+ 2 ỗtx + t x + O ( t ) ữ = ữ ỗ ữ ố ứ ty txy ỗ tx + ty ổ 1 1ổ ỗ = - ỗ + tx + O ( t ) ÷1 - ( tx + ty ) + O ( t ) ÷ + O ( t ) = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç è ø è ø ty ty ỗ Suy h t=0 = Theo tÝnh chÊt nhÊt nghiƯm cđa Cauchy, định lý đợc chứng minh 3.2.3 ứng dụng Cho L đại số Lie sinh X , Y Giải phơng trình mũ e X + Y = e X eY e x2 ex3 ex4 víi xn ẻ L phần tử bậc n, n = 2,3,4 Ta tóm tắt cách tính phần tử n nh sau: mô tả cách tờng minh ảnh C n phần tử n thơng L Ta viết lại hai vế phơng trình đà cho sở tuyến tính so sánh hệ số Trong đại số bao phổ dụng L , nghiệm phơng trình e X + Y = e X eY e x2 ex3 ex4 e− y −  e− y − y  1 + lµ C , C , C , cho ∑ C n = ÷[ XY ] ( *) x+ y y  x ey −1 n=2 ( ) 39 C n L phÇn Lie bËc n = 2,3,4 ThËt vËy sư dụng định lý 3.2.2 L có: Z = ln ( e e −X X +Y )  e− x − y  = ( −X ) + ( X + Y ) + 1 + ÷[ − X , X + Y ] x+ y x ey −1  e− x − y  =Y − 1 + ÷[ XY ] x+ y x ey −1 Trong ®ã x = ad X , y = adY Z − Y thuéc [ L, L ] , z = ad Z Toán tử x y e x y tác động ®ång thêi theo modulo cđa c¸c ho¸n tư cđa ho¸n tư Chóng ta cã: ln ( e −Y e − X e X +Y ) = ln ( e −Y e Z ) = −Y + Z +  e− y −  1 − ÷[ −YZ ] y −y   e − y −  e − x − y   −1  e − x − y = − 1 + 1 + ÷1 + ÷÷[ XY ] x+ y x ey −1  y  x ey −1  = e− y −  e − x − y  1 + ÷[ XY ] x+ y y  x ey −1 Chó ý r»ng C n bao gồm hoán tử,  ∞ $ ln ( e −Y e − X e X +Y ) = ln  ∏ eC n ữ = C n L nh yêu cầu ®Ỉt  n =2  n =2 VÝ dơ: Ta khai triĨn vÕ ph¶i cđa (*):  x y x xy y  ∑ C n =  − + + − 24 − − ÷[ XY ] + T víi bËc T ≥ n=2   ∞ [ XY ] ; C =  X 2Y  + [ YXY ] ; C = −  X 3Y  − [ XYXY ] − Y XY        Do ®ã C = − 24 8 C¸c phần tử đợc tính nh trùng với phần tử gốc C2 , C3 , C4 thơng L gåm c¸c giao ho¸n tư cã bËc sai kh¸c Nh vậy, chơng III đà đa công thức BCH dạng tích phân, dạng chuỗi đặc biệt xem chuỗi nghiệm phơng trình vi phân ứng dụng ... Hausdorff (BCH) công thức quan trọng Đại số Lie nhóm Lie hình học không giao hoán Công thức BCH cho mối quan hệ tự nhiên nhóm Lie đại số Lie, công thức ba nhà toán học Baker, Campbell, Hausdorff tìm... sinh viên trờng Đại học có nhìn sâu sắc Nhóm Lie Đại số Lie, em đà chọn đề tài: Công thức Baker – Campbell – Hausdorff lý thuyÕt Lie? ?? lµm luận văn tốt nghiệp mình, đa dạng công thức BCH, phát biểu... thể đặc trng hình học không giao hoán, muốn nghiên cứu nhóm Lie Đại số Lie phải biết công thức BCH Tất sách lý thuyết Lie viết công thức BCH nhng chứng minh chứng minh công thức BCH phức tạp,