Xấp xỉ giá trị của các hàm số học t( n) và s( n) luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO THỊ PHƯƠNG XẤP XỈ GIÁ TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC T(n) VÀ S(n) Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60. 46. 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN, 2011 1 MỞ ĐẦU Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học, và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều những bài toán, những giả thuyết chưa có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lí thuyết lớn của toán học đã nảy sinh. Hơn nữa, trong những năm gần đây, số học không chỉ là một lĩnh vực của toán học lí thuyết, mà còn là lĩnh vực có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt trong lĩnh vực bảo mật thông tin. Vì thế, việc trang bị những kiến thức cơ bản về số học cho học sinh ngay từ trường phổ thông là hết sức cần thiết. Tuy nhiên, trong chương trình Số học ở trường phổ thông hiện nay, môn Số học chưa được dành nhiều thời gian. Cũng vì thế mà học sinh thường rất lúng túng khi giải các bài toán số học, đặc biệt là trong các kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Tình hình đó đòi hỏi phải có những tài liệu tham khảo và nghiên cứu về số học phục vụ cho học sinh và giáo viên, đặc biệt là giáo viên toán các trường trung học phổ thông chuyên và sinh viên các trường sư phạm. Một đối tượng và cũng là công cụ nghiên cứu hiệu quả của toán học, đó là các hàm số số học. Ngoài những hàm số đã được nghiên cứu một cách có hệ thống như: hàm số Euler, hàm phần nguyên, hàm Mobius, hàm tổng các ước, hàm đếm các ước còn có những hàm khác, đó là hàm T(n) và S(n). Luận văn này được trình bày trong hai chương: Chương 1. Hàm số số học Chương 2. Xấp xỉ giá trị hàm T(n) và S(n) Nội dung chủ yếu trong luận văn gồm: 1- Giới thiệu định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm T(n) và S(n). 2 2- Trình bày khái niệm bậc O – lớn được giới thiệu bởi nhà toán học Landau và hiện đang rất có ích trong ngành toán và tin học để ước lượng độ phức tạp của các thuật toán. Một nội dung quan trọng của luận văn dành để trình bày lý thuyết xấp xỉ giá trị của hàm số học T(n) bằng cách sử dụng công cụ bậc O – lớn. 3- Giới thiệu và trình bày chi tiết chứng minh Định lí Dirichlet đánh giá xấp xỉ giá trị của hàm T(n) và hàm S(n) bởi công thức: ( ) ( ) ( ) log 2 2 1T n n n O n γ = + − + ; ( ) ( ) 2 2 1 log 12 S n n O n n π = + . Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng tới thầy giáo hướng dẫn với những tình cảm sâu sắc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Đào Thị Thanh Hà đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo của Khoa Toán học, Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng em, hoàn thành nhiệm vụ học tập của chương trình đào tạo thạc sĩ toán học. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết còn hạn chế của bản thân. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được ý kiến góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Tác giả 3 CHƯƠNG 1 HÀM SỐ SỐ HỌC 1.1 Hàm phần nguyên 1.1.1 Định nghĩa. Hàm phần nguyên xác định với mọi số thực x, biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá x, ký hiệu bởi [ ] x . Như vậy, phần nguyên của x là số nguyên thoả mãn [ ] [ ] 1.x x x< < + Hiệu [ ] { } x x x− = được gọi là phần lẻ của x. 1.1.2 Định lí. Phần nguyên của số thực x có các tính chất sau: ( ) 1 [ ] ,x a x a d= ⇔ = + trong đó a là số nguyên và 0 1d≤ < . ( ) 2 Nếu n∈ Z thì [ ] [ ] x n x n+ = + . ( ) 3 Nếu x∈ R và d ∈ N * thì các số nguyên dương là bội của d, không lớn hơn x đúng bằng x d       . ( ) 4 Với x∀ ∈ R thì [ ] [ ] 1 2 2 x x x   + = −     . ( ) 5 [ ] x x d d     =         với x∀ ∈ R, d ∈ N * . ( ) 6 [ ] 1 , 2 2 x x x +     = +         x∀ ∈ R. Chứng minh. (1) Giả sử [ ] x a= . Theo định nghĩa hàm phần nguyên thì a là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Do a x ≤ nên 0x a− ≥ . Đặt d x a= − , khi đó 0d ≥ . Mặt khác, vì a là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, nên 1a x+ > . (thật vậy nếu 1a x+ ≤ , thì 1a + cũng là số nguyên không vượt quá x, trái với giả thiết về a). Từ 1a x+ > suy ra 1.d x a= − < Vậy từ [ ] x a= suy ra x a d= + , với a là số nguyên và 0 1.d≤ < 4 Đảo lại, giả sử x a d= + , với a là số nguyên và 0 1d≤ < . Khi đó từ 0d ≥ suy ra a x≤ . Từ 1d < suy ra 1a x+ > mà 1a + cũng là số nguyên nên a là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Theo Định nghĩa 1.1.1 thì [ ] x a= . Tính chất ( ) 1 được chứng minh. ( ) 2 Giả sử [ ] ,x a= khi đó theo tính chất ( ) 1 ta có ,x a d= + trong đó a là số nguyên và 0 1d≤ < . Ta có: [ ] n x n a+ = + . ( ) 1 Mặt khác: n x n a d+ = + + . Vì n a+ nguyên và 0 1d≤ < , nên lại theo tính chất ( ) 1 thì [ ] .n x n a+ = + ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra điều phải chứng minh. ( ) 3 Ký hiệu n là số các số nguyên dương là bội của d và không lớn hơn x. Đó là các số d,2d,…,nd với ( ) 1nd x n d≤ < + . Vậy, 1 x n n d   ≤ < +     . Từ Định nghĩa 1.1.1 suy ra x n d   =     . ( ) 4 Đặt [ ] n x= . Khi đó, x n d= + với 0 1d≤ < . Nếu 1 0 2 d≤ < thì [ ] [ ] 1 2 2 2 x x n n n x   − = − = = +     . Nếu 1 1 2 d≤ < thì 5 [ ] [ ] 1 2 2 1 1 . 2 x x n n n x   − = + − = + = +     Tóm lại, [ ] 1 2 . 2 x x x   + = −     ( ) 5 Đặt [ ] ( ) 1 1 x x m m m md x m d d d   = ⇒ ≤ < + ⇒ ≤ < +     [ ] ( ) 1md x m d⇒ ≤ ≤ + [ ] 1 x m m d ⇒ ≤ < + [ ] x m d ⇒ = . ( ) 6 Ta có x∀ ∈ R thì 2 1x n t= + + hoặc 2x n t= + , với n∈ Z và 0 1t≤ < . */ Nếu 2 1x n t= + + , ta có [ ] 2 1x n= + 1 1 2 2 x x n n +     ⇒ + = + +         2 1n= + . Vậy, [ ] 1 . 2 2 x x x +     = +         */ Nếu 2 ,x n t= + ta có [ ] 2x n= , suy ra 1 2 . 2 2 x x n n n +     + = + =         Vậy [ ] 1 2 2 x x x +     = +         . Ta có điều phải chứng minh. ■ 1.1.3 Hệ quả. ( ) 1 [ ] [ ] [ ] x y x y+ ≥ + , ,x y∀ ∈ R; dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { } { } 0 1.x y≤ + < ( ) 2 Nếu n là một số tự nhiên thì [ ] [ ] n x nx≤ . Chứng minh. ( ) 1 Vì [ ] x x≤ và [ ] y y≤ cho nên [ ] [ ] .x y x y+ ≤ + Theo Định nghĩa hàm ta suy ra: [ ] [ ] [ ] x y x y+ ≤ + . ( ) 2 Ta có [ ] { } [ ] [ ] { } x x x nx n x n x   = + ⇒ = +   (vì [ ] n x nguyên). 6 Do { } 0n x ≥ suy ra { } 0n x ≥    . Vậy, [ ] [ ] n x nx≤ . ■ 1.2 Hàm số ( ) n τ và ( ) n σ 1.2.1 Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. ( ) n τ là số các ước nguyên dương của n kể cả 1 và n. 1.2.2 Định nghĩa. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho miền phẳng D. Điểm có toạ độ ( ) ;x y thuộc D với ;x y∈ Z được gọi là điểm nguyên trong D. 1.2.3 Định lí. ( ) n τ bằng số điểm nguyên trên hyperbol xy n= nằm trong góc phần tư thứ nhất. Chứng minh. Cho 1 2 , , ., t d d d là ước của n . Khi đó ( ) n τ điểm nguyên 1 1 ; n d d    ÷   ; 2 2 ; n d d    ÷   ;…; ; t t n d d    ÷   (1) nằm trên hyperbol xy n= trong góc phần tư thứ nhất. Mặt khác, nếu ; n a a    ÷   là bất kỳ điểm nguyên trên hyperbol xy n= thì nó thuộc (1) vì n a đang là một số nguyên, a là ước của n. Do đó ( ) n τ bằng số điểm nguyên trên hyperbol xy n= . Gọi m là số điểm nguyên trên hyperbol xy n= trong góc phần tư thứ nhất. Nếu i d là một ước bất kỳ của n thì điểm nguyên ; i i n d d    ÷   nằm trên hyperbol xy n= . Ta có ( ) n m τ ≤ (2) Thêm nữa, nếu ; n a a    ÷   là một điểm nguyên trên hyperbol thì n a là số nguyên. Do đó, a là một ước của n. Điều này cho thấy 7 ( ) m n τ ≤ (3) Vậy từ (2) và (3) suy ra ( ) n m τ = . ■ Ví dụ. Nếu 10n = thì ( ) 4n τ = và điểm nguyên trên hyperbol 10xy = là một trong bốn số đó là ( ) ( ) ( ) ( ) 1;10 ; 2;5 ; 5;2 ; 10;1 . 1.2.4 Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. ( ) n σ bằng tổng các ước số nguyên dương của n bao gồm cả 1 và n. 1.2.5 Định lí. ( ) n σ bằng tổng của hoành độ x (hoặc tung độ y) của tất cả điểm nguyên trên hyperbol xy n= nằm trong góc phần tư thứ nhất. Chứng minh. Gọi 1 2 , , , t d d d là ước của n. Theo Định lí 1.2.3 điểm nguyên trên hyperbol xy n= là 1 1 ; n d d    ÷   ; 2 2 ; n d d    ÷   ;…; ; t t n d d    ÷   . Do đó, 1 2 ( ) . t n d d d δ = + + + là tổng của hoành độ x của tất cả các điểm nguyên trên hyperbol xy n= . Chúng ta biết rằng 1 2 , , ., t n n n d d d cũng là một dãy số nguyên và là dãy 1 2 , , ., t d d d nhưng sắp xếp theo thứ tự đảo ngược. Từ đó 1 ( ) . t n n n d d δ = + + tổng của tung độ y tất cả các điểm nguyên trên xy n= . ■ Nhận xét 1). Mỗi số nguyên 1n > có ít nhất 2 ước là 1 và n . Từ đó ( ) n τ không thể nhỏ hơn 2 với 1n > . 8 2). Với mỗi số nguyên tố p, ( ) 2p τ = . Từ đó suy ra ( ) n τ nhận giá trị 2 khi n dần đến vô hạn, bởi vì số các số nguyên tố là vô hạn . Vậy, ta viết ( ) 2lim = ∞→ n n τ . 3). Mặt khác nếu a n p= , với p là một số nguyên tố thì ( ) 1t n a= + . Bởi vậy ( ) n τ nhận các giá trị lớn hơn số cho trước với mọi giá trị đủ lớn của a. Từ đó, chúng ta viết ( ) ∞= ∞→ n n τ lim . Vậy hàm ( ) n τ được xem như là hàm mà không có quy tắc tính giá trị. Các giá trị của nó không thể biểu diễn qua các hạng tử của n, thậm chí xấp xỉ. Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ trong mục dưới đây rằng giá trị trung bình của ( ) n τ thể được ước lượng xấp xỉ bằng các hạng tử của n. Vì vậy, chúng ta sẽ chứng minh rằng giá trị trung bình ( ) ( ) ( ) 1 2 . n n τ τ τ + + + là gần bằng logn . 1.3 Hàm số T(n) 1.3.1 Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. Hàm ( ) nT được xác định như sau: ( ) 1 ( ) (1) . ( ) n x T n n x τ τ τ = = + + = ∑ . Hàm này được gọi là hàm tổng của ( ) n τ . Ví dụ. (9) (1) (9) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 23T τ τ = + + = + + + + + + + + = . 1.3.2 Định lí về sự biểu diễn hình học của của hàm ( ) nT . Giá trị của )(nT bằng số điểm nguyên nằm trong miền R xác định bởi x > 0, y > 0, xy ≤ n. 9 Nói theo cách khác, Định lí phát biểu rằng ( )T n bằng số điểm nguyên nằm trên hoặc dưới hyperbol xy n= trong góc phần tư thứ nhất nhưng loại trừ điểm nguyên nằm trên hai trục toạ độ (xem hình 1.1). Hình 1.1 Chứng minh. Trên miền R xác định bởi 0; 0;x y xy n> > ≤ . Do đó, mỗi điểm nguyên phải nằm trên một đường cong 1; 2; .;xy xy xy n= = = (1) trong góc phần tư thứ nhất. Mặt khác, mỗi điểm nguyên trên đường cong trong (1) là một điểm nguyên trong R bởi vì đường cong nằm hoàn toàn trong R. Từ đó số điểm nguyên trên R bằng số điểm nguyên trên đường cong 1; 2; .;xy xy xy n= = = và bằng (1) (2) . ( )n τ τ τ + + + , nhưng (1) (2) . ( ) ( )n T n τ τ τ + + + = . Vậy định lí được chứng minh. ■ 10 x O y xy = n