Xấp xỉ giá trị của các hàm số học t( n) và s( n)

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO THỊ PHƢƠNG XẤP XỈ GIÁ TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC T(n) VÀ S(n) Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN, 2011 MỞ ĐẦU Số học lĩnh vực cổ xƣa toán học, lĩnh vực tồn nhiều toán, giả thuyết chƣa có câu trả lời Trên đƣờng tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều tƣ tƣởng lớn, nhiều lí thuyết lớn tốn học nảy sinh Hơn nữa, năm gần đây, số học không lĩnh vực tốn học lí thuyết, mà cịn lĩnh vực có nhiều ứng dụng, đặc biệt lĩnh vực bảo mật thơng tin Vì thế, việc trang bị kiến thức số học cho học sinh từ trƣờng phổ thông cần thiết Tuy nhiên, chƣơng trình Số học trƣờng phổ thông nay, môn Số học chƣa đƣợc dành nhiều thời gian Cũng mà học sinh thƣờng lúng túng giải tốn số học, đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Tình hình địi hỏi phải có tài liệu tham khảo nghiên cứu số học phục vụ cho học sinh giáo viên, đặc biệt giáo viên tốn trƣờng trung học phổ thơng chun sinh viên trƣờng sƣ phạm Một đối tƣợng cơng cụ nghiên cứu hiệu tốn học, hàm số số học Ngồi hàm số đƣợc nghiên cứu cách có hệ thống nhƣ: hàm số Euler, hàm phần nguyên, hàm Mobius, hàm tổng ƣớc, hàm đếm ƣớc cịn có hàm khác, hàm T(n) S(n) Luận văn đƣợc trình bày hai chƣơng: Chƣơng Hàm số số học Chƣơng Xấp xỉ giá trị hàm T(n) S(n) Nội dung chủ yếu luận văn gồm: 1- Giới thiệu định nghĩa tính chất hàm T(n) S(n) 2- Trình bày khái niệm bậc O – lớn đƣợc giới thiệu nhà tốn học Landau có ích ngành toán tin học để ƣớc lƣợng độ phức tạp thuật toán Một nội dung quan trọng luận văn dành để trình bày lý thuyết xấp xỉ giá trị hàm số học T(n) cách sử dụng công cụ bậc O – lớn 3- Giới thiệu trình bày chi tiết chứng minh Định lí Dirichlet đánh giá xấp xỉ giá trị hàm T(n) hàm S(n) công thức: T  n   n log n   2  1  O S  n   n ; 2  n  O  n log n  12 Luận văn đƣợc thực hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh, với hƣớng dẫn PGS TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng tới thầy giáo hƣớng dẫn với tình cảm sâu sắc Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy giáo Khoa Toán học, Khoa Đào tạo Sau đại học – Trƣờng Đại học Vinh, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng em, hoàn thành nhiệm vụ học tập chƣơng trình đào tạo thạc sĩ tốn học Mặc dù cố gắng nhƣng thật khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết cịn hạn chế thân Vì vậy, tác giả mong nhận đƣợc ý kiến góp ý thầy giáo bạn Tác giả CHƢƠNG HÀM SỐ SỐ HỌC 1.1 Hàm phần nguyên 1.1.1 Định nghĩa Hàm phần nguyên xác định với số thực x, biểu thị số nguyên lớn không vƣợt x, ký hiệu  x  Nhƣ vậy, phần nguyên x số nguyên thoả mãn  x  x   x  Hiệu x   x   x đƣợc gọi phần lẻ x 1.1.2 Định lí Phần ngun số thực x có tính chất sau: 1  x  a  x  a  d , a số nguyên  d    Nếu nZ  3 Nếu  x  n   x  n x R d N* số nguyên dương bội d, không x lớn x   d    Với x R  5 1  x   2 x   x     x   x  *      với x  R, d N  d  d  x   x  1  , x  R        x   Chứng minh (1) Giả sử  x   a Theo định nghĩa hàm phần ngun a số ngun lớn khơng vƣợt x Do a  x nên x  a  Đặt d  x  a , d  Mặt khác, a số nguyên lớn không vƣợt x, nên a   x (thật a   x , a  số nguyên không vƣợt x, trái với giả thiết a) Từ a   x suy d  x  a  Vậy từ  x   a suy x  a  d , với a số nguyên  d  Đảo lại, giả sử x  a  d , với a số nguyên  d  Khi từ d  suy a  x Từ d  suy a   x mà a  số nguyên nên a số nguyên lớn không vƣợt x Theo Định nghĩa 1.1.1  x  a Tính chất 1 đƣợc chứng minh  2 Giả sử  x   a, theo tính chất 1 ta có x  a  d , a số nguyên  d  Ta có: n   x  n  a 1 Mặt khác: n xnad Vì n  a nguyên  d  1, nên lại theo tính chất 1 n  x  n  a  2 Từ 1   suy điều phải chứng minh  3 Ký hiệu n số số nguyên dƣơng bội d khơng lớn x x Đó số d,2d,…,nd với nd  x   n  1 d Vậy, n     n  Từ d  x Định nghĩa 1.1.1 suy n    d    Đặt n   x Khi đó, x  n  d với  d  Nếu  d   x   x  2n  n  n   x   Nếu 1   d   x   x  2n   n  n    x   1  1  Tóm lại,  x     x  x  2   5  x  m   md  x  m  d x Đặt m     m    d d   md   x    m  1 d m    Ta có x  R  x  m  d  x  m d x  2n   t x  2n  t , với nZ  t   x   x  1  n  n   2n  */ Nếu x  2n   t , ta có  x   2n        2      x   x  1 Vậy,  x            x   x  1  n  n  2n */ Nếu x  2n  t , ta có  x   2n , suy          x   x  1 Vậy  x       Ta có điều phải chứng minh ■     1.1.3 Hệ 1  x  y    x    y  , x, y R; dấu đẳng thức xảy   x   y    Nếu n số tự nhiên n x   nx Chứng minh 1 Vì  x   x  y   y  x   y   x  y Theo Định nghĩa hàm ta suy ra:  x   y    x  y    Ta có x   x   x   nx   n  x   nx (vì n  x  nguyên) Do n x  suy  n x  Vậy, n  x    nx  ■ 1.2 Hàm số   n    n  1.2.1 Định nghĩa Cho n số nguyên dƣơng   n  số ƣớc nguyên dƣơng n kể n 1.2.2 Định nghĩa Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho miền phẳng D Điểm có toạ độ  x ; y  thuộc D với x; y Z đƣợc gọi điểm nguyên D 1.2.3 Định lí   n  số điểm nguyên hyperbol xy  n nằm góc phần tư thứ Chứng minh Cho d1, d2 , , dt ƣớc n Khi   n  điểm nguyên  n  n  n  d1 ;  ;  d ;  ;…;  dt ;   d1   d   dt  (1) nằm hyperbol xy  n góc phần tƣ thứ Mặt khác, n  n  a;  điểm nguyên hyperbol xy  n thuộc (1) a  a số nguyên, a ƣớc n Do   n  số điểm nguyên hyperbol xy  n Gọi m số điểm nguyên hyperbol xy  n góc phần tƣ thứ  n Nếu d i ƣớc n điểm nguyên  di ;  nằm  di  hyperbol xy  n Ta có   n  m (2)  n Thêm nữa,  a;  điểm ngun hyperbol  a ngun Do đó, a ƣớc n Điều cho thấy m    n (3) n số a Vậy từ (2) (3) suy   n   m ■ Ví dụ Nếu n  10   n   điểm nguyên hyperbol xy  10 bốn số 1;10  ;  2;5 ;  5;2  ; 10;1 1.2.4 Định nghĩa Cho n số nguyên dƣơng  n  tổng ƣớc số nguyên dƣơng n bao gồm n 1.2.5 Định lí  n  tổng hoành độ x (hoặc tung độ y) tất điểm nguyên hyperbol xy  n nằm góc phần tư thứ Chứng minh Gọi d1, d2 , , dt ƣớc n Theo Định lí 1.2.3 điểm nguyên   n  n n hyperbol xy  n  d1;  ;  d ;  ;…;  dt ;  d1   d   dt    Do đó,  (n)  d1  d2   dt tổng hoành độ x tất điểm nguyên hyperbol xy  n Chúng ta biết n n n dãy số nguyên , , , d1 d dt dãy d1, d2 , , dt nhƣng xếp theo thứ tự đảo ngƣợc Từ  (n)  n n   tổng tung độ y tất điểm nguyên d1 dt xy  n ■ Nhận xét 1) Mỗi số ngun n  có ƣớc n Từ   n  nhỏ với n  2) Với số nguyên tố p,  p   Từ suy  n  nhận giá trị n dần đến vô hạn, số số ngun tố vơ hạn Vậy, ta viết lim  n   n  3) Mặt khác n  p a , với p số nguyên tố t (n)  a  Bởi   n  nhận giá trị lớn số cho trƣớc với giá trị đủ lớn a Từ đó, viết lim n    Vậy hàm  n  đƣợc xem nhƣ n  hàm mà khơng có quy tắc tính giá trị Các giá trị khơng thể biểu diễn qua hạng tử n, chí xấp xỉ Tuy nhiên, mục dƣới giá trị trung bình  n  thể đƣợc ƣớc lƣợng xấp xỉ hạng tử n Vì vậy, chứng minh giá trị trung bình  1         n  n gần log n 1.3 Hàm số T(n) 1.3.1 Định nghĩa Cho n số nguyên dƣơng Hàm T n  đƣợc xác định nhƣ sau: n T (n)   (1)    (n)    x  x 1 Hàm đƣợc gọi hàm tổng   n  Ví dụ T (9)   (1)    (9)           23 1.3.2 Định lí biểu diễn hình học của hàm T n  Giá trị T (n) số điểm nguyên nằm miền R xác định x > 0, y > 0, xy  n Nói theo cách khác, Định lí phát biểu T (n) số điểm nguyên nằm dƣới hyperbol xy  n góc phần tƣ thứ nhƣng loại trừ điểm nguyên nằm hai trục toạ độ (xem hình 1.1) 10 y xy = n O x Hình 1.1 Chứng minh Trên miền R xác định x  0; y  0; xy  n Do đó, điểm nguyên phải nằm đƣờng cong xy  1; xy  2; ; xy  n (1) góc phần tƣ thứ Mặt khác, điểm nguyên đƣờng cong (1) điểm nguyên R đƣờng cong nằm hồn tồn R Từ số điểm nguyên R số điểm nguyên đƣờng cong xy  1; xy  2; ; xy  n  (1)   (2)    (n) , nhƣng  (1)   (2)    (n)  T (n) Vậy định lí đƣợc chứng minh ■ 17 i, Nếu  k j 1 j   h(n)  O(1) ii, Nếu j , k j  K h(n)  O(n)  n    Ví dụ Giả sử   x  x 1 x    O  n  4, Nếu s với t hai số hữu tỉ với s  t O(ns )  O(nt )  O(nt ) Chứng minh O(ns )  O(nt )  O(n s )  O(nt )  k1.n s  k2 nt  k.nt với k  max  k1; k2  Ví dụ 1, O(n)  O(n)  O(n) 2, O  n   O  n   O  n  2   3, O    O(1)  O(1)  n     1  O  O 4, O       n   n  n 5, O  h  n    O  h  n    O(h1 (n)  h2 (n)) 6, O(h1 (n)).O((h2 (n)))  O(h1 (n).h2 (n)) Thật vậy, ta có: O  h1 (n  O  h2 (n)   O  h1 (n)   O  h2 (n)   k1h2 (n)  k1h2 (n)  k1 k h1 (n).h2 (n) Ví dụ  1 1 1, O   O    O  n n n     32 n  O n       2, O  n  O   18 3, O(n).O  log n   O  n log n    1 4, O    O  O n n     n 7, Cho h1 (n); h2 (n) hai hàm đơn điệu, dƣơng n với n  a h1  n  O  h2  n    O  h1 (n).h2 (n)  Thật vậy, h1  n .O  h2 (n)   h1 (n)  O(h2 (n))  h1 (n).kh2 (n)  kh1 (n)h2 (n) Ví dụ   1, nO  O  n  n 2, nO 1  O  n  8, O  O  h(n)    O  h(n)  Thật vậy, O  O  h(n    k1O  h(n)  = k1 O  h  n    k1k2h(n) 9, O  h(n)   O  h(n)  Thật vậy, ta có O  h(n)   O  h(n)   O(h(n)  k.h(n) Ví dụ 1, O  n   O  n   O  n   O  n  2, O  n   O   O n  n   O  n   O  10, O  h(n)  O  h  n)   Thật vậy, ta có O  h(n)  k  h(n)  kh(n) 11, O  n log n   O(n)  O  n log n  n  e Thật với n  e , ta có O  n log n   O  n   O  n log n   O  n   O n  n  19  k1 n log n  k2 n  k1n log n  k2 n log n   k1  k2  n log n 2.2 Kết xấp xỉ hàm số T  n  2.2.1 Định lí Cho n số ngun dương Khi n   m  log n    n m1 với  số hiểu số Euler    Chứng minh Xét hàm f ( x)  Hàm giảm ngặt với x tăng x dƣơng với x  Bởi theo tính chất tốt tích phân Ta có  m 1 m 1  m dx  x m (1) Với số nguyên m > 0, điều có nghĩa 0  m m 1  m dx 1   x m m 1 (2) Để thuận tiện cho việc biến đổi ta định nghĩa hàm g  m  nhƣ sau: m1 dx g  m    m m x Ta viết (1) nhƣ sau  g (m)  1  m m 1 Cho a số nguyên cố định t  a Đặt m  a; a  1; a  2; ; t Ta có:  g (a)  1  a a 1 (3) 20  g (a  1)  1  a 1 a  … 1  g (t )   t t 1 1  a t 1 t   g (m)  Từ suy ma t Ta có  g ( m) (4) t  g ( m) hàm tăng dần theo t ma  t  a  1 số thực dƣơng từ (4) ta biết thực Do a tổng ma t  g ( m) t  g ( m) nhỏ số ma tiến đến giới hạn hữu hạn t   ma Vậy ta có:   g (m)  số hữu hạn  a (5) ma Nếu ta cho a  (5) ta có   g ( m)   , (6) m 1 với  số  Theo cách đặt ta có: a2 a 1 dx dx t 1 dx  g (m)  a   x  a    x   t   x ma a a 1 t t (7) Với n  ta có  n m 1 m 1    g (m)   g (m)    g (m) m  n 1  n1 dx   g (m) =   m 1 m m  n 1 x n (theo (7)) 21  n dx n1 dx       g (m) m 1 m m  n 1 x n x n   n1 dx   log n      g (m)  m 1 m  x mn1  n  (8) Mặt khác, ta biết n 1 dx    n 1 n x n Nhƣng từ (5) ta lại có 0   m  n 1 g (m)  n 1 Do 0 n 1  n  dx   g (m)  x mn1 n Suy n 1  n  dx    g (m)  x mn1 n (9) với  số thực ( phụ thuộc n )   < Vậy từ (8) (9) ta đƣợc   log n  n m 1 m n   hay n   m  log n    n ■ m 1   2.2.2 Hệ lim 1     log n    n n   Euler ngƣời lịch sử khám phá   0,577 nên  đƣợc gọi số Euler 22 2.2.3 Định lí Cho  số thực với   Khi     m  log      với     m 1    m 1 m 1 Chứng minh    g (m)   g (m)    m  1 g (m)     1 dx  1   g (m) (theo (7) chứng minh định lí 2.2.1) x m 1 m 1 m       dx  1 dx  1     g (m) x x m 1 m 1 m =   =   1 dx  m  log     m 1   x  (1  g (m)  1   m  (2) Theo (5) chứng minh Định lí 2.2.1 0   m  1 g (m)  1      Theo tính chất tích phân xác định  1 dx   0 x  1   Với 1    (3) (2) ta đƣợc   dx   g (m)  x m 1   1 dx    x      m  1 g (m)      m  log      n 1 Ta chứng minh đƣợc n   m  log n    n (0    1) m 1 Ta lại có  1  O     O 1 n n (3) ■ 23 Do   1  O 1  O    O 1 n n Từ định lí đƣợc viết lại nhƣ sau: n 1    m  log n    O  n   log n  O 1 m 1 2.2.4 Định lí Cho n số nguyên dương Khi T  n   n log n  O  n  Chứng minh Theo Định lí 1.3.5 ta có: n n n n T  n      nhƣng      x với   x  x 1  x  x x n nên T  n   n   x x 1 x x 1 n    log n  O 1 x 1 x n n  x 1 x  O 1  O 1   O 1  O  n  n Vậy ta có: T  n   n  log n  O 1   O  n   n log n  O  n   O  n   n log n  O  n  ■ 2.2.5 Định lí Dirichlet Cho n số nguyên dương Khi T  n   n log n   2  1  O  n Chứng minh Theo Định lí 1.3.2 T  n  số điểm nguyên miền R xác định x  0, y  0, xy  n nhƣng khơng có điểm ngun tập R xác định < x < < y < Bởi T  n  số điểm nguyên miền OCEPFDB loại trừ điểm trục Ox Oy Gọi P điểm   n , n hyperbol xy = n Vẽ PA vng góc với Ox PB 24 vng góc với Oy hiển nhiên số điểm ngun miền OAPFD số điểm nguyên miền OBPEC Suy ra: T  n  = Số điểm nguyên miền OCEPFDB = Số điểm nguyên miền OAPFDB + số điểm nguyên miền OBPECA - số điểm nguyên miền OAPB = 2( số điểm nguyên miền OAPFD)- số điểm nguyên miền OAPB y F D xy = n P B  n, n  E O A C x 25 Tung độ điểm nguyên  x; y  n Do đó, số điểm ngun có x n hồnh độ x nằm dƣới hyperbol xy  n   x Vậy số điểm nguyên miền OAPFD  n    n  n     n n n  n           x x    x   x   x ,0   x  x 1  x  x 1 x x 1 Suy  n   n    x   n  log x 1      n    O    O  n  (theo Định lí 2.2.3)  n   n   O n  n  n  O  n   n log n  n  O  n log Số điểm nguyên OA  n  đƣờng thẳng điểm PB chứa  n  điểm nguyên Từ số điểm nguyên miền OAPB  n n       n   ,0     n  n    n   O 1  n  O  n  nO Ta đƣợc  T  n   n log n  n  O  n   n  O  n  26  n  n log n  n  2  1  O  n   2n log n  n  2  1  O Định lí đƣợc chứng minh ■ Sau ví dụ minh hoạ cho Định lí Dirlechlet ứng với n = 24 n = 48 Ví dụ (1) Cho n = 24 T 24  84 n log n  n  2  1  24log 24  24   0,577  1  80 (2) Cho n = 48 T  48  195 48log 48  48   0,577  1  193 2.2.6 Một số kết khác hàm T n  i, Giá trị trung bình T(n) T  n    log  n    2  1  O   n n   ii, Vấn đề khám phá giá trị T n  đƣợc nghiên cứu kỹ thời gian gần đây, kết là: T  n   n log n   2  1  O  n  với  số thoã mãn 33   100 2.3 Kết xấp xỉ hàm S(n) 2.3.1 Định lí Nếu c số nguyên dương Khi  x x c 1 Chứng minh Từ nguyên t > 1  O  c hàm số dƣơng giảm ngặt x2 x nên với số 27 0 0 c 1  c  1   c dx x2 c2  c  2  dx x2 c 1  … 0 c t c  t   dx x c t 1  Từ suy c t 0   x c 1 x c t dx x c  1  c c 1 Nếu t  , c  t   , ta có:  x x c 1  1  O  ■ c c 2.3.2 Định lí Với n ngun dương Khi 2 1   O   n x 1 x n Chứng minh Theo Định lí 2.3.1    1 1 1        O   n x 1 x x 1 x x n 1 x x 1 x n   1  O   (do biết kết n 2 giải tích   ) x 1 x  28 2.3.3 Định lí Cho n nguyên dương Khi S  n   2  n  O  n log n  12 Chứng minh S  n    1         n  tổng tung độ y tất điểm nguyên đƣờng cong xy  1, xy  2, , xy  n Theo Định lí 1.2.5   n  tổng tung độ y tất điểm nguyên miền R xác định x  0, y  0, xy  n Khi đó, số điểm nguyên R đƣợc đặt đƣờng thẳng đứng từ điểm 1,0  ,  2,0  ,  n,0  đến đƣờng cong xy  n Độ dài đƣờng thẳng từ điểm  x,0  n , điểm x nguyên đƣờng thẳng  n   x     x,1 ,  x,2  , ,  x,  Tổng tung độ y điểm nguyên n n n              1  x   x   x   Đặt x =1, 2…,n Khi tổng tung độ y điểm nguyên R n  n   n     x    x   1 x 1 Do n n  S  n          1 x 1  x    x   n n n n n n n Ta có      x ,0   x  1,     O 1      O 1 x x x x x x Do n n  S  n      O 1  x1  x  29 2  n  O  n log n   O  n  12   n  O  n log n  12  Ví dụ Cho n = 15 Khi S 15   1        15  189 Mặt khác,   152  185 12 Vậy sai số   152 với giá trị S(15) 2.3.4 Hệ Giá trị   n   1     n  n  S n  2     n  O  n log n     2n  O  n log n  n  12  12 Do mang giá trị  n  xấp xỉ  n 12 30 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn gồm: - Giới thiệu định nghĩa tính chất hàm số T(n) S(n) - Giới thiệu khái niệm bậc O – lớn, ký hiệu Ohn Khái niệm trở thành công cụ hiệu quả, đƣợc giới thiệu nhà toán học Landau có ích tốn tin học để ƣớc lƣợng độ phức tạp thuật tốn - Trình bày lý thuyết xấp xỉ giá trị hàm số học T(n) cách sử dụng công cụ bậc O– lớn - Giới thiệu trình bày chi tiết chứng minh Định lí Dirichlet đánh giá xấp xỉ giá trị hàm T(n) hàm S(n) công thức: T  n   n log n   2  1  O S  n   n ; 2  n  O  n log n  , 12 O(h(n)) đại lƣợng bậc O – lớn hàm h(n) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, Lập trình Giảng dạy Toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trƣờng Đại học Vinh [6] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội TIẾNG ANH [7] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [8] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi [9] M B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [10] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi ... bày lý thuyết xấp xỉ giá trị hàm số học T (n) cách sử dụng cơng cụ bậc O– lớn - Giới thiệu trình bày chi tiết chứng minh Định lí Dirichlet đánh giá xấp xỉ giá trị hàm T (n) hàm S (n) công thức:... cứu cách có hệ thống nhƣ: hàm số Euler, hàm phần nguyên, hàm Mobius, hàm tổng ƣớc, hàm đếm ƣớc có hàm khác, hàm T (n) S (n) Luận văn đƣợc trình bày hai chƣơng: Chƣơng Hàm số số học Chƣơng Xấp xỉ giá. .. CHƢƠNG XẤP XỈ GIÁ TRỊ HÀM T (n) VÀ S (n) 2.1 Khái niệm 2.1.1 Khái niệm bậc O – lớn Giả sử g (n) hàm số xác định với số nguyên dƣơng n  a với a số nguyên dƣơng Nếu tồn hàm đơn điệu dƣơng h (n) xác