LUẬN VĂN Một số tính chất của đa thức Trong toán học, đa thức trên một vành (hoặc trường) K là một biểu thức dưới dạng tổng đại số của...
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Một số tính chất của đa thức 0 Mục lục Lời nói đầu 1 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 14 2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 57 2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 57 2.2 Một số bài toán về khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . 72 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 82 Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 90 1 Lời nói đầu Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh) khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P (x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm) F 1 (x)= x x 1 P (t)dt (1) có đủ k +1 nghiệm thực? Tương tự, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một nguyên hàm cấp s (s>1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng F s (x)= x x s F s−1 (x)dt (2) có đủ k + s nghiệm thực? 2 Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được thoả mãn. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo, tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18 1.19 ). Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có dạng đặc biệt và đưa ra cách"nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại họ c Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này. 3 Hệ thống các ký hiệu sử dụng trong luận văn - deg f (x) là bậc của đa thức f(x). - F 0 (x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c =0, tức là F 0 (x) thoả mãn điều kiện F 0 (0) = 0. - F c (x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c, tức là F c (x)=F 0 (x)+c với c ∈ R. - F 0,k (x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c =0, tức là F 0,k (x) thoả mãn điều kiện F 0,k (0) = 0. - F c,k (x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c, tức là F c,k (x)=F 0,k (x)+c với c ∈ R. - H n là tập hợp đa thức với hệ số thực P n (x) bậc n (n>0) với hệ số tự do bằng 1 (P n (0) = 1) và có các nghiệm đều thực. - M k (f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f (x). - R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực. - sign a là dấu của số thực a, tức là sign a := + khi a>0 0 khi a =0 − khi a<0. 4 Chương 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng P n (x)=a n x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 , trong đó các hệ số a n ,a n−1 , ,a 0 là những số thực (hoặc phức) và a n =0,n∈ N. Ta kí hiệu i. Bậc của đa thức P n (x) là deg P n (x). Do vậy deg P n (x)=n. ii. a n - hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức. Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức P n (x) với các hệ số của nó đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là R[x]. Định nghĩa 1.2. Cho đa thức P n (x)=a n x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 (a n =0), số α ∈ C được gọi là nghiệm của đa thức P n (x) nếu P n (α)=0. 5 Nếu tồn tại k ∈ N,k>1, sao cho P n (x) . . .(x − α) k nhưng P n (x) không chia hết cho (x − α) k+1 thì α được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x). Đặc biệt, khi k =1thì α được gọi là nghiệm đơn, k =2thì α được gọi là nghiệm kép. Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó. Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n 1 trên trường C đều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó. Bổ đề 1.1. Các nghiệm phức thực sự (khác thực) của đa thức thực P n (x) xuất hiện theo từng cặp nghiệm liên hợp. Chứng minh. Thật vậy, nếu a ∈ C là nghiệm của phương trình P n (x)=0thì P n (a)=0. Khi đó ta có 0= P n (a)=P n (a). Suy ra a cũng là nghiệm của phương trình P n (x)=0. Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính a n =0, đều có thể phân tích thành nhân tử dạng f(x)=a n m j=1 (x − d i ) s k=1 (x 2 + b k x + c k ) với d i ,b k ,c k ∈ R, 2s + m = n, b 2 k − 4c k < 0,m,n ∈ N ∗ . Hệ quả 1.1. (1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẵn. (2) Nếu đa thức f(x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì f (x) là một đa thức bậc chẵn. (3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k n thì n và k cùng tính chẵn lẻ. (4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực. Định lý 1.3. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực. Định lý 1.4 (Tính chất hàm của đa thức). Mọi đa thức P(x) ∈ R[x] đều xác định và liên tục trên R. 6 Ngoài ra, khi P n (x)=a n x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 ,a n =0, và x → +∞ thì P(x) → sign (a n )∞. Khi x →−∞thì P (x) → (−1) n sign (a n )∞. Tiếp theo, ta nhắc lại định lý Rolle quen biết trong chương trình toán bậc phổ thông. Định lý 1.5 (Định lý Rolle). Giả sử hàm số f :[a, b] → R liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b). Nếu f(a)=f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c)=0. Khi f(x) là hàm đa thức, trong trường hợp đặc biệt, nếu a = b, ta phát biểu định lý Rolle dưới dạng bổ đề sau đây. Bổ đề 1.2. Nếu x 0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N,s > 1) của đa thức P (x) ∈ R[x] thì x 0 cũng là nghiệm bội bậc s − 1 của đa thức P (x). Chứng minh. Thật vậy, x 0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N,s > 1) của đa thức P (x) thì P (x) viết được dưới dạng P (x)=(x − x 0 ) s Q(x),Q(x 0 ) =0. Suy ra P (x)=s( x − x 0 ) s−1 Q(x)+(x − x 0 ) s Q (x) =(x − x 0 ) s−1 sQ(x)+(x − x 0 )Q (x) . Vì Q(x 0 ) =0nên x 0 không là nghiệm của đa thức sQ(x)+(x − x 0 )Q (x). Vậy x 0 là nghiệm bội bậc s − 1 của đa thức P (x). Từ định lý Rolle, ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau đối với đa thức. Định lý 1.6. Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P (x) có ít nhất k − 1 nghiệm thực. Hệ quả 1.2. Nếu đa thức P(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực thì đa thức P (x) cũng có các nghiệm đều thực. 7 Từ bổ đề 1.2, ta có phát biểu bài toán ngược dưới dạng định lý sau đây. Định lý 1.7. Nếu x 0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N,s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và x 0 cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x 0 là nghiệm bội bậc s +1 của đa thức nguyên hàm F (x). Chứng minh. Vì x 0 là nghiệm bội bậc s của f(x) nên f(x) có dạng f(x)=(x − x 0 ) s g(x),g(x 0 ) =0. Giả sử F (x)=(x − x 0 ) k h(x),h(x 0 ) =0. Khi đó F (x)=(x − x 0 ) k−1 [k.h(x)+(x − x 0 )h (x)]. Tại x = x 0 thì k.h(x)+(x − x 0 )h (x) =0. Suy ra F (x) chứa nhân tử (x − x 0 ) bậc k − 1 nhưng f(x) ≡ F (x) nên k − 1=s hay k = s +1. Vậy F (x) nhận x 0 là nghiệm bội bậc s +1. Tiếp theo, ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes. Xét dãy số thực a 0 ,a 1 ,a 2 , Định nghĩa 1.3. Chỉ số m (m ∈ N,m 1) được gọi là vị trí (chỗ) đổi dấu của dãy nếu có a m−1 a m < 0 hoặc là a m−1 = a m−2 = ··· = a m−(k−1) =0 trong đó a m−k a m < 0(m k 2). Trong trường hợp thứ nhất thì a m−1 và a m , còn trong trường hợp thứ 2 thì a m−k và a m lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng. Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức P (x)=a n x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý a n ,a n−1 , ,a 1 ,a 0 . 8 Ta có các tính chất sau đây. Tính chất 1.1. Các dãy a 0 ,a 1 ,a 2 , ,a n và a n ,a n−1 , ,a 0 có cùng một số lần đổi dấu. Tính chất 1.2. Khi gạch bỏ các số hạng của dãy, số lần đổi dấu không tăng lên. Tính chất 1.3. Khi đặt vào giữa các số hạng của dãy một số lượng tuỳ ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy cũng không thay đổi. Tính chất 1.4. Số vị trí đổi dấu sẽ không thay đổi nếu bên cạnh một số hạng nào đó của dãy ta đặt một số hạng mới có cùng dấu với số hạng đó. Tính chất 1.5. Nếu p 0 > 0, p 1 > 0, p 2 > 0, thì các dãy a 0 ,a 1 ,a 2 , và a 0 p 0 ,a 1 p 1 ,a 2 p 2 , có cùng những vị trí đổi dấu. Tính chất 1.6. Dãy a 0 ,a 1 + a 0 ,a 2 + a 1 , ,a n + a n−1 ,a n có số vị trí đổi dấu không lớn hơn so với số vị trí đổi dấu của dãy a 0 ,a 1 ,a 2 , ,a n . Tính chất 1.7 (Quy tắc dấu Descartes). Giả sử N là số không điểm dương của đa thức f(x)=a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ···+ a n x n và W là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó. Ta có W N và W − N là một số chẵn. Tính chất 1.8. Cho đa thức f (x)=a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ···+ a n x n (a n =0)có các nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a 0 ,a 1 , ,a n và N là số không điểm dương của đa thức f(x) thì W = N. 1.2 Các định lý dạng Viète Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong chương trình toán của bậc phổ thông. [...]... hàm của một đa thức là đa thức nguyên hàm Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Với những điều kiện nào thì đa thức m (x − xk )rk , x1 f (x) = x2 ··· xm , r1 + · · · + rm = n k=1 sẽ có ít nhất một nguyên hàm (đa thức nguyên hàm) của nó có các nghiệm đều thực? Đối với đa thức có bậc tuỳ ý, định lý 1.10 đã cho ta câu trả lời của điều kiện đủ Ta dễ dàng chỉ ra điều kiện cần (bổ đề 1.3 và bổ đề 1.4) cho các đa. .. hay đa thức F (x) có n + 1 nghiệm thực Mặt khác, F (x) = f (x) nên theo định lý Rolle, ta có ngay điều cần chứng minh 1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm Nhận xét rằng, ứng với mỗi đa thức f (x) ∈ R[x] cho trước luôn tồn tại vô số nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số thực Vì vậy, tuy đa thức đã cho có các nghiệm đều thực nhưng nhìn chung các nguyên hàm của nó không có tính chất. .. hợp n là số tự nhiên lẻ ta cũng thu được kết quả như trên Sau đây ta mở rộng định lý 1.11 cho các đa thức có số nghiệm thực nhỏ thua hoặc bằng bậc của đa thức đó Trước hết ta xét một số trường hợp đặc biệt ứng với các đa thức có số nghiệm thực khá nhỏ Bổ đề 1.7 Ứng với mọi đa thức f (x) ∈ R[x] có một nghiệm thực cho trước đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất hai nghiệm thực Chứng minh Không giảm tính tổng... đề 1.6 Giả sử đa thức f (x) ∈ R[x] là đa thức bậc 3 có 3 nghiệm thực Gọi Ms (f ) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f (x) Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs (x) ∈ Ms (f ) có s + 3 nghiệm thực Chứng minh Ta chứng minh theo sự phân bố nghiệm của đa thức f (x) 26 (i) Nếu đa thức f (x) có duy nhất một nghiệm (bội bậc 3), không giảm tính tổng quát ta giả sử f (x) = x3 Theo... cả các hệ số trong đa thức đó Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa thức Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp 10 Bổ đề 1.3 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai) Tam thức bậc hai với hệ số thực f (x) = 3x2 −... để các đa thức có các nghiệm đều thực tồn tại nguyên hàm bậc 1 cũng có các nghiệm đều thực Vấn đề tiếp theo được đặt ra: Với điều kiện nào thì đa thức có các nghiệm đều thực có số nghiệm thực tăng lên theo mỗi cấp của nguyên hàm? Dễ dàng nhận thấy, đối với các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, tính chất trên hiển nhiên đúng Sau đây ta khảo sát các đa thức bậc cao hơn Bổ đề 1.6 Giả sử đa thức f... (đa thức) đối xứng sơ cấp Viète bậc 1, 2, , n, tương ứng của bộ gồm n số thực x = {x1, x2 , , xn } (n ∈ N∗ ) ¯ Đặc biệt, nếu đa thức f (x) có hệ số cao nhất là 1 (hay a0 = 1) thì a1 = x1 + · · · + xn a2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn an = x1 x2 · · · xn Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa thức với tất cả các hệ số trong đa. .. hàm Fc (x) = F0(x) − c có ít nhất bốn nghiệm thực Các bổ đề nêu trên khẳng định rằng mọi đa thức có không quá ba nghiệm thực cho trước luôn tồn tại nguyên hàm có nhiều hơn đa thức đó ít nhất một nghiệm thực Tuy nhiên, đối với các đa thức có số nghiệm thực lớn hơn ba tính chất đó không còn đúng nữa Chẳng hạn, xét đa thức f (x) = x6 − x4 − x2 + 1 có bốn nghiệm thực x1 = x2 = −1, x3 = x4 = 1 1 1 1 nhưng... Vậy với điều kiện nào thì một đa thức bậc 4 có các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực? Ta có câu trả lời dưới dạng bổ đề sau đây Bổ đề 1.5 Giả sử đa thức f (x) = 5(x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4), x1 x2 x3 x4 có nguyên hàm F0(x) là đa thức bậc 5 với hệ số thực F0(x) = x5 − a1x4 + a2x3 − a3x2 + a4 x Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại hằng số thực c sao cho nguyên hàm... điều kiện của định lí 20 Sau đây là điều kiện để một đa thức bậc cao có các nghiệm đều thực cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực Định lý 1.11 Giả sử f (x) là đa thức bậc n (n 4) có các nghiệm đều thực f (x) = (−1)n (n + 1)(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) · · · (x − xn ), x1 x2 x3 ··· xn ; F0(x) là một nguyên hàm của f (x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0 Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại số thực . LUẬN VĂN Một số tính chất của đa thức 0 Mục lục Lời nói đầu 1 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa. lý dạng Viète và các tính chất liên quan 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng P n (x)=a n x n +